第二十三章旋转(知识归纳+题型突破)(八大题型134题)(原卷版+解析)-2023-2024学年九年级数学上册单元速记·巧练(人教版)

第二十三章旋转（知识归纳+题型突破）1.通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转。探索它的基本性质:一个图形和旋转得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等.2.了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它们的基本性质;成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分.3.探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质.4.认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形.1、旋转把一个平面图形绕着平面内的一点O转动一个角度。（旋转中心：O点，旋转角：转动的角度）2、性质①对应点到旋转中心的距离相等②对应点到旋转中心所连线段的夹角等于旋转角③旋转前后的图形全等3、中心对称把一个图形绕着某一点O旋转180度，如果它能够与另一个图形重合，这两个图形关于这个点对称或中心对称4、性质①对称点所连线段都经过对称中心，且被对称中心所平分②中心对称的图形是全等图形5、中心对称把一个图形绕着某一点o旋转180度后能与原图形重合,主体：一个图形，而中心对称指的是两个4、关于原点对称的坐标P(x，y)→P（-x，-y）题型一旋转三要素【例1】如图，和都是等边三角形.（1）沿着______所在的直线翻折能与重合；（2）如果旋转后能与重合，则在图形所在的平面上可以作为旋转中心的点是______；（3）请说出2中一种旋转的旋转角的度数______.巩固训练：1．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在正方形网格中，图中阴影部分的两个图形是一个经过旋转变换得到另一个的，其旋转中心可能是（

）

A．点A B．点 C．点 D．点2．（2023春·福建漳州·八年级统考期末）如图，在方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（

）

A．点 B．点 C．点 D．点3．（2023春·四川成都·八年级统考期末）如图，小明荡秋千，位置从A点运动到了点，若，则秋千旋转的角度为（）

A． B． C． D．4．（2021秋·广东江门·九年级台山市新宁中学校考期中）如图，将中，，将其绕点顺时针方向旋转到的位置，使得在同一条直线上，那么旋转角的度数为（）A． B． C． D．5．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，如果将正方形甲旋转到正方形乙的位置，可以作为旋转中心的点有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（）A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M或O或C7．（2023春·山东滨州·八年级统考期末）如图，在正方形网格中，绕某点旋转一定的角度得到，则旋转中心的坐标是．

8．（2023春·山东菏泽·八年级统考期末）如图，网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A、B都在格点上．线段AB绕着某一定点顺时针旋转一个角度后，得到线段（点、分别是A、B的对应点，也都在格点上），则的大小是．

9．（2022秋·广东汕头·九年级汕头市龙湖实验中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中的位置，且，将其绕点P顺时针旋转得到，则点P的坐标是，旋转角是度.

10．（2023春·福建福州·八年级福州日升中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为，，，绕原点逆时针旋转，得到，向右平移6个单位，再向上平移2个单位得到．

(1)画出和；(2)是的上一点，经旋转、平移后点P的对应点为，则点的坐标是．(3)若直接旋转得到，则旋转点M坐标是．11．（2022秋·河南周口·九年级统考期中）如图所示，在平面直角坐标系中，有一个，且，，，已知是由旋转得到的．

(1)请写出旋转中心的坐标是___________，旋转角是___________度；(2)以（1）中的旋转中心为中心，分别画出逆时针旋转、后的三角形；(3)设两直角边，，斜边，利用变换前后所形成的图案证明勾股定理．12．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）如图，直线、相交于点，且所成的锐角为，画出关于直线的对称图形，然后画出关于直线n的对称图形，你能发现与有什么关系吗？若是平移，指出平移的方向和距离；若是旋转，指出旋转的中心和角度．

题型二图形旋转性质的应用【例2】（2022秋·湖北荆州·九年级统考期中）如图，中，，，，逆时针旋转一定角度后与重合，且点C恰好成为的中点．

(1)指出能转中心，并求出旋转的度数；(2)求出的度数和的长．【例3】如图，在等腰中，分别为上的点，且，将绕点逆时针旋转．

(1)如图，当时，求证：；(2)若，求的长；(3)在旋转过程中，直接写出的最大值．巩固训练1．（2023秋·山东济南·八年级统考期末）如图，将绕点A按逆时针方向旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的度数为（

）

A． B． C． D．2．（2023秋·辽宁辽阳·九年级统考期末）如图，正方形的边长为2，将正方形绕原点O逆时针旋转，则点B的对应点的坐标为（

）

A． B． C． D．3．（2022秋·河北保定·九年级校联考期中）如图，在矩形中，．将矩形绕点A逆时针旋转，得到矩形．点的对应点落在上，且．则的长为（

）A． B．4 C．5 D．34．（2022秋·辽宁鞍山·九年级统考期中）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，此时点恰好在边上，与交于点，则长为（

）

A．2 B． C． D．5．（2023·宁夏·统考中考真题）如图，在中，，，．点在上，且．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．则的面积是（

）

A． B． C． D．6．（2023春·河北保定·八年级保定市第十七中学校联考期末）在《数学知识PK赛》上，天逸同学给竞争对手抛出了一道旋转题，做为观赛选手，请大家都来挑战一下：如图，将绕点逆时针旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的大小是（

）

A． B． C． D．7．（2023秋·新疆和田·九年级统考期末）如图，是等边三角形，点P在内，，将绕点A逆时针旋转得到，则PQ的长等于（

）A．1 B．2 C．3 D．48．（2022秋·广东深圳·九年级校考开学考试）如图，正方形的边长为6，点E、F分别在上，若，且，则的长为（

）A． B． C． D．9．（2023春·江苏南通·八年级南通田家炳中学校考阶段练习）如图，在菱形中，，，把菱形绕点顺时针旋转得到菱形，则图中阴影部分的面积为（

）

A． B． C．3 D．10．（2023·全国·九年级专题练习）如图，将绕点逆时针旋转得到，点和点是对应点，若，，则的长为（

）

A．2 B． C．4 D．11．（2023春·天津北辰·九年级校考阶段练习）如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接．下列结论错误的是（

）

A． B． C． D．12．（2022秋·黑龙江大庆·八年级校联考期中）如图，绕点A顺时针旋转某个角度得到．已知，，、相交于点F，、相交于点G，则的度数为.

13．（2023·吉林松原·校联考二模）如图，在矩形中，．将矩形沿翻折，使点恰好落在边上的处，再将四边形绕点逆时针旋转得到四边形，交于点，则的面积为．

14．（2022秋·河北保定·九年级校联考期中）如图，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在边上．（1）是等腰三角形吗?（选填“是”或“否”）；（2）若，则．15．（2023秋·陕西安康·九年级统考期末）如图，在中，，D是的中点，将绕点A逆时针旋转得，点D，C分别对应点E，F，连接，若，则的度数为．

16．（2022秋·辽宁鞍山·九年级统考期中）如图，中，，；，绕点顺时针旋转，点，的对应点分别为，，过作的垂线，垂足为，若，则．

17．（2022秋·辽宁铁岭·九年级校联考期中）如图，在正方形内作，交于点交于点，连接，过点作，垂足为，将绕点顺时针旋转得到，若，，则的长为．

18．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在矩形中，，将矩形绕点旋转一定角度后得矩形，交于点，且，则的长为．

19．（2023春·河北保定·八年级保定十三中校考期末）图中和是两个等边三角形，其中，，如图①，(1)将两三角形按图1放置（点A，，在同一条直线上），连接线段，，求线段的长；(2)将绕点A逆时针旋，如图2所示，直线，相交于点，连接．求证：；(3)以图1的位置为起点，将绕点A逆时针旋转，当点，，恰好在一条直线上时，直接写出线段的长度．20．（2023秋·山西阳泉·九年级校考期末）把两个全等的等腰直角三角板和（其直角边均为4）叠放在一起（如图1），且使三角板的直角顶点G与三角板的斜边中点O重合，现将三角板绕点O按顺时针方向旋转（旋转角α满足条件：），四边形是旋转过程中两三角形的重叠部分（如图2）．在上述旋转过程中．

(1)与有怎样的数量关系?(2)四边形的面积有何变化?请证明你的发现．21．（2023秋·山东济南·八年级统考期末）如图1，等腰直角三角形中，，，点D是边上的一点，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，连结．

(1)①填空：线段与的数量关系是_________，位置关系是__________．②证明上述结论成立．(2)如图2，F是的中点，连结交于H，若，时，求的长．22．（2023秋·陕西安康·九年级统考期末）如图，四边形是正方形，点F是延长线上一点，连接，将绕点A旋转一定角度后得到．

(1)若，求的度数；(2)若，，求的长．23．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）如图，在中，，，点D是内一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接、．求证：．

24．（2023·全国·九年级专题练习）如图，绕点按逆时针方向旋转后到达的位置，设与、分别交于点、．

(1)若的周长为，，，求的长；(2)若，，求的大小．25．（2023·全国·九年级专题练习）如图，点是等边内一点，，将绕点按顺时针方向旋转得，连接．

(1)判断的形状，并证明；(2)当时，试判断的形状，并说明理由；(3)直接写出为多少度时，是等腰三角形？26．（江西省赣州市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）（1）观察发现如图1，和都是等边三角形，且点B、C、E在一条直线上，连接和相交于点P填空：①线段与的数量关系是______；②的度数为______．

（2）深入探究如图2，将绕点C逆时针旋转一定的角度，其他条件与（1）中相同，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由．

（3）拓展应用如图3，四边形中，，，，，，求边的长度．

27．（2023秋·山西晋城·七年级统考期末）综合与实践如图①，为直线上一点，在点处将一副直角三角板按如图所示的方式摆放．

(1)将图①中的直角三角板绕点顺时针旋转一定的角度得到图②，使边恰好平分，问是否平分？请说明理由．(2)如果将图①中的直角三角板绕点顺时针旋转一定的角度得到图③．①使边在内部，那么与之间存在怎样的数量关系？请说明理由．②若继续旋转三角板，直到与重合，请直接写出与之间的数量关系．28．（2023·全国·九年级专题练习）如图，中，，，，将绕点逆时针旋转得到．在旋转过程中：

(1)旋转中心是什么，为多少度？(2)与线段相等的线段是哪一条？(3)的面积是多少？题型三图形旋转的规律探究【例4】（1）（2022秋·全国·九年级专题练习）等边三角形（三条边都相等的三角形是等边三角形）纸板ABC在数轴上的位置如图所示，点A、B对应的数分别为2和1，若△ABC绕着顶点逆时针方向在数轴上连续翻转，翻转第1次后，点C所对应的数为0，则翻转2023次后，点C所对应的数是（）A．﹣2021 B．﹣2022 C．﹣2023 D．﹣2024（2）（2023·全国·九年级专题练习）如图是一个装饰连续旋转闪烁所成的四个图形，照此规律闪烁，第2021次闪烁呈现出来的图形是（）A． B． C． D．巩固训练1．（2023·全国·九年级专题练习）依次观察三个图形：，并判断照此规律从左向右第四个图形是（

）A． B． C． D．2．（2022秋·全国·九年级专题练习）有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45°，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②，……，则第2021次旋转后得到的图形与图①﹣④中相同的是（

）A．图① B．图② C．图③ D．图④3．（2023·全国·九年级专题练习）如图，矩形ABCD中AB是3cm，BC是2cm，一个边长为1cm的小正方形沿着矩形ABCD的边AB→BC→CD→DA→AB连续地翻转，那么这个小正方形第一次回到起始位置时，小正方形箭头的方向是（

）A． B． C． D．4．（2022秋·九年级课时练习）第一次：将点绕原点逆时针旋转得到；第二次：作点关于轴的对称点；第三次：将点绕点逆时针旋转得到；第四次：作点关于轴的对称点…，按照这样的规律，点的坐标是（

）A． B． C． D．5．（2020秋·浙江·七年级期中）图1是正方体的平面展开图，六个面的点数分别为1、2、3、4、5、6，将点数朝外折叠成一枚正方体骰子，并放置于水平桌面上，如图2所示，若骰子初始位置为图2所示的状态，将骰子向右翻滚，则完成1次翻转，此时骰子朝下一面的点数是2，那么按上述规则连续完成2次翻折后，骰子朝下一面的点数是3；则连续完成2020次翻折后，骰子朝下一面的点数是（

）A．2 B．3 C．4 D．56．（2023春·河北保定·八年级保定十三中校考期末）如图1，将一个正三角形绕其中心最少旋转，所得图形与原图的重叠部分是正六边形；如图2，将一个正方形绕其中心最少施转，所得图形与原图形的重叠部分是正八边形；依此规律，将一个正六边形绕其中心最少旋转，所得图形与原图的重叠部分是正多边形．在图2中，若正方形的边长为2，则所得正八边形的面积为．7．（2022·江苏常州·校考二模）如图，一个机器人最初面向北站立，按程序：每次移动都向前直走，然后逆时针转动一个角度，每次转动的角度增加．第一次直走后转动，第二次直走后转动，第三次直走后转动，如此下去．那么它在移动过程中第二次面向西方时一共走了米．8．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，将边长为1的正三角形沿轴正方向作无滑动的连续反转，点依次落在点，，的位置，则点的坐标为．9．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，把正方形铁片置于平面直角坐标系中，顶点的坐标为（3，0），点在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，…，则正方形铁片连续旋转2019次后，则点的坐标为.题型四坐标系内的图形旋转【例5】（2023·广东佛山·校考三模）如图，，，将线段绕点顺时针旋转到，则点坐标为（

）

A． B． C． D．【例6】（2023春·江苏·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，把线段绕点A旋转后得到线段，使点B的对应点落在x轴上，则点的坐标是（

）A． B． C．或 D．或巩固训练1．（2022秋·云南昭通·九年级统考期中）在平面直角坐标系中，把点向右平移5个单位长度得到点，再将点绕原点旋转得到点，则点的坐标是（

）A． B． C．或 D．或2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，平行四边形中，，，对角线交于点P，将平行四边形绕点O顺时针旋转，旋转后点P的坐标为（

）

A． B． C． D．3．（2023·四川雅安·统考中考真题）在平面直角坐标系中．将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转，再向上平移1个单位长度，所得直线的函数表达式为（

）A． B． C． D．58．（2023·全国·九年级专题练习）如图，的各顶点都在正方形网格的格点上，其中点A的坐标为，将绕点逆时针旋转后，得到，则点的坐标为（

）

A． B． C． D．4．（2023·湖北荆州·统考中考真题）如图，直线分别与轴，轴交于点，，将绕着点顺时针旋转得到，则点的对应点的坐标是（）

A． B． C． D．5．（2023秋·河南许昌·九年级许昌市第一中学校联考期末）如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A点的坐标是，将绕点A逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点B的坐标为（

）

A． B． C． D．6．（2023春·河南南阳·八年级校考阶段练习）如图，已知菱形的顶点，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为（

）

A． B． C． D．7．（2023春·广东惠州·八年级校考期中）如图，将含有角的直角三角板按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，在x轴上，若，将三角板绕原点O逆时针旋转，每秒旋转，则第2023秒时，点B的对应点的坐标为（）

A． B． C． D．8．（2023·江苏·八年级假期作业）如图在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标是，，顶点的坐标是，，对角线、的交点为将正方形绕着原点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为(

)A． B． C． D．9．（2023·山东东营·校联考一模）如图，在直角坐标系中，边长为2个单位长度的正方形绕原点O逆时针旋转，再沿y轴方向向上平移1个单位长度，则点的坐标为（

）A． B． C． D．10．（2023·全国·九年级专题练习）平面直角坐标系内一点，点绕着原点逆时针旋转后的坐标是；11．（2023春·甘肃白银·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，将点绕原点O逆时针旋转得到点，则．12．（2023春·江苏南通·八年级南通田家炳中学校考阶段练习）如图，将绕点旋转得到，设点的坐标为，则点A的坐标为．

13．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为，点A的坐标为，将点A绕点C顺时针旋转90°得到点B，则点B的坐标为．

14．（2022秋·甘肃金昌·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形绕点O逆时针旋转45°后得到正方形，继续旋转至2019次得到正方形，则点的坐标是．15．（2023春·河北保定·八年级保定市第十七中学校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点坐标分别是，，．

(1)请画出绕着点逆时针旋转后得到的；(2)请画出关于轴对称的；(3)若内部一点在中的对称点，在中的对称点为，则点，的坐标分别为_______，________16．（2023·全国·九年级专题练习）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后的顶点均在格点上，点C的坐标为．

(1)以原点O为旋转中心，将绕点O顺时针方向旋转后得到，画出，并写出的坐标．(2)计算的面积．17．（2023·全国·九年级假期作业）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点C的坐标为．

(1)写出A、B两点的坐标；(2)画出绕点C旋转后得到的．(3)直接写出的面积______．18．（2023秋·黑龙江大庆·九年级统考期末）如图，抛物线向右平移1个单位得到抛物线，回答下列问题：

(1)抛物线的顶点坐标__________；(2)阴影部分的面积__________；(3)若再将抛物线绕原点旋转得到抛物线，求抛物线的解析式．题型五图形中心对称的性质应用【例7】（2023秋·河北邢台·九年级统考期末）如图，和关于点成中心对称．

(1)找出它们的对称中心；(2)若，求的周长；巩固训练：1．（2023春·福建泉州·七年级统考期末）如图，与关于点成中心对称，连接、，以下结论错误的是（

）

A． B．C． D．2．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，已知图形和图形中关于点A中心对称，都是线段，是一段圆弧．嘉琪对其进行测量后得到以下四个结论，其中一定错误的是（）

A． B．图形的内角和是 C． D．3．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（

）A．点A与点是对称点 B．C． D．4．（2023·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中有A，B，三个点，点B的坐标是，点A，点关于点B中心对称，若将点A往右平移4个单位，再往上10个单位，则与重合，则点A的坐标是．5．（2023·全国·九年级专题练习）如图，与关于点O成中心对称，有以下结论：①点A与点是对称点；②；③；④．其中正确结论的个数为个．

6．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，△ABC与△DBE关于点B成中心对称，若∠A=90°，∠ADC=30°，DE=2，则AB的长为．7．（2022秋·九年级单元测试）如图，与成中心对称，是的中位线，是的中位线，已知，则．8．（2023春·江苏泰州·八年级校考期中）如图，边长为8的正方形和边长为12的正方形排放在一起，和分别是两个正方形的对称中心，则阴影部分的面积为．9．（2023·全国·九年级假期作业）如图，与关于点成中心对称，，则的长是．10．（2023春·河南周口·七年级校联考期末）如图，在中，是边上的中点，已知，．

(1)画出关于点的中心对称图形；(2)求线段长的取值范围．11．（2023春·江苏南京·八年级南京五十中校联考期中）（1）如图①，等边三角形ABC的3个顶点都在上，仅用无刻度的直尺画出关于点O的中心对称图形.

（2）如图②，正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，连接AF、DE，△ABF按顺时针方向旋转后得到△DAE，仅用无刻度的直尺画出旋转中心．

12．（2023春·河北沧州·八年级校考阶段练习）一次函数的两组x、y的对应值如图，在平面直角坐标系中画出了它的图象为直线l（如图14-1），王英为观察k、b对图象的影响，将上面函数中的k与b交换位置后得到另一个一次函数，设其图象为直线.

(1)求直线的解析式；(2)直接写出直线的表达式为___________，并在图1中画出直线；(3)若）是x轴上的一个动点，过点P作y轴的平行线，分别交直线l、于点M、N，当时，求m的值；(4)若是y轴上的一个动点，过点Q作x轴的平行线，分别与直线l、及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出n的值___________.

题型六中心对称图形【例8】（2023秋·山西大同·九年级统考期末）剪纸，作为中国传统文化艺术，象征纳福吉祥，寄托人们对美好生活的向往．下列剪纸图案中，是中心对称图形的是（

）A．

B．

C．

D．

巩固训练：1．（2023春·山东济南·八年级统考期末）下列卡通图标分别是“星球”、“宇航员”、“星系”和“黑洞”，其中是中心对称图形的是（

）A．

B．

C．

D．

2．（2023春·河南南阳·七年级统考期末）下列说法正确的有（

）个①三角形的一个外角大于它的任何一个内角②若一个三角形的三个内角度数的比为，则这个三角形是直角三角形③长方形既是中心对称图形又是轴对称图形④如图，图形绕着中心旋转或或后能与自身重合

A．1 B．2 C．3 D．43．（2023年陕西省中考数学试卷（A卷））下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（

）A．

B．

C．

D．

4．（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）下面四个图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（

）A．

B．

C．

D．

5．（2023春·江苏无锡·八年级无锡市东林中学校考期末）雪花、风车…展示着中心对称的美，利用中心对称，可以探索并证明图形的性质，请思考在下列图形中，是中心对称图形但不一定是轴对称图形的为（）A．菱形 B．平行四边形 C．等边三角形 D．矩形6．（2022秋·湖北荆州·九年级统考期中）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史，2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（

）A．

B．

C．

D．

7．（2023春·江苏南京·八年级校联考期末）下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．8．（2023春·浙江金华·八年级校考期中）在实施垃圾分类过程中，下列图形分别是有害垃圾、可回收物、厨余垃圾及其它垃圾的标志，以下标志是中心对称图形的是（）A． B． C． D．9．（2023春·河北保定·八年级保定市第十七中学校联考期末）在学习《图形的平移和旋转》时，爱思考的博涵同学发现在下列几种著名的数学曲线中，有一种既是轴对称图形又是中心对称图形，请同学们找出是哪一个？（

）A．

笛卡尔爱心曲线 B．蝴蝶曲线C．费马螺线曲线 D．

科赫曲线10．（2023秋·河北沧州·八年级校考期末）下列图形均表示医疗或救援的标识，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．11．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期中）古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说：“美的线型和其他一切美的形体，都必须有对称形式．”下面的图形中，是中心对称图形的是（

）A．

B．

C．

D．

题型七坐标系内的关于原点的对称问题【例9】如果，那么点关于原点的对称点的坐标为（

）A． B． C． D．巩固训练：1．（2023秋·河北唐山·九年级统考期末）已知点与点关于原点对称，则的值是（

）A．2 B． C． D．42．在平面直角坐标系中，点绕原点逆时针旋转180°得到点，则点的坐标是（）A． B． C． D．3．（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）若点关于原点的对称点，那么．4．（2023·全国·九年级专题练习）平面直角坐标系内一点关于轴对称的点是，点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度到点，点关于原点的对称点是点，则点的坐标是．5．（2023秋·山东济南·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则．6．（2023春·甘肃白银·八年级校考期中）在平面直角坐标系下，将点向上平移3个单位，对应的点为，点与点关于原点对称，则点的坐标为．7．（2023秋·重庆开州·九年级统考期末）平面直角坐标系内与点关于原点对称的点的坐标是，则．8．（2022秋·云南昭通·九年级统考期中）已知、两点，若A、B两点关于原点对称，则．9．（2022秋·辽宁盘锦·九年级校考期中）已知点与点关于原点对称，则的值为．10．（2023春·山东滨州·八年级统考期末）已知平行四边形的两条对角线相交于平面直角坐标系中的原点O，点，，则点D的坐标为．题型八二次函数图象综合问题【例9】（2023春·福建福州·九年级统考期中）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，连接．(1)求证：；(2)若，证明：直线与互相垂直．【例10】（2022秋·吉林白城·九年级统考阶段练习）如图，在中，，，点是内一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接、．求证：．巩固训练：1．（2023·广东广州·统考二模）如图，在矩形中，，，将矩形绕点A逆时针旋转至矩形，旋转角为，当点C，和三点共线时，的长为（

）．

A． B． C． D．2．（2023春·江苏南京·八年级南京市第二十九中学校考阶段练习）对于题目：“如图，平面上，正方形内有一长为、宽为的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转即平移或旋转的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数”甲、乙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长，再取最小整数．甲：如图，思路是当为矩形对角线长时就可移转过去；结果取．乙：如图，思路是当为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去：结果取．下列正确的是（

）A．甲的思路对，他的值错 B．乙的思路错，他的值对C．甲和乙的思路都对 D．甲和乙的值都对3．（2023春·江苏南通·八年级校考阶段练习）如图，边长为1的正方形绕点A逆时针旋转45度后得到正方形，边与交于点，则四边形的周长是（）．A．3 B． C． D．4．（2023春·辽宁鞍山·七年级校考阶段练习）将一副直角三角板按如图1所示位置摆放，其中，，．若将三角板绕点A按每秒的速度顺时针旋转，如图2，在此过程中，设旋转时间为t秒，当线段与三角板的一条边平行时，．

5．（2023·河北唐山·统考二模）小明遇到一个问题：个同样大小的正方形纸片，边长是，排列形式如图所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形．他的做法是：按图所示的方法分割后，将三角形纸片①绕的中点旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形．则新正方形的面积是；如图，在面积为的平行四边形中，点分别是边的中点，分别连接得到一个新的平行四边形．则平行四边形面积的大小是．6．（2023·湖北鄂州·统考二模）如图，是等边内的一点，．若的面积为，则边的长为．

7．（2023春·七年级单元测试）如图，已知直线，点、分别在、上，射线自射线的位置开始，以每秒的速度绕点逆时针旋转至便立即顺时针回转，旋转至后停止运动，射线自射线的位畳开始，以每秒的速度绕点顺时针嫙转至后停止运动，若射线先旋转秒，射线才开始转动，当射线，互相平行时，射线的旋转时间（）为秒．8．（2023春·八年级课时练习）如图，平行四边形绕点逆时针旋转32°，得到平行四边形，点恰好落在边上，和交于点，则的度数是．9．（2022秋·上海静安·八年级上海市民办扬波中学校考期中）已知：中，，，将绕点B按顺时针方向旋转．

(1)当转到边上点位置时，转到，（如图1所示）直线和相交于点，试判断线段和线段之间的数量关系，并证明你的结论；(2)将Rt继续旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．10．（2023·全国·九年级专题练习）将一副直角三角板和如图（1）放置，此时四点在同一条直线上，点在边上，其中，，．

(1)求的度数；(2)将图（1）中的三角板绕点A以每秒10°的速度，按顺时针方向旋转一定的角度后，记为三角板，设旋转的时间为t秒．①如图（2），当旋转至，求a的值；②若在旋转过程中，三角板的某一边恰好与所在的直线平行，直接写出t的值．11．（2023·四川德阳·统考中考真题）将一副直角三角板与叠放在一起，如图1，，，，．在两三角板所在平面内，将三角板绕点O顺时针方向旋转（）度到位置，使，如图2．

(1)求的值；(2)如图3，继续将三角板绕点O顺时针方向旋转，使点E落在边上点处，点D落在点处．设交于点G，交于点H，若点G是的中点，试判断四边形的形状，并说明理由．12．（2022秋·广东珠海·九年级珠海市紫荆中学桃园校区校考期中）已知:如图和都是等边角形．是延长线上一点，与相交于点．、相交于点，、相交于点．

(1)在图①中，求证:；(2)当绕点沿逆时针方向旋转到图②时，________．13．（2023春·陕西西安·八年级校考阶段练习）问题探究将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一种基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现．题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化．

问题提出：如图1，是边长为1的等边三角形，P为内部一点，连接、、，求的最小值．方法分析：通过转化，把由三角形内一点发出的三条线段（星型线）转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）．问题解决：如图2，将绕点逆时针旋转至，连接，记与交于点，易知．由，可知为正三角形，有．故．因此，当共线时，有最小值是．学以致用：(1)如图3，在中，为内部一点，连接，则的最小值是________．(2)如图4，在中，为内部一点，连接，求的最小值．14．（2023·北京朝阳·统考二模）在中，，，点D在边上（不与点B，C重合），将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接．

(1)根据题意补全图形，并证明：；(2)过点C作的平行线，交于点F，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．15．（2023·北京顺义·统考二模）已知：，，分别是射线，上的点，连接，以点为旋转中心，将线段绕着点逆时针旋转，得到线段，连接，．(1)如图1，当时，求证：；

(2)当时，依题意补全图2，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．

16．（2023春·安徽合肥·八年级合肥寿春中学校考期中）如图，和均为等腰直角三角形，，，．现将绕点B旋转．(1)如图1，若A、M、N三点共线．①若，，求．②若，求点C到直线的距离；(2)如图2，连接、，点H为线段的中点，连接．求证：．17．（2023春·北京东城·九年级北京市第一六六中学校考开学考试）如图，在中，，，点在边上（不与点，重合），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转得到线段，连接．(1)______°；(2)取中点，连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明．18．（2022春·湖南娄底·八年级娄底一中校考阶段练习）在中，，，直线经过点C，且于点D．于点E．(1)当直线绕点C旋转到如图所示位置时，求证：；(2)当直线绕点C旋转到与线段相交（交点不是中点）时，画出相应的图形，探求线段，与之间的等量关系，并写出其关系式．19．（2022秋·上海闵行·七年级校考阶段练习）如图，是直角三角形，，将绕点A逆时针旋转，得到（点B与点D是对应点，点C与点E是对应点），设．(1)画出；(2)连接，用含a、b的式子表示的面积为___________（直接写出化简后的答案）；(3)若，的面积为，求的面积．20．（2022秋·河北邯郸·九年级校联考阶段练习）如图①所示，将一个边长为2的正方形和一个长为2、宽为1的长方形拼在一起，构成一个大的长方形．现将小长方形绕点C顺时针旋转至长方形，旋转角为．(1)当点恰好落在边上时，求旋转角的值；(2)如图②，G为中点，且，求证：；(3)小长方形绕点C顺时针旋转一周的过程中，与能否全等？若能，直接写出旋转角的值；若不能，说明理由．

第二十三章旋转（知识归纳+题型突破）1.通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转。探索它的基本性质:一个图形和旋转得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等.2.了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它们的基本性质;成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分.3.探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质.4.认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形.1、旋转把一个平面图形绕着平面内的一点O转动一个角度。（旋转中心：O点，旋转角：转动的角度）2、性质①对应点到旋转中心的距离相等②对应点到旋转中心所连线段的夹角等于旋转角③旋转前后的图形全等3、中心对称把一个图形绕着某一点O旋转180度，如果它能够与另一个图形重合，这两个图形关于这个点对称或中心对称4、性质①对称点所连线段都经过对称中心，且被对称中心所平分②中心对称的图形是全等图形5、中心对称把一个图形绕着某一点o旋转180度后能与原图形重合,主体：一个图形，而中心对称指的是两个4、关于原点对称的坐标P(x，y)→P（-x，-y）题型一旋转三要素【例1】如图，和都是等边三角形.（1）沿着______所在的直线翻折能与重合；（2）如果旋转后能与重合，则在图形所在的平面上可以作为旋转中心的点是______；（3）请说出2中一种旋转的旋转角的度数______.【答案】（1）；（2）.点、点或者线段的中点；（3）【分析】(1)因为和有公共边AC，翻折后重合，所以沿着直线AC翻折即可；（2）将△ABC旋转后与重合，可以以点A、点C或AC的中点为旋转中心；（3）以点A、点C为旋转中心时都旋转，以AC中点旋转时旋转180.【详解】(1)∵和都是等边三角形，∴和是全等三角形，∴△ABC沿着AC所在的直线翻折能与△ADC重合.故填AC;(2)将△ABC旋转后与重合，则可以以点A为旋转中心逆时针旋转60或以点C为旋转中心顺时针旋转60，或以AC的中点为旋转中心旋转180即可；（3）以点A、点C为旋转中心时都旋转，以AC中点旋转时旋转180.【点睛】此题考查平移的对称轴确定的方法、旋转中心确定的方法，依照平移、旋转的性质来确定即可.巩固训练：1．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在正方形网格中，图中阴影部分的两个图形是一个经过旋转变换得到另一个的，其旋转中心可能是（

）

A．点A B．点 C．点 D．点【答案】B【分析】根据旋转的性质，作两组对应点所连线段的垂直平分线，交点即为旋转中心，即可得．【详解】解：如图所示，两组对应点所连线段的垂直平分线的交点B即为旋转中心，

故选：B．【点睛】本题考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质．2．（2023春·福建漳州·八年级统考期末）如图，在方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（

）

A．点 B．点 C．点 D．点【答案】A【分析】先确定点A与点E为对应点，点B和点F为对应点，则根据旋转的性质得旋转中心在的垂直平分线上，也在的垂直平分线上，所以作的垂直平分线和的垂直平分线，它们的交点即为旋转中心．【详解】解：∵甲经过旋转后得到乙，∴点A与点E为对应点，点B和点F为对应点，∴旋转中心在的垂直平分线上，也在的垂直平分线上，作的垂直平分线和的垂直平分线，它们的交点为M点，如图，

即旋转中心为M点．故选：A．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．3．（2023春·四川成都·八年级统考期末）如图，小明荡秋千，位置从A点运动到了点，若，则秋千旋转的角度为（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据旋转角的定义、旋转的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行解答．【详解】∵，小刚的位置从A点运动到了点，∴，∴，，∴，∴秋千旋转的角度为故选C．【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．4．（2021秋·广东江门·九年级台山市新宁中学校考期中）如图，将中，，将其绕点顺时针方向旋转到的位置，使得在同一条直线上，那么旋转角的度数为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据三角形的外角的性质得到即可解答．【详解】解：∵在中，，在同一条直线上，∴，故选．【点睛】本题考查了平角的定义，旋转性质、三角形外角的性质，找到旋转角并掌握三角形外角的性质是解题的关键．5．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，如果将正方形甲旋转到正方形乙的位置，可以作为旋转中心的点有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据旋转的性质，即可得出，分别以A,B,C为旋转中心即可从正方形甲旋转到正方形乙的位置．【详解】解：如图，绕A点逆时针旋转90°，可到正方乙的位置；绕C点顺时针旋转90°，可到正方乙的位置；绕AC的中点B旋转180°，可到正方乙的位置；故选：C．【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等；特别注意容易忽略点B．6．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（）A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M或O或C【答案】A【详解】试题分析：若以M为旋转中心，把正方形ABCD顺时针旋转90°，A点对应点为H，B点对应点为E，C点对应点为F，D点对应点为G，则可得到正方形EFGH；若以O为旋转中心，把正方形ABCD旋转180°，A点对应点为G，B点对应点为H，C点对应点为E，D点对应点为F，则可得到正方形EFGH；若以N为旋转中心，把正方形ABCD逆时针旋转90°，A点对应点为F，B点对应点为G，C点对应点为H，D点对应点为E，则可得到正方形EFGH．故选A．7．（2023春·山东滨州·八年级统考期末）如图，在正方形网格中，绕某点旋转一定的角度得到，则旋转中心的坐标是．

【答案】【分析】根据旋转的性质可知，对应点到旋转中心的距离相等，则对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心．【详解】如图，连接，，分别作线段，的垂直平分线，两条垂直平分线相交于点，点即为旋转中心．

故答案为：．【点睛】本题主要考查图形旋转的性质，牢记旋转中心的确定方法（对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心）是解题的关键．8．（2023春·山东菏泽·八年级统考期末）如图，网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A、B都在格点上．线段AB绕着某一定点顺时针旋转一个角度后，得到线段（点、分别是A、B的对应点，也都在格点上），则的大小是．

【答案】/90度【分析】首根据旋转的性质确定旋转中心为点O，即可解决问题．【详解】解：如图，连接,由网格作的垂直平分线，交于点O，∴点O为旋转中心，∴，即旋转角为，

故答案为：．【点睛】本题主要考查了旋转角度的确定，画出图形能快速解决问题．9．（2022秋·广东汕头·九年级汕头市龙湖实验中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中的位置，且，将其绕点P顺时针旋转得到，则点P的坐标是，旋转角是度.

【答案】90【分析】根据旋转性质，对应点的连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，据此可求解．【详解】解：如图，点为旋转中心，旋转角，

故答案为：，90．【点睛】本题考查坐标与图形变换-旋转，解答的关键是熟知对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心．10．（2023春·福建福州·八年级福州日升中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为，，，绕原点逆时针旋转，得到，向右平移6个单位，再向上平移2个单位得到．

(1)画出和；(2)是的上一点，经旋转、平移后点P的对应点为，则点的坐标是．(3)若直接旋转得到，则旋转点M坐标是．【答案】(1)见解析(2)(3)【分析】（1）先根据点绕原点逆时针旋转坐标变换规律得出点，再顺次连接即可得；根据坐标平移规律得出点，然后顺次连接即可得；（2）根据点绕原点逆时针旋转坐标变换规律、坐标平移规律即可得；（3）对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心．【详解】（1）解：根据旋转的性质得到，根据平移的性质得到，如图所示：

；（2）解：由（1）坐标变换规律得：，；故答案为：；（3）解：若直接旋转得到，如图，则旋转点M坐标是．

故答案为：．【点睛】本题考查了画旋转图形、平移图形、旋转中心，掌握点坐标变换规律是解题关键．11．（2022秋·河南周口·九年级统考期中）如图所示，在平面直角坐标系中，有一个，且，，，已知是由旋转得到的．

(1)请写出旋转中心的坐标是___________，旋转角是___________度；(2)以（1）中的旋转中心为中心，分别画出逆时针旋转、后的三角形；(3)设两直角边，，斜边，利用变换前后所形成的图案证明勾股定理．【答案】(1)，(2)见解析(3)见解析【分析】（1）根据的垂直平分线交于点，则旋转中心的坐标是，勾股定理的逆定理可得，进而即可求解；（2）根据旋转的性质画出旋转图形即可求解；（3）由旋转的过程可知，四边形和四边形是正方形．根据，进而即可求解．【详解】（1）解：如图所示，

的垂直平分线交于点，则旋转中心的坐标是，又∵，∴，∴即旋转角是度．故答案为：，．（2）画出的图形如图所示．

（3）由旋转的过程可知，四边形和四边形是正方形．∵，设两直角边，，斜边，∴，即．∴．【点睛】本题考查了勾股定理，找旋转中心，旋转角，画旋转图形，勾股定理的证明，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．确定旋转中心的方法：分别作两组对应点所连线段的垂直平分线，其交点就为旋转中心.12．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）如图，直线、相交于点，且所成的锐角为，画出关于直线的对称图形，然后画出关于直线n的对称图形，你能发现与有什么关系吗？若是平移，指出平移的方向和距离；若是旋转，指出旋转的中心和角度．

【答案】作图见解析，绕点逆时针旋转得到【分析】利用轴对称的性质画出和，然后根据轴对称的性质得到，，，，从而可判断绕点逆时针旋转得到．【详解】解：如图，和为所作．和关于直线的对称，，与直线夹角等于与直线的夹角，和关于直线的对称，，与直线夹角等于与直线的夹角，，，同理得到，，，，绕点逆时针旋转得到．

【点睛】本题考查了作图-轴对称变换：先确定图形的关键点；再利用轴对称性质作出关键点的对称点；然后按原图形中的方式顺次连接对称点．也考查了旋转的性质．题型二图形旋转性质的应用【例2】（2022秋·湖北荆州·九年级统考期中）如图，中，，，，逆时针旋转一定角度后与重合，且点C恰好成为的中点．

(1)指出能转中心，并求出旋转的度数；(2)求出的度数和的长．【答案】(1)旋转中心为点A，旋转的度数为(2)，【分析】（1）根据图形可得旋转中心为点A，根据三角形的内角和定理求出，结合旋转的性质即可得出旋转角的度数；（2）【详解】（1）解：，即，所以旋转中心为点A，旋转的度数为；（2）解：逆时针旋转一定角度后与重合，，，，，∵点C恰好成为的中点，，．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转前后对应边相等，对应角相等，对应边连线的夹角等于旋转角．【例3】如图，在等腰中，分别为上的点，且，将绕点逆时针旋转．

(1)如图，当时，求证：；(2)若，求的长；(3)在旋转过程中，直接写出的最大值．【答案】(1)见解析；(2)；(3)的最大值为．【分析】（1）利用旋转的性质得出角度相等，再证明即可；（2）添加辅助线，构造直角三角形，再由勾股定理即可求解；（3）判断出点在的延长线上时，最大，即可得出结论．【详解】（1）证明：由旋转的性质可知，，在和中，，∴，∴．（2）过点作于点，

当，即，∵，，，∴，∴，，∵，∴，在中，，，∴由勾股定理得：，（3）如图，

则有：，∴当点、点、点三点共线时，最大，最大值为．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，判断出是解本题的关键．巩固训练1．（2023秋·山东济南·八年级统考期末）如图，将绕点A按逆时针方向旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】由旋转的性质可得，，由等边对等角的性质可得，即可求解．【详解】解：∵将绕点A按逆时针方向旋转，∴，，∴，故选：A．【点睛】本题主要考查了旋转，等腰三角形，熟练掌握旋转的性质，等腰三角形的性质，是解题的关键．2．（2023秋·辽宁辽阳·九年级统考期末）如图，正方形的边长为2，将正方形绕原点O逆时针旋转，则点B的对应点的坐标为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】点B绕原点O逆时针旋转后落在x轴负半轴上，根据的长度即可确定点的坐标．【详解】解：连接，如图，

∵正方形的边长为2，∴，，，由勾股定理得：；∵，∴点B绕原点O逆时针旋转后落在x轴负半轴上，∴，∴点的坐标为，故选：D．【点睛】本题考查了坐标与图形，正方形的性质，旋转的性质，掌握旋转的性质是关键．3．（2022秋·河北保定·九年级校联考期中）如图，在矩形中，．将矩形绕点A逆时针旋转，得到矩形．点的对应点落在上，且．则的长为（

）A． B．4 C．5 D．3【答案】A【分析】由旋转的性质得到，，，由得到，根据勾股定理得到，即可得到的长．【详解】∵将矩形绕点A逆时针旋转，得到矩形，∴，，，∵，∴，∴，∴，故选：A【点睛】此题考查了旋转的性质、矩形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质和勾股定理计算是解决本题的关键．4．（2022秋·辽宁鞍山·九年级统考期中）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，此时点恰好在边上，与交于点，则长为（

）

A．2 B． C． D．【答案】C【分析】首先证明是等边三角形，再证明是直角三角形，求出即可解决问题．【详解】解：∵在中，，，，∴，∴，∵将

绕点C逆时针旋转得到，∴，，∵，∴是等边三角形，∴，∴，∴，，，∴，∵，∴．故选：C【点睛】本题考查直角三角形30度角的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．5．（2023·宁夏·统考中考真题）如图，在中，，，．点在上，且．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．则的面积是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】证明，得到，推出为直角三角形，利用的面积等于，进行求解即可．【详解】解：∵，，∴，，∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴的面积等于；故选B．【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握旋转的性质，得到三角形全等是解题的关键．本题蕴含手拉手全等模型，平时要多归纳，多总结，便于快速解题．6．（2023春·河北保定·八年级保定市第十七中学校联考期末）在《数学知识PK赛》上，天逸同学给竞争对手抛出了一道旋转题，做为观赛选手，请大家都来挑战一下：如图，将绕点逆时针旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的大小是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据旋转的性质得，，再利用等边对等角以及三角形内角和定理即可求解．【详解】解：由旋转的性质得，，∴，故选：B．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．7．（2023秋·新疆和田·九年级统考期末）如图，是等边三角形，点P在内，，将绕点A逆时针旋转得到，则PQ的长等于（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据等边三角形的性质推出，，根据旋转的性质得出，推出，，求出，得出是等边三角形，即可求出答案．【详解】解：是等边三角形，，，将绕点逆时针旋转得到，，，，即，是等边三角形，，故选：B．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，旋转的性质等知识点，关键是得出是等边三角形，注意“有一个角等于的等腰三角形是等边三角形，等边三角形的对应边相等，每个角都等于．8．（2022秋·广东深圳·九年级校考开学考试）如图，正方形的边长为6，点E、F分别在上，若，且，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】将绕点C逆时针旋转到，易证与全等得到，利用勾股定理求出，则，设，利用勾股定理建立方程求解，再通过勾股定理求算．【详解】解：∵四边形是正方形，∴，将绕点C逆时针旋转到，如图所示，∴，∴，∴三点共线，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴，设，则，，

在中，由勾股定理得：，∴解得：，∴，∴故选：A．【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定、勾股定理等等．正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．9．（2023春·江苏南通·八年级南通田家炳中学校考阶段练习）如图，在菱形中，，，把菱形绕点顺时针旋转得到菱形，则图中阴影部分的面积为（

）

A． B． C．3 D．【答案】D【分析】根据菱形的性质可得，，，三点共线，根据，可得．【详解】解：如图，

连接，相交于，与于点．四边形是菱形，，，，，，，，，，菱形绕点顺时针旋转得到菱形，，，，，三点共线，，又，，，，，故选：D．【点睛】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，关键是灵活运用这些性质解决问题．10．（2023·全国·九年级专题练习）如图，将绕点逆时针旋转得到，点和点是对应点，若，，则的长为（

）

A．2 B． C．4 D．【答案】A【分析】根据旋转的性质可得，，进而勾股定理即可求解．【详解】解：将绕点逆时针旋转得到，，∴，，在中，，∴，故选：A．【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，根据旋转的性质得出，，是解题的关键．11．（2023春·天津北辰·九年级校考阶段练习）如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接．下列结论错误的是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】利用旋转的性质得，，，再根据等腰三角形的性质即可得出，再根据即可求解．【详解】解：绕点顺时针旋转得到，，，，；，选项B、C正确，，选项D正确．不一定等于，选项A不一定正确；故选A．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰三角形的性质．12．（2022秋·黑龙江大庆·八年级校联考期中）如图，绕点A顺时针旋转某个角度得到．已知，，、相交于点F，、相交于点G，则的度数为.

【答案】/20度【分析】根据旋转的性质得，求出即可得出答案．【详解】解：由旋转的性质得，∵，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了旋转的性质，熟知对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角且旋转角相等是解题的关键．13．（2023·吉林松原·校联考二模）如图，在矩形中，．将矩形沿翻折，使点恰好落在边上的处，再将四边形绕点逆时针旋转得到四边形，交于点，则的面积为．

【答案】【分析】根据矩形的性质和折叠的性质可得四边形是正方形，是等腰直角三角形，四边形是矩形，四边形是矩形，由此可得是等腰直角三角形，由此即可求出，根据三角形的面积公式即可求解．【详解】解：∵四边形是矩形，将矩形沿翻折，使点恰好落在边上的处，∴四边形是正方形，∴，且是等腰直角三角形，∴，，∵，，，∴，，，∴四边形是矩形，∵将四边形绕点逆时针旋转得到四边形，∴四边形是矩形，，∴，，，∴，是等腰直角三角形，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查矩形与折叠，等腰三角形的性质的综合，掌握矩形的性质，折叠的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质的综合运用是解题的关键．14．（2022秋·河北保定·九年级校联考期中）如图，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在边上．（1）是等腰三角形吗?（选填“是”或“否”）；（2）若，则．【答案】是【分析】（1）根据旋转的性质，即可达到答案；（2）根据旋转的性质得，由，于是可判断为等边三角形，根据等边三角形的性质得，然后利用进行计算．【详解】解：（1）由旋转的性质，可知：，∴是等腰三角形，故答案为：是；（2）∵，∴∴，由旋转的性质知，，∴是等边三角形，∴，则．故答案为：．【点睛】本题考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等边三角形的判定与性质．15．（2023秋·陕西安康·九年级统考期末）如图，在中，，D是的中点，将绕点A逆时针旋转得，点D，C分别对应点E，F，连接，若，则的度数为．

【答案】14【分析】由等腰三角形的性质可得，，，由旋转的性质可得，，，即可求解．【详解】解：∵，D是的中点，，∴，，，∵将绕点A逆时针旋转得，∴，，，∴，∴，故答案为：14．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．16．（2022秋·辽宁鞍山·九年级统考期中）如图，中，，；，绕点顺时针旋转，点，的对应点分别为，，过作的垂线，垂足为，若，则．

【答案】【分析】如图，设，延长，交延长线与，根据等腰直角三角形的性质旋转的性质及三角形外角性质可得出，，，根据含30°角的直角三角形的性质可用分别表示出、、、的长，利用线段的和差关系，结合列方程求出的值，根据勾股定理即可得答案．【详解】如图，延长，交延长线与，设，∵，，，∴，，∵绕点顺时针旋转，点，的对应点分别为，，∴，，，∴，∴，∴，，∴，∵，∴，，∵，，∴，解得：，∴．

故答案为：【点睛】本题考查旋转的性质、等腰直角三角形的性质、三角形外角性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握旋转的性质及30°角所对直角边等于斜边一半的性质是解题关键．17．（2022秋·辽宁铁岭·九年级校联考期中）如图，在正方形内作，交于点交于点，连接，过点作，垂足为，将绕点顺时针旋转得到，若，，则的长为．

【答案】【分析】根据旋转的性质及正方形的性质可知，再根据全等三角形的性质可知，最后利用勾股定理解答即可．【详解】解：由旋转的性质可知：，∴，，，∵四边形是正方形，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，设正方形的边长为，则，，∴在中，，∴，解得：，（舍去），即，∴AH=AB=6，故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握正方形的性质及旋转的性质是解题的关键．18．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在矩形中，，将矩形绕点旋转一定角度后得矩形，交于点，且，则的长为．

【答案】3【分析】设，则，在中，根据勾股定理列出关于的方程，解方程即可得到答案．【详解】解：设，，将矩形绕点旋转一定角度后得矩形，，在中，，，解得：，的长为：3，故答案为：3．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、旋转的性质、勾股定理，熟练掌握矩形的性质、旋转的性质，是解题的关键．19．（2023春·河北保定·八年级保定十三中校考期末）图中和是两个等边三角形，其中，，如图①，(1)将两三角形按图1放置（点A，，在同一条直线上），连接线段，，求线段的长；(2)将绕点A逆时针旋，如图2所示，直线，相交于点，连接．求证：；(3)以图1的位置为起点，将绕点A逆时针旋转，当点，，恰好在一条直线上时，直接写出线段的长度．【答案】(1)；(2)见详解；(3)．【分析】（1）由是等边三角形，，，得到，求出，再证明，得到即可；（2）分别过点作于点，于点，先证明，得到，，由三角形内角和定理得到，再证明，得到，则可证明平分，故可知，则问题可证；（3）当，，共线时，过点作于点，分别求出，，在利用勾股定理求出，从而求出，由问题可解．【详解】（1）∵，，∴∴∴∵和是两个等边三角形，∴，，∴，∴．（2）如图2，分别过点作于点，于点，

∵和是两个等边三角形，∴，，∴，∴，∴，，∵，∴，∵于点，，∴，∴，∴，∴平分，∴，∴．（3）；如图，当，，共线时，过点作于点，

∵为等边三角形，，∴，，∴∴，由（2）同理，，，如图，当，，共线时，

同理，可得，．【点睛】本题是几何旋转变换综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形判定和性质、勾股定理以及分类思想，解答关键是利用数形结合思想，找到条件之间关联．20．（2023秋·山西阳泉·九年级校考期末）把两个全等的等腰直角三角板和（其直角边均为4）叠放在一起（如图1），且使三角板的直角顶点G与三角板的斜边中点O重合，现将三角板绕点O按顺时针方向旋转（旋转角α满足条件：），四边形是旋转过程中两三角形的重叠部分（如图2）．在上述旋转过程中．

(1)与有怎样的数量关系?(2)四边形的面积有何变化?请证明你的发现．【答案】(1)(2)四边形的面积在旋转过程中没有变化，始终为4，证明见解析【分析】（1）先由证出，再根据全等三角形的性质得出．（2）四边形的面积不变，面积为4．利用全等三角形的性质证明即可．【详解】（1）解：结论：．理由：点是等腰直角三角板斜边中点，，，由旋转的性质，知，，．（2）四边形的面积不变，面积为4．理由：，，．【点睛】此题是几何变换的综合题，主要考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是掌握旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变．21．（2023秋·山东济南·八年级统考期末）如图1，等腰直角三角形中，，，点D是边上的一点，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，连结．

(1)①填空：线段与的数量关系是_________，位置关系是__________．②证明上述结论成立．(2)如图2，F是的中点，连结交于H，若，时，求的长．【答案】(1)①相等（或）；垂直（或）；②见解析(2)【分析】（1）先证明，再证明，推出，，据此即可证明结论成立；（2）延长到T，使得，连接并延长，与交于M．，推出，，，在中，根据勾股定理求解即可．【详解】（1）解：①相等（或）；垂直（或）②证明上述结论成立．由题意可知：，，∵，∴，，∴，在与中，，∴，∴，，∵，，∴，∴，即；（2）解：如图中，延长到T，使得，连接并延长，与交于M．

在和中，，∴，∴，，∴，∴，∵，∴∵，，∴，∵，，，∴，，，在中，根据勾股定理：，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．22．（2023秋·陕西安康·九年级统考期末）如图，四边形是正方形，点F是延长线上一点，连接，将绕点A旋转一定角度后得到．

(1)若，求的度数；(2)若，，求的长．【答案】(1)(2)3【分析】（1）利用旋转的性质可得，根据三角形外角和可求出结果；（2）根据勾股定理即可解得.【详解】（1）解：是由旋转得到，．四边形是正方形，，．（2）解：是由旋转得到，，，，．【点睛】本题主要考查了旋转的性质、三角形外角和以及勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键.23．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）如图，在中，，，点D是内一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接、．求证：．

【答案】见解析【分析】首先根据旋转的性质，判断出，，进而判断出；然后根据全等三角形判定的方法，判断出，即可判断出．【详解】解：由旋转的性质，可得：，，∵，，∴，在和中，，∴，∴．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质的应用，旋转的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．24．（2023·全国·九年级专题练习）如图，绕点按逆时针方向旋转后到达的位置，设与、分别交于点、．

(1)若的周长为，，，求的长；(2)若，，求的大小．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据旋转的性质分析求解；（2）根据旋转的性质及对顶角相等分析求解．【详解】（1）解：由旋转性质可得，，又∵的周长为，∴的长为；（2）解：由旋转性质可得，∴，又∵，∴．【点睛】本题考查旋转的性质，理解旋转前后图形的对应边相等，对应角相等是解题关键．25．（2023·全国·九年级专题练习）如图，点是等边内一点，，将绕点按顺时针方向旋转得，连接．

(1)判断的形状，并证明；(2)当时，试判断的形状，并说明理由；(3)直接写出为多少度时，是等腰三角形？【答案】(1)是等边三角形，详见解析(2)是直角三角形，详见解析(3)当，或时，是等腰三角形【分析】（1）由旋转的性质可知，再根据全等三角形的性质及等边三角形的判定解答即可；（2）由旋转的性质可知，再根据全等三角形的性质及等边三角形的判定可知是等边三角形，进而解答即可；（3）由旋转的性质可知，再根据全等三角形的性质及等边三角形的判定是等边三角形，最后根据等腰三角形的定义分三种情况讨论即可解答．【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下：∵将绕点按顺时针方向旋转得，∴，，∴，∴是等边三角形；（2）解：是直角三角形，理由如下：∵将绕点按顺时针方向旋转得，∴，，∴，，∴是等边三角形；∴，∵，，∴，∴，∴是直角三角形；（3）解：∵，，∴，∵将绕点按顺时针方向旋转得，∴，，∴，∴是等边三角形，∴，∴，，当时，，解得：，当时，，解得：，当时，，解得：，∴，，．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的判定，等腰三角形的判定，掌握旋转的性质及等边三角形的判定与性质是解题的关键．26．（江西省赣州市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）（1）观察发现如图1，和都是等边三角形，且点B、C、E在一条直线上，连接和相交于点P填空：①线段与的数量关系是______；②的度数为______．

（2）深入探究如图2，将绕点C逆时针旋转一定的角度，其他条件与（1）中相同，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由．