第4章根轨迹法

第四章根轨迹法Chapter4ROOTLOCUS4.3广义根轨迹的绘制在控制系统中，除了根轨迹增益作为自变量的情况以外，其他情形下的根轨迹统称为广义根轨迹。如系统的参量根轨迹、开环传递函数中零点个数多于极点个数时的根轨迹、零度根轨迹等均可列入广义根轨迹这个范畴。本节分别介绍参量根轨迹和零度根轨迹的绘制方法。4.3.1参量根轨迹在绘制根轨迹时，如果可变参数不是根轨迹增益而是其他参数(例如，某一校正元件的时间常数)，则所得的根轨迹称为参量根轨迹。绘制参数根轨迹的法则与绘制常规的根轨迹的法则完全相同。在绘制参数根轨迹之前，引入等效单位反馈系统和等效传递函数概念，则常规根轨迹的所有绘制法则，均适用于参数根轨迹的绘制。为此，需要对闭环特征方程进行等效变换，将其写成如下形式其中A为除K外，系统任意的变化参数，而和为两个与A无关的多项式。显然等效的单位反馈系统的等效开环传递函数为“等效”的含义仅在闭环极点相同这一点上成立，而闭环零点一般是不同的。例4-5一双闭环控制系统的框图如图所示，试绘制以α为参变量的根轨迹。解：系统的开环传递函数为2其中，的极点为，零点为0。，不难证明该系统根轨迹的复数部分为一圆弧，其方程为。例4-6一单位反馈控制系统如图所示，试绘制以K和α为参变量的根轨迹。解：系统的闭环特征方程为1、先令，则上式变成或写作令

据此做出对应的根轨迹。这是时，以K为参变量的根轨迹。2、其次考虑，把闭环特征方程改写成令

比较，可知的开环极点就是对应的闭环极点，因而对应根轨迹的起点都在的根轨迹曲线上。为了做出对应的根轨迹，通常先令K为某一定值，然后根据零、极点的分布做出参变量时的根轨迹。如令K=4，则

它的极点为±j2，零点为0。不难证明，对应特征方程的根轨迹也为一圆弧，其方程为4.3.2

零度根轨迹非最小相位系统：在平面右半平面具有开环极点(或零点)的反馈系统最小相位系统：若反馈系统的全部开环极点与零点均位于平面左半平面零度根轨迹的来源有两个方面：（1）非最小相位系统中包含s最高次幂的系数为负的因子；（2）控制系统中包含有正反馈内回路。1正反馈回路的根轨迹

在某些控制系统中，其内环可能是一个正反馈内回路，如下图所示。当具有正反馈内回路的控制系统不稳定时，其传递函数中就有极点在s的右半平面。这里仅讨论正反馈内回路部分根轨迹的绘制。图中所示内回路的闭环传递函数为

相应的特征方程为即由上式可知，正反馈回路根轨迹的幅值条件与负反馈回路完全相同，但其相角却变为基于上式所示的相角的特点，因而称相应的根轨迹为零度根轨迹。在绘制零度根轨迹时，需要对4.2节中涉及相角条件的规则作如下的修改。规则3’实轴上线段成为根轨迹的充要条件(K≥0)是该线段右方实轴上开环零点与极点之和为偶数。规则4’渐近线与实轴的夹角为规则6’开环共轭极点的出射角与开环共轭零点的入射角为2含有非最小相位元件的系统的根轨迹

在绘制系统中含有非最小相位元件的根轨迹时，必须注意开环传递函数(分母或分子)中是否含有s最高次幂为负系数的因子。若有，则根轨迹的相角条件就变为由下式去表征，因而所绘制的将是零度根轨迹。设一非最小相位系统如下图所示