2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（精讲）（原卷版）-人教版高中数学精讲精练必修一

2.3二次函数与一元二次方程、不等式（精讲）一.一元二次不等式的概念一元二次不等式定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式一般形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0解集ax2＋bx＋c>0(a≠0)解集是使y＝ax2＋bx＋c的函数值为正数的自变量x的取值集合ax2＋bx＋c<0(a≠0)解集是使y＝ax2＋bx＋c的函数值为负数的自变量x的取值集合ax2＋bx＋c≥0(a≠0)解集是使y＝ax2＋bx＋c的函数值大于或等于0的自变量x的取值集合ax2＋bx＋c≤0(a≠0)解集是使y＝ax2＋bx＋c的函数值小于或等于0的自变量x的取值集合注意事项：（1）一元二次不等式中的“一元”是指不等式中所要求解的未知数，并且这个未知数是唯一的，但这并不意味着不等式中不能含有其他字母，若含有其他字母，则把其他字母看成常数.(2)一元二次不等式中的“二次”是指所要求解的未知数的最高次数必须是2，且最高次项的系数不为0.二.“三个二次”的关系Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实根x1，x2，且x1<x2有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅一元二次不等式的解法一元二次不等式，a为正值来定形；对应方程根求好，心中想想抛物线；大于异根取两边，小于异根夹中间；大于等根根去掉，小于等根空集成；大于无根取全体，小于无根不可能！注意事项：“大于”“小于”指的是当二次项系数转化为正数后的不等号．因此，为了避免出现错误，在求解一元二次不等式时，通常是将二次项系数变为正数(即将不等式两边同时乘以－1，不等号也随之改变方向)．四.一元二次不等式恒成立问题1.当未说明不等式为一元二次不等式时，有①不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝b＝0，,c>0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0；))②不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝b＝0，,c<0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0.))2.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0在x∈{x|m≤x≤n}时恒成立，等价于当m≤x≤n时，函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴的上方，而非等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0.))3.分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题.一．解不含参数的一元二次不等式的方法1.若不等式对应的一元二次方程能够分解因式，即能够转化为两个一次因式的乘积形式，则可以直接由因式分解法或不等式的性质得到不等式的解集.2.若不等式对应的一元二次方程不能分解因式，则可对式子进行配方，化为完全平方式，再开根号求解.二．解含参数的一元二次不等式的方法1.讨论二次项系数：二次项系数若含有参数，应讨论是小于0，还是大于0，若小于0，则将不等式转化为二次项系数为正的形式；2.判断方程的个数：判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系；3.写出解集：确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式注意事项：对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算．考点一解不含参数的一元二次不等式【例1】（2023·湖南）解下列不等式：(1)(2)(3)(4)【一隅三反】（2023·内蒙古赤峰）解下列不等式：；(2)；(3)；(4)(5)(6)(7)；(8)；(9)；(10).考点二解含参数的一元二次不等式【例2-1】（2023·河北）解下列关于的不等式【例2-2】（2023·安徽）解关于x的不等式.【例2-3】（2023·广东深圳）解关于x的不等式.【例2-4】（2023·湖南长沙）若关于x的不等式只有一个整数解，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2022秋·四川阿坝·高一校考期中）关于x的不等式的解集中恰有2个整数，则实数a的取值范围（

）A． B．C． D．2．（2023·江苏·高一假期作业）解关于x的不等式3．（2023·全国·高一专题练习）解下列关于的不等式．4．（2023·上海）解关于的不等式.考点三三个“二次”之间的关系【例3-1】（2023春·河南）已知，且，关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2023·全国·高一假期作业）若一元二次不等式的解集是，则一元二次不等式的解集是（

）A． B．C． D．2．（2023·湖南）若不等式的解集为，则函数的图象与x轴的交点为（）A．和 B．C． D．和3．（2022秋·天津）已知不等式和不等式的解集相同，则实数的值分别为（

）A． B．C． D．考点四一元二次不等式恒成立【例4-1】（2023贵州省安顺市）若命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【例4-2】（2023·云南红河）不等式对恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【例4-3】（2023·河南）若不等式对于恒成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2023·广东肇庆·高一广东肇庆中学校考期中）若命题“”为真命题，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．2．（2023·西藏）命题，使得成立.若是假命题，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．3．（2022秋·高一校考单元测试）任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（

）A． B． C． D．4．（2023春·湖南长沙·高一长沙市明德中学校考期中）若，使得不等式成立，则实数的取值范围（

）A． B． C． D．考点五一元二次不等式的实际应用【例5】（2022秋·江苏连云港·高一校考阶段练习）汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速50km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于12m，乙车的刹车距离略超过10m，又知甲、乙两种车的刹车距离s（单位：m）与车速x（单位：km/h）之间分别有如下关系：，，问：甲、乙两车有无超速现象？【一隅三反】1．（2023·陕西）某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价P（元）之间的关系为，生产x件所需成本为C（元），其中元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是（

）A．20≤x≤30 B．20≤x≤45C．15≤x≤30 D．15≤x≤452．（2023·浙江温州）某种汽车在水泥路面上的刹车距离（单位：）和汽车刹车前的车速（单位：）之间有如下关系：，在一次交通事故中，测得这种车刹车距离大于40，则这辆汽车刹车前的车速至少为（

）（精确到1）A．76 B．77 C．78 D．803．（2022秋·天津滨海新·高一校考期中）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入．则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（

）A． B．C． D．考点六根的分布【例6】（2023·湖北）关于的方程满足下列条件，求的取值范围．(1)有两个正根；(2)一个根大于，一个根小于；(3)一个根在内，另一个根在内；(4)一个根小于，一个根大于；(5)两个根都在内．【一隅三反】1．（2023·江苏南京）（多选）设为实数，已知关于的方程，则下列说法正确的是（

）A．当时，方程的两个实数根之和为0B．方程无实数根的一个必要条件是C．方程有两个不相等的正根的充要条