2024-2025学年新教材高中数学第七章概率单元素养测评练习含解析北师大版必修第一册

PAGE12-第七章单元素养测评限时120分钟分值150分战报得分______一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一个正确选项)1．下列事务：①任取三条线段，这三条线段恰好组成直角三角形；②从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，这三条射线交于一点；③实数a，b都不为0，但a2＋b2＝0；④明年12月28日的最高气温高于今年12月28日的最高气温．其中为随机事务的是()A．①②③④ B．①②④C．①③④ D．②③④【解析】选B.由题意，对于①中，任取三条线段，这三条线段可能组成直角三角形，也可能组不成直角三角形，故①为随机事务；对于②中，从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，这三条射线可能不相交、交于一点、交于两点、交于三点，故②为随机事务；对于③中，若实数a，b都不为0，则a2＋b2肯定不等于0，故③为不行能事务；对于④中，由于明年12月28日还未到来，故明年12月28日的最高气温可能高于今年12月28日的最高气温，也可能低于今年12月28日的最高气温，还可能等于今年12月28日的最高气温，故④为随机事务．2．某人提出一个问题，甲先答，答对的概率为0.4，假如甲答错，由乙答，答对的概率为0.5，则问题由乙答对的概率为()A．0.2B．0.8C．0.4D．0.3【解析】选D.由相互独立事务同时发生的概率可知问题由乙答对的概率为P＝0.6×0.5＝0.3.3．抽查8件产品，设“至少抽到3件次品”为事务M，则M的对立事务是()A．至多抽到2件正品 B．至多抽到2件次品C．至多抽到5件正品 D．至多抽到3件正品【解析】选B.依据对立事务的定义，事务和它的对立事务不会同时发生，且他们的和事务为必定事务，事务“至多抽到2件正品”“至多抽到5件正品”“至多抽到3件正品”与“至少抽到3件次品”能同时发生，不是对立事务；只有事务“至多抽到2件次品”与“至少抽到3件次品”不能同时发生且他们的和事务为必定事务，所以事务“至多抽到2件次品”是M的对立事务．4．甲、乙两班各有36名同学，甲班有9名三好学生，乙班有6名三好学生，两班各派1名同学参与演讲活动，派出的恰好都是三好学生的概率是()A．eq\f(5,24)B．eq\f(5,12)C．eq\f(1,24)D．eq\f(3,8)【解析】选C.两班各自派出代表是相互独立事务，设事务A，B分别为甲班、乙班派出的是三好学生，则事务AB为两班派出的都是三好学生，则P(AB)＝P(A)P(B)＝eq\f(9,36)×eq\f(6,36)＝eq\f(1,24).5．给出命题：(1)对立事务肯定是互斥事务．(2)若事务A，B满意P(A)＋P(B)＝1，则A，B为对立事务．(3)把J、Q、K3张红桃牌随机分给甲、乙、丙三人，每人1张，事务A：“甲得红桃J”与事务B：“乙得红桃J”是对立事务．(4)一个人打靶时连续射击两次，事务“至少有一次中靶”的对立事务是两次都不中靶．其中正确的命题个数为()A．4B．3C．2D．1【解析】选C.(1)由对立事务的定义可推断(1)正确；(2)若事务A，B不是互斥事务，即无法由P(A)＋P(B)＝1推断事务A，B的关系，故(2)错误；(3)事务A：“甲得红桃J”的对立事务为“甲未得红桃J”，即“乙或丙得红桃J”，故(3)错误；(4)“至少有一次中靶”包括“一次中靶”“两次都中靶”，则其对立事务为“两次都不中靶”，故(4)正确；故(1)(4)正确．6．甲、乙两人各写一张贺年卡，随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是()A．eq\f(1,2)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4)D．eq\f(1,5)【解析】选A.由题意，因为甲或乙的贺年卡送给其中一个人的概率都是eq\f(1,2)，故分两种状况，乙将贺年卡送给丙的概率为eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，甲、乙将贺年卡送给丁的概率为eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，则甲、乙将贺年卡送给同一个人的概率为eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)＝eq\f(1,2).7．从1，2，3，4这四个数字中依次取(不放回)两个数字a，b，使得lg(3a)≥lg(4b)成立的概率是()A．eq\f(1,3)B．eq\f(5,12)C．eq\f(1,2)D．eq\f(7,12)【解析】选C.因为lg(3a)≥lg(4b)，所以3a≥4b.从1，2，3，4这四个数字中依次取两个数字的样本空间Ω＝{(1，2)，(2，1)，(1，3)，(3，1)，(1，4)，(4，1)，(2，3)，(3，2)，(2，4)，(4，2)，(3，4)，(4，3)}，共12个样本点，符合条件3a≥4b的样本点有(2，1)，(3，1)，(4，1)，(3，2)，(4，2)，(4，3)共6个，所以所求概率为eq\f(1,2).8．A＝{1，2，3}，B＝{x∈R|x2－ax＋b＝0，a∈A，b∈A}，则A∩B＝B的概率是()A．eq\f(2,9)B．eq\f(1,3)C．eq\f(8,9)D．1【解析】选C.有序实数对(a，b)的取值情形共有9种，满意A∩B＝B的情形有：(1)(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，2)，(2，3)，(3，3)此时B＝∅；(2)(2，1)此时B＝{1}；(3)(3，2)此时B＝{1，2}．所以A∩B＝B的概率为P＝eq\f(8,9).二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9．从甲袋中摸出一个红球的概率是eq\f(1,3)，从乙袋中摸出一个红球的概率是eq\f(1,2)，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是()A．2个球都是红球的概率为eq\f(1,6)B．2个球不都是红球的概率为eq\f(1,3)C．至少有1个红球的概率为eq\f(2,3)D．2个球中恰有1个红球的概率为eq\f(1,2)【解析】选ACD.设“从甲袋中摸出一个红球”为事务A1，“从乙袋中摸出一个红球”为事务A2，则P(A1)＝eq\f(1,3)，P(A2)＝eq\f(1,2)，且A1，A2相互独立；在A中，2个球都是红球为A1A2，其概率为eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6)，A正确；在B中，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事务，其概率为eq\f(5,6)，B错误；在C中，2个球中至少有1个红球的概率为1－P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))＝1－eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(2,3)，C正确；2个球中恰有1个红球的概率为eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，D正确．10．下列说法错误的有()A．将A，B，C，D四个人平均分成两组，则“A，B两人恰好在同一组”的概率为eq\f(1,3)B．抛掷一枚骰子一次，“向上的点数是3的倍数”与“向上的点数是2的倍数”是互斥事务C．口袋中有5个大小形态相同的小球，2白3黑，一次取2个小球，两球都是白球的概率为eq\f(1,10)D．口袋中有5个大小形态相同的小球，2白3黑，一次取2个小球，则“至少有1个白球”与“恰好取到1个白球”是互斥事务【解析】选BD.(1)对于A，将A，B，C，D四个人平均分成两组，共有{AB，CD}，{AC，BD}，{AD，BC}3种状况，“A，B两人恰好在同一组”的有一种，故“A，B两人恰好在同一组”的概率为eq\f(1,3)，故A正确；(2)对于B，因为6既是3的倍数，也是2的倍数，所以向上的点数是6的时候两个事务同时发生，故不是互斥事务，故B错误；(3)对于C，设2个白球为a，b，3个黑球为1，2，3，则一次取2个球的全部状况为ab，a1，a2，a3，b1，b2，b3，12，13，23，共10种，两球都是白球的有一种，故两球都是白球的概率为eq\f(1,10)，故C正确；(4)对于D，当取到的两个球是一白一黑时，事务“至少有1个白球”与“恰好取到1个白球”同时发生，故不是互斥事务，故D错误．11．甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以A1，A2表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事务，再从乙罐中随机取出1个球，以B表示从乙罐中取出的球是红球的事务，下列命题正确的是()A．P(B)＝eq\f(23,30)B．事务B与事务A1相互独立C．事务B与事务A2相互独立D．A1，A2互斥【解析】选AD.依据题意画出树状图，得到有关事务的样本点数：因此P(A1)＝eq\f(18,30)＝eq\f(3,5)，P(A2)＝eq\f(12,30)＝eq\f(2,5)，P(B)＝eq\f(15＋8,30)＝eq\f(23,30)，A正确；又P(A1B)＝eq\f(1,2)，因此P(A1B)≠P(A1)P(B)，B错误；同理，C错误；A1，A2不行能同时发生，故彼此互斥，故D正确．12．如图所示的电路中，5只盒子表示保险匣，设5只盒子保险丝分别被断开为事务A，B，C，D，E.盒中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，下列结论正确的是()A．A，B两个盒子串联后畅通的概率为eq\f(1,3)B．D，E两个盒子并联后畅通的概率为eq\f(1,30)C．A，B，C三个盒子混联后畅通的概率为eq\f(5,6)D．当开关合上时，整个电路畅通的概率为eq\f(29,36)【解析】选ACD.由题意知，P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,3)，P(C)＝eq\f(1,4)，P(D)＝eq\f(1,5)，P(E)＝eq\f(1,6)，所以A，B两个盒子串联后畅通的概率为eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，因此A正确；D，E两个盒子并联后畅通的概率为1－eq\f(1,5)×eq\f(1,6)＝1－eq\f(1,30)＝eq\f(29,30)，因此B错误；A，B，C三个盒子混联后畅通的概率为1－eq\f(2,3)×eq\f(1,4)＝1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6)，C正确；依据上述分析可知，当开关合上时，电路畅通的概率为eq\f(29,30)×eq\f(5,6)＝eq\f(29,36)，D正确．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．甲、乙两队进行篮球决赛，实行七场四胜制(当一队赢得四场成功时，该队获胜，决赛结束).依据前期竞赛成果，甲队的主客场支配依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场竞赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是__________．【解析】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4∶1获胜的概率是0.63×0.5×0.5×2＝0.108，前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4∶1获胜的概率是0.4×0.62×0.52×2＝0.072，综上所述，甲队以4∶1获胜的概率是0.108＋0.072＝0.18.答案：0.1814．三个人玩传球嬉戏，每个人都等可能地传给另两人(不自传)，从A发球算起，经4次传球又回到A手中的概率是________．【解析】记三个人分别为A，B，C，则4次传球的全部可能状况可用树状图列出，如图．每一个分支为一种传球方案，则基本领件的总数为16，而又回到A手中的事务个数为6，所以P＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8).答案：eq\f(3,8)15．抛掷一枚骰子，记A为事务“出现点数是奇数”，B为事务“出现点数是3的倍数”，则P(A∪B)＝________，P(A∩B)＝________.【解析】抛掷一枚骰子，基本领件为1，2，3，4，5，6，事务A∪B包括出现的点数是1，3，5，6这4个基本领件，故P(A∪B)＝eq\f(2,3)；事务A∩B包括出现的点数是3这1个基本领件，故P(A∩B)＝eq\f(1,6).答案：eq\f(2,3)eq\f(1,6)16．甲、乙二人做射击嬉戏，甲、乙射击击中与否是相互独立事务．规则如下：若射击一次击中，则原射击人接着射击；若射击一次不中，就由对方接替射击．已知甲、乙二人射击一次击中的概率均为eq\f(1,3)，且第一次由甲起先射击．①求前3次射击中甲恰好击中2次的概率________；②求第4次由甲射击的概率________.【解析】①由题意，前3次射击中甲恰好击中2次，即前2次甲都击中目标，但第三次没有击中目标，故它的概率为eq\f(1,3)×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(2,27).②第4次由甲射击包括甲连续射击3次且都击中；第一次甲射击击中，但其次次没有击中，第三次由乙射击没有击中；第一次甲射击没有击中，且乙射击其次次击中，但第三次没有击中；第一次甲射击没有击中，且乙射击其次次没有击中，第三次甲射击击中；故这件事的概率为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(3)＋eq\f(1,3)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＋eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(13,27).答案：eq\f(2,27)eq\f(13,27)四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)甲、乙、丙三名学生一起参与考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者则考试通过，两次考试过程相互独立，依据甲、乙、丙三名学生的平均成果分析，甲、乙、丙3名学生能通过笔试的概率分别是0.6，0.5，0.4，能通过面试的概率分别是0.6，0.6，0.75.(1)求甲、乙、丙三名学生中恰有一人通过笔试的概率；(2)求经过两次考试后，至少有一人被该高校预录用的概率．【解析】(1)分别记“甲、乙、丙三名学生笔试合格”为事务A1，A2，A3，则A1，A2，A3为相互独立事务，E表示事务“恰有一人通过笔试”，则P(E)＝P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＝0.6×0.5×0.6＋0.4×0.5×0.6＋0.4×0.5×0.4＝0.38，即恰有一人通过笔试的概率是0.38.(2)分别记“甲、乙、丙三名学生经过两次考试后合格”为事务A，B，C，则P(A)＝0.6×0.6＝0.36，P(B)＝0.5×0.6＝0.3，P(C)＝0.4×0.75＝0.3.事务F表示“甲、乙、丙三人中至少有一人被该高校预录用”，则eq\x\to(F)表示甲、乙、丙三人均没有被该高校预录用，eq\x\to(F)＝eq\x\to(A)eq\x\to(B)eq\x\to(C)，于是P(F)＝1－P(eq\x\to(F))＝1－P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))P(eq\x\to(C))＝1－0.64×0.7×0.7＝0.6864.即经过两次考试后，至少有一人被该高校预录用的概率是0.6864.18．(12分)某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事务分别为A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．【解析】(1)P(A)＝eq\f(1,1000)，P(B)＝eq\f(10,1000)＝eq\f(1,100)，P(C)＝eq\f(50,1000)＝eq\f(1,20).(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事务为M，则M＝A∪B∪C.因为A，B，C两两互斥，所以P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(1＋10＋50,1000)＝eq\f(61,1000).故1张奖券的中奖概率为eq\f(61,1000).(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事务N，则事务N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事务，所以P(N)＝1－P(A∪B)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1000)＋\f(1,100)))＝eq\f(989,1000).故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为eq\f(989,1000).19．(12分)在一场消遣晚会上，有5位民间歌手(1到5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎的歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手的概率；(2)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率．【解析】(1)设A表示事务“观众甲选中3号歌手”，观众甲选出3名歌手的样本空间为Ω＝{(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)}，事务A包含2个样本点，则P(A)＝eq\f(2,3).(2)设B表示事务“观众乙选中3号歌手”，观众乙选出3名歌手的样本空间为Ω＝{(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)}，事务B包含6个样本点，则P(B)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).因为事务A与B相互独立，A与eq\x\to(B)相互独立，则A·eq\x\to(B)表示事务“甲选中3号歌手，且乙没选中3号歌手”．所以P(Aeq\x\to(B))＝P(A)P(eq\x\to(B))＝P(A)[1－P(B)]＝eq\f(2,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(4,15).即观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率是eq\f(4,15).20．(12分)某地乒乓球队备战全运会的热身赛暨选拔赛中，种子选手M与B1，B2，B3三位非种子选手分别进行一场对抗赛，按以往多次竞赛的统计，M获胜的概率分别为eq\f(3,4)，eq\f(2,3)，eq\f(1,2)，且各场竞赛互不影响．(1)求M三场对抗赛全部获胜的概率；(2)若M至少获胜两场的概率大于eq\f(7,10)时，则M入选征战全运会的最终大名单，否则不予入选，M是否会入选最终的大名单？【解析】(1)记M与B1，B2，B3进行对抗赛获胜的事务分别为A，B，C，M全部获胜的事务为D，则P(A)＝eq\f(3,4)，P(B)＝eq\f(2,3)，P(C)＝eq\f(1,2)，由于事务A，B，C相互独立，所以P(D)＝P(ABC)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4).即M三场竞赛全部获胜的概率为eq\f(1,4).(2)设M至少获胜两场的事务为E，则P(E)＝P(ABC)＋P(ABeq\x\to(C))＋P(Aeq\x\to(B)C)＋P(eq\x\to(A)BC)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(17,24)，由于eq\f(17,24)>eq\f(7,10)，所以M会入选最终的大名单．21．(12分)银行柜台有从左到右编号依次为1，2，3，4，5，6的六个服务窗口，其中1，2，3，4，5号服务窗口办理A类业务，6号服务窗口办理B类业务．(1)每天12：00至14：00，由于须要办理A类业务的顾客较少，现从1，2，3，4，5号服务窗口中随机选择2个窗口暂停服务，求“1号窗口或2号窗口暂停服务”的概率；(2)经统计，在6号窗口办理B类业务的等候人数及相应概率如表：排队人数012344人以上概率0.10.160.30.30.10.04求至少2人排队等候的概率．【解析】(1)由题意可知，随机选择2个窗口暂停服务有如下基本领件((i，j)表示第i，j号窗口暂停服务)：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，