高中数学 第三章综合素能检测 新人教A版必修1

第三章综合素能检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(～河北广平县高一期中试题)函数f(x)＝－x3－3x＋5有零的区间是()A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(1,2) D．(2,3)[答案]C[解析]∵f(0)＝5，f(－1)＝9，f(1)＝1，f(2)＝－9，∴f(1)f(2)＜0，故选C.2．给出下列四个命题：①函数f(x)＝3x－6的零点是2；②函数f(x)＝x2＋4x＋4的零点是－2；③函数f(x)＝log3(x－1)的零点是1；④函数f(x)＝2x－1的零点是0.其中正确的个数为()A．1B．2C．3D．4[答案]C[解析]当log3(x－1)＝0时，x－1＝1，∴x＝2，故③错，其余都对．3．若函数y＝f(x)在区间[0,4]上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在(0,4)内仅有一个实数根，则f(0)·f(4)的值()A．大于0 B．小于0C．等于0 D．无法判断[答案]D[解析]如图(1)和(2)都满足题设条件．4．函数f(x)＝ax＋b的零点是－1(a≠0)，则函数g(x)＝ax2＋bx的零点是()A．－1 B．0C．－1和0 D．1和0[答案]C[解析]由条件知f(－1)＝0，∴b＝a，∴g(x)＝ax2＋bx＝ax(x＋1)的零点为0和－1.5．(～山东鱼台一中期中试题)函数f(x)在区间[a，b]上为减函数，则f(x)在[a，b]上()A．至少有一个零点 B．只有一个零点C．没有零点 D．至多有一个零点[答案]D6．(～山东梁山一中期中试题)函数f(x)＝xeq\s\up15(eq\f(1,2))－(eq\f(1,3))x的零点个数为()A．0 B．1C．2 D．3[答案]B[解析]f(x)＝xeq\s\up15(eq\f(1,2))－(eq\f(1,3))x在(0，＋∞)上为增函数，当x＝0时，f(0)＝－1＜0，当x＝1时，f(1)＝eq\f(2,3)＞0，∴f(0)f(1)＜0，因此f(x)在(0,1)上有一个零点，又f(x)单调递增，因此只有这一个零点故选B.7．(～山东梁山一中期中试题)若函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算列表如下x11.51.251.3751.3125f(x)－10.875－0.29690.2246－0.05151那么方程x3－x－1＝0的一个近似根(精确度为0,1)为()A．1.2 B．1.3125C．1.4375 D．1.25[答案]B[解析]由于f(1.375)＞0，f(1.3125)＜0，且1．375－1.3125＜0.1，故选B.8．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额，①如果不超过200元，则不予优惠．②如果超过200元，但不超过500元，则按标准价给予9折优惠．③如果超过500元，则其500元按第②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他只去一次购买上述同样的商品，则应付款是()A．413.7元 B．513.6元C．546.6元 D．548.7元[答案]C[解析]两次购物标价款：168＋eq\f(423,0.9)＝168＋470＝638(元)，实际应付款：500×0.9＋138×0.7＝546.6(元)．9．(～河北广平县高一期中试题)“龟兔赛跑”讲过了这样一个故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快，到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到了终点，用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路线，t为时间，则图中与故事情节相吻合的是()[答案]D10．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x，x∈－∞，1],log81x，x∈1，＋∞))，则方程f(x)＝eq\f(1,4)的解为()A.eq\f(7,4) B．3C．3或eq\f(7,4) D．无解[答案]B[解析]当x≤1时2－x＝eq\f(1,4)∴x＝eq\f(7,4)(舍)，当x>1时log81x＝eq\f(1,4)∴x＝3，故选B.11．一个机器人每一秒钟前进或后退一步，程序设计师让机器人先前进3步再后退2步的规律移动，如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向以一步的距离为一个单位长度．令P(n)表示第ns时机器人所在位置的坐标，且记P(0)＝0，则下列结论中错误的是()A．P(3)＝3 B．P(5)＝1C．P(2003)>P(2005) D．P(2007)>P(2008)[答案]D[解析]机器人程序为前进3步、后退2步，则P(3)＝3，P(5)＝1均正确，即5步等于前进了一个单位长度，∴P(2003)＝P(2000)＋P(3)＝403，P(2005)＝P(2000)＋P(5)＝401，∴P(2003)>P(2005)正确．又P(2007)＝P(2005)＋P(2)＝403，P(2008)＝P(2005)＋P(3)＝404，∴P(2007)>P(2008)错误．12．已知函数f(x)的图象如图，则它的一个可能的解析式为()A．y＝2eq\r(x) B．y＝4－eq\f(4,x＋1)C．y＝log3(x＋1) D．y＝xeq\f(1,3)(x≥0)[答案]B[解析]由于过(1,2)点，排除C、D；由图象与直线y＝4无限接近，但到达不了，即y＜4知排除A，∴选B.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．如函数f(x)＝x2＋mx＋m＋3的一个零点为0，则另一个零点是________．[答案]3[解析]代入x＝0得m＝－3.∴f(x)＝x2－3x，则x2－3x＝0得x1＝0，x2＝3因此另一个零点为3.14．为了稳定市场，确保农民增收，某农产品的市场收购价格a与其前三个月的市场收购价格有关，且使a与其前三个月的市场收购价格之差的平方和最小．若下表列出的是该产品前6个月的市场收购价格，则7月份该产品的市场收购价格应为________.月份123456价格(元/担)687867717270[答案]7115．已知函数y＝f(x)是R上的奇函数，其零点为x1，x2，…，x，则x1＋x2＋…＋x＝________.[答案]0[解析]由于奇函数图象关于原点对称，因此零点是对称，所以x1＋x2＋…＋x＝0.16．已知y＝x(x－1)(x＋1)的图象如图所示．令f(x)＝x(x－1)(x＋1)＋0.01，则下列关于f(x)＝0的解叙述正确的是________．①有三个实根；②x＞1时恰有一实根；③当0＜x＜1时恰有一实根；④当－1＜x＜0时恰有一实根；⑤当x＜－1时恰有一实根(有且仅有一实根)．[答案]①⑤[解析]f(x)的图象是将函数y＝x(x－1)(x＋1)的图象向上平移0.01个单位得到．故f(x)的图象与x轴有三个交点，它们分别在区间(－∞，－1)，(0，eq\f(1,2))和(eq\f(1,2)，1)内，故只有①⑤正确．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)方程x2－eq\f(1,x)＝0在(－∞，0)内是否存在实数解？并说明理由．[解析]不存在，因为当x＜0时，－eq\f(1,x)＞0，∴x2－eq\f(1,x)＞0恒成立，故不存在x∈(－∞，0)，使x2－eq\f(1,x)＝0.18．(本小题满分12分)北京市的一家报刊摊点，从报社买进《北京日报》的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社．在一个月(30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？[解析]设每天从报社买进x份报纸，每月获得的总利润为y元，则依题意有y＝0.10(20x＋10×250)－0.15×10(x－250)＝0.5x＋625，x∈[250,400]．该函数在[250,400]上单调递增，所以x＝400时，ymax＝825(元)．答：摊主每天从报社买进400份时，每月所获得的利润最大，最大利润为825元．19．(本小题满分12分)某公司今年1月份推出新产品A，其成本价为492元/件，经试销调查，销售量与销售价的关系如下表：销售价x(元/件)650662720800销售量y(件)350333281200由此可知，销售量y(件)与销售价x(元/件)可近似看作一次函数y＝kx＋b的关系(通常取表中相距较远的两组数据所得的一次函数较为精确)．试问：销售价定为多少时，1月份利润最大？并求最大利润和此时的销售量．[解析]由表可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(350＝650k＋b，,200＝800k＋b))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝－1，,b＝1000，))故y＝－x＋1000.设1月份利润为W，则W＝(x－492)(－x＋1000)＝－x2＋1492x－49＝－(x－746)2＋64516，∴当x＝746，Wmax＝64516，此时销售量为1000－746＝254件，即当销售价定为746元/件时，1月份利润最大，最大利润为64516元，此时销售量为254件．20．(本小题满分12分)用二分法求f(x)＝x3＋x2－2x－2在x的正半轴上的一个零点(误差不超过0.1)．[解析]显然f(2)＝23＋22－2×2－2＝6＞0.当x＞2时f(x)＞0，又f(0)＝－2＜0，f(1)＝－2＜0，故f(x)在(1,2)区间内有零点.区间中点值中点函数值[1,2]1.50.625[1,1.5]1.25－0.984[1.25,1.5]1.375－0.260[1.375,1.5]1.4380.165[1.375,1.438]因为|1.375－1.438|＝0.063＜0.1，故f(x)＝x3＋x2－2x－2的零点为x＝1.4.21．(本小题满分12分)铁路运输托运行李，从甲地到乙地，规定每张客票托运费计算方法是：行李质量不超过50kg时，按0.25元/kg计算；超过50kg而不超过100kg时，其超过部分按0.35元/kg计算；超过100kg时，其超过部分按0.45元/kg计算．(1)计算出托运费用；(2)若行李质量为56kg，托运费用为多少？[解析](1)设行李质量为xkg，托运费用为y元，则①若0＜x≤50，则y＝0.25x；②若50＜x≤100，由y＝12.5＋0.35(x－50)；③若x＞100，则y＝30＋0.45(x－100)，所以，由①②③可知，y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.25x0＜x≤50，,12.5＋0.35x－5050＜x≤100，,30＋0.45x－100x＞100.))(2)因为50kg＜56kg＜100kg，所以y＝12.5＋6×0.35＝14.6元．22．(本小题满分12分)一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的eq\f(1,4)，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的eq\f(\r(2),2).(1)求每年砍伐面积的百分比．(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(3)今后最多还能砍伐多少年？[分析](1)根据10年的砍伐面积为原来的一半，列方程求解．(2)根据到今年为止，森林剩余面积为原来的eq\f(\r(2),2)，列方程求解．(3)求出第n年后森林剩余面积，根据森林面积至少要保留原面积的eq\f(1,4)列不等式求解．[解析](1)设每年砍伐面积的百分比为x(0<x<1)，则a(1－x)10＝eq\f(1,2)a，即(1－x)10＝eq\f(1,2).解得x＝1－(eq\f(1,2))eq\f(1,10).(2)设经过m年剩余面积为原来的eq\f(\r(2),2)，则a(1－x)m＝eq\f(\r(2),2)a，即(eq\f(1,2))eq\f(m,10