专题07弧长、扇形面积和圆锥侧面积(原卷版+解析)

专题7弧长、扇形面积和圆锥侧面积知识梳理：1、弧长公式半径为R的圆中360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)2、扇形面积公式半径为R的圆中360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：n°的圆心角所对的扇形面积公式：3、圆锥的侧面积和全面积连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.圆锥的母线长为，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则圆锥的侧面积，圆锥的全面积.扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.题型一：求弧长【例1】如图，边长为4的正方形ABCD内接于⊙O，则的长是（结果保留π）．【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，以AB为直径的⊙O交边BC，AC于D，E两点，AC＝2，则的长是．【例3】如图，AB是圆O的直径，CD是弦，CD∥AB，∠BCD＝30°，AB＝6，则弧BD的长为（）A．π B．4π C．2π D．45π【例4】如图，⊙O的半径为6，圆周角∠BAC＝40°，则的长为（）A． B． C． D．，【例5】已知一个扇形的圆心角为120°，半径是6cm，则这个扇形的弧长是（）A．8π B．6π C．4π D．2π【例6】如图，在扇形OAB中，∠AOB=110°，半径OA=18，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，则的长为______．题型二：求扇形面积【例1】如图，从一块直径为4dm的圆形铁皮上剪出一圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为（）dm2．A．4π B．16π C．4π D．8π【例2】如图，一只羊被4米长的绳子拴在长为3米，宽为2米的长方形封闭围墙的一个顶点上，则这头羊活动范围的最大面积是米2．【例3】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AC＝4，以AB为直径的⊙O交BC于点D，则图中阴影部分的面积为（）A． B． C． D．2π【例4】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝，作∠ABC的平分线BD交AC于点D，以点A为圆心，AD长为半径作弧，交AB于点E，则阴影部分的面积为（）A． B． C． D．题型三：求圆心角和半径【例1】已知扇形的面积为16π，半径为6，则此扇形的圆心角为．．【例2】在同一个圆中，扇形A，B，C面积之比为1：3：5，则最小扇形的圆心角度数（）A．40° B．100° C．120° D．150°【例3】如图，AB是⊙O的直径，CD垂直OB交⊙O于C，D两点，∠ABC＝60°，图中阴影部分的面积，则⊙O的半径为（）A．1 B．2 C．3 D．4题型四：求圆锥的侧面积或全面积【例1】某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高AO=8米，母线AB与底面半径OB的夹角为α，OA：OB=4:3，则圆锥的侧面积是______平方米（结果保留π）．【例2】若一个圆锥的侧面展开图是半径为4cm的半圆，则该圆锥的全面积是cm2．【例3】已知圆锥的底面半径是2，母线长是3，则圆锥的侧面积为．【例4】若圆锥的底面半径为2cm，圆锥的母线长为7cm，则它的侧面展开图的面积为cm2．【例5】一个圆柱的高为3cm，侧面积为12πcm2，则它的全面积是（）A．s＝30πcm2 B．s＝20πcm2 C．s＝24πcm2 D．s＝16πcm2【例6】如图所示，圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的表面积为（）A．π B．2π C．3π D．4π【例7】如图是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是______．题型五：求圆锥底面圆半径【例1】把半径为12且圆心角为150°的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆的半径为．【例2】用半径为6cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是cm．【例3】一圆锥的母线长为6cm，它的侧面展开图扇形的面积为12π，则这个圆锥的底面半径r为cm．【例4】用半径为6cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是cm．【例5】如图，从一块半径为1m的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形ABC，如果剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的周长为m．题型六：求圆锥的高、母线【例1】如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若扇形的半径R＝6cm，扇形的圆心角θ＝120°，该圆锥的高为cm．【例2】一个圆柱的底面半径为4，侧面积为64π，则该圆柱的母线长为（）A．8 B．16 C．8π D．16π【例3】已知圆柱的底面半径为3cm，轴截面面积为24cm2，则圆柱的母线长为．【例4】如果把一个圆柱体橡皮泥的一半捏成与圆柱底面积相等的圆锥，则这个圆锥的高与圆柱的高的比为．【例5】如图，正六边形ABCDEF的边长为6，连接AC，以点A为圆心，AC为半径画弧CE，得扇形ACE，将扇形ACE围成一个圆锥，则圆锥的高为（）A．3 B．6 C．3 D．【例6】如图，将半径为15cm的圆形纸片剪去圆心角为144°的一个扇形，用剩下的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），这个圆锥的高是（）A．8cm B．12cm C．20cm D．18cm【例7】．用一个半圆围成一个圆锥的侧面，圆锥的底面圆的半径为3．则该圆锥的母线长为（）A．3 B．6 C．9 D．12【例8】如图，用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是cm．题型七：求圆锥侧面展开图圆心角【例1】将一个半径为4cm，母线长为10cm的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，所得到展开图的圆心角是度．【例2】某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作圆锥．他们制作的圆锥，母线长为30cm，底面圆的半径为10cm，这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是．【例3】已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则此圆锥侧面展开图的圆心角是（）A．240° B．150° C．120° D．90°【例4】如图是一个圆锥形冰淇淋外壳，已知其母线长为10cm，底面半径为3cm，则这个冰淇淋外壳的侧面展开图的圆心角度数为（）A．108° B．120° C．144° D．150°题型八：求阴影部分面积【例1】如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是______．．【例2】如图，两个半径相等的直角扇形的圆心C、E分别在对方的圆弧上，其中点C是的中点，半径AE、CF交于点G，半径BE、CD交于点H，若直角扇形的半径为2cm，则图中阴影部分的面积等于______cm2．【例3】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若⊙O的半径为4，∠CDF＝22.5°，求阴影部分的面积．题型九：运动路线问题【例1】矩形ABCD的边AB＝4，AD＝3，现将矩形ABCD放在直线l上且沿着l向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置A1B1C1D1时（如图所示），则顶点A所经过的路线长是______．【例2】已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50米，半圆的直径为4米，则圆心O所经过的路线长是_____．米【例3】如图，圆锥的底面半径为5，母线长为20，一只蜘蛛从底面圆周上一点A出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A的最短路程是______．【例4】如图有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为6m的正△ABC．（1）求该圆锥形粮堆的侧面积；（2）母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B处沿圆锥表面去偷袭老鼠，小猫经过的最短路程．（结果不取近似值）【例5】如图，边长为的正方形ABCD的顶点A、B在一个半径为的圆上，顶点C、D在圆内，将正方形ABCD沿圆的内壁逆时针方向作无滑动的滚动．当点C第一次落在圆上时，点C运动的路径长为______．【例6】如图，在扇形纸片中，在桌面内的直线l上．现将此扇形在直线l上按顺时针方向旋转（旋转过程中无滑动），当落在l上时，停止旋转．则点O所经过的路线长为（）A． B． C． D．题型十：综合性简答题【例1】如图，在中，，以为直径的分别交线段、于点、，过点作，垂足为，线段、的延长线相交于点．（1）求证：是的切线；（2）若，，求图中阴影部分的面积．【例2】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线交BC于点O，以点O为圆心，OC长为半径作圆．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若∠B＝30°，BC＝12，求阴影部分面积．．【例3】古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．波波决定研究一下圆．如图，、是的两条半径，，C是半径上一动点，连接并延长交于D，过点D作圆的切线交的延长线于E，已知．（1）求证：；（2）若，求长；（3）当从增大到的过程中，求弦在圆内扫过的面积．课后作业：1．如图，A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，OA＝3，则劣弧AB的长是（）A．π B．2π C．3π D．4π2．若扇形的弧长是5π，半径是18，则该扇形的圆心角是（）A．50° B．60° C．100° D．120°3．一个扇形半径30cm，圆心角120°，用它作一个圆锥的侧面，则圆锥底面半径为（）A．5cm B．10cm C．20cm D．30cm4．已知圆锥的底面半径为2，母线长为4，则其侧面积为（）A．4π B．6π C．8π D．16π．5．圆锥的截面是一个等边三角形，则它的侧面展开图圆心角度数是（）A．60° B．90° C．120° D．180°6．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝3cm，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥的母线长l为cm．7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5cm，BC=12cm，以BC边所在的直线为轴，将△ABC旋转一周得到一个圆锥，求这个圆锥的侧面积.8．（2022·江苏泰州·九年级期末）一圆锥高为4cm，底面半径为3cm，则该圆锥的侧面积为（

）A． B． C． D．9．（2022·江苏连云港·九年级期末）如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆的半径为r，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于90°，则r与R之间的关系是（

）A．R＝2r； B．； C．R＝3r； D．R＝4r．10．如图，⊙O的直径AB＝16，半径OC⊥AB，D为上一动点（不包括B，C两点），DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分别为E，F．（1）求EF的长．（2）若点E为OC的中点，①求劣弧CD的长度；②若点P为直径AB上一动点，直接写出PC+PD的最小值．11．如图，AB⊥OB，AB＝2，OB＝4，把∠ABO绕点O顺时针旋转60°得∠CDO，则AB扫过的面积（图中阴影部分）为（）A．2 B．2π C． D．π12．如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25cm，则纸扇外边缘弧BC长为cm．专题7弧长、扇形面积和圆锥侧面积知识梳理：1、弧长公式半径为R的圆中360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)2、扇形面积公式半径为R的圆中360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：n°的圆心角所对的扇形面积公式：3、圆锥的侧面积和全面积连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.圆锥的母线长为，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则圆锥的侧面积，圆锥的全面积.扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.题型一：求弧长【例1】如图，边长为4的正方形ABCD内接于⊙O，则的长是（结果保留π）．【答案】π．【解析】解：连接OA、OB．∵正方形ABCD内接于⊙O，∴AB＝BC＝DC＝AD，∴＝＝＝，∴∠AOB＝×360°＝90°，在Rt△AOB中，由勾股定理得：2AO2＝42，解得：AO＝2，∴的长＝＝π，【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，以AB为直径的⊙O交边BC，AC于D，E两点，AC＝2，则的长是．【答案】．【解析】解：连接OE，OD，∵AB＝AC，∠A＝50°，∴∠B＝∠C＝＝65°，又∵OB＝OD，OA＝OE，∴∠B＝∠ODB＝65°，∠A＝∠OEA＝50°，∴∠BOD＝50°，∠AOE＝80°，∴∠DOE＝50°，由于半径为1，∴的长是＝．【例3】如图，AB是圆O的直径，CD是弦，CD∥AB，∠BCD＝30°，AB＝6，则弧BD的长为（）A．π B．4π C．2π D．45π【答案】A【解析】解：∠BOD＝2∠BCD＝2×30°＝60°，由弧长公式得，弧BD的长为＝π，【例4】如图，⊙O的半径为6，圆周角∠BAC＝40°，则的长为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：连OB，OC，如图，∵∠BAC＝40°，∴∠BOC＝2∠BAC＝80°，∴的长＝＝，【例5】已知一个扇形的圆心角为120°，半径是6cm，则这个扇形的弧长是（）A．8π B．6π C．4π D．2π【答案】C【解析】解：根据弧长的公式l＝，得到：l＝＝4π，故选：C．【例6】如图，在扇形OAB中，∠AOB=110°，半径OA=18，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，则的长为______．【答案】【解析】解析：连接OD．根据折叠的性质知，OB=DB．又∵OD=OB，∴OD=OB=DB，即△ODB是等边三角形，∴∠DOB=60°．∵∠AOB=110°，∴∠AOD=∠AOB﹣∠DOB=50°，∴的长为．题型二：求扇形面积【例1】如图，从一块直径为4dm的圆形铁皮上剪出一圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为（）dm2．A．4π B．16π C．4π D．8π【答案】A【解析】解：连接AB，则∠C＝90°，所以AB是圆的直径，即AB＝4dm，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，即2AC2＝（4）2，解得：AC＝BC＝4（dm），∴阴影部分的面积是＝4π（dm2）故选：A．【例2】如图，一只羊被4米长的绳子拴在长为3米，宽为2米的长方形封闭围墙的一个顶点上，则这头羊活动范围的最大面积是米2．【答案】．【解析】解：++＝（平方米）．【例3】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AC＝4，以AB为直径的⊙O交BC于点D，则图中阴影部分的面积为（）A． B． C． D．2π【答案】B【解析】解：∵AB＝AC＝4，AB为直径，∴∠B＝∠C＝30°，OA＝OB＝2，∴∠AOD＝2∠B＝60°，∴图中阴影部分的面积＝＝π，【例4】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝，作∠ABC的平分线BD交AC于点D，以点A为圆心，AD长为半径作弧，交AB于点E，则阴影部分的面积为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝，∴AC＝BC＝3，∠ABC＝90°﹣30°＝60°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠CBD＝30°，在Rt△BCD中，CD＝BC•tan30°＝1，∴AD＝3﹣1＝2，∴S阴影部分＝S扇形ADE＝＝，故选：A．题型三：求圆心角和半径【例1】已知扇形的面积为16π，半径为6，则此扇形的圆心角为．【答案】160°【解析】解：设此扇形的圆心角为n°，由题意可得，＝16π，解得n＝160，故答案为：160°．【例2】在同一个圆中，扇形A，B，C面积之比为1：3：5，则最小扇形的圆心角度数（）A．40° B．100° C．120° D．150°【答案】A【解析】解：由扇形的面积越小，扇形的圆心角越小，得A的圆心角最小．按比例分配，得扇形A的圆心角为360°×＝40°，【例3】如图，AB是⊙O的直径，CD垂直OB交⊙O于C，D两点，∠ABC＝60°，图中阴影部分的面积，则⊙O的半径为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】解：如图，连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，又∵∠ABC＝60°，∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∴∠BOD＝2∠BAC＝60°，设⊙O的半径为R，由于S阴影部分＝S扇形BOD＝，所以＝，所以R＝2，题型四：求圆锥的侧面积或全面积【例1】某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高AO=8米，母线AB与底面半径OB的夹角为α，OA：OB=4:3，则圆锥的侧面积是______平方米（结果保留π）．【答案】【解析】解析：∵AO=8米，母线AB与底面半径OB的夹角为α，，∴，∴BO=6，∴AB=10，根据圆锥的侧面积公式：【例2】若一个圆锥的侧面展开图是半径为4cm的半圆，则该圆锥的全面积是cm2．【答案】12π．【解析】解：侧面积是：πr2＝×π×42＝8π（cm2），底面积＝π×22＝4π（cm2），故圆锥的全面积是：8π+4π＝12π（cm2），【例3】已知圆锥的底面半径是2，母线长是3，则圆锥的侧面积为．【答案】6π．【解析】解：该圆锥的侧面积＝π×2×3＝6π．【例4】若圆锥的底面半径为2cm，圆锥的母线长为7cm，则它的侧面展开图的面积为cm2．【答案】14π【解析】解：底面半径为2cm，则底面周长＝4πcm，侧面面积＝×4π×7＝14πcm2．【例5】一个圆柱的高为3cm，侧面积为12πcm2，则它的全面积是（）A．s＝30πcm2 B．s＝20πcm2 C．s＝24πcm2 D．s＝16πcm2【答案】B【解析】解：设圆柱的底面半径为rcm．则有2πr•3＝12π，∴r＝2，∴圆柱的全面积＝2×π×22+12π＝20π（cm2），故选：B．【例6】如图所示，圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的表面积为（）A．π B．2π C．3π D．4π【答案】C【解析】解：根据题意，圆锥的母线长为＝2，所以圆锥的表面积＝π×12+×2π×1×2＝3π．故选：C．【例7】如图是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是______．【答案】【解析】解析：由三视图可知此几何体为圆锥∴d=4，h=3∴圆锥的母线长为∴圆锥的侧面积为题型五：求圆锥底面圆半径【例1】把半径为12且圆心角为150°的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆的半径为．【答案】5【解析】解：设这个圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得2πr＝，解得r＝5，故答案为：5．【例2】用半径为6cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是cm．【答案】2【解析】解：设这个圆锥的底面圆的半径为rcm，由题意得：2πr＝，解得：r＝2，∴这个圆锥的底面圆的半径为2cm，故答案为：2．【例3】一圆锥的母线长为6cm，它的侧面展开图扇形的面积为12π，则这个圆锥的底面半径r为cm．【答案】2【解析】解：设这个圆锥底面圆的半径为rcm，根据题意得×2πr×6＝12π，解得r＝2，即这个圆锥底面圆的半径是2cm．故答案为：2．【例4】用半径为6cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是cm．【答案】2【解析】解：设这个圆锥的底面圆的半径为rcm，由题意得：2πr＝，解得：r＝2，∴这个圆锥的底面圆的半径为2cm，故答案为：2．【例5】如图，从一块半径为1m的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形ABC，如果剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的周长为m．【答案】【解析】解：如图，连接OA，OB，OC，则OB＝OA＝OC＝1m，因此阴影扇形的半径为1m，圆心角的度数为120°，则扇形的弧长为：m，而扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长，因此有：2πr＝，解得，r＝（m），∴圆的周长为2πr＝π（cm），故答案为：π．题型六：求圆锥的高、母线【例1】如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若扇形的半径R＝6cm，扇形的圆心角θ＝120°，该圆锥的高为cm．【答案】4．【解析】解：设圆锥的底面半径为rcm，根据题意得2πr＝，解得r＝2，所以该圆锥的高h＝＝4．【例2】一个圆柱的底面半径为4，侧面积为64π，则该圆柱的母线长为（）A．8 B．16 C．8π D．16π【答案】A【解析】解：由圆柱的侧面积公式可得圆柱的母线长＝6π÷（2π×4）＝8．故选：A．【例3】已知圆柱的底面半径为3cm，轴截面面积为24cm2，则圆柱的母线长为．【答案】4【解析】解：圆柱底面直径是3×2＝6（cm）24÷6＝4cm答：圆柱的母线长是4cm，故答案为：4cm．【例4】如果把一个圆柱体橡皮泥的一半捏成与圆柱底面积相等的圆锥，则这个圆锥的高与圆柱的高的比为．【答案】3：2．【解析】解：设圆柱的高为a，圆锥的高为b，圆柱底面积为S，根据题意得S•a＝•S•b，所以b：a＝3：2．故答案为：3：2．【例5】如图，正六边形ABCDEF的边长为6，连接AC，以点A为圆心，AC为半径画弧CE，得扇形ACE，将扇形ACE围成一个圆锥，则圆锥的高为（）A．3 B．6 C．3 D．【答案】D【解析】解：过点B作BH⊥AC于H，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠ABC＝∠BAF＝＝120°，AB＝BC，∴∠BAC＝30°，AH＝HC，∴AH＝AB•cos∠BAC＝3，∴AC＝6，同理，∠FAE＝30°，∴∠CAE＝60°，∴的长为：＝2π，∴扇形ACE围成的圆锥的底面半径为：＝，∴圆锥的高为：＝，故选：D．【例6】如图，将半径为15cm的圆形纸片剪去圆心角为144°的一个扇形，用剩下的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），这个圆锥的高是（）A．8cm B．12cm C．20cm D．18cm【答案】B【解析】解：设圆锥的底面圆的半径为rcm，根据题意得2πr＝解得r＝9，所以圆锥的高＝＝12（cm）．故选：B．【例7】．用一个半圆围成一个圆锥的侧面，圆锥的底面圆的半径为3．则该圆锥的母线长为（）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】B【解析】解：设该圆锥的母线长为l，根据题意得2π×3＝，解得l＝6，即该圆锥的母线长为6．故选：B．【例8】如图，用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是cm．【答案】4【解析】解：∵圆心角为120°，半径为6cm的扇形的弧长＝＝4π，∴圆锥的底面圆的周长为4π，∴圆锥的底面圆的半径为2，∴这个纸帽的高＝＝4（cm）．故答案为4．题型七：求圆锥侧面展开图圆心角【例1】将一个半径为4cm，母线长为10cm的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，所得到展开图的圆心角是度．【答案】160°【解析】解：设扇形的圆心角为n°，∵将一个半径为4cm，母线长为10cm的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，∴圆锥侧面积公式为：S＝πrl＝π×4×10＝40πcm2，∴扇形面积为40π＝，解得：n＝144，∴侧面展开图的圆心角是144度．故答案为：144．【例2】某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作圆锥．他们制作的圆锥，母线长为30cm，底面圆的半径为10cm，这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是．【答案】160°【解析】解：设这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是n°，2π×10＝，解得n＝120，即这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是120°，故答案为：120°．【例3】已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则此圆锥侧面展开图的圆心角是（）A．240° B．150° C．120° D．90°【答案】160°【解析】解：圆锥的底面周长＝4π，∴＝4π，解得n＝120°．【例4】如图是一个圆锥形冰淇淋外壳，已知其母线长为10cm，底面半径为3cm，则这个冰淇淋外壳的侧面展开图的圆心角度数为（）A．108° B．120° C．144° D．150°【答案】160°【解析】解：设这个冰淇淋外壳的侧面展开图的圆心角度数为n°，根据题意得2π×3＝，解得n＝108，即这个冰淇淋外壳的侧面展开图的圆心角度数为108°．故选：A．题型八：求阴影部分面积【例1】如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是______．【答案】【解析】解析：连接OO′，BO′，∵将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，∴∠OAO′=60°，∴△OAO′是等边三角形，∴∠AOO′=60°，∵∠AOB=120°，∴∠O′OB=60°，∴△OO′B是等边三角形，∴∠AO′B=120°，∵∠AO′B′=120°，∴∠B′O′B=120°，∴∠O′B′B=∠O′BB′=30°，∴图中阴影部分的面积=S△B′O′B﹣（S扇形O′OB﹣S△OO′B）．【例2】如图，两个半径相等的直角扇形的圆心C、E分别在对方的圆弧上，其中点C是的中点，半径AE、CF交于点G，半径BE、CD交于点H，若直角扇形的半径为2cm，则图中阴影部分的面积等于______cm2．【答案】【解析】解析：过点C作CM⊥AE，作CN⊥BE，垂足分别为M、N，则四边形EMCN是矩形，∵点C是的中点，∴EC平分∠AEB，∴CM=CN，∴矩形EMCN是正方形，∵∠MCG+∠FCN=90°，∠NCH+∠FCN=90°，∴∠MCG=∠NCH，在△CMG与△CNH中，∠MCG=∠NCH，CM=CN，∠CMG=∠CNB=90°，∴△CMG≌△CNH（ASA），∴中间空白区域面积相当于对角线是2的正方形面积，∴空白区域的面积为：，∴图中阴影部分的面积=两个扇形面积和﹣2个空白区域面积的和=．【例3】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若⊙O的半径为4，∠CDF＝22.5°，求阴影部分的面积．【答案】见解析【解析】解析：（1）连接OD∵OB=OD∴∠ABC=∠ODB，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB∴∠ODB=∠ACB，∴OD∥AC，∵DF是⊙O的切线∴DF⊥OD，∴DF⊥AC（2）连接OE∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°，∴∠ABC=∠ACB=67.5°∴∠BAC=45°，∵OA=OE，∴∠AOE=90°，∵⊙O的半径为4∴S扇形AOE=，S△AOE=8，∴S阴影=题型九：运动路线问题【例1】矩形ABCD的边AB＝4，AD＝3，现将矩形ABCD放在直线l上且沿着l向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置A1B1C1D1时（如图所示），则顶点A所经过的路线长是______．【答案】【解析】解析：∵AB=4，AD=3，∴A′M=，顶点A所经过的路线长为：【例2】已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50米，半圆的直径为4米，则圆心O所经过的路线长是_____．【答案】米【解析】解析：有图形可知，圆心先向前走O1O2的长度即圆周长的，然后沿着弧O2O3旋转圆周长的，最后向右平移50米所以圆心总共走过的路程为圆周长的一半即半圆的弧加上50由已知的圆的半径为2米设半圆形的弧长为l米则半圆形的弧长米故圆心O所经过的路线长为米【例3】如图，圆锥的底面半径为5，母线长为20，一只蜘蛛从底面圆周上一点A出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A的最短路程是______．【答案】【解析】解析：圆锥的底面周长，设侧面展开图的圆心角的度数为n．∴，解得n=90，圆锥的侧面展开图，如图所示：∴最短路程为：【例4】如图有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为6m的正△ABC．（1）求该圆锥形粮堆的侧面积；（2）母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B处沿圆锥表面去偷袭老鼠，小猫经过的最短路程．（结果不取近似值）【答案】见解析【解析】解析：（1）根据圆锥的侧面积等于展开扇形的面积得：，解得n=180°．答：圆锥侧面展开图的圆心角的度数为180°．（2）根据第（1）中的结论，知：展开的半个侧面的圆心角是90°，根据勾股定理得：．答：小猫经过的最短路程是m．【例5】如图，边长为的正方形ABCD的顶点A、B在一个半径为的圆上，顶点C、D在圆内，将正方形ABCD沿圆的内壁逆时针方向作无滑动的滚动．当点C第一次落在圆上时，点C运动的路径长为______．【答案】【解析】解析：设圆心为O，正方形ABCD第一次滚动至AMEF处，第二次滚动至HNGF处，连接AO、BO、AC、AE、FA∵AB=，AO=BO=∴AB=AO=BO∴△AOB是等边三角形∴∠AOB=∠OAB=60°同理，△FAO是等边三角形，∠FAB=2∠OAB=120°∴∠EAC=∠FAD=120°﹣90°=30°∠GFE=120°﹣90°=30°∵AD=AB=∴当点C第一次落在圆上时，点C运动的路径长为【例6】如图，在扇形纸片中，在桌面内的直线l上．现将此扇形在直线l上按顺时针方向旋转（旋转过程中无滑动），当落在l上时，停止旋转．则点O所经过的路线长为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】解析：点O经过的路线长===12π题型十：综合性简答题【例1】如图，在中，，以为直径的分别交线段、于点、，过点作，垂足为，线段、的延长线相交于点．（1）求证：是的切线；（2）若，，求图中阴影部分的面积．【答案】见解析【解析】解析：（1）连接AD、OD，如下图所示：∵AB是圆的直径∴∵∴点D为CB的中点∵点O为AB的中点∴OD为的中位线∴∵∴∴是的切线；（2）∵，，∴∵∴为边长为4的等边三角形∵∴∴∴．【例2】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线交BC于点O，以点O为圆心，OC长为半径作圆．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若∠B＝30°，BC＝12，求阴影部分面积．【答案】见解析【解析】解析：（1）证明：过O作OD⊥AB于D，如图所示：∵∠ACB＝90°，∴OC⊥AC，∵OA平分∠BAC，∴OD＝OC，∵OC为⊙O的半径，∴OD为⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线；（2）∵OD⊥AB，∴∠ODB＝90°，∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，∴OB＝2OD，AC＝BC＝4，∵OC＝OD，BC＝12，∴BC＝3OC＝12，∴OD＝OC＝4，∵∠BOD＝90°﹣30°＝60°，∴∠COD＝120°，由（1）得：AB是⊙O的切线，OC⊥AC，∴AC为⊙O的切线，∴AD＝AC＝4，∴阴影部分面积＝△AOC的面积+△AOD的面积﹣扇形OCD的面积＝×4×4+×4×4﹣＝16﹣．【例3】古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．波波决定研究一下圆．如图，、是的两条半径，，C是半径上一动点，连接并延长交于D，过点D作圆的切线交的延长线于E，已知．（1）求证：；（2）若，求长；（3）当从增大到的过程中，求弦在圆内扫过的面积．【答案】见解析【解析】解析：（1）证明：连接，如图1所示：是的切线，，，，、是的两条半径，，，，，；（2），，，设，，，，，，即：，解得：，；（3）过点作交的延长线于，如图2所示：当时，，，，，当时，，，，，当从增大到的过程中，在圆内扫过的面积为：．课后作业：1．如图，A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，OA＝3，则劣弧AB的长是（）A．π B．2π C．3π D．4π【答案】B【解析】解：由题意可得，劣弧AB的长是：＝2π．故选：B．2．若扇形的弧长是5π，半径是18，则该扇形的圆心角是（）A．50° B．60° C．100° D．120°【答案】A【解析】解：∵扇形的弧长，∴5π＝，∴n＝50，∴该扇形的圆心角是50°．故选：A．3．一个扇形半径30cm，圆心角120°，用它作一个圆锥的侧面，则圆锥底面半径为（）A．5cm B．10cm C．20cm D．30cm【答案】B【解析】解：设圆锥底面半径为rcm，根据题意得2πr＝，