第07讲全等三角形(原卷版+解析)

第07讲全等三角形【知识梳理】一．全等图形（1）全等形的概念能够完全重合的两个图形叫做全等形．（2）全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．（3）三角形全等的符号“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．（4）对应顶点、对应边、对应角把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．二．全等三角形的性质（1）性质1：全等三角形的对应边相等性质2：全等三角形的对应角相等说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等②全等三角形的周长相等，面积相等③平移、翻折、旋转前后的图形全等（2）关于全等三角形的性质应注意①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．【考点剖析】一．全等图形1．下列说法不正确的是（）A．如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同 B．面积相等的两个图形是全等图形 C．图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关 D．全等三角形的对应边相等，对应角相等2．下列两个图形是全等图形的是（）A．两张同底版的照片 B．周长相等的两个长方形 C．面积相等的两个正方形 D．面积相等的两个三角形二．全等三角形的性质3．如图，点D，E在△ABC的边BC上，△ABD≌△ACE，其中B，C为对应顶点，D，E为对应顶点，下列结论不一定成立的是（）A．AC＝CD B．BE＝CD C．∠ADE＝∠AED D．∠BAE＝∠CAD4．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（）A．47° B．57° C．60° D．73°5．如图，△ABC≌△ADE，若∠B＝80°，∠C＝30°，则∠E的度数为（）A．80° B．35° C．70° D．30°6．若△ABC≌△DEF，△DEF的周长为12，AB＝3，BC＝4，则DF的长为（）A．3 B．4 C．5 D．67．已知△ABC≌△DEF，AB＝2，AC＝3，若△DEF周长为偶数，则EF的取值为（）A．2或3或4 B．4 C．3 D．28．如图，已知△ABC≌△DFE，∠B＝80°，∠ACB＝30°，则∠D＝°．9．如图，△ABC≌△DEC，点B，C，D在同一条直线上，且CE＝2，CD＝4，则BD的长为．10．如图，△ABC≌△DEC，过点A作AF⊥CD于点F，若∠BCE＝62°，则∠CAF＝．11．一个三角形的三边为2、4、x，另一个三角形的三边为y、2、5，若这两个三角形全等，则x+y＝．12．如图，已知△ABC≌△DEF，且∠A＝75°，∠B＝35°，ED＝10cm，求∠F的度数与AB的长．13．如图，已知△ABC≌△DEF，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝8，EH＝3．求∠F的度数与DH的长．14．如图，已知△ABF≌△CDE．（1）若∠B＝30°，∠DCF＝40°，求∠EFC的度数；（2）若BD＝10，EF＝2，求BF的长．【过关检测】一、单选题1．（2022秋·辽宁大连·八年级统考期中）下列说法正确的是（

）A．两个直角三角形一定全等 B．形状相同的两个三角形全等C．全等三角形的面积一定相等 D．面积相等的两个三角形全等2．（2023春·山东济南·七年级统考期末）如图，，若，则的长度为（）

A．2 B．5 C．10 D．153．（2023春·福建泉州·七年级统考期末）如图，已知，点，，，在同一条直线上，若，，则线段的长为(

)

A．2 B．2.5 C．3 D．54．（2023春·陕西榆林·七年级统考期末）下列各项中，两个图形属于全等图形的是（

）A．

B．

C．

D．

5．（2023春·全国·七年级专题练习）下列说法正确的是（

）A．面积相等的两个图形是全等图形 B．所有正方形都是全等图形C．全等三角形的周长相等 D．全等三角形的边相等6．（2023春·湖南永州·七年级统考期末）如图，三角形是由三角形通过平移得到的，且点，，，在同一直线上．若，，则点与点之间的距离是（

）

A．3 B．4 C．5 D．67．（2023春·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，，，则的度数为（

）

A． B． C． D．8．（2023春·河北保定·七年级校考阶段练习）如图的两个三角形全等，则的度数为（

）

A．50° B．58° C．60° D．62°9．（2023春·广东云浮·八年级校考期中）如图，点F，B，E，C在同一条直线上，．若，则的度数为（

）

A． B． C． D．10．（2023春·河南驻马店·七年级统考期末）如图，，且，则下列结论错误的是（

）

A． B． C． D．二、填空题11．（2023春·七年级单元测试）已知图中的两个三角形全等，则______°12．（天津市河西区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）若有四个全等的正方形面积之和是25，则每个小正方形的边长为_______．13．（2023春·山西太原·七年级校考阶段练习）如图，，于C，，，则______cm．______．

14．（2023春·福建福州·七年级福建省福州第十九中学校考期末）如图，，点在边上，延长交边于点，若，则______度．

15．（2022春·七年级单元测试）如图，四边形与四边形全等，则________，________，________，________．16．（2023春·四川成都·七年级统考期末）如图，，若，且，则的度数为_____度．17．（2023春·上海黄浦·七年级校考阶段练习）已知，A与D、B与E分别是对应顶点，，，，，则__________度，__________cm．18．（2023春·上海黄浦·七年级校考阶段练习）我们规定：在四边形中，O是边上的一点，如果与全等，那么点O叫做该四边形的“等形点”，在四边形中，，，，，如果该四边形的“等形点”在边上，那么的长是__________．19．（2023春·七年级课时练习）如图，在的正方形网格中标出了和，则___________度．20．（2023春·河北保定·七年级校考阶段练习）如图，，点在上，与交于点，．

（1）若，则的长为______；（2）连接，若，则的值为______．三、解答题21．（2023·江苏·八年级假期作业）在3×3的方格纸中，试用格点连线将方格纸分割成两个大小、形状都相同的多边形．试画出四种不同的分割方法：

22．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，，，写出图中的对应边和对应角．

23．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，，，三点在同一条直线上，且．(1)求证：；(2)当满足什么条件时，？并说明理由．24．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，已知．

(1)若，，求的度数；(2)若，，求的长．25．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，已知，的延长线交于点F，交于点G，，，，求的度数．

26．（2023春·河南鹤壁·七年级统考期末）如图所示，已知，，，交于点M，交于点P．

(1)试说明：；(2)可以经过某种变换得到，请你描述这个变换；(3)求的度数．

第07讲全等三角形【知识梳理】一．全等图形（1）全等形的概念能够完全重合的两个图形叫做全等形．（2）全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．（3）三角形全等的符号“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．（4）对应顶点、对应边、对应角把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．二．全等三角形的性质（1）性质1：全等三角形的对应边相等性质2：全等三角形的对应角相等说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等②全等三角形的周长相等，面积相等③平移、翻折、旋转前后的图形全等（2）关于全等三角形的性质应注意①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．【考点剖析】一．全等图形1．下列说法不正确的是（）A．如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同 B．面积相等的两个图形是全等图形 C．图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关 D．全等三角形的对应边相等，对应角相等【解答】解：A、如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同，正确，不合题意；B、面积相等的两个图形是全等图形，错误，符合题意；C、图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关，正确，不合题意；D、全等三角形的对应边相等，对应角相等，正确，不合题意；故选：B．2．下列两个图形是全等图形的是（）A．两张同底版的照片 B．周长相等的两个长方形 C．面积相等的两个正方形 D．面积相等的两个三角形【解答】解：A选项两图形不一定重合，故不是全等图形；B选项的形状不一定相同，故不是全等图形；C选项的形状也一样，能完全重合，故是全等图形；D选项形状不一定相同，故不是全等图形；故选：C．二．全等三角形的性质3．如图，点D，E在△ABC的边BC上，△ABD≌△ACE，其中B，C为对应顶点，D，E为对应顶点，下列结论不一定成立的是（）A．AC＝CD B．BE＝CD C．∠ADE＝∠AED D．∠BAE＝∠CAD【解答】解：∵△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，∴BE＝CD，B成立，不符合题意；∠ADB＝∠AEC，∴∠ADE＝∠AED，C成立，不符合题意；∠BAD＝∠CAE，∴∠BAE＝∠CAD，D成立，不符合题意；AC不一定等于CD，A不成立，符合题意，故选：A．4．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（）A．47° B．57° C．60° D．73°【解答】解：由三角形内角和定理得，∠2＝180°﹣60°﹣73°＝47°，∵两个三角形全等，∴∠1＝∠2＝47°，故选：A．5．如图，△ABC≌△ADE，若∠B＝80°，∠C＝30°，则∠E的度数为（）A．80° B．35° C．70° D．30°【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∠C＝30°，∴∠E＝∠C＝30°，故选：D．6．若△ABC≌△DEF，△DEF的周长为12，AB＝3，BC＝4，则DF的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵△ABC≌△DEF，AB＝3，BC＝4，∴DE＝AB＝3，EF＝BC＝4，∵△DEF的周长为12，∴DF＝12﹣DE﹣EF＝12﹣3﹣4＝5，故选：C．7．已知△ABC≌△DEF，AB＝2，AC＝3，若△DEF周长为偶数，则EF的取值为（）A．2或3或4 B．4 C．3 D．2【解答】解：∵AB＝2，AC＝3，∴3﹣2＜BC＜3+2，∴1＜BC＜5．若周长为偶数，BC也要取奇数所以为3．∵△ABC≌△DEF，∴AB＝EF，∴EF的长也是3．故选：C．8．如图，已知△ABC≌△DFE，∠B＝80°，∠ACB＝30°，则∠D＝°．【分析】根据三角形内角和定理求出∠A，根据全等三角形的性质解答即可．【解答】解：∵∠B＝80°，∠ACB＝30°，∴∠A＝180°﹣80°﹣30°＝70°，∵△ABC≌△DFE，∴∠D＝∠A＝70°，故答案为：70．9．如图，△ABC≌△DEC，点B，C，D在同一条直线上，且CE＝2，CD＝4，则BD的长为．【解答】解：∵△ABC≌△DEC，CE＝2，CD＝4，∴BC＝CE＝2，∴BD＝BC+CD＝4+2＝6，故答案为：6．10．如图，△ABC≌△DEC，过点A作AF⊥CD于点F，若∠BCE＝62°，则∠CAF＝．【解答】解：∵△ABC≌△DEC，∴∠ACB＝∠DCE，∴∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE，∴∠BCE＝∠ACD，∵∠BCE＝62°，∴∠ACD＝62°，∵AF⊥CD，∴∠AFC＝90°，∴∠CAF＝90°﹣∠ACD＝28°，故答案为：28°．11．一个三角形的三边为2、4、x，另一个三角形的三边为y、2、5，若这两个三角形全等，则x+y＝．【解答】解：∵一个三角形的三边为2、4、x，另一个三角形的三边为y、2、5，两三角形全等，∴x＝5，y＝4，此时x+y＝9，故答案为：9．12．如图，已知△ABC≌△DEF，且∠A＝75°，∠B＝35°，ED＝10cm，求∠F的度数与AB的长．【解答】解：∵∠A＝75°，∠B＝35°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝70°，∵△ABC≌△DEF，ED＝10cm，∴∠F＝∠ACB＝70°，DE＝AB＝10（cm）．13．如图，已知△ABC≌△DEF，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝8，EH＝3．求∠F的度数与DH的长．【解答】解：∵∠A＝90°，∠B＝60°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝30°，∵△ABC≌△DEF，AB＝8，∴∠F＝∠ACB＝30°，DE＝AB＝8，∵EH＝3，∴DH＝8﹣3＝5．14．如图，已知△ABF≌△CDE．（1）若∠B＝30°，∠DCF＝40°，求∠EFC的度数；（2）若BD＝10，EF＝2，求BF的长．【解答】解：（1）∵△ABF≌△CDE，∴∠D＝∠B＝30°，∴∠EFC＝∠DCF+∠D＝70°；（2）∵△ABF≌△CDE，∴BF＝DE，∴BF﹣EF＝DE﹣EF，即BE＝DF，∵BD＝10，EF＝2，∴BE＝（10﹣2）÷2＝4，∴BF＝BE+EF＝6．【过关检测】一、单选题1．（2022秋·辽宁大连·八年级统考期中）下列说法正确的是（

）A．两个直角三角形一定全等 B．形状相同的两个三角形全等C．全等三角形的面积一定相等 D．面积相等的两个三角形全等【答案】C【分析】根据全等三角形的判定与性质判断求解即可．【详解】解：A、两个直角三角形不一定全等，故错误，不符合题意；B、形状相同的两个三角形不一定全等，故错误，不符合题意；C、全等三角形的面积一定相等，故正确，符合题意；D、面积相等的两个三角形不一定全等，故错误，不符合题意；故选：C．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．2．（2023春·山东济南·七年级统考期末）如图，，若，则的长度为（）

A．2 B．5 C．10 D．15【答案】C【分析】根据全等三角形的性质得到即可求解．【详解】∵，，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查全等三角形的性质，熟记全等三角形对应边相等是解题的关键．3．（2023春·福建泉州·七年级统考期末）如图，已知，点，，，在同一条直线上，若，，则线段的长为(

)

A．2 B．2.5 C．3 D．5【答案】C【分析】先求得的长度，根据三角形全等的性质可知，进而可求得答案．【详解】解：由题意知．∵，∴．∴．故选：C．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质（全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等），牢记全等三角形的性质是解题的关键．4．（2023春·陕西榆林·七年级统考期末）下列各项中，两个图形属于全等图形的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】利用全等图形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．【详解】解：A、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；B、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；C、两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意；D、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查的是全等形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题．5．（2023春·全国·七年级专题练习）下列说法正确的是（

）A．面积相等的两个图形是全等图形 B．所有正方形都是全等图形C．全等三角形的周长相等 D．全等三角形的边相等【答案】C【分析】根据全等图形的定义以及性质逐项分析判断即可求解．【详解】解：A．面积相等的两个图形不一定是全等图形，故该选项不正确，不符合题意；B．所有正方形不一定是全等图形，故该选项不正确，不符合题意；C．全等三角形的周长相等，故该选项正确，符合题意；

D．全等三角形的对应边相等，故该选项不正确，不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了全等图形的定义以及全等三角形的性质，掌握全等图形的定义与性质是解题的关键．6．（2023春·湖南永州·七年级统考期末）如图，三角形是由三角形通过平移得到的，且点，，，在同一直线上．若，，则点与点之间的距离是（

）

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】由平移的性质可得，，，由，可得，进而可得的值．【详解】解：由平移的性质可得，，，∵，∴，∴，故选：B．【点睛】本题考查了平移的性质，全等三角形的性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．7．（2023春·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，，，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据三角形内角和定理得出，再由全等三角形的性质求解即可．【详解】解：∵，∴，∵，∴，故选：B．【点睛】题目主要考查三角形内角和定理及全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．8．（2023春·河北保定·七年级校考阶段练习）如图的两个三角形全等，则的度数为（

）

A．50° B．58° C．60° D．62°【答案】C【分析】根据全等三角形的性质进行计算即可．【详解】解：∵两个三角形全等，∴，故C正确．故选：C．

【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，解题关键是掌握全等三角形的对应角相等．9．（2023春·广东云浮·八年级校考期中）如图，点F，B，E，C在同一条直线上，．若，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用三角形内角和定理求出，再利用全等三角形对应角相等即可得到的度数．【详解】解：∵，∴，∵，∴．故选：A．【点睛】此题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形对应角相等和三角形内角和是是解题的关键．10．（2023春·河南驻马店·七年级统考期末）如图，，且，则下列结论错误的是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据全等三角形的性质，判断即可．【详解】如图，

∵，且，∴，，，不成立，故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．二、填空题11．（2023春·七年级单元测试）已知图中的两个三角形全等，则______°【答案】【分析】三角形全等，有对应边相等，对应角相等，找到的对应角即可．【详解】解：如图，是边和的夹角，左图是，故【点睛】本题考查了全等三角形的性质，全等三角形的对应角相等．12．（天津市河西区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）若有四个全等的正方形面积之和是25，则每个小正方形的边长为_______．【答案】【分析】首先求出每个小正方形的面积，再利用算术平方根的意义求解即可．【详解】解：∵四个全等的正方形面积之和是25，∴每个正方形面积为，∴每个小正方形的边长为，故答案为：．【点睛】本题考查了算术平方根，解题的关键是理解算术平方根的意义．13．（2023春·山西太原·七年级校考阶段练习）如图，，于C，，，则______cm．______．

【答案】5【分析】根据全等三角形的性质分析求解．【详解】解：∵，∴，，∵于C，，∴，故答案为：5；．【点睛】本题考查全等三角形的性质，掌握全等三角形对应边相等，对应角相等是解题关键．14．（2023春·福建福州·七年级福建省福州第十九中学校考期末）如图，，点在边上，延长交边于点，若，则______度．

【答案】138【分析】根据全等三角形的性质可得，根据对顶角相等可得，推得，根据三角形内角和推得，即可求得．【详解】解：∵，∴，又∵，∴，∵，，∴，∴，故答案为：138．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，对顶角相等，三角形内角和定理等，熟练掌握以上性质是解题的关键．15．（2022春·七年级单元测试）如图，四边形与四边形全等，则________，________，________，________．【答案】/度/度126【分析】先根据四边形内角和定理求出，再根据全等图形的性质求解即可．【详解】解：∵在四边形中，∴，∵四边形与四边形全等，∴由图可知，故答案为：；；12；6．【点睛】本题主要考查了全等图形的性质，四边形内角和定理，熟知全等图形对应角相等，对应边相等是解题的关键．16．（2023春·四川成都·七年级统考期末）如图，，若，且，则的度数为_____度．【答案】80°/80度【分析】根据全等三角形对应角相等可得，，然后根据直角三角形的两锐角互余求得，从而即可得解．【详解】∵，，∴，，∵，∴，∴．故答案为．【点睛】此题考查全等三角形的性质以及直角三角形的性质，解题关键在于掌握全等三角形的对应角相等．17．（2023春·上海黄浦·七年级校考阶段练习）已知，A与D、B与E分别是对应顶点，，，，，则__________度，__________cm．【答案】15【分析】由，，可得，结合，可得，．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，，故答案为：，15【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，熟记全等三角形的性质是解本题的关键．18．（2023春·上海黄浦·七年级校考阶段练习）我们规定：在四边形中，O是边上的一点，如果与全等，那么点O叫做该四边形的“等形点”，在四边形中，，，，，如果该四边形的“等形点”在边上，那么的长是__________．【答案】1或2/2或1【分析】根据平行线的性质，得到，分两种情况讨论：当时当时，再利用全等三角形的性质可得答案．【详解】解：，，，四边形的“等形点”在边上，如图1，当时，则，如图2，当时，，，，，，故答案为：1或2．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．19．（2023春·七年级课时练习）如图，在的正方形网格中标出了和，则___________度．【答案】【分析】作辅助线，使为等腰直角三角形，根据全等三角形，可得到，利用等角代换即可得解．【详解】解：如图，连接、，，，，由图可知，在和中，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了网格中求两角和，构造全等三角形，利用等角代换是解题关键．20．（2023春·河北保定·七年级校考阶段练习）如图，，点在上，与交于点，．

（1）若，则的长为______；（2）连接，若，则的值为______．【答案】【分析】（1）根据全等三角形的性质分析求解；（2）结合三角形中线的性质求得的面积，从而利用全等三角形的性质分析求解．【详解】解：（1）∵，∴，∵，∴，即，∴，（2）又（1）可得，∴，∵，∴

故答案为：；．【点睛】本题考查全等三角形的性质，三角形中线的性质，理解全等三角形的性质及三角形中线的概念是解题关键．三、解答题21．（2023·江苏·八年级假期作业）在3×3的方格纸中，试用格点连线将方格纸分割成两个大小、形状都相同的多边形．试画出四种不同的分割方法：

【答案】见解析【分析】根据全等图形的定义和方格的特点解答即可．【详解】解：如图：

【点睛】本题考查了