第八章立体几何初步检测卷高一下学期数学人教A版

第八章立体几何初步检测20232024学年高一数学下学期人教A版2019一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列说法正确的是（

）A．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，该圆锥―定被分为一个小圆锥和一个圆台B．有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱C．圆台的所有母线延长不一定交于一点D．一个多面体至少有3个面2．设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列说法中正确的序号为（

）①若，则为异面直线

②若，则③若，则

④若，则A．①② B．②③ C．③④ D．②④3．古希腊数学家欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V）与它的直径（D）的立方成正比”，即，但欧几里得未给出常数k的值.现算出k的值，进而可得（

）A．0 B． C． D．4．已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（

）A． B．1 C．2 D．35．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来实际图形的周长是（

）A． B． C．6 D．86．坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形.若，，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（

）A．117m B．120m C．127m D．135m7．如图，在棱长为的正方体中，是的中点，点是侧面上的动点，且截面，则线段长度的取值范围是（

）A．B．C．D．8．如图，为圆锥的底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是（

）A．圆锥的侧面积为B．三棱锥的体积的最大值为C．的取值范围是D．若，为线段上的动点，则的最小值为二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列基本事实叙述正确的是（

）A．经过两条相交直线，有且只有一个平面B．经过两条平行直线，有且只有一个平面C．经过三点，有且只有一个平面D．经过一条直线和一个点，有且只有一个平面10．已知正三棱柱的棱长均为为棱上靠近点的四等分点，为棱的中点，则（

）A．平面平面B．直线与所成角的正切值为3C．点到平面的距离为D．以为球心，2为半径的球面与该棱柱的棱公共点的个数为611．如图所示，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为，，的中点，则有（

）A．直线平面B．异面直线与所成的角为C．直线与平面所成的角为D．平面截正方体所得的截面面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．对于棱长为1（单位：）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计），以该正方体的三条棱作为圆锥的母线，则此圆锥的母线与底面所成角的正切值为.13．设，是两个不同的平面，是一条直线，以下命题:①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则；其中正确的命题序号是.14．如图所示，在长方体中，，.一平面截该长方体，所得截面为OPQRST，其中O，P分别为AD，CD的中点，，则，.四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，直四棱柱中，底面ABCD为菱形，，，P，M，N分别为CD，，的中点.(1)证明：平面平面；(2)求与平面所成角的正弦值.16．如图，四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是正方形，，点M是棱PC的中点.(1)求证：平面平面ABCD；(2)求三棱锥的体积.17．如图，已知平面ABC，，，，，，点为的中点(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的大小；(3)若点为的中点，求点到平面的距离．18．如图，在棱长为2的正方体中，截去三棱锥，求

(1)截去的三棱锥的表面积；(2)剩余的几何体的体积；(3)在剩余的几何体中连接，求四棱锥的体积.19．如下左图，矩形中，，，.过顶点作对角线的垂线，交对角线于点，交边于点，现将沿翻折，形成四面体，如下右图.

(1)求四面体外接球的体积；(2)求证：平面平面；(3)若点为棱的中点，请判断在将沿翻折过程中，直线能否平行于面.若能请求出此时的二面角的大小；若不能，请说明理由.参考答案：1．A【分析】根据圆锥、棱柱以及圆台和多面体的定义，一一判断各选项，即得答案.【详解】对于A项，用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，原圆锥一定被分为一个小圆锥和一个圆台，故A正确；对于B项，满足条件的几何体可能是组合体，如图，故B错误；对于C项，圆台的所有母线延长一定交于一点，故C错误；对于D项，多面体至少有4个面，所以D错误.故选：A.2．B【分析】根据空间线面的位置关系，逐项判断即可.【详解】对①：因为平面的平行线和平面内的直线可以平行，也可以异面，故①错误；对②：平行于同一个平面的两个平面平行，故②正确；对③：先根据垂直于同一条直线的两个平面平行得，再根据，可得，故③正确；对④：两直线平行，和这两条直线分别垂直的平面也平行，故④错误.故选：B3．B【分析】根据球的体积公式求，再求正弦值.【详解】因为，整理得，所以..故选：B4．B【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高，做辅助线，结合正三棱台的结构特征求得，进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台补成正三棱锥，与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角，根据比例关系可得，进而可求正三棱锥的高，即可得结果.【详解】解法一：分别取的中点，则，可知，设正三棱台的为，则，解得，如图，分别过作底面垂线，垂足为，设，则，，可得，结合等腰梯形可得,即，解得，所以与平面ABC所成角的正切值为；解法二：将正三棱台补成正三棱锥，则与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角，因为，则，可知，则，设正三棱锥的高为，则，解得，取底面ABC的中心为，则底面ABC，且，所以与平面ABC所成角的正切值.故选：B.5．D【分析】还原图形，用勾股定理计算线段长度，再求出周长.【详解】如图所示：根据斜二测画法，可知原图形为平行四边形，其中，，所以，故周长为.故选：D.6．A【分析】分别取的中点，连接过点作交于点，作交于点，连接,证明平面，推得题中两个二面角的平面角，依次求出，即得该五面体的所有棱长之和.【详解】如图，分别取的中点，连接过点作交于点，作交于点，连接.因该五面体的两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形，则易得，即四点共面，因，，故，依题意，是平面内两条相交直线，故平面，因平面，则因，且,平面，则平面.因平面，平面，则，即即平面与平面ABCD的夹角，同理即平面与平面ABCD的夹角.依题意，，易证由平面，平面EFMN，则，故则,，，由等腰梯形的性质，.于是，该五面体的所有棱长之和为.故选：A.7．B【分析】构造中位线，利用线线平行、线面平行的性质判定面面平行，结合勾股定理计算即可.【详解】如图所示，取的中点，的中点，的中点，利用中位线性质及正方体特征可知，，又平面，平面，所以平面，同理平面，平面，所以平面，而，平面，显然平面，故平面平面，又平面，线段扫过的图形是，由，则，，，，是直角，线段长度的取值范围是：，即：故选：B．8．D【分析】先求出圆锥的母线长，利用圆锥的侧面积公式判断A；当时，的面积最大，此时三棱锥体积也最大，利用圆锥体积公式求解即可判断B；先用取极限的思想求出的范围，再利用，求的范围，即可判断C；利用图形展开及两点之间线段最短即可判断选项D.【详解】在中，，则圆锥的母线长，半径，对于A，圆锥的侧面积为：，故A错误；对于B，当时，的面积最大，此时，则三棱锥体积的最大值为，故B错误；对于C，因为为等腰三角形，，又，所以，当点与点重合时，为最小角，当点与点重合时，达到最大值，又因为与不重合，则，又，可得，故C错误；对于D，由，得，又，则为等边三角形，则，将以为轴旋转到与共面，得到，则为等边三角形，，如图可知，因为，，则，故D正确；故选：D.9．AB【分析】根据基本事实以及推论即可逐项判断.【详解】根据基本事实以及推论，易知A，B正确；对于C项，若三点共线，经过三点的平面有无数多个，故C错误；对于D，若这个点在直线外，则确定一个平面，若这个点在直线上，可有无数平面，故D不正确；故选：AB10．AC【分析】运用立体几何的几何法证明线面垂直可判断A、B，利用三棱锥的等体积法判断，根据圆心到直线的距离与半径相比，可判断D.【详解】由题意得，，则，所以，则；因为正三棱柱中，为棱的中点，所以，平面平面，又平面平面平面，所以平面，又平面，所以；又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正确；如图①，连接，交于点，连接，则是的中位线，所以，由平面及平面，得，所以，故B错误；，，由余弦定理，，则，设点到平面的距离为，由，得，解得，所以点到平面的距离为，故正确；如图②，，到棱的距离等于，，故球的球面与侧面的棱各有一个交点，分别为，同理可得与侧面的棱各有一个交点，分别为，如图③，，，到棱的距离等于，故球的一个截面圆与有两个交点分别为.如图④，，，到棱的距离等于，故球的一个截面圆与没有交点.综上，以为球心，2为半径的球面与该棱柱的棱公共点的个数为8，故D错误.故选：AC.【点睛】方法点睛：点到平面的距离常用几何的等体积法和向量的投影方法来解决；要判断球与棱的公共点个数，先判断棱所在直线与球的位置关系，再结合球心到棱端点的距离与球半径的大小关系来判断.11．ABD【分析】根据三角形中位线定理、异面直线所成角定义，结合线面角的定义、线面平行的判定定理、正方体的截面性质逐一判断即可.【详解】对于B，连接，因为E，F，分别为，的中点，所以，因为是棱长为2的正方体，所以，因此是等边三角形，因此，因此直线与所成的角为，故B正确；对于C，延长，交的延长线于，因为G为的中点，所以B为的中点，由正方体的性质可知：平面，因此是直线与平面所成角的平面角，因为，所以直线与平面所成的角不是，故C不正确；对于A，取中点，连接，则，因为平面，平面，所以平面，因为分别为的中点，所以且，又且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，而平面，所以直线平面，故A正确；对于D，因为，，所以，因此四点共面，因此截面为等腰梯形，因为正方体棱长为2，所以，，因此该等腰梯形的高为：，所以该等腰梯形面积为：，故D正确.故选：ABD.【点睛】方法点睛：求直线与平面所成角的方法：（1）定义法，①作，在直线上选取恰当的点向平面引垂线，确定垂足的位置是关键；②证，证明所作的角为直线与平面所成的角，证明的主要依据是直线与平面所成角的概念；③求，利用解三角形的知识求角；（2）向量法，（其中为平面的斜线，为平面的法向量，为斜线与平面所成的角）.12．【分析】以三条棱作为圆锥母线，底面所在平面为，则此圆锥的母线与底面所成角的正切值等价于与平面所成角的正切值，设点到平面的距离为，利用求出可得答案.【详解】如图，以三条棱作为圆锥母线，底面所在平面为，则此圆锥的母线与底面所成角的正切值等价于与平面所成角的正切值，设点到平面的距离为，因为，，所以，所以点到平面的距离为，则此圆锥的母线与底面所成角的正切值为.故答案为：.13．②③【分析】根据线面垂直的性质判断①；根据面面平行的性质判断②，根据线面垂直的判定以及性质判断③；根据线面平行以及面面垂直判断④.【详解】对于①，若，，则或，故①错误；对于②，若，，根据线面平行的性质可知，②正确；对于③，若，，则分别作两相交平面γ，δ与平面相交，设交线分别为，且相交，相交，如图：由于，故可得，又，，故，则，而，相交，故，③正确；对于④，若，，则或或与相交不垂直或，④错误；故答案为：②③14．/0.5/0.4【分析】设,,则,利用截面六边形的对边分别平行，然后利用,求出,由，,分别求出和,得到和的关系，求出的值，即可得到【详解】设,,则,由题意可知，由面面平行的性质定理可得该截面六边形的对边分别平行，即,,则,又因为,,所以,则,由,可得,所以,由~,可得,所以,则,解得,所以故答案为15．(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据面面平行的定理，转化为证明两组线面平行，即证明两组线线平行；（2）利用等体积转化求点到平面的距离，再根据公式，求线面角的正弦值.【详解】（1）因为，分别为线段，的中点，所以.因为平面，平面，所以平面.

因为，分别为线段，的中点，所以.因为平面，平面，所以平面.因为，平面，平面，所以平面平面.（2）由题知平面，平面，故，故，因为四边形是菱形，且，则，所以.而，故.

设为点到平面的距离，与平面所成的角为，故.又，而，故，故.

故，即与平面所成角的正弦值为.16．(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接，交于，连接，则为中点.可得，结合已知可得平面，可证结论.（2）根据，可求体积.【详解】（1）连接，交于，连接，则为中点.因为在中，，分别为，中点，所以.因为平面，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）由（1）知平面，且，所以.17．(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）由条件可知，平面平面，再利用面面垂直的性质定理，即可证明线面垂直；（2）首先取中点，将转化为，再根据（1）的结果，利用线面角的定义，即可求解线面角；（3）利用等体积转化，，求点到平面的距离.【详解】（1）∵平面，，∴平面，∵平面，∴平面平面，∵，点为中点，∴，∵平面平面，平面，∴平面.（2）取中点，连接，，∵，，，点为中点，∴四边为平行四边形，∴，∴直线与平面所成角和直线与平面所成角相等，∵平面，∴为直线与平面所成角，∵点为中点，，∴，，，∴，又，所以，所以直线与平面所成角为.（3）如图，连结和，由，，，且平面，所以,，，，,所以是等边三角形，，设点到平面的距离为，则，即，得所以点到平面的距离