河南省长葛市第三实验高级中学2024-2025学年高二开学摸底考试数学试卷（解析）

2024—2025学年高二摸底考试数学试卷时间：120分钟分数：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由集合的补集，并集运算求解即可.【详解】由题意可知，所以，所以，故选：D2.已知平面向量，且，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】试题分析：因为，，且，所以，，故选B.考点：1、平面向量坐标运算；2、平行向量性质.3.复数的共轭复数是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先将复数的分母化成实数，再求其共轭复数即可.【详解】而的共轭复数是故选：B.4.有一组样本数据如下：56，62，63，63，65，67，68，69，71，74，76，76，77，78，79，79，80，85，87，88，95，98，则其分位数与分位数的和为（）A.144 B.145 C.146 D.147【答案】D【解析】【分析】由百分位数的定义求解即可.【详解】因为，所以样本数据的25%分位数为第六个数据即67；因为，所以样本数据的75%分位数为第十七个数据即80.所以25%分位数与75%分位数的和为.故选：D.5.若样本的平均数是10，方差为2，则对于样本，下列结论正确的是（）A.平均数为20，方差为4 B.平均数为11，方差为4C.平均数为21，方差为8 D.平均数为20，方差为8【答案】D【解析】【分析】由两组数据间的关系,可判断二者平均数的关系,方差的关系,进而可得到答案.【详解】样本的平均数是10，方差为2，所以样本的平均数为,方差为.故选:D.【点睛】样本的平均数是，方差为，则的平均数为,方差为.6.如图，在中，点，满足，.若，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用平面向量的线性运算可得，再根据平面向量基本定理可得，从而可得答案.【详解】因为，又，所以，所以故选：B【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，考查了平面向量基本定理，属于基础题.7.已知正三角形的边长为2，那么的直观图的面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据斜二测画法求解.【详解】如图(1)为的实际图形，图（2）为的直观图.由斜二测画法得：，作，则，所以.故选：D8.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将条件分子分母同除以，可得关于式子，代入计算即可．【详解】解：由已知．故选：B．【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，针对正弦余弦的齐次式，转化为正切是常用的方法，是基础题．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.(多选题)在给出的下列几个命题中错误的是（）A.若x是实数，则x可能不是复数B.若z是虚数，则z不是实数C.一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零D.－1没有平方根【答案】ACD【解析】【分析】利用复数的概念，判断选项.【详解】因实数是复数，故A错，根据虚数的定义可知B正确；因复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故C错；因－1的平方根为±i，故D错.故选：ACD10.在中，下列说法正确的是（）A.与共线的单位向量为B.C.若，则为钝角三角形D.若是等边三角形，则，的夹角为【答案】AC【解析】【分析】根据单位向量判断A；由向量的减法判断B；由向量的夹角，数量积的定义判断C，D即可.【详解】对于A，与共线的单位向量为，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，所以且，所以为钝角，所以C正确；对于D，若是等边三角形，则，的夹角为60°，故D错误.故选：AC11.如图，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，则下列四个命题正确的是（）A.若点M，N分别是线段A′A，A′D′的中点，则MN∥BC′B.点C到平面ABC′D′的距离为2C.直线BC与平面ABC′D′所成的角等于D.三棱柱AA′D′﹣BB′C′外接球的表面积为3π【答案】ACD【解析】【分析】直接利用线面夹角的应用，异面直线的夹角的应用，三棱柱的外接球的半径的求法的应用求出结果．【详解】解：正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，对于选项A：因为点M，N分别是线段A′A，A′D′的中点，则MN∥AD′，且AD′∥BC′故MN∥BC′，故A正确；对于选项B：点C到面ABC′D′的距离为B′C长度的一半，即h，故选项B错误；对于选项C：直线BC与平面ABC′D′所成的角即为∠CBC′等于，故C正确；对于选项D：三棱柱AA′D′﹣BB′C′外接球半径r，故其外接球表面积S＝4πr2＝4π3π，故D正确．故选：ACD．【点评】本题考查的知识要点：线面夹角的应用，异面直线的夹角的应用，三棱柱的外接球的半径的求法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知是关于的方程的一个根，则实数___________．【答案】12【解析】【分析】由根与系数的关系即可得到答案.【详解】设方程另一个根为，由根与系数的关系：故答案为：12.13.已知，，，则与的夹角为________.【答案】【解析】【分析】本题先求，，，再根据化简整理得，最后求与的夹角为.【详解】解：∵，，∴，，，∵，∴整理得：，∴与的夹角为：.故答案为：【点睛】本题考查运用数量积的定义与运算求向量的夹角，是基础题.14.如图，在三棱锥V-ABC中，，，，，且，，则二面角V-AB-C的余弦值是_________________【答案】##【解析】【分析】取的中点，连接、，证明出，，可得出二面角的平面角为，计算出、，利用余弦定理求得，由此可得出二面角的余弦值.【详解】取的中点，连接、，如下图所示：，为的中点，则，且，，，因为，为的中点，可得，又因为所以，则二面角的平面角为，由余弦定理得，因此，二面角的余弦值为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知，，与的夹角是．（1）求的值及的值；（2）当为何值时，？【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）（2）利用向量积运算来求模，利用向量积为零来求两向量垂直.【小问1详解】，；【小问2详解】因为，所以，整理得，解得．即当时，．16.在一个文艺比赛中，10名专业人士和10名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分，下面是两组评委对同一名选手的打分：小组A：45484652474955425145小组B：55367066754968426247（1）如果选择方差度量每一组评委打分相似性的量，计算每组评委打分的方差；（2）你能据此判断小组A和小组B中哪一个更像是由专业人士组成的吗？【答案】（1）13.4；155.4（2）A组更像是由专业人士组成的【解析】【分析】（1）根据题意数据结合平均数和方差公式运算求解；（2）根据（1）中结论，结合方差的意义分析判断.【小问1详解】记小组A的数据依次为，小组B的数据依次为，，由题意可得：每组的平均数分别为：，，每组的方差分别为：，.【小问2详解】由于专业人士给分更符合专业规则，相似程度更高，由（1）可知，，因而，根据方差越大数据波动越大，因此A组更像是由专业人士组成的．17.已知分别为的三个内角的对边，且，，．（1）求及的面积；（2）若为边上一点，且，求的正弦值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理可得出关于的二次方程，可解出的值，进而可求得的面积；（2）在中，利用正弦定理可求得的值，再由可得出，进而可求得的正弦值.【小问1详解】由余弦定理得，整理得，即，因为，解得，所以.【小问2详解】由正弦定理得：，所以，在三角形中，因为，则，所以.18.2021年开始，广西将推行全新的高考制度，采用“”模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在物理、历史中自选一门（2选1），在政治、地理、化学、生物4门科目中自选两门参加考试（4选2）．由于受疫情影响多地推迟开学，开展线上教学．为了了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选科目进行线上检测，下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距20分成7组：，画出频率分布直方图如图所示．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）根据频率分布直方图求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数；（3）估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）【答案】（1）；（2）中位数为224；（3）225.6.【解析】【分析】（1）根据频率之和为1即可求．（2）先估算出中位数在第几组数据，再列方程即可求解．（3）直接计算即可.【小问1详解】解：由，得．【小问2详解】解：因为，所以中位数在，设中位数为x，所以，解得，所以物理、化学、生物三科总分成绩的中位数为224．【小问3详解】解：这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数为.19.如图，在三棱锥中，底面ABC，，，点D为线段AC的中点，点E为线段PC上一点．（1）求证：平面平面PAC；（2）当平面BDE时，求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）线面垂直的性质有，等腰三角形性质有，再根据线面垂直、面面