安徽省多校联考2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题（解析）

高二数学试题考生注意：1、答题前、考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出，再求交集.【详解】,则.则.故选：A.2.某学校高二某班向阳学习小组8位同学在一次考试中的物理成绩如下：95，45，62，78，53，83，74，88，则该小组本次考试物理成绩的第60百分位数为（）A.53 B.74 C.78 D.83【答案】C【解析】【分析】根据题意，将数据从小到大排列，结合百分位数的计算方法，即可求解.【详解】将8位同学考试的物理成绩从小到大排列：，由，所以数据的第60百分位数为.故选：C.3.已知，则“”是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】运用充分，必要条件知识，结合幂函数单调性可解.【详解】,则，且在单调递增.故.反过来，如果，则,可以为负数.推不出.故“”是的充分不必要条件.故选：Ａ．4.已知命题，为假命题，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，转化为不等式在x∈1,+∞上恒成立，进而转化为不等式在x∈【详解】由命题，为假命题，可得命题，为真命题，即不等式在x∈1,+即在x∈1,+令，则，可得，当且仅当时，即时，即时，等号成立，所以，即实数的取值范围为.故选：B.5.已知平面向量满足，且在上的投影向量为，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据向量在向量上的投影向量公式求出，再由夹角公式求解.【详解】因为，在上的投影向量为，所以，所以，所以，由，可知.故选：B6.如图，在正三棱柱中，分别为棱的中点，，则异面直线所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，运用中位线性质，找出异面直线所成角，结合余弦定理求解即可.【详解】如图，取中点，连接.则，且，则四边形为平行四边形，则.由图则异面直线所成角为或其补角，中，，，.由余弦定理可知.异面直线所成角的余弦值为.故选：D.7.已知是上的减函数，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】在定义域内，保证两段都是减函数，在1附近还要一直减.列不等式求解即可.【详解】根据题意保证两段都是减函数，在1附近还要一直减.可得，解得.故选：C.8已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由于都为正数，可用作除法，结合基本不等式和对数性质比较大小.【详解】，即.,即.综上知道.故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.已知复数，则（）A.的虚部为 B.C. D.为纯虚数【答案】CD【解析】【分析】先将化简成，再分别比对解出答案即可.【详解】对于A，因为，所以的虚部为，故选项A错误；对于B，因为，故选项B错误；对于C，，故选项C正确；对于D，为纯虚数，故选项D正确.故选：CD.10.已知函数当时，取得最大值2，且与直线最近的一个零点为，则下列结论中正确的是（）A.的最小正周期为B.的单调递增区间为C.的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到D.若为奇函数，则【答案】AC【解析】【分析】先化简，当时取得最大值2，求出.与直线最近的一个零点为，求出，继而求出.则可求.然后算出最小正周期，单调增区间，对称中心，结合图象变换，逐项验证即可.【详解】根据题意，化简，当时取得最大值2，则与直线最近的一个零点为，则，则，则.则.当时取得最大值，则，，则，则，则的最小正周期为，A正确；令则则的单调递增区间为故B错误;的图象向右平移个单位长度得到,故C正确；，由于为奇函数，则令，则.故D错误.故选：AC.11.已知定义域为的函数为奇函数，的图象关于直线对称，则（）A.的图象关于点中心对称 B.为奇函数C.是周期为4的函数 D.【答案】ACD【解析】【分析】运用奇函数性质和对称性得到原函数的周期性，借助赋值可解.【详解】为奇函数，得到，向右平移1个单位得到，则的图象关于点1,0中心对称,则A正确.则，的图象关于直线对称,则，则,则，则是周期为4的函数.则C正确.令，则由，知，则f1=0..故D正确.前面式子推不出，故B错误.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.已知向量满足，，且，则______．【答案】.【解析】【分析】根据题意，结合向量共线的坐标表示，列出方程求得，得到，结合向量模的计算公式，即可求解.【详解】由向量满足，因为，可得，解得，即，所以.故答案为：.13.小耿与小吴参与某个答题游戏，此游戏共有5道题，小耿有3道题不会，小吴有1道题不会，小耿与小吴分别从这5道题中任意选取1道题进行回答，且两人选题和答题互不影响，则小耿与小吴恰有1人会答的概率为__________【答案】##0.56【解析】【分析】小耿与小吴恰有1人会答，包括两种情况.运用独立事件概率乘法公式分别求出概率，再相加即可.【详解】小耿与小吴恰有1人会答，包括两种情况，小耿会小吴不会和小吴会小耿不会.则小耿与小吴恰有1人会答的概率为.故答案为：.14.已知一个圆台的侧面积为，下底面半径比上底面半径大1，母线与下底面所成角的正切值为7，则该圆台的外接球（圆台的上、下底面圆周上的点均在球面上）的体积为______．【答案】【解析】【分析】设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，母线长为.构造方程组，先求圆台的上底面半径、下底面半径和高，再求圆台外接球的半径，进而求出体积即可.【详解】设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，母线长为.因为母线与下底面所成角的正切值为7，所以.又因为.则，圆台的侧面积公式为，已知侧面积为，所以.则.又因为,则.设圆台外接球的半径为，球心到上底面的距离为.则，，解得.根据公式，求出外接球的体积公式为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.某校为促进学生对地震知识及避震自救知识的学习，组织了《地震知识及避震自救知识》竞赛活动，对所有学生的竞赛成绩进行统计分析，制成如图所示的频率分布直方图（各区间分别为．（1）根据频率分布直方图，估计本次竞赛的平均成绩；（每组数据用所在区间的中点值作代表）（2）按人数比例用分层随机抽样的方法从竞赛成绩在和内的学生中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人成绩都在内的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）运用频率之和为1，求出m,再用平均值计算公式算出平均值即可；（2）先按照分层抽样确定和内的学生人生，再结合列举法，用古典概型求解概率即可.【小问1详解】频率之和为1,则，解得.则,则平均分成绩为.【小问2详解】根据分层抽样，知道和内的学生比为.则抽取的5人中有2个来自层，设为．3个来自层，设为.再从这5人中随机抽取2人,总共有10种可能，分别为:.这2人成绩都在内的有,共3种.故所求概率为.16.已知的内角的对边分别为，向，（1）求；（2）若，求的面积的最大值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）运用向量的数量积公式，再用正弦定理边角互化，最后用余弦定理计算即可；（2）用第一问的结论，结合基本不等式可解.【小问1详解】即，由正弦定理角化边得，即，则,由于,则.【小问2详解】，，则，即，由不等式知道，（当且仅当取最值），即.由三角形面积公式知道，（当且仅当取最值）.故的面积的最大值为.17.已知（1）求的值；（2）已知，求的值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）运用两角差正弦展开，平方，得到，联立求出，再求和即可.（2）运用同角三角函数关系式，求出，再运用两角和的余弦公式求出，进而得到.【小问1详解】，运用差角公式展开，得，化简得，，两边平方，即，则，由于，则.则.，联立解得，则【小问2详解】，则，..由于，，则，则.18.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，分别为棱的中点，．（1）证明：平面平面；（2）求二面角的大小．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由中位线可得线线平行，再由线面平行判定定理得线面平行，由面面平行判定定理得证；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求出二面角的大小即可.【小问1详解】连接，如图，由分别为棱的中点，可得，又，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，因为，平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面.【小问2详解】因为平面平面，是两平面的交线，平面，所以平面，又平面，所以，又，以方向为轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，则，所以，则，设平面的法向量，则，令，可得，设平面的法向量为，则，令，可得，所以，即，由图知，二面角的平面角为钝角，所以二面角的大小为.19.已知是指数函数，且过点是定义域为的奇函数（1）求值；（2）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围；（3）若函数恰有2个零点，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）首先运用待定系数法求出指数函数解析式，再用奇函数性质求出；（2）将不等式问题运用奇函数性质转化为，再考虑的单调性，脱去括号，后转化为二次函数最值即可；（3）将零点问题转化为有两个不同根，运用奇函数性质脱括号，有两个不同根即可,再用换元法，转化为二次方程的根的问题即可.【小问1详解】设，函数过，代入，即，解得，则.定义域为R的奇函数，则，解得，则，由于，解得