高考总复习文数（北师大版）讲义第8章第01节空间几何体的结构特征三视图与直观图

第一节空间几何体的结构特征、三视图与直观图考点高考试题考查内容核心素养空间几何体的结构特征近三年无单独考查三视图与直观图近三年无单独考查高考分析本节内容在高考中一般不单独考查，多与后面几何体的体积、表面积结合考查.1．空间几何体的结构特征(1)旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形矩形任一边所在的直线圆锥直角三角形一条直角边所在的直线圆台直角梯形或等腰梯形直角腰所在的直线或等腰梯形上下底中点的连线球半圆或圆直径所在的直线(2)多面体的结构特征多面体结构特征棱柱有两个面平行，其余各面都是四边形且每相邻两个四边形的公共边都互相平行棱锥有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形棱台棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫作棱台2．直观图(1)平面图形直观图的画法斜二测画法的规则是：①在已知图形中建立直角坐标系xOy，画直观图时，它们分别对应x′轴和y′轴，两轴交于点O′，使∠x′O′y′＝45°，它们确定的平面表示水平平面.②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴和y′轴的线段．③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的eq\f(1,2).3．三视图(1)三视图的特点：①主、俯视图长对正；②主、左视图高平齐；③俯、左视图宽相等，前后对应．(2)绘制简单组合体的三视图要注意以下几点：①若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出．不可见轮廓线，用虚线画出．②确定主视、俯视、左视的方向时，同一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不同.③看清简单组合体是由哪几个基本几何体组成的，并注意它们的组成方式，特别是它们的交线位置．提醒：1．辨明三个易误点(1)台体可以看成是由锥体截得的，但一定要强调截面与底面平行．(2)注意空间几何体的不同放置对三视图的影响．(3)几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系．2．直观图与原图形面积的关系按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：(1)S直观图＝eq\f(\r(2),4)S原图形．(2)S原图形＝2eq\r(2)S直观图．1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．()(2)用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝90°.()(3)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．()答案：(1)×(2)×(3)×2．(教材习题改编)用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是()A．圆柱 B．圆锥C．球 D．圆柱、圆锥、球的组合体解析：选C当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面．3．关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是()A．棱柱的侧棱长都相等B．棱锥的侧棱长都相等C．三棱台的上、下底面是相似三角形D．有的棱台的侧棱长都相等解析：选B根据棱锥的结构特征知，棱锥的侧棱长不一定都相等．4．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()解析：选B根据选项A、B、C、D中的直观图，画出其三视图，只有B项正确．5．如图，直观图所表示的平面图形是()A．正三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．直角三角形解析：选D由直观图中，A′C′∥y′轴，B′C′∥x′轴，还原后如图AC∥y轴，BC∥x轴．所以△ABC是直角三角形．故选D．空间几何体的结构特征[明技法]解决与空间几何体结构特征有关问题的三个技巧(1)把握几何体的结构特征，要多观察实物，提高空间想象能力．(2)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，如典例(2)中的A，C两项易判断失误．(3)通过反例对结构特征进行辨析．[提能力]【典例】下列说法正确的是()A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点解析：选BA错，如图(1)；B正确，如图(2)，其中底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，可证明∠PAB，∠PCB，∠PDA，∠PDC都是直角，这样四个侧面都是直角三角形；C错，如图(3)；D错，由棱台的定义知，其侧棱的延长线必相交于同一点．[刷好题](金榜原创)给出下列四个命题：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；④若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．其中错误的命题的序号是________．解析：认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故①③都不正确，②中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故也不正确，④平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行，故④也不正确．答案：①②③④空间几何体的三视图[析考情]空间几何体的三视图是历年高考的热点内容，一般以选择题或填空题的形式考查，主要考查识图、三视图的还原及简单计算等．[提能力]命题点1：由空间几何体的直观图判断其三视图【典例1】一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是()解析：选B该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等，因此选项B适合．命题点2：由空间几何体的三视图求解其直观图【典例2】(2018·锦州模拟)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()解析：选DA，B的正视图不符合要求，C的俯视图显然不符合要求，故选D．命题点3：由空间几何体的部分视图求其他视图【典例3】(2018·锦州模拟)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为()解析：选B先根据正视图和俯视图还原出几何体，再作其侧(左)视图．由几何体的正视图和俯视图可知该几何体为图①，故其侧(左)视图为图②.[悟技法]三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图：注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向；注意能看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的视图解决此类问题，可先根据已知的一部分视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入检验．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．[刷好题]1．(2017·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为()A．3eq\r(2) B．2eq\r(3)C．2eq\r(2) D．2解析：选B在正方体中还原该四棱锥，如图所示．可知SD为该四棱锥的最长棱．由三视图可知正方体的棱长为2，故SD＝eq\r(22＋22＋22)＝2eq\r(3).故选B．2．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P－BCDA．1∶1 B．2∶1C．2∶3 D．3∶2解析：选A根据题意，三棱锥P－BCD的正视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高；侧视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高．故三棱锥P－BCD的正视图与侧视图的面积之比为1∶1.空间几何体的直观图[明技法][提能力]【典例】如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2A．正方形 B．矩形C．菱形 D．一般的平行四边形解析：选C如图，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×2eq\r(2)＝4eq\r(2)(cm)，CD＝C′D′＝2(cm)，所以OC＝eq\r(OD2＋CD2)＝eq\r(4\r(2)2＋22)＝6(cm)，所以OA＝OC，故四边形OABC是菱形，因此选C．[母题变式]若本例中直观图为如图所示的一个边长为1cm的正方形，解：将直观图还原为平面图形，如图．可知还原后的图形中OB＝2eq\r(2)，AB＝eq\r(12＋2\r(2)2)＝3，于是周长为2×3＋2×1＝8(cm)．[刷好题