河南省周口市郸城县郸城二高、郸城三高2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题（解析版）

2024-2025学年（上）高二年级开学考数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z满足，则z的虚部为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得，结合复数的概念，即可求解.【详解】由复数z满足，可得，所以复数的虚部为.故选：D.2.在中，若，则是（）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定【答案】B【解析】分析】由诱导公式和正弦和角公式得，确定，得到答案.【详解】，故，因为，所以，故，所以，故为直角三角形.故选：B3.已知平面向量，则与垂直的单位向量的坐标可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设出单位向量，建立等式求解即可.【详解】设该单位向量为，由题可知解得或，即或故选：C4.已知为异面直线，则过空间一点且与都平行的平面有（）A.个或个 B.个 C.个 D.无数个【答案】A【解析】【分析】在直线上任取一点，过点作直线，在直线上任取一点，过点作直线，直线可以确定一平面，记该平面为，直线可以确定一平面，记该平面为，讨论点的位置，确定满足条件的平面的个数.【详解】在直线上任取一点，由已知，过点作直线，因为，故直线可以确定一平面，记该平面为，在直线上任取一点，由已知，过点作直线，因为，故直线可以确定一平面，记该平面为，当点或时，过点不存在与都平行的平面，当点且时，如图，过点作，因为直线，所以直线，可以确定一个平面，记为平面，因为，，，所以直线，同理可证，此时过点有且仅有一个平面与都平行.故选：A.5.若古典概型的样本空间，事件，，则（）A.B包含A B.A与B对立 C.A与B互斥 D.A与B相互独立【答案】D【解析】【分析】由事件包含关系的定义判断选项A；由对立事件互斥事件的定义判断选项BC，由是否成立判断选项D.【详解】事件A与B包含没有包含关系，A选项错误；事件，所以A与B不互斥也不对立，BC选项错误；，，，，所以事件A与B相互独立，D选项正确.故选：D.6.已知圆柱和圆锥的高相等，底面半径均为2，若圆柱的侧面积是圆锥的侧面积的倍，则圆柱的表面积为（）A.8π B.12π C.16π D.24π【答案】A【解析】【分析】估计圆柱的侧面积是圆锥的侧面积的倍求出圆柱和圆锥的高，求出圆柱的表面积.【详解】设圆柱和圆锥的高均为，因为圆柱的侧面积是圆锥的侧面积的倍，所以，所以，所以圆柱的表面积为.故选：A.7.如图，图（1）和图（2）均为“单峰”频率分布直方图，图（1）的中位数和平均数分别为a，b，图（2）的中位数和平均数分别为c，d，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据众数、平均数、中位数的计算公式，结合图（1）（2）可以判断出的大小,，进而判断A、B、C、D.【详解】对于A，图（1）中，众数靠近0这一侧，因此平均数会受到较大值的影响而表现为平均数在中位数的右侧，因此，故A错误；对于B，图（2）中，众数靠近最大的数这一侧，因此平均数会受到较小值的影响而表现为平均数在中位数的左侧，因此，故B错误；对于C、D，因为，，由不等式的性质有，故C正确，D错误.故选：C.8.设正四棱锥的底面中心为O，以O为球心的球面与正四棱锥的所有棱均相切，若正四棱锥的体积为，则球O的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】取的中点，的中心为，连接，，，计算即可得出为等腰直角三角形，所以再应用正四棱锥的体积即得,最后应用球O的体积公式计算.详解】如图，取的中点，的中心为，连接，,设球的半径为，则，球与正四棱锥的各棱均相切，则底面正方形棱长为，过作，则，，，为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，所以正四棱锥的体积为，所以，球的半径为，则球O的体积为故选:B二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在平面四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，则下列结论正确的是（）A若，则 B.若，则C. D.【答案】BC【解析】【分析】根据向量相等、平行、加法、减法等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】AB选项，若，则，所以四边形是平行四边形，而E，F分别为AD，BC的中点，所以，但与是否垂直无法判断，所以A选项错误，B选项正确.CD选项，连接，则，所以C选项正确，D选项错误.故选：BC10.设复数，，a，b，c，，则下列结论正确的是（）A.若，则，B.若，则C.若，则D.若，则在复平面内对应的点所在区域的面积为【答案】AD【解析】【分析】根据复数除法的运算法则，结合复数模的运算公式、复数模的几何意义逐一判断即可,【详解】A：，所以，，因此本选项结论正确；B：，，显然不一定恒成立，因此本选项结论不正确；C：或，因此本选项结论不正确；D：，则在复平面内对应的点形成的轨迹为：以原点为圆心，以及半径的两个圆所夹的圆环，包括圆环的边界，故在复平面内对应的点所在区域的面积为，因此本选项结论正确，故选：AD11.甲、乙、丙、丁四名射击运动员各射击6次，记录每次射击命中的环数（均取整数，最低为1，最高为10），根据统计结果，可以判断一定命中了10环的是（）A.甲：平均数为8，极差为7 B.乙：中位数为8，平均数为7C.丙：平均数为8，方差为2 D.丁：中位数为8，众数只有7【答案】AD【解析】【分析】由平均数、极差、方差、中位数、众数的定义逐项判断即可.【详解】对于甲：如果最高命中9环，由极差可知，最低为2环，由于平均数为8，所以总和为48环，48-9-2=37，其它4环最高36环，所以甲一定命中了10环.对于乙：6次出现的点数为：3,6,8,8,8,9满足中位数为8，平均数为7，故错误；对于丙：6次出现的点数为：7,8,8,8,8,9满足平均数为8，方差为2，故错误对于丁：由于中位数为8，所以6次出现的点数按从小到大顺序可能为，或或；对于，由于众数只有7，所以不能都是9，故，对于不符合众数只有7，对于也不符合众数只有7，故丁一定命中了10环.故选：AD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12已知向量，，若，则k=________．【答案】【解析】【分析】由平面向量共线的坐标表示求解即可.【详解】向量，，若，所以，所以.故答案为：13.在正方体中，为棱的中点，动点在正方形内运动，若，则直线与所成角的余弦值为________．【答案】【解析】【分析】取的中点，得到，把异面直线与所成角，转化为与所成角，在直角中，即可求解.【详解】如图所示，取的中点，连接，因为分别为的中点，可得，所以异面直线与所成角，即为直线与所成角，设，在正方体中，因为，且平面，所以平面，又因为平面，所以，在直角中，由，可得，所以.故答案为：.14.如图，某课外实践活动小组为了测量某山的高度，在山脚A处测得山顶P的仰角为，然后由A沿倾斜角为的斜坡向上走100米到达B处，在B处测得山顶P的仰角为，若点A，B，C，P，Q在同一铅垂面内，则山的高度为______米．【答案】【解析】【分析】作出辅助线，设，表达出其他各边，利用列出方程，求出，从而求出山的高度【详解】由题意得，，过点作⊥于点，则，则，，则，设，则，由于为等腰直角三角形，故，即，解得，故.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在一个不透明的袋子中装有大小、质地完全相同的1个红球和1个白球，每次从袋子中随机摸出1个球，观察其颜色后放回.甲连续摸球2次，乙连续摸球4次.用a表示摸出红球，b表示摸出白球.（1）分别写出甲和乙的摸球试验的样本空间及其包含样本点的个数；（2）设A=“甲恰有一次摸出红球”，B=“乙恰有两次摸出红球”，比较与的大小．【答案】（1）答案详见解析（2）【解析】【分析】（1）利用列举法写出样本空间并求得样本点的个数.（2）通过计算与，从而作出判断.【小问1详解】甲摸球试验的样本空间：，样本点个.乙摸球试验的样本空间：，，样本点个.【小问2详解】由（1）得，所以.16.如图，在四棱锥中，为正三角形，，，E为PD的中点，．（1）证明：平面PAD；（2）若，，求四棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）为的中点，可证，由，得，又，可得证平面PAD；（2）为的中点，证明是四棱锥的高，体积公式计算四棱锥的体积．【小问1详解】分别为的中点，连接，又E为PD的中点，则有且，由已知，，所以，，四边形为平行四边形，有，为正三角形，，则，又，平面，，所以平面PAD；【小问2详解】，则有，又，平面，，所以平面，平面，则，为的中点，有，平面，，所以平面，即是四棱锥的高，，则，得四棱锥的体积.17.某校随机抽取了100名同学参加“奥运会”知识竞赛，统计得到参加竞赛每名同学的成绩（单位：分），然后按40,50，50,60，…，90,100分成6组，并绘制成下面的频率分布直方图，已知．（1）求a，b的值，并估计参加竞赛的同学成绩的第30百分位数；（2）已知成绩在80,90内所有同学的平均成绩为84分，方差为6，成绩在90,100内所有同学的平均成绩为98分，方差为10，求成绩在内所有同学的平均成绩和方差．【答案】（1），参加竞赛的同学成绩的第30百分位数估计为（2），【解析】【分析】（1）根据在频率直方图所有小矩形的面积之和为，结合第30百分位数的性质进行求解即可；（2）根据由部分平均数、方差求总体平均数和方差的公式进行求解即可.【小问1详解】因为在频率直方图所有小矩形的面积之和为，所以，于是有，因为，所以参加竞赛的同学成绩的第30百分位数估计在60,70，设为，于是有；【小问2详解】成绩在80,90和成绩在90,100内的学生人数之比为，所以有，.18.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求B；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围；（3）设点P在边AC上，且存在实数，使得，说明线段BP与的关系．【答案】（1）（2）（3）线段BP为的中线【解析】【分析】（1）由正余弦展开式结合特殊角的三角函数求出即可；（2）由三角形的面积公式结合正弦定理得到，再由三角恒等变换化简得到面积为，最后结合锐角三角形中角的范围和正弦函数的值域求出即可；（3）作出图形，结合正弦定义和平面向量的基本定理求解即可；【小问1详解】因为，所以，整理可得，又，所以，【小问2详解】为锐角三角形，且，，所以，由正弦定理可得，所以，因为为锐角三角形，，所以，所以，所以，所以，【小问3详解】如图：作于，取的中点，连接，由图可得，所以，所以与共线，又点P在边AC上，也在上，所以重合，所以线段BP为的中线.19.《九章算术》是我国古代的一部数学经典著作，在其中一篇《商功》中有如下描述：“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．如图，在堑堵中，，，，，为棱的中点，为棱的中点．（1）证明：平面平面；（2）求二面角的正切值；（3）求与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）二面角的正切值为；（3）与平面所成角的正弦值为.【解析】【分析】（1）先证明，根据线面平行判定定理证明平面，再证明平面，根据面面平行判定定理证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量，结合向量夹角公式求二面角的余弦值，根据同角关系求结论；（3）求直线的方向向量和平面的法向量，由线面夹角公式求结论.【小问1详解】由已知，，因为为棱的中点，为棱的中点，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，连接，因为，，因为为棱的中点，为棱的中点，所以，，所以四边形为平行