题型03最值问题之胡不归(原卷版+解析)2

最值问题之胡不归【故事介绍】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家，根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归?胡不归?”(“胡”同“何”)而如果先沿着驿道AP先走一段，再走砂石地，会不会更早到家?【模型】由于在驿道和沙砾地带行走的速度不一样，那么，小伙子有没有可能先在驿道上走一段路程后，再走沙砾地带，虽然多走了路，但反而总时间更短呢？如果存在这种可能，那么要在驿道上行走多远才最省时？【模型建立】如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1＜V2，A、B为定点，点P在直线MN上，确定点P的位置使APV【问题分析】APV2+BPV1=1V【问题解决】构造射线AD使得sin∠HAN＝k，PHAP=k，PH＝k·AP将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点P，交AD于H点，此时BP+PH取到最小值，即BP+k·胡不归型问题：当k≠1且k为正数时，若点P在某条直线上运动时，此时所求的最短路径问题称之为“胡不归”问题．那么对于当“PA+k·PB”的值最小时，点P的位置如何确定呢?【问题解决】求形如“PA+k·PB”的最值问题.构造射线BD，使，即将问题转化为求PA十PH的最小值，过A点作AH⊥BD交MN于点P，交BD于点H，此时PA+PH取到最小值，即PA十k·PB的值最小【模型总结】在求形如“PA+kPB＂的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型.而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段.胡不归【题型知识点总结】1、动点轨迹为直线，且求带系数的线段和最值问题2、解法：(1)判系数：提大不提小(2)用正弦：系数边为斜边哪条线段带系数，就以它为边，构造直角三角形，使得其中一个锐角的三角函数值与系数相等(3)作垂线：垂线段最短3、(1)题型特点：出现“PA±(2)解题思路：紧盯“k”的数学特点，利用特殊角的边角关系、或构造“共角模型”的相似三角形，寻找到一条与“kPB”相似的线段，把“PA±kPB”结构转化成“将军饮马问题”的“PA+【找模型】直线上一定点B，一动点P，A为直线外一点，求PA±【用模型】在定点B的异侧构造直角三角形，利用三角函数将含系数的线段进行转换，再根据垂线段最短化折为直，从而得到线段和最小值，最后运用锐角三角函数求解即可。特别说明：胡不归问题和阿氏圆问题有极大相似之处都设计带系数的线段和的最小值。区别是动点运动的轨迹：阿氏圆是动点在圆上，是利用子母型相似转化带系数的线段；胡不归是动点在直线上，是利用正弦函数来转化带系数线段(由系数联想到某特殊角的正弦)。虽然构造方式不同，但思路相同：两定点处于动点轨迹的两侧，通过三点共线解决最短问题。针对训练一、单选题1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、C两点，与x轴交于点，若P是x轴上一动点，点D的坐标为，连接PD，则的最小值是（

）A．4 B． C． D．2．如图，在中，，，，若是边上的动点，则的最小值（

）A． B． C． D．3．如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值是（

）A．6 B．8 C．10 D．124．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x＋c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则PD＋PC的最小值是（

）A．4 B．2＋2 C．2 D．5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，C两点，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接，则的最小值为（）A． B． C． D．二、填空题6．如图，中，，，于点，是线段上的一个动点，则的最小值是__________．7．如图，四边形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+BM的最小值为_____．8．如图，矩形ABCD中AB＝3，BC，E为线段AB上一动点，连接CE，则AE＋CE的最小值为___．9．如图，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C（0，1）在y轴上，点P在x轴上运动，则PC＋PB的最小值为_______．10．如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x、y轴于B、C两点，点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，且∠OCB＝60°，点P是直线l上一动点，连接AP，则的最小值是______．11．如图，在中，，，半径为的经过点，是圆的切线，且圆的直径在线段上，设点是线段上任意一点不含端点，则的最小值为______．12．如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______．13．如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为__________．14．如图，在边长为4的正方形ABCD内有一动点P，且BP＝．连接CP，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．连接CQ、DQ，则DQ+CQ的最小值为________．15．如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，半径为5的⊙O经过点C，CE是圆O的切线，且圆的直径AB在线段AE上，设点D是线段AC上任意一点（不含端点），则ODCD的最小值为_____．三、解答题16．抛物线分别交x轴于点，，交y轴于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点D，点M为线段OC上的动点，点N为线段AC上的动点，且．(1)求抛物线的表达式；(2)线段MN，NC在数量上有何关系，请写出你的理由；(3)在M，N移动的过程中，DM＋MC是否有最小值，如果有，请写出理由．17．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点A，B，抛物线恰好经过这两点．(1)求此抛物线的解析式；(2)若点C的坐标是，将绕着点C逆时针旋转90°得到，点A的对应点是点E．①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；②若点P是y轴上的任一点，求取最小值时，点P的坐标．18．已知，在正方形ABCD中，点E，F分别为AD上的两点，连接BE、CF，并延长交于点G，连接DG，H为CF上一点，连接BH、DH，(1)如图1，若H为CF的中点，且，，求线段AB的长；(2)如图2，若，过点B作于点I，求证：；(3)如图2，在（1）的条件下，P为线段AD（包含端点A、D）上一动点，连接CP，过点B作于点Q，将沿BC翻折得，N为直线AB上一动点，连接MN，当面积最大时，直接写出的最小值．19．在平面直角坐标系，，直线经过，点在直线上运动，求最小值．20．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x＋和直线l2：y＝﹣x＋b相交于y轴上的点B，且分别交x轴于点A和点C．（1）求△ABC的面积；（2）点E坐标为（5，0），点F为直线l1上一个动点，点P为y轴上一个动点，求当EF＋CF最小时，点F的坐标，并求出此时PF＋OP的最小值．21．如图1，已知正方形ABCD，AB＝4，以顶点B为直角顶点的等腰Rt△BEF绕点B旋转，BE＝BF＝，连接AE，CF．(1)求证：△ABE≌△CBF．(2)如图2，连接DE，当DE＝BE时，求S△BCF的值．（S△BCF表示△BCF的面积）(3)如图3，当Rt△BEF旋转到正方形ABCD外部，且线段AE与线段CF存在交点G时，若M是CD的中点，P是线段DG上的一个动点，当满足MP+PG的值最小时，求MP的值．22．如果有一条直线经过三角形的某个顶点，将三角形分成两个三角形，其中一个三角形与原三角形相似，则称该直线为三角形的“自相似分割线”．如图1，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=108°，DE垂直平分AB，且交BC于点D，连接AD．(1)证明直线AD是△ABC的自相似分割线；(2)如图2，点P为直线DE上一点，当点P运动到什么位置时，PA+PC的值最小？求此时PA+PC的长度．(3)如图3，射线CF平分∠ACB，点Q为射线CF上一点，当取最小值时，求∠QAC的正弦值．23．如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B，在x轴上有一动点（），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．(1)求a的值和直线AB的函数表达式：(2)设△PMN的周长为，△AEN的周长为，若求m的值．(3)如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到，旋转角为（），连接、，求的最小值．24．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是x＝－且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．(1)求二次函数y＝ax2＋bx＋c的表达式；(2)点P为线段AB上的动点，求AP＋2PC的最小值；(3)抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．25．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．(1)求A、C两点的坐标；(2)连接AC，点P为直线AC上方抛物线上（不与A、C重合）的一动点，过点P作PD⊥AC交AC于点D，PE⊥x轴交AC于点E，求PD+DE的最大值及此时点P的坐标；(3)如图2，将原抛物线沿射线CB方向平移3个单位得到新抛物线y'，点M为新抛物线y'对称轴上一点，在新抛物线y'上是否存在一点N，使以点C、A、M、N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标，并选择一个你喜欢的点写出求解过程；若不存在，请说明理由．最值问题之胡不归【故事介绍】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家，根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归?胡不归?”(“胡”同“何”)而如果先沿着驿道AP先走一段，再走砂石地，会不会更早到家?【模型】由于在驿道和沙砾地带行走的速度不一样，那么，小伙子有没有可能先在驿道上走一段路程后，再走沙砾地带，虽然多走了路，但反而总时间更短呢？如果存在这种可能，那么要在驿道上行走多远才最省时？【模型建立】如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1＜V2，A、B为定点，点P在直线MN上，确定点P的位置使APV【问题分析】APV2+BPV1=1V【问题解决】构造射线AD使得sin∠HAN＝k，PHAP=k，PH＝k·AP将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点P，交AD于H点，此时BP+PH取到最小值，即BP+k·胡不归型问题：当k≠1且k为正数时，若点P在某条直线上运动时，此时所求的最短路径问题称之为“胡不归”问题．那么对于当“PA+k·PB”的值最小时，点P的位置如何确定呢?【问题解决】求形如“PA+k·PB”的最值问题.构造射线BD，使，即将问题转化为求PA十PH的最小值，过A点作AH⊥BD交MN于点P，交BD于点H，此时PA+PH取到最小值，即PA十k·PB的值最小【模型总结】在求形如“PA+kPB＂的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型.而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段.胡不归【题型知识点总结】1、动点轨迹为直线，且求带系数的线段和最值问题2、解法：(1)判系数：提大不提小(2)用正弦：系数边为斜边哪条线段带系数，就以它为边，构造直角三角形，使得其中一个锐角的三角函数值与系数相等(3)作垂线：垂线段最短3、(1)题型特点：出现“PA±(2)解题思路：紧盯“k”的数学特点，利用特殊角的边角关系、或构造“共角模型”的相似三角形，寻找到一条与“kPB”相似的线段，把“PA±kPB”结构转化成“将军饮马问题”的“PA+【找模型】直线上一定点B，一动点P，A为直线外一点，求PA±【用模型】在定点B的异侧构造直角三角形，利用三角函数将含系数的线段进行转换，再根据垂线段最短化折为直，从而得到线段和最小值，最后运用锐角三角函数求解即可。特别说明：胡不归问题和阿氏圆问题有极大相似之处都设计带系数的线段和的最小值。区别是动点运动的轨迹：阿氏圆是动点在圆上，是利用子母型相似转化带系数的线段；胡不归是动点在直线上，是利用正弦函数来转化带系数线段(由系数联想到某特殊角的正弦)。虽然构造方式不同，但思路相同：两定点处于动点轨迹的两侧，通过三点共线解决最短问题。针对训练一、单选题1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、C两点，与x轴交于点，若P是x轴上一动点，点D的坐标为，连接PD，则的最小值是（

）A．4 B． C． D．【答案】A【详解】解：连接BC，过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．∵二次函数的图像与x轴交于点，∴b＝2，∴二次函数的解析式为，令y＝0，-x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），令x＝0，y=3，∴B（0，3），∴OB＝OC＝3，∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵D（0，-1），∴OD＝1，BD＝4，∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°，设，则,∵，∴，∴，∴，∵PJ⊥CB，∴，∴，∴，∵，∴，∴DP+PJ的最小值为，∴的最小值为4．故选：A．2．如图，在中，，，，若是边上的动点，则的最小值（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】如图所示，作点A关于BC的对称点A',连接AA',A'D,过D作DE⊥AC于E∵∠BAC=90o，∠B=60o，AB=2∴BH=1,AH=,AA'=2，∠C=30o∴DE=CD,即2DE=CD∵A与A'关于BC对称∴AD=A'D∴AD+DE=A'D+DE∴当A'，D,E在同一直线上时AD+DE的最小值等于A'E的长,在Rt△AA'E中：A'E=sin60o×AA'=×2=3∴AD十DE的最小值为3∴2AD十CD的最小值为6故选B3．如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值是（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【详解】解：过点C作射线，使，再过动点D作，垂足为点F，连接，如图所示：在中，，∴，∵＝，∴当A，D，F在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长，此时，，∴是等边三角形，∴，在中，，∴，∴，∴，∴，∴，∴的最小值为12，故选：D．4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x＋c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则PD＋PC的最小值是（

）A．4 B．2＋2 C．2 D．【答案】A【详解】解：过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．∵二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与y轴交于点B（0，﹣3），∴c＝﹣3，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（0，-3），∴OB＝OC＝3，∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵D（0，1），∴OD＝1，BD＝4，∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°，设，则,∵，∴，∴，∴，∵PJ⊥CB，∴，∴，∴，∵，∴，∴DP+PJ的最小值为，∴的最小值为4．故选：A．5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，C两点，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：如图，作射线，作于E，作于F，交y轴于，抛物线的对称轴为直线，∴，当时，，∴，当时，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，当点P在时，最小，最大值等于，在中，，，∴，∴，故选：A．二、填空题6．如图，中，，，于点，是线段上的一个动点，则的最小值是__________．【答案】【详解】解：如图，过点D作于，过点C作于．∵，∴，∵，设，，∴，∴，∴或（舍弃），∴，∵，，，∴（等腰三角形两腰上的高相等）∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴的最小值为,故答案为：．7．如图，四边形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+BM的最小值为_____．【答案】4【详解】解：如图，过点A作AT⊥BC于T，过点M作MH⊥BC于H．∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴∠DBC＝∠ABC＝30°，∵MH⊥BC，∴∠BHM＝90°，∴MH＝BM，∴AM+BM＝AM+MH，∵AT⊥BC，∴∠ATB＝90°，∴AT＝AB•sin60°＝4，∵AM+MH≥AT，∴AM+MH≥4，∴AM+BM≥4，∴AM+BM的最小值为4，故答案为：4．8．如图，矩形ABCD中AB＝3，BC，E为线段AB上一动点，连接CE，则AE＋CE的最小值为___．【答案】3【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∴tan∠CAB，∴∠CAB＝30°，∴AC＝2BC＝2，在射线AB的下方作∠MAB＝30°，过点E作ET⊥AM于T，过点C作CH⊥AM于H．∵ET⊥AM，∠EAT＝30°，∴ETAE，∵∠CAH＝60°，∠CHA＝90°，AC＝2，∴CH＝AC•sin6°＝23，∵AE+EC＝CE+ET≥CH，∴AE+EC≥3，∴AE+EC的最小值为3，故答案为3．9．如图，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C（0，1）在y轴上，点P在x轴上运动，则PC＋PB的最小值为_______．【答案】4【详解】如图所示，过P作PD⊥AB于D，∵直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，令x＝0，则y＝﹣3；令y＝0，则x＝3，∴A（0，﹣3），B（3，0），∴AO＝BO＝3，又∵∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，∴△BDP是等腰直角三角形，∴PDPB，∴PC+PB（PCPB）（PC+PD），当C，P，D在同一直线上，即CD⊥AB时，PC+PD的值最小，最小值等于垂线段CD的长，此时，△ACD是等腰直角三角形，又∵点C（0，1）在y轴上，∴AC＝1+3＝4，∴CDAC＝2，即PC+PD的最小值为，∴PC+PB的最小值为4，故答案为：4．10．如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x、y轴于B、C两点，点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，且∠OCB＝60°，点P是直线l上一动点，连接AP，则的最小值是______．【答案】【详解】解：∵点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，∴OA=3，OC=3，作∠OCE=120°，∵∠OCB=60°，则∠OCB=∠BCE=∠FCE=60°，过点P作PG⊥CE于点G，如图：在Rt△PCG中，∠PCG=60°，则∠CPG=30°，∴CG=PC，由勾股定理得PG=PC，∴AP+PC=AP+PG，当A、P、G在同一直线时，AP+PG=AG的值最小，延长AG交y轴于点F，∵∠FCG=60°，∠CGF=90°，∴∠CFG=30°，∴CF=2CG，GF=CF，在Rt△OAF中，∠AOF=90°，∠OFA=30°，∴AF=2OA=6，OF=，∴CF=OF-OC=，∴GF=()=，∴AG=AF-FG=，即AP+PC的最小值为．故答案为：．11．如图，在中，，，半径为的经过点，是圆的切线，且圆的直径在线段上，设点是线段上任意一点不含端点，则的最小值为______．【答案】【详解】解：如图所示，过点作关于的平行线，过点作垂直于该平行线于，，，，，，，，，当，，三点共线，即在图中在位置，在位置的时候有最小，当，，三点共线时，有最小值，此时，的最小值为，故答案为．12．如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______．【答案】【详解】如图，过点作，交的延长线于，

四边形是平行四边形，，∴∵PH丄AD∴∴，，∴当点，点，点三点共线时，HP+PB有最小值，即有最小值，此时，，，∴，则最小值为，故答案为：．13．如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为__________．【答案】6【详解】解：∵一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，∴点A（3，0），点，∴AO＝3，，∴，作点B关于OA的对称点，连接，，过点C作CH⊥AB于H，如图所示：∴，∴，∴，∴是等边三角形，∵，∴，∵CH⊥AB，∴，∴，∴当点，点C，点H三点共线时，有最小值，即2BC＋AC有最小值，此时，，是等边三角形，∴，，∴，∴2BC＋AC的最小值为6．故答案为：6．14．如图，在边长为4的正方形ABCD内有一动点P，且BP＝．连接CP，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．连接CQ、DQ，则DQ+CQ的最小值为________．【答案】5【详解】解：如图，连接AC、AQ，∵四边形ABCD是正方形，PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ，∴∠ACB＝∠PCQ＝45°，∴∠BCP＝∠ACQ，cos∠ACB＝，cos∠PCQ＝，∴∠ACB=∠PCO，∴△BCP∽△ACQ，∴∵BP＝，∴AQ＝2，∴Q在以A为圆心，AQ为半径的圆上，在AD上取AE＝1，∵，，∠QAE＝∠DAQ，∴△QAE∽△DAQ，∴即EQ＝QD，∴DQ+CQ＝EQ+CQ≥CE，连接CE，∴，∴DQ+CQ的最小值为5．故答案为：5．15．如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，半径为5的⊙O经过点C，CE是圆O的切线，且圆的直径AB在线段AE上，设点D是线段AC上任意一点（不含端点），则ODCD的最小值为_____．【答案】【详解】解：作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图所示，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°，∴∠COB=60°，则∠AOF=∠COF=∠AOC=（180°-60°）=60°．∵OA=OF=OC，∴△AOF、△COF是等边三角形，∴AF=AO=OC=FC，∴四边形AOCF是菱形，∴根据对称性可得DF=DO．过点D作DH⊥OC于H，则DH=DC，∴CD+OD=DH+FD．根据两点之间线段最短可得，当F、D、H三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小，∵OF=OA=5，∴，∴即CD+OD的最小值为．故答案为：．三、解答题16．抛物线分别交x轴于点，，交y轴于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点D，点M为线段OC上的动点，点N为线段AC上的动点，且．(1)求抛物线的表达式；(2)线段MN，NC在数量上有何关系，请写出你的理由；(3)在M，N移动的过程中，DM＋MC是否有最小值，如果有，请写出理由．【答案】(1)；(2)，见解析；(3)有，最小值为【详解】（1）把点，代入抛物线中得：，解得：，∴抛物线的解析式为：；（2），理由是：如图1，令，则，即，∵，，∴，，，在中，，，∵，∴，∴，∴，∴；（3）在M，N移动的过程中，有最小值是，理由如下：由（2）知：，∴，即，∴，∴的最小值是的最小值，即D、M、N三点共线时，点D到AC的垂线段DN的长，如图2，抛物线解析式为：；∴对称轴是：，即，∴，在中，，∴，即，∴在M，N移动的过程中，有最小值是．17．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点A，B，抛物线恰好经过这两点．(1)求此抛物线的解析式；(2)若点C的坐标是，将绕着点C逆时针旋转90°得到，点A的对应点是点E．①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；②若点P是y轴上的任一点，求取最小值时，点P的坐标．【答案】(1)；(2)①点E在抛物线上；②P（0，−）【详解】（1）解：当x=0时，y=-4，当y=0时，，∴x=-3，∴A（-3，0），B（0，-4），把A、B代入抛物线，得，∴，∴抛物线解析式为．（2）解：①∵A（-3，0），C（0，6），∴AO=3，CO=6，由旋转知：EF=AO=3，CF=CO=6，∠FCO=90°∴E到x轴的距离为6-3=3，∴点E的坐标为（6，3），当x=3时，，∴点E在抛物线上；②过点E作EH⊥AB，交y轴于P，垂足为H，∵A（−3，0），B（0，−4），∴OA＝3，OB＝4，∴AB＝5，∵，∴，∴，∴HP＋PE的最小值为EH的长，作EG⊥y轴于G，∵∠GEP＝∠ABO，∴tan∠GEP＝tan∠ABO，∴，∴，∴，∴OP＝−3＝，∴P（0，−）．18．已知，在正方形ABCD中，点E，F分别为AD上的两点，连接BE、CF，并延长交于点G，连接DG，H为CF上一点，连接BH、DH，(1)如图1，若H为CF的中点，且，，求线段AB的长；(2)如图2，若，过点B作于点I，求证：；(3)如图2，在（1）的条件下，P为线段AD（包含端点A、D）上一动点，连接CP，过点B作于点Q，将沿BC翻折得，N为直线AB上一动点，连接MN，当面积最大时，直接写出的最小值．【答案】(1)3；(2)见解析；(3)【详解】（1）解：∵四边形是正方形，∴，H为CF的中点，，，设正方形的边长为，，可得，在中，，即，解得，；（2）如图，过点作于点，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，即；（3）如图甲所示，取的中点，连接，连接，以为底边，在的左侧作等腰直角三角形，，，是直角三角形，将沿BC翻折得，是直角三角形，，当时，的面积最大，是的中点，是等腰直角三角形，则也是等腰直角三角形，，此时如图乙所示，则点与重合，，三点共线时，取得最小值，，，，则四边形是矩形，，即的最小值为．19．在平面直角坐标系，，直线经过，点在直线上运动，求最小值．【答案】【详解】解：经过，，，，过点作轴的垂线与轴交于点，点作轴的平行线，过点作该平行线的垂线，两条线相交于点，与直线的交点为；直线与轴的交点，，，，，，，，当、、三点共线时，值最小，，，值最小为．20．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x＋和直线l2：y＝﹣x＋b相交于y轴上的点B，且分别交x轴于点A和点C．（1）求△ABC的面积；（2）点E坐标为（5，0），点F为直线l1上一个动点，点P为y轴上一个动点，求当EF＋CF最小时，点F的坐标，并求出此时PF＋OP的最小值．【答案】（1）S△ABC=；（2）点F坐标为（1，）；PF＋OP的最小值为．【详解】（1）∵l1：y＝x＋，∴当x=0时，y=，当y=0时，x=-3，∴A（-3，0），B（0，），∵点B直线l2：y＝﹣x＋b上，∴b=，∴直线l2的解析式为y＝﹣x＋，∴当y=0时，x=1，∴C（1，0），∴AC=4，OB=，∴S△ABC===．（2）如图，作点C关于直线l1的对称点C′，连接C′E，交l1于F，∵A（-3，0），B（0，），C（1，0），∴AB2=（-3）2+（）2=12，BC2=12+（）2=4，AC2=42=16，∵AC2=AB2+BC2，∴△ABC是直角三角形，∴点C′在直线l2上，∵点C与点C′关于直线l1的对称，∴CC′=2BC=4，设点C′（m，﹣m＋，）∴（m-1）2+（﹣m＋）2=42，解得：m1=-1，m2=3，∵点C′在第二象限，∴m=-1，∴﹣m＋=，∵FC=FC′，∴EF＋CF=EF+FC′，∴当C′、F、E三点共线时EF＋CF的值最小，设直线C′E的解析式为y=kx+b，∴，解得：，∴直线C′E的解析式为，联立直线C′E与l1解析式得，解得：，∴F（1，）．如图，作二、四象限对角线l3，过点F作FG⊥l3于G，交y轴于P，过点F作FQ⊥x轴，交l3于Q，∴直线l3的解析式为y=-x，∠GOP=45°，∴△GOP是等腰直角三角形，∴PG=OP，∴G、P、F三点共线时，PF＋OP的值最小，最小值为FG的长，∵∠GOP=45°，∠POE=90°，∴∠EOQ=45°，∴∠FQO=45°，∴△FGQ是等腰直角三角形，∴FG=FQ，∵F（1，），直线l3的解析式为y=-x，∴Q（1，-1），∴FQ=-（-1）=+1，∴FG=FQ=×（+1）=，∴PF＋OP的最小值为．21．如图1，已知正方形ABCD，AB＝4，以顶点B为直角顶点的等腰Rt△BEF绕点B旋转，BE＝BF＝，连接AE，CF．(1)求证：△ABE≌△CBF．(2)如图2，连接DE，当DE＝BE时，求S△BCF的值．（S△BCF表示△BCF的面积）(3)如图3，当Rt△BEF旋转到正方形ABCD外部，且线段AE与线段CF存在交点G时，若M是CD的中点，P是线段DG上的一个动点，当满足MP+PG的值最小时，求MP的值．【答案】(1)见解析；(2)2或6；(3)【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∵∠EBF＝90°＝∠ABC，∴∠ABE＝∠CBF，又∵BE＝BF，AB＝BC，在△ABE和△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（SAS）；（2）解：如图2，过点E作EH⊥AB于H，∵△ABE≌△CBF，∴S△ABE＝S△CBF，∵AD＝AB，AE＝AE，DE＝BE，∴△ADE≌△ABE（SSS），∴∠DAE＝∠BAE＝45°，∵EH⊥AB，∴∠EAB＝∠AEH＝45°，∴AH＝EH，∵BE2＝BH2+EH2，∴10＝EH2+（4﹣EH）2，∴EH＝1或3，当EH＝1时∴S△ABE＝S△BCF＝AB×EH＝×4×1＝2，当EH＝3时∴S△ABE＝S△BCF＝AB×EH＝×4×3＝6，∴S△BCF的值是2或6；（3）解：如图3，过点P作PK⊥AE于K，由（1）同理可得△ABE≌△CBF，∴∠EAB＝∠BCF，∵∠BAE+∠CAE+∠ACB＝90°，∴∠BCF+∠CAE+∠ACB＝90°，∴∠AGC＝90°，∵∠AGC＝∠ADC＝90°，∴点A，点G，点C，点D四点共圆，∴∠ACD＝∠AGD＝45°，∵PK⊥AG，∴∠PGK＝∠GPK＝45°，∴PK＝GK＝PG，∴MP+PG＝MP+PK，∴当点M，点P，点K三点共线时，且点E，点G重合时，MP+PG值最小，即MP+PG最小，如图4，过点B作BQ⊥CF于Q，∵BE＝BF＝，∠EBF＝90°，BQ⊥EF，∴EF＝2，BQ＝EQ＝FQ＝，∵CQ＝，∴CE＝CQ﹣EQ＝，∵MK⊥AE，CE⊥AE，∴MK∥CE，∴，又∵M是CD的中点，∴DC＝2DM，∴MP＝CE＝．22．如果有一条直线经过三角形的某个顶点，将三角形分成两个三角形，其中一个三角形与原三角形相似，则称该直线为三角形的“自相似分割线”．如图1，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=108°，DE垂直平分AB，且交BC于点D，连接AD．(1)证明直线AD是△ABC的自相似分割线；(2)如图2，点P为直线DE上一点，当点P运动到什么位置时，PA+PC的值最小？求此时PA+PC的长度．(3)如图3，射线CF平分∠ACB，点Q为射线CF上一点，当取最小值时，求∠QAC的正弦值．【答案】(1)直线AD是△ABC的自相似分割线；(2)当点运动到点时，PA+PC的值最小，此时；(3)∠QAC的正弦值为【详解】（1）∵△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=108°∴∠B=∠C=（180°-∠BAC）=36°∵DE垂直平分AB∴AD=BD∴∠B=∠BAD=36°∴∠C=∠BAD又∵∠B=∠B∴△DBA∽△ABC∴直线AD是△ABC的自相似分割线．（2）如图，连接，，垂直平分AB，当点与重合时，,此时最小，，设，则解得：PA+PC=当点运动到点时，PA+PC的值最小，此时；（3）如图，过点作于点，过点作于点，连接，设与交于点，，由（2）知，平分点落在上时，点与点重合，即此时的值最小，最小值为∠QAC的正弦值为23．如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B，在x轴上有一动点（），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．(1)求a的值和直线AB的函数表达式：(2)设△PMN的周长为，△AEN的周长为，若求m的值．(3)如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到，旋转角为（），连接、，求的最小值．【答案】(1)a=-．直线AB解析式为y=-x+3；(2)2；(3)【详解】（1）令y=0，则ax2+（a+3）x+3=0，∴（x+1）（ax+3）=0，∴x=-1或-，∵抛物线y=ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），∴-=4，∴a=-．∵A（4，0），B（0，3），设直线AB解析式为y=kx+b，则，解得，∴直线AB解析式为y=-x+3；（2）如图1，∵PM⊥AB，PE⊥OA，∴∠PMN=∠AEN，∵∠PNM=∠ANE，∴△PNM∽△ANE，∵∴，∵NE∥OB，∴，∴，∵抛物线解析式为，∴，∴，解得m=2或4，经检验x=4是分式方程的增根，∴m=2；（3）如图2，在y轴上取一点M′使得OM′=，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′=OE．∵OE′=2，OM′•OB=，∴OE′2=OM′•OB，∴，∵∠BOE′=∠M′OE′，∴△M′OE′∽△E′OB，∴，∴，∴，此时最小（两点间线段最短，A、M′、E′共线时），最小值．24．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是x＝－且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．(1)求二次函数y＝ax2＋bx＋c的表达式；(2)点P为线段AB上的动点，求AP＋2PC的最小值；(3)抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)抛物线表达式为：；(2)AP+2PC的最小值是；(3)存在或或或，使得以点A、M、N为顶点的三角形与相似．【详解】（1）中，当x=0时，y=2，当y=0时，x=-4，∴C（0，2），A（-4，0），由抛物线的对称性可知：点A与点B关于对称，∴点B的坐标为（1，0）．∵抛物线y=ax2+bx+c过A（-4，0），B（1，0），可设抛物线表达式为y=a（x+4）（x-1），又∵抛物线过点C（0，2），∴2=-4a，∴，∴抛物线表达式为：；（2）如图1，作∠OAE=30°，交y轴于E，过点P作PH⊥AE于H，,,∴当C，P，H三点共线时，AP+2PC的值最小，∵∠APH=∠OPC，∠COP=∠AHP=90°，∴∠OCP=∠OAE=30°，Rt△AOE中，AO=4，,Rt△CHE中，,∴AP+2PC的最小值是;（3）∵A（-4，0），B（1，0），C（0，2），,∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，AC=2BC，点A，M，N为顶点的三角形与△ABC相似存在以下3种情况：①如图2，当M点与C点重合，即M（0，2）时，△MAN∽△BAC；②如图