重难点05辅助圆三种模型(原卷版+解析)

重难点05辅助圆三种模型能力拓展能力拓展题型一：定点定长构造辅助圆一．解答题（共3小题）1．（2021秋•盱眙县期末）（1）【学习心得】小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数，若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝°．（2）【问题解决】如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的数．小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：△ABD的外接圆就是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆；△ACD的外接圆也是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆．这样A、B、C、D四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出∠BAC的度数，请运用小刚的思路解决这个问题．（3）【问题拓展】如图3，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，且BD＝6，CD＝2，求AD的长．2．（2022•白云区一模）已知抛物线y＝ax2+bx﹣（a＞0）与x轴交于点A，B两点，OA＜OB，AB＝4．其顶点C的横坐标为﹣1．（1）求该抛物线的解析式；（2）设点D在抛物线第一象限的图象上，DE⊥AC垂足为E，DF∥y轴交直线AC于点F，当△DEF面积等于4时，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，点M是抛物线上的一点，M点从点B运动到达点C，FM⊥FN交直线BD于点N，延长MF与线段DE的延长线交于点H，点P为N，F，H三点构成的三角形的外心，求点P经过的路线长．3．（2022秋•灌南县校级月考）（1）【学习心得】小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数，若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝°．（2）【问题解决】如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度数．小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：△ABD的外接圆就是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆；△ACD的外接圆也是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆．这样A、B、C、D四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出∠BAC的度数，请运用小刚的思路解决这个问题．（3）【问题拓展】如图3，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，且BD＝4，CD＝2，求AD的长．题型二：定弦定角构造辅助圆一．填空题（共1小题）1．（2022•仪征市二模）如图，在锐角三角形ABC中，BC＝8，sinA＝，BN⊥AC于点N，CM⊥AB于点M，连接MN，则△AMN面积的最大值是．二．解答题（共6小题）2．（2022•雁塔区校级三模）问题提出（1）如图①，已知△ABC为边长为2的等边三角形，则△ABC的面积为；问题探究（2）如图②，在△ABC中，已知∠BAC＝120°，BC＝6，求△ABC的最大面积；问题解决（3）如图③，某校学生礼堂的平面示意为矩形ABCD，其宽AB＝20米，长BC＝24米，为了能够监控到礼堂内部情况，现需要在礼堂最尾端墙面CD上安装一台摄像头M进行观测，并且要求能观测到礼堂前端墙面AB区域，同时为了观测效果达到最佳，还需要从点M出发的观测角∠AMB＝45°，请你通过所学知识进行分析，在墙面CD区域上是否存在点M满足要求？若存在，求出MC的长度；若不存在，请说明理由．3．（2022•沈阳模拟）菱形ABCD中，AB＝4，点P是AB上一动点（不与A，B重合），连接PD，点M是射线DP上一点，且∠BMD＝∠BAD，连接AM，作∠MAN＝∠BAD，交PD于点N．（1）如图1，若∠BAD＝90°，直接写出△AMN的形状；（2）如图2，若∠BAD＝60°，点P是AB的中点，求AN的长；（3）若∠BAD＝60°，直接写出△CBN面积的最小值．4．（2021秋•泗阳县期末）如图，已知AB⊥MN于点B，且AB＝10cm，将线段AB绕点B按逆时针方向旋转角α（0≤α≤360°）得到线段BC，过点C作CD⊥MN于点D，⊙O是△BCD的内切圆，直线AO、BC相交于点H．（1）若α＝60°，则CD＝cm．（2）若AO⊥BC①点H与⊙O的位置关系是；A．点H在⊙O外B．点H在⊙O上C．点H在⊙O内②求线段AO的长度．（3）线段AB绕点B按逆时针方向旋转90°，求点O运动的路径长．5．（2021秋•开福区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点M在x轴负半轴上，⊙M与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于C、D两点（点C在y轴正半轴上），且，点B的坐标为（3，0），点P为优弧CAD上的一个动点，连结CP，过点M作ME⊥CP于点E，交BP于点N，连结AN．（1）求⊙M的半径长；（2）当BP平分∠ABC时，求点P的坐标；（3）当点P运动时，求线段AN的最小值．6．（2021秋•宽城区期末）【问题原型】如图①，在⊙O中，弦BC所对的圆心角∠BOC＝90°，点A在优弧BC上运动（点A不与点B、C重合），连结AB、AC．（1）在点A运动过程中，∠A的度数是否发生变化？请通过计算说明理由．（2）若BC＝2，求弦AC的最大值．【问题拓展】如图②，在△ABC中，BC＝4，∠A＝60°．若M、N分别是AB、BC的中点，则线段MN的最大值为．7．（2022•邗江区校级开学）思考发现：（1）如图1，点A和点B均在⊙O上，且∠AOB＝60°，点P和点Q均在射线AM上，若∠APB＝30°，则点P与⊙O的位置关系是；若∠AQB＞30°，则点Q与⊙O的位置关系是．问题解决：如图2，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠DAB＝135°，且AB＝2，AD＝4．（2）若点P是BC边上任意一点，且∠APD＝45°，求BP的长；（3）如图3，以B为圆心，BC为半径作弧，交BA的延长线于点E，若点Q为弧EC上的动点，过点Q作QH⊥BC于点H，设点I为△BQH的内心，连接BI，QI，当点Q从点C运动到点E时，则内心I所经过的路径长为．（直接填空）

题型三：对角互补构造辅助圆一．填空题（共1小题）1．（2018秋•宜兴市期中）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，△DBC的面积为8，则BC长为．二．解答题（共6小题）2．（2022•潢川县校级一模）如图1，点B在直线l上，过点B构建等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，且AB＝AC，过点C作CD⊥直线l于点D，连接AD．（1）小亮在研究这个图形时发现，∠BAC＝∠BDC＝90°，点A，D应该在以BC为直径的圆上，则∠ADB的度数为°，将射线AD顺时针旋转90°交直线l于点E，可求出线段AD，BD，CD的数量关系为；（2）小亮将等腰直角三角形ABC绕点B在平面内旋转，当旋转到图2位置时，线段AD，BD，CD的数量关系是否变化，请说明理由；（3）在旋转过程中，若CD长为1，当△ABD面积取得最大值时，请直接写AD的长．3．（2021秋•越秀区校级期中）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，且AD⊥BD于点D．（1）判断△ABD的形状；（2）如图2，在（1）的结论下，若BQ＝2，DQ＝3，∠BQD＝75°，求AQ的长；（3）如图3，在（1）的结论下，若将DB绕着点D顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到DP，连接BP，作DE⊥BP交AP于点F．试探究AF与DE的数量关系，并说明理由．4．（2021秋•西城区校级期中）如图，△ABC为等边三角形，点P是线段AC上一动点（点P不与A，C重合），连接BP，过点A作直线BP的垂线段，垂足为点D，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接DE，CE．（1）求证：BD＝CE；（2）延长ED交BC于点F，求证：F为BC的中点；（3）若△ABC的边长为1，直接写出EF的最大值．5．（2021•哈尔滨模拟）（1）【学习心得】于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝°．（2）【问题解决】如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的数．（3）【问题拓展】如图3，如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是．6．（2019秋•九龙坡区期末）（1）如图1，四边形EFGH中，FE＝EH，∠EFG+∠EHG＝180°，点A，B分别在边FG，GH上，且∠AEB＝∠FEH，求证：AB＝AF+BH．（2）如图2，四边形EFGH中，FE＝EH，点M在边EH上，连接FM，EN平分∠FEH交FM于点N，∠ENM＝α，∠FGH＝180°﹣2α，连接GN，HN．①找出图中与NH相等的线段，并加以证明；②求∠NGH的度数（用含α的式子表示）．7．（2018•许昌二模）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，直线MN是过点A的直线CD⊥MN于点D，连接BD．（1）观察猜想张老师在课堂上提出问题：线段DC，AD，BD之间有什么数量关系．经过观察思考，小明出一种思路：如图1，过点B作BE⊥BD，交MN于点E，进而得出：DC+AD＝BD．（2）探究证明将直线MN绕点A顺时针旋转到图2的位置写出此时线段DC，AD，BD之间的数量关系，并证明（3）拓展延伸在直线MN绕点A旋转的过程中，当△ABD面积取得最大值时，若CD长为1，请直接写BD的长．重难点05辅助圆三种模型能力拓展能力拓展题型一：定点定长构造辅助圆一．解答题（共3小题）1．（2021秋•盱眙县期末）（1）【学习心得】小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数，若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝45°或135°．（2）【问题解决】如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的数．小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：△ABD的外接圆就是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆；△ACD的外接圆也是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆．这样A、B、C、D四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出∠BAC的度数，请运用小刚的思路解决这个问题．（3）【问题拓展】如图3，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，且BD＝6，CD＝2，求AD的长．【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解．（2）由A、B、C、D共圆，得出∠BDC＝∠BAC，（3）如图3，作△ABC的外接圆，过圆心O作OE⊥BC于点E，作OF⊥AD于点F，连接OA、OB、OC．利用圆周角定理推知△BOC是等腰直角三角形，结合该三角形的性质求得DE＝OF＝2；在等腰Rt△BOE中，利用勾股定理得到OE＝DF＝4；则在Rt△AOF中，易得AF＝2，故AD＝2+4．【解答】解：（1）如图1，∵AB＝AC，AD＝AC，∴以点A为圆心，点B、C、D必在⊙A上，∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，∴∠BDC＝∠BAC＝45°，同理，当点D在弧BC上时，∠BDC＝135°．故答案是：45°或135；（2）如图2，取BD的中点O，连接AO、CO．∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴点A、B、C、D共圆，∴∠BDC＝∠BAC，∵∠BDC＝25°，∴∠BAC＝25°，（3）如图3，作△ABC的外接圆，过圆心O作OE⊥BC于点E，作OF⊥AD于点F，连接OA、OB、OC．∵∠BAC＝45°，∴∠BOC＝90°．在Rt△BOC中，BC＝6+2＝8，∴BO＝CO＝4．∵OE⊥BC，O为圆心，∴BE＝BC＝4，∴DE＝OF＝2．在Rt△BOE中，BO＝4，BE＝4，∴OE＝DF＝4．在Rt△AOF中，AO＝4，OF＝2，∴AF＝2，∴AD＝2+4．【点评】本题主要考查了圆的综合题，需要掌握垂径定理、圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，难度偏大，解题时，注意辅助线的作法．2．（2022•白云区一模）已知抛物线y＝ax2+bx﹣（a＞0）与x轴交于点A，B两点，OA＜OB，AB＝4．其顶点C的横坐标为﹣1．（1）求该抛物线的解析式；（2）设点D在抛物线第一象限的图象上，DE⊥AC垂足为E，DF∥y轴交直线AC于点F，当△DEF面积等于4时，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，点M是抛物线上的一点，M点从点B运动到达点C，FM⊥FN交直线BD于点N，延长MF与线段DE的延长线交于点H，点P为N，F，H三点构成的三角形的外心，求点P经过的路线长．【分析】（1）利用对称性，求得A和B的坐标，然后用待定系数法求得抛物线的解析式；（2）证明△CGA和△DEF都为等腰直角三角形，利用等面积法求得DF＝4，再求得直线AC的解析式为y＝x﹣1，设点D的坐标，得到点F的坐标，然后求解即可；（3）先求得∠BDF＝45°，推出点P的运动路径时H1N1的中点绕点F逆时针旋转90°得到N2H的中点之间的弧长，证明四边形DN2FE为正方形，即可求解．【解答】解：（1）∵点A，点B两点关于直线x＝﹣1对称，AB＝4，∴A（1，0），B（﹣3，0），代入y＝ax2+bx﹣得，，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣．（2）如图1所示：∵DF∥y轴∥GC，∴∠GCA＝∠DFE，∵抛物线的解析式为y＝x2+x﹣＝（x+1）2﹣2，∴顶点C（﹣1，﹣2），∵A（1，0），∴AG＝2，CG＝2，∴△CGA为等腰直角三角形，∴∠GCA＝∠DFE＝45°，∵DE⊥AC，∴△DEF为等腰直角三角形，∴DE＝EF，DF＝DE，∵S△DEF＝＝4，∴DE＝2，∴DF＝＝4，设直线AC的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线AC的解析式为y＝x﹣1，设点D（x，x2+x﹣），则F（x，x﹣1），∴DF＝x2+x﹣﹣（x﹣1）＝x2﹣＝4，解得：x＝3或x＝﹣3（舍），∴D（3，6），F（3，2）．（3）如图2所示，∵△NFH是直角三角形，∴△NFH的外心是斜边NH的中点，当点M位于点B时，△N1FH1，其外心是斜边H1N1的中点，当点M位于点C时，得△N2FE，其外心是斜边N2H2的中点，即N2E的中点，∵D（3，6），B（﹣3，0），∴tan∠BDF＝＝1，∴∠BDF＝45°，由（2）得，∠FDE＝45°，∴∠DBA＝∠BAC＝45°，∴BD∥AC，∴FN⊥BD，∴DF平分∠BDE，∠BDE＝90°，∴点D，N，F，H四点共圆，∴点P在线段DF的垂直平分线上，即点P在N2E上运动，即点P的运动轨迹是一条线段．∵∠DN2F＝∠N2DH＝∠DHF＝90°，FN2＝FE，∴四边形DN2FE为正方形，此时点P在DF上，且EP＝2；当点M与点C重合时，此时点P在DF上，即为P2，且FP2＝EP2＝2，由题意，BN2＝BD﹣DN2＝4，BF＝2，N2F＝2，FN2∥DH1，∴△BFN2∽△BH1D，∴＝，解得FH1＝，∴FP1＝，由勾股定理可得：P1P2＝1，即点P的运动轨迹长为1．【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，三角形外接圆的性质，弧长公式，勾股定理，三角函数解直角三角形等，理解题意，作出相应辅助线是解题的关键．3．（2022秋•灌南县校级月考）（1）【学习心得】小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数，若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝45°．（2）【问题解决】如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度数．小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：△ABD的外接圆就是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆；△ACD的外接圆也是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆．这样A、B、C、D四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出∠BAC的度数，请运用小刚的思路解决这个问题．（3）【问题拓展】如图3，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，且BD＝4，CD＝2，求AD的长．【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解．（2）由A、B、C、D共圆，得出∠BDC＝∠BAC，（3）如图3，作△ABC的外接圆，过圆心O作OE⊥BC于点E，作OF⊥AD于点F，连接OA、OB、OC．利用圆周角定理推知△BOC是等腰直角三角形，结合该三角形的性质求得DE＝OF＝1；在等腰Rt△BOE中，利用勾股定理得到OE＝DF＝3；则在Rt△AOF中，易得AF＝【解答】解：（1）如图1，∵AB＝AC，AD＝AC，∴以点A为圆心，点B、C、D必在⊙A上，∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，∴∠BDC＝∠BAC＝45°，故答案是：45；（2）如图2，取BD的中点O，连接AO、CO．∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴点A、B、C、D共圆，∴∠BDC＝∠BAC，∵∠BDC＝25°，∴∠BAC＝25°，（3）如图3，作△ABC的外接圆，过圆心O作OE⊥BC于点E，作OF⊥AD于点F，连接OA、OB、OC．∵∠BAC＝45°，∴∠BOC＝90°．在Rt△BOC中，BC＝4+2＝6，∴BO＝CO＝3．∵OE⊥BC，O为圆心，∴BE＝BC＝3，∴DE＝OF＝BD﹣BE＝1．在Rt△BOE中，BO＝3，BE＝3，∴OE＝DF＝3．在Rt△AOF中，AO＝3，OF＝1，∴AF＝，∴AD＝AF+DF＝+3．【点评】本题主要考查了圆的综合题，需要掌握垂径定理、圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，难度偏大，解题时，注意辅助线的作法．题型二：定弦定角构造辅助圆一．填空题（共1小题）1．（2022•仪征市二模）如图，在锐角三角形ABC中，BC＝8，sinA＝，BN⊥AC于点N，CM⊥AB于点M，连接MN，则△AMN面积的最大值是．【分析】画出△ABC的外接圆⊙O，连接OB，利用定角对定边可知点A在优弧BC上运动，当A'O⊥BC时，△A'BC的面积最大，求出△ABC的最大面积，再利用三角函数求出AM的长度，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方可得答案．【解答】解：画出△ABC的外接圆⊙O，连接OB，∵BC＝8，sinA＝，∴点A在优弧BC上运动，当A'O⊥BC时，△A'BC的面积最大，∴BH＝4，∵∠BOH＝∠BAC，∴BO＝5，OH＝3，∴AH＝8，cos∠BOH＝，∴S△ABC最大为＝32，由勾股定理得，A'B＝A'C＝4，∵CM⊥AB，∴cos∠MAC＝，∴AM＝，同理AN＝，∴AM＝AN，∴△AMN∽△ABC，∴，∴，∴S△AMN＝，故答案为：．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义，等于三角形的性质，利用定边对定角确定隐圆是解题的关键．二．解答题（共6小题）2．（2022•雁塔区校级三模）问题提出（1）如图①，已知△ABC为边长为2的等边三角形，则△ABC的面积为；问题探究（2）如图②，在△ABC中，已知∠BAC＝120°，BC＝6，求△ABC的最大面积；问题解决（3）如图③，某校学生礼堂的平面示意为矩形ABCD，其宽AB＝20米，长BC＝24米，为了能够监控到礼堂内部情况，现需要在礼堂最尾端墙面CD上安装一台摄像头M进行观测，并且要求能观测到礼堂前端墙面AB区域，同时为了观测效果达到最佳，还需要从点M出发的观测角∠AMB＝45°，请你通过所学知识进行分析，在墙面CD区域上是否存在点M满足要求？若存在，求出MC的长度；若不存在，请说明理由．【分析】（1）作AD⊥BC于D，由勾股定理求出AD的长，即可求出面积；（2）作△ABC的外接圆⊙O，可知点A在上运动，当A'O⊥BC时，△ABC的面积最大，求出A'H的长，从而得出答案；（3）以AB为边，在矩形ABCD的内部作一个等腰直角三角形AOB，且∠AOB＝90°，过O作HG⊥AB于H，交CD于G，利用等腰直角三角形的性质求出OA，OG的长，则以O为圆心，OA为半径的圆与CD相交，从而⊙O上存在点M，满足∠AMB＝45°，此时满足条件的有两个点M，过M1作M1F⊥AB于F，作EO⊥M1F于E，连接OF，利用勾股定理求出OE的长，从而解决问题．【解答】解：（1）作AD⊥BC于D，∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴BD＝1，∴AD＝＝，∴△ABC的面积为×2×＝，故答案为：；（2）作△ABC的外接圆⊙O，∵∠BAC＝120°，BC＝6，∴点A在上运动，当A'O⊥BC时，△ABC的面积最大，∴∠BOA'＝60°，BH＝CH＝3，∴OH＝3，OB＝6，∴A'H＝OA'﹣OH＝6﹣3＝3，∴△ABC的最大面积为×6×3＝9；（3）存在，以AB为边，在矩形ABCD的内部作一个等腰直角三角形AOB，且∠AOB＝90°，过O作HG⊥AB于H，交CD于G，∵AB＝20米，∴AH＝OH＝10米，OA＝10米，∵BC＝24米，∴OG＝14米，∵10＞14，∴以O为圆心，OA为半径的圆与CD相交，∴⊙O上存在点M，满足∠AMB＝45°，此时满足条件的有两个点M，过M1作M1F⊥AB于F，作EO⊥M1F于E，连接OF，∴EF＝OH＝10米，OM1＝10米，∴EM1＝14米，∴OE＝＝2米，∴CM1＝BF＝8米，同理CM2＝BH+OE＝10+2＝12（米），∴MC的长度为8米或12米．【点评】本题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理等知识，熟练掌握定角定边的基本模型是解题的关键．3．（2022•沈阳模拟）菱形ABCD中，AB＝4，点P是AB上一动点（不与A，B重合），连接PD，点M是射线DP上一点，且∠BMD＝∠BAD，连接AM，作∠MAN＝∠BAD，交PD于点N．（1）如图1，若∠BAD＝90°，直接写出△AMN的形状；（2）如图2，若∠BAD＝60°，点P是AB的中点，求AN的长；（3）若∠BAD＝60°，直接写出△CBN面积的最小值．【分析】（1）利用ASA证明△ADN≌△ABM，得AM＝AN，可得出结论；（2）连接BN，由（1）知，△AMN是等边三角形，可证AN∥BM，再利用平行加中点可证明△ANP≌△BMP（AAS），得AN＝BM，则四边形AMBN是菱形，则AP⊥MN，从而得出答案；（3）由（2）同理知∠AND＝∠AMB＝120°，则点N在以O为圆心，OA为半径的圆上，连接OB，交AD于G．交⊙O于N，此时△BCN的面积最小，利用含30°角的直角三角形的性质即可求出BN的长．【解答】解：（1）∵∠BAD＝∠MAN，∴∠MAB＝∠NAD，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∵∠BMD＝∠BAD，∠MPB＝∠APD，∴∠ABM＝∠ADN，∴△ADN≌△ABM（ASA），∴AM＝AN，∴△AMN是等腰直角三角形；（2）连接BN，由（1）△ADN≌△ABM，∴AM＝AN，∴△AMN是等边三角形，∴∠AMB＝120°，∴∠AMB+∠MAN＝180°，∴AN∥BM，∴∠NAB＝∠ABM，∠ANM＝∠BMN，∵点P为AB的中点，∴AP＝BP，∴△ANP≌△BMP（AAS），∴AN＝BM，∴四边形AMBN是平行四边形，∵AM＝AN，∴四边形AMBN是菱形，∴AP⊥MN，∵AP＝AB＝2，∴AN＝；（3）以AD为底边作等腰三角形AOD，使∠AOD＝120°，由（2）同理知∠AND＝∠AMB＝120°，∴点N在以O为圆心，OA为半径的圆上，连接OB，交AD于G．交⊙O于N，此时△BCN的面积最小，则OG⊥AD，∴BN⊥BC，∵AG＝DG＝2，∴OG＝，BG＝2，∴NB＝2+﹣＝，∴△BCN面积的最小值为×4×＝．【点评】本题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，利用定弦定角构造辅助圆是解题的关键．4．（2021秋•泗阳县期末）如图，已知AB⊥MN于点B，且AB＝10cm，将线段AB绕点B按逆时针方向旋转角α（0≤α≤360°）得到线段BC，过点C作CD⊥MN于点D，⊙O是△BCD的内切圆，直线AO、BC相交于点H．（1）若α＝60°，则CD＝5cm．（2）若AO⊥BC①点H与⊙O的位置关系是B；A．点H在⊙O外B．点H在⊙O上C．点H在⊙O内②求线段AO的长度．（3）线段AB绕点B按逆时针方向旋转90°，求点O运动的路径长．【分析】（1）由旋转的性质知BC＝BA＝10cm，则CD＝BC＝5cm；（2）①若⊙O与BC相切于P，则OP⊥BC，则点P与H重合，可得答案；②延长AO交BD于E，利用∠A＝∠CBD＝90°﹣α，用α的代数式表示∠AOB和∠ABO，从而解决问题；（3）在直线BD上取BG＝BC，连接OG，以BG为斜边在等腰直角△BFG，利用SAS证明△BOG≌△BOC，得∠BOC＝∠BOG，而∠BOC＝135°，从而确定点O的运动路径．【解答】解：（1）∵线段AB绕点B按逆时针方向旋转角α（0≤α≤360°）得到线段BC，∴BC＝BA＝10cm，当α＝60°时，∠CBD＝30°，∴CD＝BC＝5cm，故答案为：5；（2）①当AO⊥BC时，则OH⊥BC，若⊙O与BC相切于P，则OP⊥BC，∴点P与H重合，∴点H在⊙O上，故选：B；②延长AO交BD于E，∵AO⊥BC，∴∠A＝∠CBD＝90°﹣α，∵⊙O是△BCD的内切圆，∴BO平分∠CBD，∴∠OBC＝∠CBD＝45°﹣α，∴∠AOB＝90°﹣∠OBC＝90°﹣（45°﹣α）＝45°+α，∵∠ABO＝∠ABC+∠CBO＝α+45°﹣α＝45°+α，∴∠AOB＝∠ABO，∴AO＝AB＝10cm；（3）如图，在直线BD上取BG＝BC，连接OG，以BG为斜边在等腰直角△BFG，∵∠OBG＝∠OBC，OB＝OB，∴△BOG≌△BOC（SAS），∴∠BOC＝∠BOG，∵∠BCD+∠CBD＝90°，∴∠BCO+∠OBC＝45°，∴∠BOC＝135°，∴∠BOG＝135°，∴点O在以F为圆心、BF为半径的圆上运动，∵BG＝BC＝10cm，∴BF＝5cm，∴当线段AB绕点B按逆时针方向旋转90°时，O运动的路径长为＝（cm）．【点评】本题是圆的综合题，主要考查了三角形内切圆的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，切线的性质等知识，构造全等三角形得出点O的运动路径是解题的关键，属于中考压轴题．5．（2021秋•开福区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点M在x轴负半轴上，⊙M与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于C、D两点（点C在y轴正半轴上），且，点B的坐标为（3，0），点P为优弧CAD上的一个动点，连结CP，过点M作ME⊥CP于点E，交BP于点N，连结AN．（1）求⊙M的半径长；（2）当BP平分∠ABC时，求点P的坐标；（3）当点P运动时，求线段AN的最小值．【分析】（1）连接CM，由CD＝2OM，CD⊥MB，得CM＝＝2OM，得∠MCO＝30°，∠CMO＝60°，从而证明结论；（2）连接AP，过点P作PF⊥AB于F，由BP平分∠ABC，得∠ABP＝30°，则AP＝，在Rt△PFB中，由∠ABP＝30°，得PF＝，BF＝＝9，从而得出点P的坐标；（3）由∠PNE＝∠BNM＝60°，BM＝6，可知点N在以G为圆心，GM为半径的圆上，连接AG，此时AN的最小值为AG﹣GM，再利用勾股定理分别求出AG和GM的长即可．【解答】解：（1）如图，连接CM，∵CD＝2OM，∴OM，∵CD⊥MB，∴CM＝＝2OM，∴∠MCO＝30°，∠CMO＝60°，∵MC＝MB，∴△CMB为等边三角形，∵B（3，0），∴OB＝3，∴MB＝2OB＝6，∴⊙M的半径长为6；（2）连接AP，过点P作PF⊥AB于F，∵AB为⊙M的直径，AB＝2MB＝12，∴∠APB＝90°，∴△APB为直角三角形，由（1）得△CMB是等边三角形，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝30°，∴AP＝，∴BP＝＝6，在Rt△PFB中，由∠ABP＝30°，∴PF＝，∴BF＝＝9，∴OF＝BF﹣OB＝6，∴OF＝6，PF＝3，∴P（﹣6，3）；（3）∵CD垂直平分MB，∴在OC上取点G，使∠GMB＝30°，连接GM，GB，∵ME⊥PC，∴∠PEM＝90°，∵∠CPB＝∠CMB＝30°，∴∠PNE＝∠BNM＝60°，∴BM＝6，∴点N在以G为圆心，GM为半径的圆上，连接AG，此时AN的最小值为AG﹣GM，∵BM＝6，∠GMB＝30°，∴OG＝，GM＝2，在Rt△AOG中，由勾股定理得，AG＝，∴AN的最小值为2﹣2．【点评】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，运用定弦对定角确定点N的运动路径是解题的关键．6．（2021秋•宽城区期末）【问题原型】如图①，在⊙O中，弦BC所对的圆心角∠BOC＝90°，点A在优弧BC上运动（点A不与点B、C重合），连结AB、AC．（1）在点A运动过程中，∠A的度数是否发生变化？请通过计算说明理由．（2）若BC＝2，求弦AC的最大值．【问题拓展】如图②，在△ABC中，BC＝4，∠A＝60°．若M、N分别是AB、BC的中点，则线段MN的最大值为．【分析】（1）根据圆周角定理可知∠A＝45°；（2）当AC为⊙O的直径时，AC最大，由△BOC是等腰直角三角形，求出OC的长，可知直径AC的长；【问题拓展】画△ABC的外接圆⊙O，连接OB，OC，ON，首先利用三角函数求出OB＝，可知AC为直径时，AC最大，此时AC＝2OB＝，再根据三角形中位线定理即可解决问题．【解答】解：【问题原型】（1）∠A的度数不发生变化，理由如下：∵，∠BOC＝90°，∴；（2）当AC为⊙O的直径时，AC最大，在Rt△BOC中，∠BOC＝90°，根据勾股定理，得OB2+OC2＝BC2，∵OB＝OC，∴，∴，即AC的最大值为；【问题拓展】如图，画△ABC的外接圆⊙O，连接OB，OC，ON，则ON⊥BC，∠BON＝60°，BN＝BC＝2，∴OB＝，∵M、N分别是AB、BC的中点，∴MN是△ABC的中位线，∴MN＝AC，∴AC为直径时，AC最大，此时AC＝2OB＝，∴MN最大值为，故答案为：．【点评】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形中位线定理等知识，明确直径是圆中最大的弦是解题的关键．7．（2022•邗江区校级开学）思考发现：（1）如图1，点A和点B均在⊙O上，且∠AOB＝60°，点P和点Q均在射线AM上，若∠APB＝30°，则点P与⊙O的位置关系是在圆上；若∠AQB＞30°，则点Q与⊙O的位置关系是在圆内．问题解决：如图2，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠DAB＝135°，且AB＝2，AD＝4．（2）若点P是BC边上任意一点，且∠APD＝45°，求BP的长；（3）如图3，以B为圆心，BC为半径作弧，交BA的延长线于点E，若点Q为弧EC上的动点，过点Q作QH⊥BC于点H，设点I为△BQH的内心，连接BI，QI，当点Q从点C运动到点E时，则内心I所经过的路径长为π．（直接填空）【分析】（1）根据点Y2圆的位置关系判断即可．（2）过点D作DE垂直于BC交于点E，过点A作AF垂直于DE．以点F为圆心，DF为半径作圆，交BC于点P，连接AP，PD，则∠APD＝∠AFD＝45°，分两种情形分别求解即可．（3）如图3中，连接IC，以BC为斜边，向下作等腰直角三角形△BCT，证明∠BIC＝∠BIQ＝135°，由定弦定角推出点I在△BCT的外接圆上运动从而构造辅助圆，利用弧长公式求解即可．【解答】解：（1）如图1中，∵∠APB＝30°，∠AOB＝60°，∴∠APB＝∠AOB，∴点P在⊙O上，当∠AQB＞30°，时点Q在⊙O内部，故答案为：在圆上，在圆内．（2）过点D作DE垂直于BC交于点E，过点A作AF垂直于DE．∵∠AFE＝∠FEB＝∠B＝90°，∴四边形ABEF是矩形，∴∠BAF＝90°，∵∠BAD＝135°，∴∠DAF＝135°﹣90°＝45°，∵∠AFD＝90°，∴∠FAD＝∠FDA＝45°，∴FA＝FD，以点F为圆心，DF为半径作圆，交BC于点P，连接AP，PD，则∠APD＝∠AFD＝45°，当点P在E点右侧时，∵∠DAF＝45°，AB＝FE＝2，，∴FP＝FA＝4，∴EP＝＝＝2，即．当点P在E点左侧时，．（3）如图3中，连接IC，以BC为斜边，向下作等腰直角三角形△BCT，∵BQ＝BC，∠QBI＝∠CBI，BI＝BI，∴∠∠BIQ＝∠BIC，∵I是△BHQ的内心，∠BHQ＝90°，∴∠BIQ＝180°﹣×90°＝135°，∴∠BIC＝∠BIQ＝135°，∴点I在△BCT的外接圆上运动，由（2）可知BC＝BE＝BA+EC＝2+8＝10，∴BT＝TC＝×10＝5，∴点I的运动路径的长＝＝．故答案为：π．【点评】本题属于圆综合题，考查了点与圆的位置关系，圆周角定理，解直角三角形，弧长公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．题型三：对角互补构造辅助圆一．填空题（共1小题）1．（2018秋•宜兴市期中）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，△DBC的面积为8，则BC长为4．【分析】如图，作DH⊥BC交BC的延长线于H，取CD的中点O，连接OA，OB．由对角互补可证明A，C，H，D四点共圆，利用全等三角形的性质证明BC＝DH，即可解决问题．【解答】解：如图，作DH⊥BC交BC的延长线于H，取CD的中点O，连接OA，OB．∵DH⊥BH，∴∠DHC＝90°，∴四边形DACH对角互补，∴A，C，H，D四点共圆，∵∠DAC＝90°，CO＝OD，∴OA＝OD＝OC＝OH，∴A，C，H，D四点在以O为圆心的圆上，∵AC＝AD，∴∠CHA＝∠AHD＝45°，（没有学习四点共圆，可以这样证明：过点A作AM⊥DH于M，过点A作AN⊥BH于N，证明△AMD≌△ANC，推出AM＝AN，推出AH平分∠MHN即可）∵∠ABC＝45°，∴∠BAH＝90°，∴BA＝AH，∵∠BAH＝∠CAD＝90°，∴∠BAC＝∠HAD，∵AC＝AD，AB＝AH，∴△BAC≌△HAD（SAS），∴BC＝DH，∴S△BCD＝×BC×DH＝×BC2＝16，∴BC＝4或﹣4（舍弃），故答案为4．【点评】本题考查旋转变换，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质鞥知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用辅助圆解决问题，属于中考填空题中的压轴题．二．解答题（共6小题）2．（2022•潢川县校级一模）如图1，点B在直线l上，过点B构建等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，且AB＝AC，过点C作CD⊥直线l于点D，连接AD．（1）小亮在研究这个图形时发现，∠BAC＝∠BDC＝90°，点A，D应该在以BC为直径的圆上，则∠ADB的度数为45°，将射线AD顺时针旋转90°交直线l于点E，可求出线段AD，BD，CD的数量关系为CD+BD＝AD；（2）小亮将等腰直角三角形ABC绕点B在平面内旋转，当旋转到图2位置时，线段AD，BD，CD的数量关系是否变化，请说明理由；（3）在旋转过程中，若CD长为1，当△ABD面积取得最大值时，请直接写AD的长．【分析】（1）由∠BAC＝90°，且AB＝AC，可得∠ACB＝∠ABC＝45°，由∠BAC＝∠BDC＝90°，推出A、B、C、D四点共圆，所以∠ADB＝∠ACB＝45°；由题意知△EAB≌△DAC，所以BE＝CD，由AE＝AD，∠EAD＝90°，可知△ADE是等腰直角三角形，推出CD+DB＝EB+BD＝DE＝AD；（2）如图2，将AD绕点A顺时针旋转90°交直线l于点E．易证△EAB≌△DAC（SAS），则BE＝CD，由AE＝AD，∠EAD＝90°，所以△ADE是等腰直角三角形，则DE＝AD，由BD﹣CD＝BD﹣BE＝DE，推出BD﹣CD＝AD；（3）当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB的左侧时，△ABD的面积最大．【解答】解：（1）①如图，在图1中．∵∠BAC＝90°，且AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∵∠BAC＝∠BDC＝90°，∴A、B、C、D四点共圆，∴∠ADB＝∠ACB＝45°；②由题意可知，∠EAD＝∠BAC＝90°，∴∠EAB＝∠DAC，又AE＝AD，AB＝AC，∴△EAB≌△DAC（SAS），∴BE＝CD，∵AE＝AD，∠EAD＝90°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AD，∵CD+DB＝EB+BD＝DE，∴CD+DB＝AD；故答案为45°，CD+DB＝AD；（2）线段AD，BD，CD的数量关系会变化，数量关系为BD﹣CD＝AD．理由如下：如图2，将AD绕点A顺时针旋转90°交直线l于点E．则∠DAE＝∠CAB＝90°，∴∠DAC＝∠EAB，又AD＝AE，AC＝AB，∴△EAB≌△DAC（SAS），∴BE＝CD，∵AE＝AD，∠EAD＝90°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AD，∵BD﹣CD＝BD﹣BE＝DE，∴BD﹣CD＝AD；（3）由（2）知，△CDA≌△BEA，∴∠CDA＝∠AEB，∵∠DEA＝45°，∴∠AEB＝180°﹣45°＝135°，∴∠CDA＝∠AEB＝135°，∴∠CDA+∠ABC＝135°+45°＝180°，∴A、B、C、D四点共圆，于是作A、B、C、D外接圆⊙O，如图，当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB的左侧时，DG经过圆心，此时DG最长，因此△ABD的面积最大．作DG⊥AB，则DG平分∠ADB，DB＝DA，在DA上截取一点H，使得CD＝DH＝1，∵∠ADB＝∠ACB＝45°，∴∠GDB＝22.5°，∠DBG＝67.5°，∴∠DBC＝67.5°﹣45°＝22.5°，∠HCB＝∠DHC﹣∠HBC＝45°﹣22.5°＝22.5°，∴∠HCB＝∠HBC，∴HB＝CH＝，∴AD＝BD＝DH+BH＝1+．【点评】本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．3．（2021秋•越秀区校级期中）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，且AD⊥BD于点D．（1）判断△ABD的形状；（2）如图2，在（1）的结论下，若BQ＝2，DQ＝3，∠BQD＝75°，求AQ的长；（3）如图3，在（1）的结论下，若将DB绕着点D顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到DP，连接BP，作DE⊥BP交AP于点F．试探究AF与DE的数量关系，并说明理由．【分析】（1）由∠ACB+∠ADB＝90°+90°＝180°，知点A、C、B、D上四点共圆，则∠ACD＝∠ABD＝45°，即可得出结论；（2）将△ADQ绕点D顺时针旋转90°得△BDE，连接EQ，过点B作EQ的垂线，交EQ的延长线于H，得△QDE是等腰直角三角形，从而可解直角三角形BQH，在Rt△BEH中，利用勾股定理得可求出BE的长度，从而解决问题；（3）在AF上截取AM＝PF，利用SAS证明△ADM≌△PDF，得∠ADM＝∠PDE，DM＝DF，可证明△MDF、△PEF是等腰直角三角形，从而解决问题．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，∴∠ACD＝45°，∵∠ACB+∠ADB＝90°+90°＝180°，∴点A、C、B、D上四点共圆，∴∠ACD＝∠ABD＝45°，∴∠BAD＝∠ABD＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形；（2）将△ADQ绕点D顺时针旋转90°得△BDE，连接EQ，过点B作EQ的垂线，交EQ的延长线于H，∴DQ＝DE，∠QDE＝90°，AQ＝BE，∴△QDE是等腰直角三角形，∴∠DQE＝45°，∴QE＝DQ＝3，∵∠BQD＝75°，∴∠BQE＝∠BQD+∠DQE＝120°，∴∠BQH＝60°，∴QH＝BQ＝，BH＝，在Rt△BEH中，由勾股定理得BE＝＝，∴AQ＝BE＝；（3）AF＝DE．，理由如下：如图，在AF上截取AM＝PF，∵DA＝DP，∴∠DAM＝∠DPF，∴△ADM≌△PDF（SAS），∴∠ADM＝∠PDE，DM＝DF，∵BD＝DP，DE⊥BP，∴∠BDE＝∠PDE，∴∠ADM＝∠BDE，∴∠MDE＝90°，∴△MDF是等腰直角三角形，∴∠MFD＝45°，MF＝DF，∴∠EFP＝45°，∴△PEF是等腰直角三角形，∴PF＝EF，∴AF＝DE．【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，四点共圆等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．4．（2021秋•西城区校级期中）如图，△ABC为等边三角形，点P是线段AC上一动点（点P不与A，C重合），连接BP，过点A作直线BP的垂线段，垂足为点D，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接DE，CE．（1）求证：BD＝CE；（2）延长ED交BC于点F，求证：F为BC的中点；（3）若△ABC的边长为1，直接写出EF的最大值．【分析】（1）利用SAS证明△BAD≌△CAE，即可得出结论；（2）过点C作CG∥BP交DF的延长线于点G，利用等角对等边可得CG＝CE，由（1）△BAD≌△CAE，得BD＝CE，再利用AAS证明△BDF≌△CGF，从而解决问题；（3）由（2）知∠AFC＝∠AEC＝90°，则点A，F，C，E四点在以AC为直径的圆上，故EF的最大值为直径．【解答】（1）证明：∵线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，∴△ADE是等边三角形，∴AD＝AE，∠DAE＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE；（2）证明：如图，过点C作CG∥BP交DF的延长线于点G，∴∠G＝∠BDF，∵∠ADE＝60°，∠ADB＝90°，∴∠BDF＝30°，∴∠G＝30°，由（1）可知，BD＝CE，∠CEA＝∠BDA，∵AD⊥BP，∴∠BDA＝90°，∴∠CEA＝90°，∵∠AED＝60°，∴∠CED＝30°＝∠G，∴CE＝CG，∴BD＝CG，在△BDF和△CGF中，，∴△BDF≌△CGF（AAS），∴BF＝FC，即F为BC的中点；（3）解：如图，连接AF，∵△ABC是等边三角形，BF＝FC，∴AF⊥BC，∴∠AFC＝90°，∴∠AFC＝∠AEC＝90°，∴点A，F，C，E四点在以AC为直径的圆上，∴EF的最大值为直径，即最大值为1．【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，四点共圆等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．5．（2021•哈尔滨模拟）（1）【学习心得】于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝45或135°．（2）【问题解决】如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的数．（3）【问题拓展】如图3，如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是﹣1．【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解．（2）由A、B、C、D共圆，得出∠BDC＝∠BAC，（3）根据正方形的性质可得AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1＝∠2，利用“SAS”证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2＝∠3，从而得到∠1＝∠3，然后求出∠AHB＝90°，取AB的中点O，连接OH、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH＝AB＝1，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小．【解答】解：（1）如图1，∵AB＝AC，AD＝AC，∴以点A为圆心，AB为半径作圆A，点B、C、D必在⊙A上，∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，∴∠BDC＝∠BAC＝45°，当点D在BC的下方时，∠BDC＝135°，故答案是：45或135；（2）如图2，取BD的中点O，连接AO、CO．∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴点A、B、C、D共圆，∴∠BDC＝∠BAC，∵∠BDC＝25°，∴∠BAC＝25°，（3）如图3，在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠1＝∠2，在△ADG和△CDG中，，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，∴∠1+∠BAH＝90°，∴∠AHB＝180°