2023学年二轮复习解答题专题三十五：抛物线上有关等腰直角三角形问题的探究(原卷版+解析)

2023学年二轮复习解答题专题三十五：抛物线上有关等腰直角三角形问题的探究典例分析例1（2022枣庄中考）（12分）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的关系式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；（3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；（4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．专题过关1.（2022吉林中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（，是常数）经过点，点．点在此抛物线上，其横坐标为．（1）求此抛物线的解析式；（2）当点在轴上方时，结合图象，直接写出的取值范围；（3）若此抛物线在点左侧部分（包括点）的最低点的纵坐标为．①求值；②以为边作等腰直角三角形，当点在此抛物线的对称轴上时，直接写出点的坐标．2.（2022陕师大附中三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线M的表达式为y＝﹣x2+2x，与x轴交于O、A两点，顶点为点B．（1）求证：△OAB为等腰直角三角形：（2）已知点P在y轴上，且OP＝1，点C在第一象限，△ABC为等腰直角三角形，将抛物线M进行平移，使其对称轴经过点C，请问平移后的抛物线能否经过点P？如果能，求出平移方式；如果不能，说明理由．3.（2022西安高新一中三模）已知抛物线L：y＝x2﹣4x＋2，其顶点为C．（1）求点C的坐标；（2）若M为抛物线L上一点，抛物线L关于点M所在直线x＝m对称的抛物线为L'，点C的对应点为C'，在抛物线L上是否存在点M，使得△CMC′为等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．4.（2022山西一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与坐标轴相交于A，B，C三点，其中A点坐标为，B点坐标为，连接，．动点P从A点出发，在线段上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从B点出发，在段上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒．（1）________，________；（2）在P，Q运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？（3）在线段上方的抛物线上是否存在点M，使是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．5.（2022运城二模）如图，已知抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C，点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作直线轴，交直线BC于点D，交x轴于点F，以PD为斜边，在PD的右侧作等腰直角．（1）求抛物线的表达式，并直接写出直线BC的表达式；（2）设点P的横坐标为m（），在点P运动的过程中，当等腰直角的面积为9时，请求出m的值；（3）连接AC，该抛物线上是否存在一点M，使，若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由．6.（2022太原二模）综合与探究：如图，已知直线和抛物线相交于点和点，与x轴相交于点C．

（1）求抛物线的函数表达式和点C的坐标；（2）已知点D的坐标为，判断的形状，并说明理由；（3）试探究在抛物线上是否存在点P，使得为等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2021怀化中考）（14分）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OB＝4，OC＝8，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C．要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标，并求出最短路程．（4）点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰Rt△CQR？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．8.（2021广安中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与坐标轴相交于、、三点，其中点坐标为，点坐标为，连接、．动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动；同时，动点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度向点做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为秒．（1）求、的值；（2）在、运动的过程中，当为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？（3）在线段上方的抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．9.（2021张家界中考）如图，已知二次函数的图象经过点且与轴交于原点及点．

（1）求二次函数的表达式；（2）求顶点的坐标及直线的表达式；（3）判断的形状，试说明理由；（4）若点为上的动点，且的半径为，一动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段匀速运动到点，再以每秒1个单位长度的速度沿线段匀速运动到点后停止运动，求点的运动时间的最小值．10.（2021上海中考）已知抛物线经过点P(3,0)、Q(1,4).(1)求抛物线的解析式；(2)若点A在直线PQ上，过点A作AB⊥x轴于点B，以AB为斜边在其左侧作等腰直角三角形ABC，①当Q与A重合时，求C到抛物线对称轴的距离；②若C落在抛物线上，求C的坐标.11．（2021衡阳中考）（12分）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如（1，1），（2021，2021）…都是“雁点”．（1）求函数y＝图象上的“雁点”坐标；（2）若抛物线y＝ax2+5x+c上有且只有一个“雁点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）．当a＞1时．①求c的取值范围；②求∠EMN的度数；（3）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），P是抛物线y＝﹣x2+2x+3上一点，连接BP，以点P为直角顶点，构造等腰Rt△BPC，是否存在点P，使点C恰好为“雁点”？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．12．（2021随州中考）（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，顶点D的坐标为（1，﹣4）．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）如图1，若点P在抛物线上且满足∠PCB＝∠CBD，求点P的坐标；（3）如图2，M是直线BC上一个动点，过点M作MN⊥x轴交抛物线于点N，Q是直线AC上一个动点，当△QMN为等腰直角三角形时，直接写出此时点M及其对应点Q的坐标．13．（2021黄石中考）（12分）抛物线y＝ax2﹣2bx+b（a≠0）与y轴相交于点C（0，﹣3），且抛物线的对称轴为x＝3，D为对称轴与x轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上方且平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于E、F两点，若△DEF是等腰直角三角形，求△DEF的面积；（3）若P（3，t）是对称轴上一定点，Q是抛物线上的动点，求PQ的最小值（用含t的代数式表示）．2023学年二轮复习解答题专题三十五：抛物线上有关等腰直角三角形问题的探究典例分析例1（2022枣庄中考）（12分）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的关系式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；（3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；（4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法可得抛物线的解析式；（2）过P作PG∥y轴，交OE于点G，设P（m，m2﹣4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得△OPE的面积，利用二次函数的最值可得其最大值；（3）求出原抛物线的对称轴和顶点坐标以及对称轴与OE的交点坐标、与AE的交点坐标，用含h的代数式表示平移后的抛物线的顶点坐标，列出不等式组求出h的取值范围；（4）存在四种情况：作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据|OM|＝|PN|，列方程可得点P的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；（2）如图，过P作PG∥y轴，交OE于点G，设P（m，m2﹣4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，∴∠AOE＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE＝OA＝3，∴E（3，3），∴直线OE的解析式为：y＝x，∴G（m，m），∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3，∴S△OPE＝S△OPG+S△EPG＝PG•AE＝×3×（﹣m2+5m﹣3）＝﹣（m2﹣5m+3）＝﹣（m﹣）2+，∵﹣＜0，∴当m＝时，△OPE面积最大，此时，P点坐标为（，﹣）；（3）由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得抛物线l的对称轴为直线x＝2，顶点为（2，﹣1），抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为F（2，﹣1+h）．设直线x＝2交OE于点DM，交AE于点N，则E（2，3），∵直线OE的解析式为：y＝x，∴M（2，2），∵点F在△OAE内（包括△OAE的边界），∴2≤﹣1+h≤3，解得3≤h≤4；（4）设P（m，m2﹣4m+3），分四种情况：①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，∴∠OMP＝∠PNF＝90°，∵△OPF是等腰直角三角形，∴OP＝PF，∠OPF＝90°，∴∠OPM+∠NPF＝∠PFN+∠NPF＝90°，∴∠OPM＝∠PFN，∴△OMP≌△PNF（AAS），∴OM＝PN，∵P（m，m2﹣4m+3），则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，解得：m＝（舍）或，∴P的坐标为（，）；②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3，解得：m1＝（舍）或m2＝，∴P的坐标为（，）；③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，如图，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，同理得△ONP≌△PMF，∴PN＝FM，则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，解得：m＝或m2＝（舍）；P的坐标为（，）；④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，如图，同理得m2﹣4m+3＝m﹣2，解得：m＝或（舍），P的坐标为：（，）；综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的图象与性质及图形的平移，全等三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，运用分类讨论思想和方程的思想解决问题的关键．专题过关1.（2022吉林中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（，是常数）经过点，点．点在此抛物线上，其横坐标为．（1）求此抛物线的解析式；（2）当点在轴上方时，结合图象，直接写出的取值范围；（3）若此抛物线在点左侧部分（包括点）的最低点的纵坐标为．①求值；②以为边作等腰直角三角形，当点在此抛物线的对称轴上时，直接写出点的坐标．【答案】（1）（2）或（3）①或3；②或或【解析】【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可得；（2）先根据抛物线的解析式求出此抛物线与轴的另一个交点坐标为，再画出函数图象，由此即可得；（3）①先求出抛物线的对称轴和顶点坐标、以及点的坐标，再分和两种情况，分别画出函数图象，利用函数的增减性求解即可得；②设点的坐标为，分和两种情况，分别根据等腰直角三角形的定义建立方程组，解方程组即可得．【小问1详解】解：将点代入得：，解得，则此抛物线的解析式为．【小问2详解】解：对于二次函数，当时，，解得或，则此抛物线与轴的另一个交点坐标为，画出函数图象如下：则当点在轴上方时，的取值范围为或．【小问3详解】解：①二次函数对称轴为直线，顶点坐标为，当时，，即，（Ⅰ）如图，当时，当时，随的增大而减小，则此时点即为最低点，所以，解得或（不符题设，舍去）；（Ⅱ）如图，当时，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，则此时抛物线的顶点即为最低点，所以，解得，符合题设，综上，的值为或3；②设点的坐标为，由题意，分以下两种情况：（Ⅰ）如图，当时，设对称轴直线与轴的交点为点，则在等腰中，只能是，垂直平分，且，（等腰三角形的三线合一），，解得，则此时点的坐标为或；（Ⅱ）当时，由（3）①可知，此时，则点，，，，当时，是等腰直角三角形，则，即，方程组无解，所以此时不存在符合条件的点；当时，是等腰直角三角形，则，即，解得，所以此时点的坐标为；当时，是等腰直角三角形，则，即，方程组无解，所以此时不存在符合条件的点；综上，点的坐标为或或．【点睛】本题考查了二次函数的几何应用、等腰直角三角形、一元二次方程的应用等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．2.（2022陕师大附中三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线M的表达式为y＝﹣x2+2x，与x轴交于O、A两点，顶点为点B．（1）求证：△OAB为等腰直角三角形：（2）已知点P在y轴上，且OP＝1，点C在第一象限，△ABC为等腰直角三角形，将抛物线M进行平移，使其对称轴经过点C，请问平移后的抛物线能否经过点P？如果能，求出平移方式；如果不能，说明理由．【答案】（1）见详解（2）将抛物线M向右平移个单位，再向上平移个点，得过点C1和点P的抛物线；抛物线M向右平移个单位，再向上平移得出过点C2和点P的抛物线；抛物线M向右平移个单位。再向上平移个单位，得点过点C3与P的抛物线【解析】【分析】（1）将抛物线M配方为顶点式得出抛物线的对称轴为x=2，抛物线的顶点B（2，2），然后求出点A（4，0），根据对称轴求出点E（2，O），BE⊥OA，证明△OEB为等腰直角三角形，再证△AEB为等腰直角三角形即可；（2）根据△ABC为等腰直角三角形，分以下三种情况，以AB为直角边，点B为直角顶点，将AB绕点B逆时针旋转90°，得出点C1（4，4）将抛物线M向右平移2个单位，再向上平移2个点，得出以C1为顶点的抛物线为，以AB为直角边，以点A直角顶点，将AB绕点A顺时针旋转90°，得AC2，求出点C2（6，2），抛物线M向右平移4个单位得出过顶点C2的抛物线；以AB为斜边，点C3为直角顶点，点C3在AC1的中点，C3（4，2）即可．【小问1详解】解：抛物线M的表达式为，∴抛物线的对称轴为x=2，抛物线的顶点B（2，2），抛物线与x轴的交点，解得：，∴点A（4，0），∵抛物线对称轴为x=2，∴点E（2，O），BE⊥OA，∵OE=BE=2，∠OEB=90°，∴△OEB为等腰直角三角形，∴∠BOE=∠OBE=45°，∵AE=OA-OE=4-2=2，∴BE=AE，∠AEB=90°，∴△AEB为等腰直角三角形，∴∠EBA=∠EAB=45°，∴∠BOE=∠OBE=∠EBA=∠EAB=45°，∴OB=AB，∠OBA=∠OBE+∠ABE=45°+45°=90°，∴△OAB为等腰直角三角形【小问2详解】解：∵△ABC为等腰直角三角形，分以下三种情况，以AB为直角边，点B为直角顶点，将AB绕点B逆时针旋转90°，∴∠BAC1=45°，∴∠CAO=∠OAB+∠C1AB=45°+45°=90°，∴CA⊥x轴，∵∠OBA+∠ABC1=90°+90°=180°，∴点O、B、C1三点共线，∵∠C1OA=45°，∴△OAC1为等腰直角三角形，∴C1A=OA=4，∴点C1（4，4）∵OP=1，∴点P（0,1）设过点P与C1形状与M斜体的抛物线解析式为，代入坐标得解得∴，将抛物线M向右平移个单位，再向上平移个点，得过点C1和点P的抛物线以AB为直角边，以点A直角顶点，将AB绕点A顺时针旋转90°，得AC2，∵∠C2BA=45°=∠BAO，∴BC2∥OA，∠OBA=∠C2AB，∴AC2∥OB，∴四边形OBC2A，∴BC2=OA=4，∴点C2横坐标为OE+BC2=2+4=6，∴点C2（6，2），∴点P（0,1）设过点P与C2形状与M斜体的抛物线解析式为，代入坐标得解得∴∴，∴抛物线M向右平移个单位，再向上平移得出过点C2和点P的抛物线；以AB为斜边，点C3为直角顶点，点C3在AC1的中点，C3（4，2）∵点P（0，1）设过点P与C3形状与M斜体的抛物线解析式为，代入坐标得解得∴∴，∴抛物线M向右平移个单位。再向上平移个单位，得点过点C3与P的抛物线【点睛】本题考查图形与坐标，待定系数法求抛物线解析式，二次函数的性质，等腰直角三角形，图形旋转，抛物线平移，掌握图形与坐标，待定系数法求抛物线解析式，二次函数的性质，等腰直角三角形，图形旋转，抛物线平移是解题关键．3.（2022西安高新一中三模）已知抛物线L：y＝x2﹣4x＋2，其顶点为C．（1）求点C的坐标；（2）若M为抛物线L上一点，抛物线L关于点M所在直线x＝m对称的抛物线为L'，点C的对应点为C'，在抛物线L上是否存在点M，使得△CMC′为等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）存在，或【解析】【分析】(1)化成顶点式即可求得；(2)设，根据点C的坐标为，抛物线L关于点M所在直线x=m对称的抛物线为L'，可得点C的对应点C'的坐标为，可证得等腰三角形，再根据为等腰直角三角形，可得，解此方程即可求得．【小问1详解】解：，点C的坐标为；【小问2详解】解：存在；点M在抛物线L:上，设，点C的坐标为，抛物线L关于点M所在直线x=m对称的抛物线为L'，点C的对应点C'的坐标为，点C、C'关于直线x=m对称，点M在直线x=m上，等腰三角形，要使为等腰直角三角形，则，即，当时，解得m=3或m=2(舍去)，此时点M的坐标为；当时，解得m=1或m=2(舍去)，此时点M的坐标为，综上所述，存在满足条件的点M，且当点M的坐标为或时，等腰直角三角形．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，等腰直角三角形的判定与性质，坐标与图形，轴对称图形的性质，采用数形结合的思想是解决此类题的关键．4.（2022山西一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与坐标轴相交于A，B，C三点，其中A点坐标为，B点坐标为，连接，．动点P从A点出发，在线段上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从B点出发，在段上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒．（1）________，________；（2）在P，Q运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？（3）在线段上方的抛物线上是否存在点M，使是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）当t=2时，四边形BCPQ的面积最小，即为4；（3）【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）过点P作PE⊥x轴，垂足为E，利用表示出四边形BCPQ的面积，求出t的范围，利用二次函数的性质求出最值即可；（3）画出图形，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，证明△PFM≌△QEP，得到MF=PE=t，PF=QE=4-2t，得到点M的坐标，再代入二次函数表达式，求出t值，即可算出M的坐标．【详解】解：∵抛物线的图象与坐标轴相交于A，B，C三点，其中A点坐标为，B点坐标为，∴，解得：；（2）由（1）得：抛物线的解析式为，当时，，∴点C（0,3），∴OC=3，∵A点坐标为，∴OA=3，∴OA=OC，∴△AOC为等腰直角三角形，∴∠OAC=∠OCA=45°，由题意得：，BQ=t，则OQ=1-t，∴点Q（-1+t，0），如图，过点P作PE⊥x轴于点E，∴∠APE=45°，∴∠APE=∠OAC，∴PE=AE，∵PE2+AE2=AP2，∴，∴OE=OA-AE=3-t，∴点E（3-t，0），∴，∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，，∴0≤t≤3，∴当t=2时，四边形BCPQ的面积最小，即为4；（3）存在，理由如下：假设点M是线段AC上方的抛物线上的点，如图，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，连接MQ，MP，∵△PMQ是等腰直角三角形，PM=PQ，∠MPQ=90°，∴∠MPF+∠QPE=90°，又∠MPF+∠PMF=90°，∴∠PMF=∠QPE，在△PFM和△QEP中，∵∠F=∠QEP，∠PMF=∠QPE，PM=PQ，∴△PFM≌△QEP（AAS），∴MF=PE=t，PF=QE=4-2t，∴EF=4-2t+t=4-t，又OE=3-t，∴点M的坐标为（3-2t，4-t），∵点M在抛物线y=-x2+2x+3上，∴4-t=-（3-2t）2+2（3-2t）+3，解得：或（舍去），∴，即点M的坐标为，∴在线段上方的抛物线上存在点，使是以点P为直角顶点的等腰直角三角形．【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及到全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积，用方程的思想解决问题是解本题的关键．5.（2022运城二模）如图，已知抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C，点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作直线轴，交直线BC于点D，交x轴于点F，以PD为斜边，在PD的右侧作等腰直角．（1）求抛物线的表达式，并直接写出直线BC的表达式；（2）设点P的横坐标为m（），在点P运动的过程中，当等腰直角的面积为9时，请求出m的值；（3）连接AC，该抛物线上是否存在一点M，使，若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1），（2）当或6时，的面积为9（3）存在．点M的坐标为或【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，再求出点坐标，然后利用待定系数法求直线的表达式即可；（2）设出、，然后根据两点间距离公式表示出长，解法一：再根据等腰三角形的性质列出的面积表达式，结合面积为建立方程求解，即可解决问题；解法二：利用，根据相似三角形的性质列比例式建立方程求解，即可解决问题；解法三：根据等腰直角三角形的性质推出，依此建立方程求解，即可解决问题；（3）分点在的上方和点在的下方两种情况讨论，根据题意画出图形，构造三角形全等，求出直线上的一点坐标，则可利用待定系数法求出直线的解析式，最后和抛物线的解析式联立求解，即可求出点的坐标．小问1详解】解：将，分别代入中，得解得，∴该抛物线的表达式为，当，，∴，设直线的解析式为，∴，解得，∴直线的表达式为：；【小问2详解】解法一：依题得，，∴，过点F作于N，∵是等腰直角三角形，PD为斜边，∴∴，∴，∴，∴解得，，又∵∴当或6时，的面积为9；解法二：依题得，，∴，在中，当时，，∴．∴，又∵．∴，∴为等腰直角三角形，由勾股定理得，∴，．∴即．∴，∴，解得，，又∵，∴当或6时，的面积为9；解法三：解：依题得，，∴，过点F作于N，∵是等腰直角三角形，PD为斜边，∴，∴，∴，∴，∴，∴（取正），∴，解得，，又∵，∴当或6时，的面积为9；【小问3详解】解：存在，理由如下：由（2）得为等腰直角三角形，∴①如图，当点在的上方时，设与与轴交于一点，

∵，∴，∵，∵，∴，∴，∴，设直线的函数式为，则，解得，∴，则，解得或（舍去），∴此时点的坐标为；②如图，当点在的下方时，过作轴的垂线，过作轴的垂线，两条垂线交于一点，作，交抛物线与点，

由（2）得为等腰直角三角形，∴，∴，即，∵∴，又∵，∵，∴四边形正方形，∵，∴，∴，∴，∴，设直线函数式为，∴，解得，∴，则，解得或（舍去）；综上所述，点M的坐标为或．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数与一次函数的交点问题，二次函数的动态几何问题，二次函数与面积的综合，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质以及正方形的性质，解题的关键是能够综合运用所学的数学知识解决问题．6.（2022太原二模）综合与探究：如图，已知直线和抛物线相交于点和点，与x轴相交于点C．

（1）求抛物线的函数表达式和点C的坐标；（2）已知点D的坐标为，判断的形状，并说明理由；（3）试探究在抛物线上是否存在点P，使得为等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1），点C的坐标为（2）是等腰直角三角形，理由见解析（3）存在，或【解析】【分析】（1）将点和点代入中，求出的值，进而可得抛物线的函数表达式，把代入中，解得，进而可得点C的坐标；（2）如图，过点A和点C分别作x轴的垂线AE，CF，与过点D的x轴的平行线相交于点E，F，则，，，，，，，可知，，证明，则，，，进而可证是等腰直角三角形；（3）设点P的坐标为，则，，，由题意知，分三种情况求解：①当时，，求解满足要求的，进而可得点坐标；②当时，，求解满足要求的，进而可得点坐标；③当时，且，有，由（2）可知，P为（2）中的点D或点D关于AC的对称点，这两点都不在抛物线上；整理可得满足要求的点坐标．【小问1详解】解：∵点和点在抛物线上，∴解得∴抛物线的函数表达式为；把代入中得，，解得∴点C的坐标为．【小问2详解】解：是等腰直角三角形．理由如下：如图，过点A和点C分别作x轴的垂线AE，CF，与过点D的x轴的平行线相交于点E，F，

∴，，∴∵，，∴，，，∴，在和中∵∴∴，∴∴∴是等腰直角三角形．【小问3详解】解：存在．设点P的坐标为∵，∴，，由题意知，分三种情况求解：①当时，，即解得（不合题意，舍去），∴当时，，∴，即此时为等腰直角三角形∴；②当时，，即解得（不合题意，舍去），当时，，∴，即此时为等腰直角三角形∴；③当时，且，有由（2）可知，P为（2）中的点D或点D关于AC的对称点，∴这两点都不在抛物线上综上所述，存在点或，使得为等腰直角三角形．【点睛】本题考查了二次函数解析式，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数与几何综合．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．7．（2021怀化中考）（14分）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OB＝4，OC＝8，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C．要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标，并求出最短路程．（4）点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰Rt△CQR？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意得，点A、B、C的坐标分别为（﹣2，0）、（4，0）、（0，8），设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，则，解得，故抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+8；（2）存在，理由：当∠CP′M为直角时，则以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似时，则P′C∥x轴，则点P′的坐标为（1，8）；当∠PCM为直角时，在Rt△OBC中，设∠CBO＝α，则tan∠CBO＝＝2＝tanα，则sinα＝，cosα＝，在Rt△NMB中，NB＝4﹣1＝3，则BM＝＝3，同理可得，MN＝6，由点B、C的坐标得，BC＝＝4，则CM＝BC＝MB＝，在Rt△PCM中，∠CPM＝∠OBC＝α，则PM＝＝＝，则PN＝MN+PM＝6+＝，故点P的坐标为（1，），故点P的坐标为（1，8）或（1，）；（3）∵D为CO的中点，则点D（0，4），作点C关于函数对称轴的对称点C′（2，8），作点D关于x轴的对称点D′（0，﹣4），连接C′D′交x轴于点E，交函数的对称轴于点F，则点E、F为所求点，理由：G走过的路程＝DE+EF+FC＝D′E+EF+FC′＝C′D′为最短，由点C′、D′的坐标得，直线C′D′的表达式为y＝6x﹣4，对于y＝6x﹣4，当y＝6x﹣4＝0时，解得x＝，当x＝1时，y＝2，故点E、F的坐标分别为（，0）、（1，2）；G走过的最短路程为C′D′＝＝2；（4）存在，理由：设点Q的坐标为（x，﹣x2+2x+8），故点Q作y轴的平行线交x轴于点N，交过点C与x轴的平行线于点M，∵∠MQC+∠RQN＝90°，∠RQN+∠QRN＝90°，∴∠MQC＝∠QRE，∵∠ANQ＝∠QMC＝90°，QR＝QC，∴△ANQ≌△QMC（AAS），∴QN＝CM，即x＝﹣x2+2x+8，解得x＝（不合题意的值已舍去），故点Q的坐标为（，）．8.（2021广安中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与坐标轴相交于、、三点，其中点坐标为，点坐标为，连接、．动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动；同时，动点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度向点做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为秒．（1）求、的值；（2）在、运动的过程中，当为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？（3）在线段上方的抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）b=2，c=3；（2）t=2，最小值为4；（3）（，）【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）过点P作PE⊥x轴，垂足为E，利用S四边形BCPQ=S△ABC-S△APQ表示出四边形BCPQ的面积，求出t的范围，利用二次函数的性质求出最值即可；（3）画出图形，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，证明△PFM≌△QEP，得到MF=PE=t，PF=QE=4-2t，得到点M的坐标，再代入二次函数表达式，求出t值，即可算出M的坐标．【详解】解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c经过点A（3，0），B（-1，0），则，解得：；（2）由（1）得：抛物线表达式为y=-x2+2x+3，C（0，3），A（3，0），∴△OAC是等腰直角三角形，由点P运动可知：AP=，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，∴AE=PE==t，即E（3-t，0），又Q（-1+t，0），∴S四边形BCPQ=S△ABC-S△APQ==∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，AC=，AB=4，∴0≤t≤3，∴当t==2时，四边形BCPQ的面积最小，即为=4；（3）∵点M是线段AC上方的抛物线上的点，如图，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，∵△PMQ是等腰直角三角形，PM=PQ，∠MPQ=90°，∴∠MPF+∠QPE=90°，又∠MPF+∠PMF=90°，∴∠PMF=∠QPE，在△PFM和△QEP中，，∴△PFM≌△QEP（AAS），∴MF=PE=t，PF=QE=4-2t，∴EF=4-2t+t=4-t，又OE=3-t，∴点M的坐标为（3-2t，4-t），∵点M在抛物线y=-x2+2x+3上，∴4-t=-（3-2t）2+2（3-2t）+3，解得：t=或（舍），∴M点的坐标为（，）．【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及到全等三角形判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积，用方程的思想解决问题是解本题的关键．9.（2021张家界中考）如图，已知二次函数的图象经过点且与轴交于原点及点．

（1）求二次函数的表达式；（2）求顶点的坐标及直线的表达式；（3）判断的形状，试说明理由；（4）若点为上的动点，且的半径为，一动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段匀速运动到点，再以每秒1个单位长度的速度沿线段匀速运动到点后停止运动，求点的运动时间的最小值．【答案】（1）；（2），；（3）等腰直角三角形，理由见解析；（4）【解析】【分析】（1）根据已知条件，运用待定系数法直接列方程组求解即可；（2）根据（1）中二次函数解析式，直接利用顶点坐标公式计算即可，再根据点A、B坐标求出AB解析式即可；（3）根据二次函数对称性可知为等腰三角形，再根据O、A、B三点坐标，求出三条线段的长，利用勾股定理验证即可；（4）根据题意可知动点的运动时间为，在上取点，使，可证明，根据相似三角形比例关系得，即，当、、三点共线时，取得最小值，再根据等腰直角三角形的性质以及勾股定理进一步计算即可．【详解】解：（1）二次函数的图象经过，且与轴交于原点及点∴，二次函数表达式可设为：将，代入得：解这个方程组得∵二次函数的函数表达式为（2）∵点为二次函数图像的顶点，∴，∴顶点坐标为：，设直线的函数表达式为，则有：解之得：∴直线的函数表达式为（3）是等腰直角三角形，过点作于点，易知其坐标为∵的三个顶点分别是，，，∴，且满足∴是等腰直角三角形（4）如图，以为圆心，为半径作圆，则点在圆周上，依题意知：动点的运动时间为在上取点，使，连接，则和中，满足：，，∴，∴，从而得：∴显然当、、三点共线时，取得最小值，过点作于点，由于，且为等腰直角三角形，则有，，∴动点的运动时间的最小值为：．【点睛】本题主要考查待定系数法求函数解析式，抛物线顶点坐标，等腰直角三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等知识点，将运动时间的最小值转换为线段长度的最小值是解题的关键．10.（2021上海中考）已知抛物线经过点P(3,0)、Q(1,4).(1)求抛物线的解析式；(2)若点A在直线PQ上，过点A作AB⊥x轴于点B，以AB为斜边在其左侧作等腰直角三角形ABC，①当Q与A重合时，求C到抛物线对称轴的距离；②若C落在抛物线上，求C的坐标.【考点】二次函数综合题【解答】解：（1）将P(3,0)、Q(1,4)两点分别带入，得，解出：，故抛物线的解析式是（2）①如图2，抛物线的对称轴是y轴，当Q与A重合时，AB=4，作CH⊥AB于H，∵△ABC是等腰直角三角形∴CH=AH=BH=2∴C到抛物线对称轴的距离为1②如图3，由P(3,0)、Q(1,4)得到直线PQ的解析式为y=-2x+6设A（m,-2m+6）,则AB=|-2m+6|,∴CH=AH=BH=|-m+3|当m＜3时，=2m-3,=-m+3,将点C（2m-3,-m+3）代入中，解出：m=或m=3（与点B重合，舍）此时：=-2，=，故：C（-2，）当m＞3时，同理得到C（3,0），此时A（3,0）与P重合，不合题意，舍去综上可知：C点的坐标是（-2，）【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰直角三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．11．（2021衡阳中考）（12分）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如（1，1），（2021，2021）…都是“雁点”．（1）求函数y＝图象上的“雁点”坐标；（2）若抛物线y＝ax2+5x+c上有且只有一个“雁点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）．当a＞1时．①求c的取值范围；②求∠EMN的度数；（3）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），P是抛物线y＝﹣x2+2x+3上一点，连接BP，以点P为直角顶点，构造等腰Rt△BPC，是否存在点P，使点C恰好为“雁点”？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由题意得：x＝，解得x＝±2，即可求解；（2）①由△＝25﹣4ac＝0，即ac＝4，即可求解；②求出点M的坐标为（﹣，0）、点E的坐标为（﹣，﹣），即可求解；（3）证明△CMP≌△PNB（AAS），则PM＝BN，CM＝PN，即可求解．【解答】解：（1）由题意得：x＝，解得x＝±2，当x＝±2时，y＝＝±2，故“雁点”坐标为（2,2）或（﹣2，﹣2）；（2）①∵“雁点”的横坐标与纵坐标相等，故“雁点”的函数表达式为y＝x，∵物线y＝ax2+5x+c上有且只有一个“雁点”E，则ax2+5x+c＝x，则△＝25﹣4ac＝0，即ac＝4，∵a＞1，故c＜4；②∵ac＝4，则ax2+5x+c＝0为ax2+5x+＝0，解得x＝﹣或﹣，即点M的坐标为（﹣，0），由ax2+5x+c＝x，ac＝4，解得x＝﹣，即点E的坐标为（﹣，﹣），故点E作EH⊥x轴于点H，则HE＝，MH＝xE﹣xM＝﹣﹣（﹣）＝＝HE，故∠EMN的度数为45°；（3）存在，理由：由题意知，点C在直线y＝x上，故设点C的坐标为（t，t），过点P作x轴的平行线交过点C与y轴的平行线于点M，交过点B与y轴的平行线于点N，设点P的坐标为（m，﹣m2+2m+3），则BN＝﹣m2+2m+3,PN＝3﹣m,PM＝m﹣t,CM＝﹣m2+2m+3﹣t,∵∠NPB+∠MPC＝90°,∠MPC+∠CPM＝90°,∴∠NPB＝∠CPM,∵∠CMP＝∠PNB＝90°,PC＝PB,∴△CMP≌△PNB（AAS），∴PM＝BN，CM＝PN，即m﹣t＝|﹣m2+2m+3|，﹣m2+2m+3﹣t＝|3﹣m|，解得m＝1+（舍去）或1﹣或，故点P的坐标为（，）或（，）．12．（2021随州中考）（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，顶点D的坐标为（1，﹣4）．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）如图1，若点P在抛物线上且满足∠PCB＝∠CBD，求点P的坐标；（3）如图2，M是直线BC上一个动点，过点M作MN⊥x轴交抛物线于点N，Q是直线AC上一个动点，当△QMN为等腰直角三角形时，直接写出此时点M及其对应点Q的坐标．【分析】（1）根据顶点的坐标，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，将点A（﹣1，0）代入，求出a即可得出答案；（2）利用待定系数法求出直线BD解析式为y＝2x﹣6，过点C作CP1∥BD，交抛物线于点P1，再运用待定系数法求出直线CP1的解析式为y＝2x﹣3，联立方程组即可求出P1（4，5），过点B作y轴平行线，过点C作x轴平行线交于点G，证明△OCE≌△GCF（ASA），运用待定系数法求出直线CF解析式为y＝x﹣3，即可求出P2（，﹣）；（3）利用待定系数法求出直线AC解析式为y＝﹣3x﹣3，直线BC解析式为y＝x﹣3，再分以下三种情况：①当△QMN是以NQ为斜边的等腰直角三角形时，②当△QMN是以MQ为斜边的等腰直角三角形时，③当△QMN是以MN为斜边的等腰直角三角形时，分别画出图形结合图形进行计算即可．【解答】解：（1）∵顶点D的坐标为（1，﹣4），∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，将点A（﹣1，0）代入，得0＝a（﹣1﹣1）2﹣4，解得：a＝1，∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3，∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵抛物线对称轴为直线x＝1，A（﹣1，0），∴B（3，0），设直线BD解析式为y＝kx+e，∵B（3，0），D（1，﹣4），∴，解得：，∴直线B