专题03弧弦圆心角圆周角(原卷版+解析)

专题03弧、弦、圆心角、圆周角知识梳理：知识点一：圆心角定义如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．（1）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．知识点二：圆周角（1）圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．（3）圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．知识点三：圆内接四边形：（1）定义:圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．知识点四：弦、弧、圆心角、弦心距的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等).*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等.弧、弦、圆心角、圆周角例题讲解类型一：利用圆心角圆周角定理求角度【例1】如图，，点C在上，且点C不与A、B重合，则的度数为（）A．B．或C．D．或【例2】如图，AC是⊙O的直径，弦AB∥CD，假设∠BAC=32°，那么∠AOD等于()．A．64° B．48° C．32° D．76°【例3】如图，已知A、B、C、D、E均在⊙O上，且AC为直径，那么∠A+∠B+∠C=________度．【例4】如图，AB是圆O的直径，CD是圆O的弦，AB，CD的延长线交于点E，若AB=2DE，∠E=16°，则∠AOC的度数是________．【例5】如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠AED=20°，则∠BCD的度数为（）A．100° B．120°C．115°D．110°【例6】如图，是的直径，，若，则圆周角的度数是（）A．B．C．D．【例7】如图所示，在半圆O中，AB为直径，P为eq\o(AB,\s\up8(︵))的中点，分别在eq\o(AP,\s\up8(︵))和eq\o(PB,\s\up8(︵))上取其中点A1和B1，再在eq\o(PA,\s\up8(︵))1和eq\o(PB,\s\up8(︵))1上分别取其中点A2和B2.若一直这样取下去，则∠AnOBn＝________°.【例8】如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．75°【例9】如图，以原点O为圆心的圆交x轴于A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内⊙O上的一点，若∠DAB＝20°，则∠OCD＝°．题型二：利用弧弦圆心角圆周角之间的关系证明弧、线段、角度。【例1】已知：如图所示，⊙O中弦AB＝CD．求证：AD＝BC．【例2】如下图，AB，AC是⊙O的弦，AD⊥BC于D，交⊙O于F，AE为⊙O的直径，试问两弦BE与CF的大小有何关系，说明理由．【例3】如图所示，已知AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB．求证：．【例4】如图，在⊙O中，M，N分别是半径OA，OB的中点，且CM⊥OA交⊙O于点C，DN⊥OB交⊙O于点D.求证：eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵)).【例5】如图，OA、OB是⊙O的半径，C是⊙O上一点，∠AOB＝40°，∠OBC＝50°，则∠OAC＝____°．【例6】已知弦AB把圆周分成1：5的两部分，则弦AB所对的圆心角的度数为____．【例7】如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为（）A．68° B．88° C．90° D．112°【例8】如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为（）A．45° B．30° C．75° D．60°类型三：圆内接四边形【例1】如图，在⊙O中，若圆心角∠AOB=100°，C是上一点，则∠ACB等于()．A．80° B．100° C．130° D．140°【例2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，假设∠BOD=138°，那么它的一个外角∠DCE等于()．A．69° B．42° C．48° D．38°.【例3】如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是eq\o(CD,\s\up8(︵))上一点，且eq\o(DF,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为()A.45°B.50°C.55°D.60°【例4】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝60°，点D是的中点，点E在OC的延长线上，且CE＝AD，连接DE．（1）求证：四边形AOCD是菱形；（2）若AD＝6，求DE的长．【例5】如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为E.(1)若∠BAC＝40°，求∠ADC的度数；(2)求证：∠BAC＝2∠DAC.【例6】如图，四边形ABCD内接于⊙O，若eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数是类型四：综合性题目【例1】如图，AB是⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，且∠BAC＝50°，给出下列四个结论：①BD＝CD，②AE＝CE，③∠ABE＝40°，④劣弧的度数为25°.其中正确结论的序号是（）①②④B．①③C．①④D．①③④【例2】如图，AB是⊙O的直径，AB=8，点M在⊙O上，∠MAB=20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点，若MN=1，则△PMN周长的最小值为（）A、4B、5C、6D、7【例3】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，AC＝CF，CD⊥AB于D，且交⊙O于G，AF交CD于E．求证：AE＝CE．【例4】如图，⊙O的直径CD为6cm，OA，OB都是⊙O的半径，∠AOD＝2∠AOB＝60°，点P在直径CD上移动，则AP+BP的最小值为．课后练习题：1、如图，C、D是以AB为直径的半圆上两点，且D是中点，若∠ABD＝80°，则∠CAB＝_____．2、如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E．（1）若∠CAB＝65°，求∠D的度数；（2）若AE＝10，EB＝2，且∠AEC＝30°，求CD的长3、如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，，，则__________．4．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝88°，则∠BCD的度数是（）A．88° B．92° C．106° D．136°5．如图正方形ABCD四个顶点都在⊙O上，P是在弧AB上的一点，则∠CPD度数是（）A．35° B．40° C．45° D．60°6、如图，在⊙O中，∠A＝35°，∠E＝40°，则∠BOD的度数（）A．75° B．80° C．135° D．150°7、如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD＝70°，AO∥DC，则∠B的度数为（）A．40° B．45° C．50° D．55°．8、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是劣弧上一点，AG，DC的延长线交于点F．求证：∠FGC＝∠AGD．9．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F，（1）求证：CF＝BF；（2）若CD＝12，AC＝16，求⊙O的半径和CE的长．专题03弧、弦、圆心角、圆周角知识梳理：知识点一：圆心角定义如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．（1）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．知识点二：圆周角（1）圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．（3）圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．知识点三：圆内接四边形：（1）定义:圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．知识点四：弦、弧、圆心角、弦心距的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等).*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等.弧、弦、圆心角、圆周角例题讲解类型一：利用圆心角圆周角定理求角度【例1】如图，，点C在上，且点C不与A、B重合，则的度数为（）A．B．或C．D．或【答案】D【解析】当点C在优弧AB上时，∠ACB=50°；当点C在劣弧AB上时，∠ACB=130°，故选D.【例2】如图，AC是⊙O的直径，弦AB∥CD，假设∠BAC=32°，那么∠AOD等于()．A．64° B．48° C．32° D．76°【答案】A【解析】∵弦AB∥CD，∠BAC=32°，∴∠C=∠A=32°，∠AOD=2∠C=64°.【例3】如图，已知A、B、C、D、E均在⊙O上，且AC为直径，那么∠A+∠B+∠C=________度．【答案】90°；【解析】如图，连结AB、BC，那么∠CAD+∠EBD+∠ACE=∠CBD+∠EBD+∠ABE=∠ABC=90°.【例4】如图，AB是圆O的直径，CD是圆O的弦，AB，CD的延长线交于点E，若AB=2DE，∠E=16°，则∠AOC的度数是________．【答案】24°【解析】解：连接OD，∵AB是圆O的直径，∴AB=2CD，∵AB=2BE∴OD=DE，∴∠EOD=∠E=16°，∴∠C=∠BOD=8°，∴∠ABC=∠C﹢∠E=8°﹢16°=24°【例5】如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠AED=20°，则∠BCD的度数为（）A．100° B．120°C．115°D．110°【答案】D【解析】解：连接AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠AED=20°，∴∠ACD=20°，∴∠BCD=∠ACB﹢∠ACD=110°【例6】如图，是的直径，，若，则圆周角的度数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，，∴，∵，∴，∴，【例7】如图所示，在半圆O中，AB为直径，P为eq\o(AB,\s\up8(︵))的中点，分别在eq\o(AP,\s\up8(︵))和eq\o(PB,\s\up8(︵))上取其中点A1和B1，再在eq\o(PA,\s\up8(︵))1和eq\o(PB,\s\up8(︵))1上分别取其中点A2和B2.若一直这样取下去，则∠AnOBn＝________°.【答案】(eq\f(90,2n－1))【解析】当n＝1时，∠A1OB1＝90°；当n＝2时，∠A2OB2＝eq\f(90°,2)＝45……所以∠AnOBn＝(eq\f(90,2n－1))°.【例8】如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】C【解析】∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∵∠CBD＝30°，∴∠D＝60°，∴∠A＝∠D＝60°．【例9】如图，以原点O为圆心的圆交x轴于A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内⊙O上的一点，若∠DAB＝20°，则∠OCD＝°．解：连接DO，∵∠DAB＝20°，∴∠DOB＝40°，∴∠COD＝90°﹣40°＝50°，∵CO＝DO，∴∠OCD＝∠CDO，∴∠OCD＝（180°﹣50°）÷2＝65°．题型二：利用弧弦圆心角圆周角之间的关系证明弧、线段、角度。【例1】已知：如图所示，⊙O中弦AB＝CD．求证：AD＝BC．【答案】见解析【解析】证法一：如图①，∵AB＝CD，∴．∴，即∴AD＝BC．证法二：如图②，连OA、OB、OC、OD，∵AB＝CD，∴∠AOB＝∠COD．∴∠AOB－∠DOB＝∠COD－∠DOB，即∠AOD＝∠BOC，∴AD＝BC．【例2】如下图，AB，AC是⊙O的弦，AD⊥BC于D，交⊙O于F，AE为⊙O的直径，试问两弦BE与CF的大小有何关系，说明理由．【答案】BE=CF．【解析】理由：∵AE为⊙O的直径，AD⊥BC，∴∠ABE=90°=∠ADC，又∠AEB=∠ACB，∴∠BAE=∠CAF，∴．∴BE=CF．【例3】如图所示，已知AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB．求证：．【答案】见解析【解析】证法一：如上图所示，连OC、OD，则OC＝OD，∵OA＝OB，且，，∴OM＝ON，而CM⊥AB，DN⊥AB，∴Rt△COM≌Rt△DON，∴∠COM＝∠DON，∴．【例4】如图，在⊙O中，M，N分别是半径OA，OB的中点，且CM⊥OA交⊙O于点C，DN⊥OB交⊙O于点D.求证：eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵)).【答案】见解析【解析】证明：如图，连接OC，OD，则OC＝OD.∵M，N分别是半径OA，OB的中点，∴OM＝ON.∵CM⊥OA，DN⊥OB，∴∠OMC＝∠OND＝90°.在Rt△OMC和Rt△OND中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OC＝OD，,OM＝ON，))∴Rt△OMC≌Rt△OND(HL)，∴∠MOC＝∠NOD，∴eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵)).【例5】如图，OA、OB是⊙O的半径，C是⊙O上一点，∠AOB＝40°，∠OBC＝50°，则∠OAC＝____°．【答案】30【解析】解：连接OC∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC=50°，∴∠BOC=180°﹣50°×2=80°∴∠AOC=80°﹢40°=120°，∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA=30°【例6】已知弦AB把圆周分成1：5的两部分，则弦AB所对的圆心角的度数为____．【答案】60°【解析】解：∵弦AB把圆周分成1：5的两部分，∴弦AB所对的圆心角的度数=×360°=60°【例7】如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为（）A．68° B．88° C．90° D．112°【答案】B【解析】解：如图，∵AB＝AC＝AD，∴点B、C、D在以点A为圆心，以AB的长为半径的圆上；∵∠CBD＝2∠BDC，∠CAD＝2∠CBD，∠BAC＝2∠BDC，∴∠CAD＝2∠BAC，而∠BAC＝44°，∴∠CAD＝88°【例8】如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为（）A．45° B．30° C．75° D．60°【答案】D【解析】解：作半径OC⊥AB于D，连接OA、OB，如图，∵将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，∴OD＝CD，∴OD＝OC＝OA，∴∠OAD＝30°，又OA＝OB，∴∠OBA＝30°，∴∠AOB＝120°，∴∠APB＝∠AOB＝60°．类型三：圆内接四边形【例1】如图，在⊙O中，若圆心角∠AOB=100°，C是上一点，则∠ACB等于()．A．80° B．100° C．130° D．140°【答案】C．【解析】设点D是优弧AB上一点（不与A、B重合），连接AD、BD；则∠ADB=∠AOB=50°；∵四边形ADBC内接于⊙O，∴∠C=180°-∠ADB=130°；故选C．【例2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，假设∠BOD=138°，那么它的一个外角∠DCE等于()．A．69° B．42° C．48° D．38°【答案】A【解析】∠BAD=∠BOD=69°，由圆内接四边形的外角等于它的内对角得∠DCE=∠BAD=69°.【例3】如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是eq\o(CD,\s\up8(︵))上一点，且eq\o(DF,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为()A.45°B.50°C.55°D.60°【答案】B【解析】∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠ABC＝105°，∴∠ADC＝75°，∵＝，∴∠BAC＝∠DCF＝25°，∴∠E＝∠ADC－∠DCF＝50°.【例4】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝60°，点D是的中点，点E在OC的延长线上，且CE＝AD，连接DE．（1）求证：四边形AOCD是菱形；（2）若AD＝6，求DE的长．【答案】见解析【解析】（1）∵点D是AC的中点，连接OD，∴，∴AD＝DC，∠AOD＝∠DOC，∵∠AOC＝2∠ABC＝120°，∴∠AOD＝∠DOC＝60°，∵OC＝OD，∴OA＝OC＝CD＝AD，∴四边形AOCD是菱形；（2）由（1）可知，△COD是等边三角形．∴∠OCD＝∠ODC＝60°，∵CE＝AD，CD＝AD，∴CE＝CD，∴∠CDE＝∠CED＝∠OCD＝30°，∴∠ODE＝∠ODC+∠CDE＝90°，在Rt△ODE中，OD＝6，∠CED＝30°，∴OE=12，根据勾股定理∴DE＝6．【例5】如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为E.(1)若∠BAC＝40°，求∠ADC的度数；(2)求证：∠BAC＝2∠DAC.【答案】（1）110°（2）见解析【解析】(1)解：∵AB＝AC，∠BAC＝40°，∴∠ABC＝∠ACB＝eq\f(1,2)(180°－∠BAC)＝70°.∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADC＋∠ABC＝180°.∴∠ADC＝180°－∠ABC＝180°－70°＝110°.(2)证明：∵BD⊥AC，∴∠AEB＝∠BEC＝90°.∴∠ACB＝90°－∠CBD.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝90°－∠CBD.∴∠BAC＝180°－2∠ABC＝2∠CBD.∵∠DAC＝∠CBD，∴∠BAC＝2∠DAC.【例6】如图，四边形ABCD内接于⊙O，若eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数是【答案】130【解析】连接OA、OB、OC，∵∠BDC＝50°，∴∠BOC＝2∠BDC＝100°，∵eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))，∴∠BOC＝∠AOC＝100°，∴∠ABC＝eq\f(1,2)∠AOC＝50°，∴∠ADC＝180°－∠ABC＝130°.类型四：综合性题目【例1】如图，AB是⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，且∠BAC＝50°，给出下列四个结论：①BD＝CD，②AE＝CE，③∠ABE＝40°，④劣弧的度数为25°.其中正确结论的序号是（）①②④B．①③C．①④D．①③④【答案】B【解析】解：连接AD，OE，OD，∵AB为⊙O的直径∴∠ADB=∠AEB=90°，即AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=DC，故①正确∵∠BAC=50°，∴∠ABC=∠C=65°∵∠ABE=90°﹣∠BAC=40°故③正确∴∠CBE=∠ABC﹣∠BAC=25°∴AE≠CE，故②错误∵∠BOE=2∠BAC=100°，∴弧BE的度数为100°，∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD∴弧BD=弧BD，∴劣弧DE的度数为50°，故④错误【例2】如图，AB是⊙O的直径，AB=8，点M在⊙O上，∠MAB=20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点，若MN=1，则△PMN周长的最小值为（）A、4B、5C、6D、7【答案】B【解析】解：作点N关于AB的对称点N′，连接OM、ON、ON′、MN′，则MN′与AB的交点即为PM﹢PN的最小时的点，PM﹢PN的最小值=MN′，∵∠MAB=20°，∴∠MOB=2∠MAB=2×20°=40°，∵N是弧MB的中点，∴∠BON=∠MOB=×40°=20°，由对称性，∠N′OB=∠BON=20°∴∠MON′=∠MOB﹢∠N′OB=40°﹢20°=60°∴△MON′是等边三角形∴MN′=OM=OB=AB=∴△PMN周长的最小值=1﹢4=5【例3】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，AC＝CF，CD⊥AB于D，且交⊙O于G，AF交CD于E．求证：AE＝CE．【答案】见解析【解析】证明：连接AG，CF，∵AB为直径，且AB⊥CG，∴＝，又∵AC＝CF，∴＝，∴＝，∴∠ACG＝∠CAF，∴AE＝CE．【例4】如图，⊙O的直径CD为6cm，OA，OB都是⊙O的半径，∠AOD＝2∠AOB＝60°，点P在直径CD上移动，则AP+BP的最小值为．【答案】3cm．【解析】解：作点A关于CD的对称点A′，连接A′B就是最小值（P此时为A′B与CD的交点），∵|OA|＝|OB|＝|OA′|＝|CD|＝3cm且∠AOD＝2∠AOB＝60°，∴∠AOB＝∠BOD＝30°，∵A关于CD的对称点A′，∴∠DOA′＝∠AOD＝60°，∴∠BOA′＝∠BOD+∠DOA′＝90°，∴△BOA′为等腰直角三角形，∴AP+BP的最小值为：|A′B|＝＝3cm．课后练习题：1、如图，C、D是以AB为直径的半圆上两点，且D是中点，若∠ABD＝80°，则∠CAB＝_____．【答案】20°【解析】解：连接AD∵AB是直径,∴∠ADB=90°,∵∠ABD=80°,∴∠DAB=10°,∵D是中点,∴弧CD=弧BD∴∠CAD=∠DAB=10°∴∠CAB=20°2、如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E．（1）若∠CAB＝65°，求∠D的度数；（2）若AE＝10，EB＝2，且∠AEC＝30°，求CD的长【答案】(1)25°(2)【解析】解：（1）连接BC∵AB是圆O的直径∴∠ACB=90°∵∠CAB=65°∴∠B=25°∴∠D=∠B=25°（2）连接OC，过点O作OF⊥CD于点F,∵AE=10，BE=2∴OC=OA=6，OE=6﹣2=4∵∠AEC=60°∴OF=2由勾股定理得：