海南省北京师范大学万宁附中2024-2025学年高二数学下学期期中试题

PAGEPAGE7海南省北京师范高校万宁附中2024-2025学年高二数学下学期期中试题第I卷（选择题）一、单选题（共8题，每题5分，共40分）1．已知集合，，则（）A． B． C． D．2．已知，复数，在复平面内对应的点重合，则（）A．， B．， C．， D．，3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛4．若，，则（）A． B．5 C． D．5．为了提升全民身体素养，学校非常重视学生体育熬炼，某校篮球运动员进行投篮练习．假如他前一球投进则后一球投进的概率为；假如他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第球投进的概率为，则他第球投进的概率为（）A．B．C． D．6．单分数（分子为1，分母为正整数的分数）的广泛运用成为埃及数学重要而好玩的特色，埃及人将全部的真分数都表示为一些单分数的和．例如，，……，现已知可以表示成4个单分数的和，记，其中，，是以101为首项的等差数列，则的值为（）A．505 B．404 C．303 D．2027．2024年12月1日，大连市起先实行生活垃圾分类管理.某单位有四个垃圾桶，分别是一个可回收物垃圾桶､一个有害垃圾桶､一个厨余垃圾桶､一个其它垃圾桶.因为场地限制，要将这四个垃圾桶摆放在三个固定角落，每个角落至少摆放一个，则不同的摆放方法共有(假如某两个垃圾桶摆放在同一角落，它们的前后左右位置关系不作考虑)（）A．种 B．种 C．种 D．种8．定义在上的函数的导函数为，若对随意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集是（）A． B． C． D．二、多选题（共4题，每题5分，共20分）9．已知(x－1)n的绽开式中奇数项的二项式系数之和是64，则（）A．n＝7B．全部项的系数和为0C．偶数项的系数和为－64D．绽开式的中间项为－35x3和35x410．随机变量的分布列为：其中，下列说法正确的是（）012A． B． C．随的增大而减小 D．有最大值11．某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数（例如10100）其中A的各位数中出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时（）A．X听从二项分布 B．C．X的期望 D．X的方差12．函数的定义域为R，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（）在上函数为增函数 在上函数为增函数在上函数有极大值 是函数在区间上的微小值点第II卷（非选择题）三、填空题（共4题，每题5分，共20分）13．两个家庭的4个大人与2个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为平安起见，首尾肯定要排2个爸爸，另外，2个小孩肯定要排在一起，则这6人入园依次的排法种数为__________．14．设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为，则口袋中白球的个数为_______.15．对一个物理量做次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最终结果．已知最终结果的误差，为使误差在的概率不小于0.9545，至少要测量_____次（若，则）．16．已知函数，，函数图象上随意一点的切线的斜率恒成立，则的取值范围是___________.四、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．(本小题10分)在中，，___________.（1）求；（2）若，求.从①，②，③这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.(注：假如选择多个条件分别解答，按第一个解答给分)18．（本小题12分）已知等差数列的前项和为，，且．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．19．（本小题12分）如图，在圆柱中，四边形是其轴截面，为圆的直径，且.（1）求证：；（2）若，求二面角平面角的余弦值.20．（本小题12分）自“新冠肺炎”爆发以来，中国科研团队始终在主动地研发“新冠疫苗”，在科研人员不懈努力下，我国公民领先在2024年年末起先可以运用平安的新冠疫苗，使我国的“防疫”工作获得更大的主动权，研发疫苗之初，为了测试疫苗的效果，科研人员以白兔为试验对象，进行了一些试验．（1）试验一：选取10只健康白兔，编号1至10号，注射一次新冠疫苗后，再让它们暴露在含有新冠病毒的环境中，试验结果发觉，除2号、3号和7号白兔仍旧感染了新冠病毒，其他白兔未被感染，现从这10只白兔中随机抽取4只进行探讨，将仍被感染的白兔只数记作，求的分布列和数学期望．（2）科研人员在另一个试验中发觉，疫苗可多次连续注射，白兔多次注射疫苗后，每次注射的疫苗对白兔是否有效相互不影响，相互独立，试问，若将试验一中未被感染新冠病毒的白兔的频率当做疫苗的有效率，那么一只白兔注射两次疫苗能否保证有效率达到96%，如若可以请说明理由，若不行以，请问每支疫苗的有效率至少要达到多少才能满意以上要求．21．（本小题12分）已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，且由椭圆上顶点、右焦点及坐标原点构成的三角形面积为2．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)已知P(0，2)，过点Q(﹣1，﹣2)作直线l交椭圆C于A、B两点(异于P)，直线PA、PB的斜率分别为k1、k2．试问k1+k2是否为定值？若是，恳求出此定值，若不是，请说明理由．22．（本小题12分）已知函数f(x)＝x+alnx+1．（1）求函数f(x)的单调区间和极值；（2）若f(x)在[1，e]上的最小值为－a+1，求实数a的值参考答案选择题123456789101112BABABACCABCABDABCAC填空题2414.33216.解答题17．解：（1）因为，1分所以2分因为，所以3分即4分因为，5分（2）若选①则在中，由余弦定理，7分得，8分解得或(舍去)，所以10分若选②，则，7分由正弦定理，得，解得，9分所以10分若选③，由余弦定理得7分，解得或(舍去)9分所以10分18．解：（1）设等差数列的公差为，1分因为，且．所以，3分解得，4分所以数列的通项公式．6分，8分所以，9分所以10分．12分19．解：（1）证明：连接，在圆柱中中，平面，又平面，∴，又，2分∴平面，又平面，3分∴，又在中，为的中点，4分5分（2）连接且与该圆柱的底面垂直，以点为坐标原点，、、分别为、、轴正方向，建立如下图所示的空间直角坐标系，则，6分∴，，，，7分设面的法向量是，由，得，取，得，9分设面的法向量是，由，得，取，得，10分由图可知，二面角为锐角，11分∴二面角的余弦值为12分20．解：（1）因为可取，所以2分所以，3分，．4分所以的分布列如下：；6分（2）因为试验一中未被感染新冠病毒的白兔的频率为，所以注射一次疫苗的有效率为，7分又因为每次注射的疫苗对白兔是否有效相互独立，所以一只白兔注射两次疫苗的有效率为：，所以无法保证，9分设每支疫苗有效率至少达到才能满意要求，则，解得11分所以每支疫苗的有效率至少要达到才能满意以上要求12分解:(Ⅰ)由题意得，2分解得a2＝8，b2＝4，3分所以椭圆C的方程为＝1．4分(Ⅱ)k1+k2为定值4，证明如下：(ⅰ)当直线l斜率不存在时，l方程为x＝﹣1，由方程组易得，，于是k1＝，k2＝，所以k1+k2＝4为定值．7分(ⅱ)当直线l斜率存在时，设l方程为y﹣(﹣2)＝k[x﹣(﹣1)]，即y＝kx+k﹣2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由方程组，消去y，得(1+2k2)x2+4k(k﹣2)x+2k2﹣8k＝0，8分由韦达定理得(*)10分∴k1+k2＝＝＝＝2k+(k﹣4)•，将(*)式代入上式得k1+k2＝4为定值12分22．解：（1）函数f(x)的定义域为1分当时，＞0恒成立，f(x)在上单调递增，无极值；2分当a＜0时，令＞0，解得x＞－a，令＜0，解得x＜－a，3分所以f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为，4分此时f(x)有微小值，无极大值；5分（2），x∈[1，e]，由＝0得x＝－a，6分①若a≥－1，则x＋a≥0，即在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上为增函数，7分∴f(x)min＝f（1）＝－a+1，即2＝－a+1，则a＝－1，符合条件．8分②若a≤－e，则x＋a≤0，即≤0在[1，e]上恒成立，此时f