第04讲实际问题与二次函数(3大考点)(原卷版+解析)2

第04讲实际问题与二次函数（3大考点）考点考向考点考向一．根据实际问题列二次函数关系式根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．二．二次函数的应用（1）利用二次函数解决利润问题在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．（2）几何图形中的最值问题几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．（3）构建二次函数模型解决实际问题利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．三．二次函数的最值（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝．（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝．（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．考点精讲考点精讲一．根据实际问题列二次函数关系式（共5小题）1．（2021秋•中山区期末）一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x的函数关系式为（）A．y＝100（1﹣x） B．y＝100﹣x2 C．y＝100（1+x）2 D．y＝100（1﹣x）22．（2021秋•天津期末）据省统计局公布的数据，合肥市2021年第一季度GDP总值约为2.4千亿元人民币，若我市第三季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（）A．y＝2.4（1+2x） B．y＝2.4（1﹣x）2 C．y＝2.4（1+x）2 D．y＝2.4+2.4（1+x）+2.4（1+x）3．（2021秋•江油市期末）n个球队参加篮球比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n（n≥2）之间的函数关系是．4．（2020秋•文昌期末）某工厂的前年生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为x，预计今年比去年的年增长率仍为x，今年的总产值为y万元．（1）求y关于x的函数关系式；（2）当x＝20%时，今年的总产值为多少万元？5．（2021秋•怀安县期末）某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数关系m＝162﹣3x．（1）请写出商场卖这种商品每天的销售利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数关系式．（2）商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由．二．二次函数的应用（共9小题）6．（2022•长春二模）图1是一个坡度为1：2的斜坡的横截面，斜坡顶端B与地面的距离BC为2.5米，为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A，喷头A喷出的水珠在空中走过的曲线可以看作抛物线的一部分，设喷出水珠的竖直高度为y（单位：米）（水珠的竖直高度是指水珠与地面的距离），水珠与喷头A的水平距离为x（单位：米），图2记录了y与x的相关数据，则y与x的函数关系式为．7．（2022春•沙坪坝区校级期末）小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形．若实心球运动的抛物线的解析式为，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离．已知该同学出手点A的坐标为，则实心球飞行的水平距离OB的长度为（）A．7m B．7.5m C．8m D．8.5m8．（2022春•北仑区期末）荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为18元/千克的荔枝，以28元/千克售出时，每天能售出40千克．市场调研表明：当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克．设降价x元．（1）降价后平均每天可以销售荔枝千克．（用含x的代数式表示）（2）设销售利润为y，请写出y关于x的函数关系式．（3）该水果店想要使荔枝的销售利润平均每天达到480元，且尽可能地减少库存压力，应将价格定为多少元/千克？9．（2022•碑林区校级模拟）一身高1.8m的篮球运动员在距篮板AB＝4m（DE与AB的水平距离）处跳起投篮，球在运动员头顶上方0.25m处出手，在如图所示的直角坐标系中，球在空中运行的路线可以用y＝﹣0.2x2+3.5来描述，那么球出手时，运动员跳离地面的高度为（）A．0.1 B．0.15 C．0.2 D．0.2510．（2022•青岛）李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．（1）请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；（2）若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？11．（2022春•西湖区校级期末）某公司分别在A、B两城生产一批同种产品，共100件，A城生产产品的成本y（万元）与产品数量x（件）之间的函数关系为y＝ax2+bx，当x＝10时，y＝400；当x＝20时，y＝1000．B城生产产品的每件成本为70万元．（1）求A城生产产品的成本y（万元）与产品数量x（件）之间的函数关系式；（2）当A、B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A、B两城各生产多少件．12．（2022•谷城县二模）如图，某单位的围墙由一段段形状相同的抛物线形栅栏组成，为了牢固，每段栅栏间隔0.2米设置一根立柱（即AB间间隔0.2米的7根立柱）进行加固，若立柱EF的长为0.28米，则拱高OC为米．13．（2022•广安）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降米，水面宽8米．14．（2022•石家庄三模）某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：m）．有下列结论：①AB＝24m；②池底所在抛物线的解析式为y＝﹣5；③池塘最深处到水面CD的距离为1.8m；④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离减少为原来的．其中结论正确的是（）A．①② B．②④ C．③④ D．①④三．二次函数的最值（共6小题）15．（2022春•台江区校级期末）若二次函数y＝ax2﹣bx+2有最大值6，则y＝﹣a（x+1）2+bx+b+2的最小值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣6 D．216．（2022•包头）已知实数a，b满足b﹣a＝1，则代数式a2+2b﹣6a+7的最小值等于（）A．5 B．4 C．3 D．217．（2022春•西湖区校级期末）已知函数y＝mx2+2mx+1在﹣3≤x≤2上有最大值4，则常数m的值为．18．（2022•高新区二模）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为漂亮点．已知二次函数y＝ax2+6x﹣（a≠0）的图象上有且只有一个漂亮点．且当﹣1≤x≤m时，二次函数y＝ax2+6x﹣5（a≠0）的最小值为﹣12，最大值为4，则m取值范围是．19．（2022•邯郸二模）在计算题目：“已知：M＝3x2﹣4x+2，N＝■，求2M﹣N”时，嘉淇把“2M﹣N”看成“M﹣2N”，得到的计算结果是﹣x2+4x﹣4．（1）求整式N；（2）判断2M﹣N的化简结果是否能为负数，并说明理由．20．（2022•嘉峪关三模）对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}＝a．当a＜b时，max{a，b}＝b；如：max{5，5}＝5，max{﹣3，2}＝2，若关于x的函数为y＝max{x+3，﹣x+1}，则该函数的最小值为．巩固提升巩固提升（2019•无锡）某宾馆共有80间客房．宾馆负责人根据经验作出预测：今年7月份，每天的房间空闲数（间与定价（元间）之间满足．若宾馆每天的日常运营成本为5000元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出28元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客人得到实惠，应将房间定价确定为A．252元间 B．256元间 C．258元间 D．260元间（2019•山西）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉索与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱（近似看成二次函数的图象抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于，两点．拱高为78米（即最高点到的距离为78米），跨径为90米（即米），以最高点为坐标原点，以平行于的直线为轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为A． B． C． D．（2019•临沂）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：与小球运动时间（单位：之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度时，．其中正确的是A．①④ B．①② C．②③④ D．②③（2019•襄阳）如图，若被击打的小球飞行高度（单位：与飞行时间（单位：之间具有的关系为，则小球从飞出到落地所用的时间为．（2019•铁岭）小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为6元，当销售单价定为8元时，每天可以销售200件．市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过12元，设该纪念品的销售单价为（元，日销量为（件，日销售利润为（元．（1）求与的函数关系式．（2）要使日销售利润为720元，销售单价应定为多少元？（3）求日销售利润（元与销售单价（元的函数关系式，当为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润．（2019•鄂尔多斯）某工厂制作，两种手工艺品，每件获利比多105元，获利30元的与获利240元的数量相等．（1）制作一件和一件分别获利多少元？（2）工厂安排65人制作，两种手工艺品，每人每天制作2件或1件．现在在不增加工人的情况下，增加制作．已知每人每天可制作1件（每人每天只能制作一种手工艺品），要求每天制作，两种手工艺品的数量相等．设每天安排人制作，人制作，写出与之间的函数关系式．（3）在（1）（2）的条件下，每天制作不少于5件．当每天制作5件时，每件获利不变．若每增加1件，则当天平均每件获利减少2元．已知每件获利30元，求每天制作三种手工艺品可获得的总利润（元的最大值及相应的值．（2019•包头）某出租公司有若干辆同一型号的货车对外出租，每辆货车的日租金实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每辆货车的日租金比淡季上涨．据统计，淡季该公司平均每天有10辆货车未出租，日租金总收入为1500元；旺季所有的货车每天能全部租出，日租金总收入为4000元．（1）该出租公司这批对外出租的货车共有多少辆？淡季每辆货车的日租金多少元？（2）经市场调查发现，在旺季如果每辆货车的日租金每上涨20元，每天租出去的货车就会减少1辆，不考虑其它因素，每辆货车的日租金上涨多少元时，该出租公司的日租金总收入最高？第04讲实际问题与二次函数（3大考点）考点考向考点考向一．根据实际问题列二次函数关系式根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．二．二次函数的应用（1）利用二次函数解决利润问题在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．（2）几何图形中的最值问题几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．（3）构建二次函数模型解决实际问题利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．三．二次函数的最值（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝．（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝．（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．考点精讲考点精讲一．根据实际问题列二次函数关系式（共5小题）1．（2021秋•中山区期末）一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x的函数关系式为（）A．y＝100（1﹣x） B．y＝100﹣x2 C．y＝100（1+x）2 D．y＝100（1﹣x）2【分析】根据两年后机器价值＝机器原价值×（1﹣折旧百分比）2可得函数解析式．【解答】解：根据题意知y＝100（1﹣x）2，故选：D．【点评】本题主要考查根据实际问题列二次函数关系式，根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．2．（2021秋•天津期末）据省统计局公布的数据，合肥市2021年第一季度GDP总值约为2.4千亿元人民币，若我市第三季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（）A．y＝2.4（1+2x） B．y＝2.4（1﹣x）2 C．y＝2.4（1+x）2 D．y＝2.4+2.4（1+x）+2.4（1+x）【分析】根据平均每个季度GDP增长的百分率为x，第二季度季度GDP总值约为2.4（1+x）元，第三季度GDP总值为2.4（1+x）2元，则函数解析式即可求得．【解答】解：根据题意得，y关于x的函数表达式是：y＝2.4（1+x）2．故选：C．【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题是解题关键．3．（2021秋•江油市期末）n个球队参加篮球比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n（n≥2）之间的函数关系是m＝n2﹣n．【分析】n个球队都要与除自己之外的（n﹣1）球队个打一场，因此要打n（n﹣1）场，然而有重复一半的场次，故比赛场次为n（n﹣1），得出关系式．【解答】解：m＝n（n﹣1）＝n2﹣n，故答案为：m＝n2﹣n．【点评】考查函数关系式的求法，在具体的情景中，蕴含数量之间的关系，理解和发现数量之间的关系是正确解答的关键．4．（2020秋•文昌期末）某工厂的前年生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为x，预计今年比去年的年增长率仍为x，今年的总产值为y万元．（1）求y关于x的函数关系式；（2）当x＝20%时，今年的总产值为多少万元？【分析】（1）利用今年的总产值＝前年生产总值×（1+去年比前年的年增长率）×（1+今年比去年的年增长率），即可找出y关于x的函数关系式；（2）代入x＝20%，求出y值即可得出结论．【解答】解：（1）依题意得：y＝10（1+x）（1+x），即y＝10（1+x）2．（2）当x＝20%时，y＝10×（1+20%）2＝14.4．答：当x＝20%时，今年的总产值为14.4万元．【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式以及代数式求值，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）代入x＝20%，求出y值．5．（2021秋•怀安县期末）某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数关系m＝162﹣3x．（1）请写出商场卖这种商品每天的销售利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数关系式．（2）商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由．【分析】（1）此题可以按等量关系“每天的销售利润＝（销售价﹣进价）×每天的销售量”列出函数关系式，并由售价大于进价，且销售量大于零求得自变量的取值范围．（2）根据（1）所得的函数关系式，利用配方法求二次函数的最值即可得出答案．【解答】解：（1）由题意得，每件商品的销售利润为（x﹣30）元，那么m件的销售利润为y＝m（x﹣30），又∵m＝162﹣3x，∴y＝（x﹣30）（162﹣3x），即y＝﹣3x2+252x﹣4860，∵x﹣30≥0，∴x≥30．又∵m≥0，∴162﹣3x≥0，即x≤54．∴30≤x≤54．∴所求关系式为y＝﹣3x2+252x﹣4860（30≤x≤54）．（2）由（1）得y＝﹣3x2+252x﹣4860＝﹣3（x﹣42）2+432，所以可得售价定为42元时获得的利润最大，最大销售利润是432元．∵500＞432，∴商场每天销售这种商品的销售利润不能达到500元．【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，解答本题的关键是根据等量关系：“每天的销售利润＝（销售价﹣进价）×每天的销售量”列出函数关系式，另外要熟练掌握二次函数求最值的方法．二．二次函数的应用（共9小题）6．（2022•长春二模）图1是一个坡度为1：2的斜坡的横截面，斜坡顶端B与地面的距离BC为2.5米，为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A，喷头A喷出的水珠在空中走过的曲线可以看作抛物线的一部分，设喷出水珠的竖直高度为y（单位：米）（水珠的竖直高度是指水珠与地面的距离），水珠与喷头A的水平距离为x（单位：米），图2记录了y与x的相关数据，则y与x的函数关系式为y＝﹣（x﹣4）2+4．【分析】根据函数图象的对称轴为x＝4，最大值为4，设函数的解析式为y＝a（x﹣4）2+4，将点（0，0）代入，求出a，即可得到函数关系式．【解答】解：由图2可知，函数图象的对称轴为x＝4，最大值为4，设函数的解析式为y＝a（x﹣4）2+4，将点（0，0）代入得，16a+4＝0，解得：a＝﹣，∴y与x的函数关系式为y＝﹣（x﹣4）2+4．故答案为：y＝﹣（x﹣4）2+4．【点评】此题考查了求二次函数的解析式，正确理解函数图象是解题的关键．7．（2022春•沙坪坝区校级期末）小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形．若实心球运动的抛物线的解析式为，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离．已知该同学出手点A的坐标为，则实心球飞行的水平距离OB的长度为（）A．7m B．7.5m C．8m D．8.5m【分析】根据出手点A的坐标为求出函数关系式，再令y＝0可解得答案．【解答】解：把A代入得：＝﹣×9+k，∴k＝，∴y＝﹣（x﹣3）2+，令y＝0得﹣（x﹣3）2+＝0，解得x＝﹣2（舍去）或x＝8，∴实心球飞行的水平距离OB的长度为8m，故选：C．【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，能用待定系数法求出函数关系式．8．（2022春•北仑区期末）荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为18元/千克的荔枝，以28元/千克售出时，每天能售出40千克．市场调研表明：当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克．设降价x元．（1）降价后平均每天可以销售荔枝（40+10x）千克．（用含x的代数式表示）（2）设销售利润为y，请写出y关于x的函数关系式．（3）该水果店想要使荔枝的销售利润平均每天达到480元，且尽可能地减少库存压力，应将价格定为多少元/千克？【分析】（1）根据“当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克”可直接得出结论；（2）利用利润＝（售价﹣成本）×销售量可得出结论；（3）令y＝480，求出x的值，再根据题意对x的值进行取舍即可．【解答】解：（1）根据题意可知降后平均每天可以销售荔枝：（40+10x）千克，故答案为：（40+10x）．（2）根据题意可知，y＝（40+10x）（28﹣18﹣x），整理得y＝﹣10x2+60x+400．（3）令y＝480，代入函数得﹣10x2+60x+400＝480，解方程，得x1＝4，x2＝2，∵要尽可能地清空库存，∴x＝4，此时荔枝定价为28﹣4＝24（元/千克）．答：应将价格定为24元/千克．【点评】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，找准等量关系，得出y关于x的二次函数是解题的关键．9．（2022•碑林区校级模拟）一身高1.8m的篮球运动员在距篮板AB＝4m（DE与AB的水平距离）处跳起投篮，球在运动员头顶上方0.25m处出手，在如图所示的直角坐标系中，球在空中运行的路线可以用y＝﹣0.2x2+3.5来描述，那么球出手时，运动员跳离地面的高度为（）A．0.1 B．0.15 C．0.2 D．0.25【分析】当y＝3.05时，代入解析式3.05＝﹣0.2x2+3.5，解得x＝1.5m，求得4﹣1.5＝2.5，当x＝﹣2.5时，y＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5＝2.25，即可得到结论．【解答】解：当y＝3.05时，即3.05＝﹣0.2x2+3.5，解得：x＝1.5m，∴4﹣1.5＝2.5，当x＝﹣2.5时，y＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5＝2.25，∴2.25﹣0.25﹣1.8＝0.2m，答：球出手时，他跳离地面的高度为0.2m．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的应用，求出球出手时，对应的横坐标，代入表达式是解题关键．10．（2022•青岛）李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．（1）请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；（2）若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？【分析】（1）根据当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元得：y＝8.2﹣0.2（x﹣1）＝﹣0.2x+8.4，（2）设李大爷每天所获利润是w元，由总利润＝每千克利润×销量得w＝[12﹣0.5（x﹣1）﹣（﹣.02x+8.4）]×10x＝﹣3（x﹣）2+，利用二次函数性质可得李大爷每天应购进这种水果7箱，才能使每天所获利润最大，最大利润140元．【解答】解：（1）根据题意得：y＝8.2﹣0.2（x﹣1）＝﹣0.2x+8.4，答：这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式为y＝﹣0.2x+8.4；（2）设李大爷每天所获利润是w元，由题意得：w＝[12﹣0.5（x﹣1）﹣（﹣.02x+8.4）]×10x＝﹣3x2+41x＝﹣3（x﹣）2+，∵﹣3＜0，x为正整数，且|6﹣|＞|7﹣|，∴x＝7时，w取最大值，最大值为﹣3×（7﹣）2+＝140（元），答：李大爷每天应购进这种水果7箱，才能使每天所获利润最大，最大利润140元．【点评】本题考查一次函数及二次函数的应用，解题的根据是理解题意，列出函数关系式，能利用二次函数性质解决问题．11．（2022春•西湖区校级期末）某公司分别在A、B两城生产一批同种产品，共100件，A城生产产品的成本y（万元）与产品数量x（件）之间的函数关系为y＝ax2+bx，当x＝10时，y＝400；当x＝20时，y＝1000．B城生产产品的每件成本为70万元．（1）求A城生产产品的成本y（万元）与产品数量x（件）之间的函数关系式；（2）当A、B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A、B两城各生产多少件．【分析】（1）利用待定系数法即可求出a，b的值；（2）先根据（1）的结论得出y与x之间的函数关系，从而可得出A，B两城生产这批产品的总成本的和，再根据二次函数的性质即可得出答案．【解答】解：（1）由题意得：，解得：．∴a＝1，b＝30；∴y＝x2+30x；（2）由（1）得：y＝x2+30x，设A，B两城生产这批产品的总成本为w，则w＝x2+30x+70（100﹣x）＝x2﹣40x+7000＝（x﹣20）2+6600，由二次函数的性质可知，当x＝20时，w取得最小值，最小值为6600万元，此时100﹣20＝80．答：A城生产20件，B城生产80件．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数及一次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并明确一次函数和二次函数的相关性质是解题的关键．12．（2022•谷城县二模）如图，某单位的围墙由一段段形状相同的抛物线形栅栏组成，为了牢固，每段栅栏间隔0.2米设置一根立柱（即AB间间隔0.2米的7根立柱）进行加固，若立柱EF的长为0.28米，则拱高OC为0.64米．【分析】由于相同的间距0.2m用5根立柱加固，则AB＝0.2×8＝1.6，以O坐标系的原点，OC所在直线为y轴建立坐标系，由此得到抛物线过（0.8，0）、（﹣0.8，0）、（﹣0.6，0.28），据此求出解析式．把x＝0代入后求出y即可．【解答】解：根据题意可知，AB＝0.2×8＝1.6，以O坐标系的原点，OC所在直线为y轴建立坐标系，如图所示，设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，∴抛物线过（0.8，0）、（﹣0.8，0）、（﹣0.6，﹣0.28），∴，解得．∴抛物线解析式为y＝x2+0.64．令x＝0，则y＝0.64．∴OC＝0.64．故答案为：0.64．【点评】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．13．（2022•广安）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降米，水面宽8米．【分析】根据已知建立直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再根据通过把x＝4代入抛物线解析式得出y，即可得出答案．【解答】解：以水面所在的直线AB为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，O为原点，由题意可得：AO＝OB＝3米，C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，把A点坐标（﹣3，0）代入抛物线解析式得，9a+2＝0，解得：a＝﹣，所以抛物线解析式为y＝﹣x2+2，当x＝4时，y＝﹣×16+2＝﹣，∴水面下降米，故答案为：．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．14．（2022•石家庄三模）某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：m）．有下列结论：①AB＝24m；②池底所在抛物线的解析式为y＝﹣5；③池塘最深处到水面CD的距离为1.8m；④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离减少为原来的．其中结论正确的是（）A．①② B．②④ C．③④ D．①④【分析】根据图象可以判断①；设出池底所在抛物线的解析式为y＝ax2﹣5，再把（15，0）代入解析式求出a即可判断②；把x＝12代入解析式求出y＝﹣1.8，再用5﹣1.8即可判断③；把x＝6代入解析式即可判断④．【解答】解：①观察图形可知，AB＝30m，故①错误；②设池底所在抛物线的解析式为y＝ax2﹣5，将（15，0）代入，可得a＝﹣，故拋物线的解析式为y＝﹣x2﹣5；故②正确；③∵y＝﹣x2﹣5，∴当x＝12时，y＝﹣1.8，故池塘最深处到水面CD的距离为5﹣1.8＝3.2（m），故③错误；④当池塘中水面的宽度减少为原来的一半，即水面宽度为12m时，将x＝6代入y＝﹣x2﹣5，得y＝﹣4.2，可知此时最深处到水面的距离为5﹣4.2＝0.8（m），即为原来的，故④正确．故选：B．【点评】本题考查抛物线的实际应用，体现了数学建模、数学抽象、数学运算素养．三．二次函数的最值（共6小题）15．（2022春•台江区校级期末）若二次函数y＝ax2﹣bx+2有最大值6，则y＝﹣a（x+1）2+bx+b+2的最小值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣6 D．2【分析】根据题意，设二次函数y＝ax2﹣bx+2的顶点坐标为（m，6），且易知其图象开口向下，通过平移y＝﹣a（x+1）2+bx+b+2即可求解．【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣bx+2有最大值6，∴设二次函数y＝ax2﹣bx+2的顶点坐标为（m，6），平移可知y＝a（x+1）2﹣b（x+1）+2的顶点坐标为（m﹣1，6），根据关于x轴对称可知，y＝﹣a（x+1）2+bx+b﹣2的顶点坐标为（m﹣1，﹣6），且开口向上，再向上平移4个单位得到y＝﹣a（x+1）2+bx+b+2，此时顶点坐标为（m﹣1，﹣2），最小值为﹣2，故答案为：B．【点评】本题考查了二次函数图象的平移，关于坐标轴对称的点的坐标特征；利用顶点坐标变换是解题的关键．16．（2022•包头）已知实数a，b满足b﹣a＝1，则代数式a2+2b﹣6a+7的最小值等于（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】由题意得b＝a+1，代入代数式a2+2b﹣6a+7可得（a﹣2）2+5，故此题的最小值是5．【解答】解：∵b﹣a＝1，∴b＝a+1，∴a2+2b﹣6a+7＝a2+2（a+1）﹣6a+7＝a2+2a+2﹣6a+7＝a2﹣4a+4+5＝（a﹣2）2+5，∴代数式a2+2b﹣6a+7的最小值等于5，故选：A．【点评】此题考查了代数式的变式与二次函数最值问题的解决能力，关键是能对以上知识准确理解并正确变形、计算．17．（2022春•西湖区校级期末）已知函数y＝mx2+2mx+1在﹣3≤x≤2上有最大值4，则常数m的值为或﹣3．【分析】分两种情况：m＞0和m＜0分别求y的最大值即可【解答】解：y＝mx2+2mx+1＝m（x+1）2﹣m．当m＞0时，当x＝2时，y有最大值，∴4m+4m+1＝4，∴m＝；当m＜0时，当x＝﹣1时，y有最大值，∴m﹣2m+1＝4，∴m＝﹣3，综上所述：m的值为或﹣3．故答案是：或﹣3．【点评】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，解题时，注意要分类讨论，以防漏解．18．（2022•高新区二模）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为漂亮点．已知二次函数y＝ax2+6x﹣（a≠0）的图象上有且只有一个漂亮点．且当﹣1≤x≤m时，二次函数y＝ax2+6x﹣5（a≠0）的最小值为﹣12，最大值为4，则m取值范围是3≤m≤7．【分析】根据二次函数y＝ax2+6x﹣（a≠0）的图象上有且只有一个漂亮点可求出a的值，再根据函数的解析式可求m的取值范围．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+6x﹣（a≠0）的图象上有且只有一个漂亮点，设漂亮点的坐标为（n，n），∴方程n＝an2+6n﹣即an2+5n﹣＝0有两个相等的实数根，∴△＝52﹣4a×（﹣）＝0，∴a＝﹣1，∴二次函数y＝ax2+6x﹣5的解析式为：y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，∴当x＝3时，函数有最大值为4，又∵当0≤x≤m时，函数最小值为﹣12，令﹣x2+6x﹣5＝﹣12，则x＝﹣1或7，∴要使函数最小值为﹣12，最大值为4，则3≤m≤7，故答案为：3≤m≤7．【点评】本题主要考查二次函数的性质，根据函数图象确定m的取值是解题的关键．19．（2022•邯郸二模）在计算题目：“已知：M＝3x2﹣4x+2，N＝■，求2M﹣N”时，嘉淇把“2M﹣N”看成“M﹣2N”，得到的计算结果是﹣x2+4x﹣4．（1）求整式N；（2）判断2M﹣N的化简结果是否能为负数，并说明理由．【分析】（1）根据题意列出关系式，去括号合并即可确定出N；（2）写出正确的2M﹣N，即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意得：N＝[3x2﹣4x+2﹣（﹣x2+4x﹣4）]＝2x2﹣4x+3；（2）2M﹣N＝2（3x2﹣4x+2）﹣（2x2﹣4x+3）＝6x2﹣8+4﹣2x2+4x﹣3＝4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2，∵（2x﹣1）2≥0．∴2M﹣N的化简结果不能为负数．【点评】此题考查了整式的加减，二次函数的最值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（2022•嘉峪关三模）对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}＝a．当a＜b时，max{a，b}＝b；如：max{5，5}＝5，max{﹣3，2}＝2，若关于x的函数为y＝max{x+3，﹣x+1}，则该函数的最小值为2．【分析】根据新定义内容分情况讨论，然后结合一次函数的增减性求得函数最小值．【解答】解：当x+3≥﹣x+1时，解得：x≥﹣1，此时y＝x+3，∵1＞0，∴y随x的增大而增大，当x＝﹣1时，y最小为2；当x+3≤﹣x+1时，解得：x≤﹣1，此时y＝﹣x+1，∵﹣1＜0，∴y随x的增大而减小，综上，当x＝﹣1时，y最小为2，故答案为：2．【点评】本题考查一次函数的性质，理解新定义内容，分情况列出函数解析式并掌握一次函数的性质是解题关键．巩固提升巩固提升1.（2019•无锡）某宾馆共有80间客房．宾馆负责人根据经验作出预测：今年7月份，每天的房间空闲数（间与定价（元间）之间满足．若宾馆每天的日常运营成本为5000元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出28元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客人得到实惠，应将房间定价确定为A．252元间 B．256元间 C．258元间 D．260元间【分析】根据：总利润每个房间的利润入住房间的数量每日的运营成本，列出函数关系式，配方成顶点式后依据二次函数性质可得最值情况．【解答】解：设每天的利润为元，根据题意，得：，当时，，不是整数，舍去，当或时，函数取得最大值，最大值为8224元，又想让客人得到实惠，（舍去）宾馆应将房间定价确定为256元时，才能获得最大利润，最大利润为8224元．故选：．【点评】本题考查二次函数的实际应用，利用数学知识解决实际问题，解题的关键是建立函数模型，利用配方法求最值．2.（2019•山西）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉索与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱（近似看成二次函数的图象抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于，两点．拱高为78米（即最高点到的距离为78米），跨径为90米（即米），以最高点为坐标原点，以平行于的直线为轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为A． B． C． D．【分析】直接利用图象假设出抛物线解析式，进而得出答案．【解答】解：设抛物线的解析式为：，将代入得：，解得：，故此抛物线钢拱的函数表达式为：．故选：．【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，正确假设出抛物线解析式是解题关键．3.（2019•临沂）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：与小球运动时间（单位：之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度时，．其中正确的是A．①④ B．①② C．②③④ D．②③【分析】根据函数的图象中的信息判断即可．【解答】解：①由图象知小球在空中达到的最大高度是；故①错误；②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故③正确；④设函数解析式为：，把代入得，解得，函数解析式为，把代入解析式得，，解得：或，小球的高度时，或，故④错误；故选：．【点评】本题考查了二次函数的应用，解此题的关键是正确的理解题意，属于中考基础题，常考题型．4.（2019•襄阳）如图，若被击打的小球飞行高度（单位：与飞行时间（单位：之间具有的关系为，则小球从飞出到落地所用的时间为4．【分析】根据关系式，令即可求得的值为飞行的时间【解答】解：依题意，令得得解得（舍去）或即小球从飞出到落地所用的时间为故答案为4．【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．此题为数学建模题，关键在于读懂小球从飞出到落地即飞行的高度为0时的情形，借助二次函数解决实际问题．此题较为简单5.（2019•铁岭）小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为6元，当销售单价定为8元时，每天可以销售200件．市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过12元，设该纪念品的销售单价为（元