专练01一次函数综合(A卷解答题)(原卷版+解析)

专练01一次函数综合（A卷解答题）1．在平面直角坐标系上，点A为直线OA第一象限上一点，AB垂直x轴于B，OB＝4，AB＝2，(1)求直线OA的解析式；(2)直线y＝2x上有一点C（x轴上方），若AOC为直角三角形，求点C坐标．2．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，点为直线上一点，直线过点．（1）求和的值；（2）直线与轴交于点，动点在射线上从点开始以每秒1个单位的速度运动．设点的运动时间为秒；①若的面积为，请求出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；②是否存在的值，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系中，直线l₁：yx与直线l₂：y=kx+b相交于点A（a，3），直线交l₂交y轴于点B（0，﹣5）．（1）求直线l₂的解析式；（2）将△OAB沿直线l₂翻折得到△CAB（其中点O的对应点为点C），求证：AC∥OB；（3）在直线BC下方以BC为边作等腰直角三角形BCP，直接写出点P的坐标．4．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与轴交于点A，与轴交于点B，与直线OC：交于点C．（1）若直线AB解析式为，①求点C的坐标；②求△OAC的面积．（2）如图2，作的平分线ON，若AB⊥ON，垂足为E，OA＝4，P、Q分别为线段OA、OE上的动点，连结AQ与PQ，试探索AQ＋PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．5．已知：如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+3交x轴于点A，交y轴于点B，点C是点A关于y轴对称的点，过点C作y轴平行的射线CD，交直线AB与点D，点P是射线CD上的一个动点．(1)求点A，B的坐标．(2)如图2，将△ACP沿着AP翻折，当点C的对应点C′落在直线AB上时，求点P的坐标．(3)若直线OP与直线AD有交点，不妨设交点为Q(不与点D重合)，连接CQ，是否存在点P，使得S△CPQ＝2S△DPQ，若存在，请求出对应的点Q坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，平面直角坐标系中，A（0，a），B（b，0），OC＝OA，且a，b满足|a﹣8|＋＝0（1）求直线AB的表达式；（2）现有一动点P从点B出发，以1米/秒的速度沿x轴正方向运动到点C停止，设P的运动时间为t，连接AP，过点C作AP的垂线交射线AP于点M，交y轴于点N，请用含t的式子表示线段ON的长度；（3）在（2）的条件下，连接BM，当S△ABM：S△ACM＝3：7时，求此时P点的坐标．7．如图，直线：交轴于点，直线：交x轴于点，两直线交于点，根据图中的信息解答下列问题：（1）不等式的解集是，不等式组的解集是；（2）求点的坐标；（3）若过点的直线与轴交于点，当以为顶点的三角形是直角三角形时，求直线的解析式．8．如图，直线：与轴交于点，直线：与轴、轴分别交于、两点，直线与直线相交于点，且．（1）分别求出直线和直线解析式；（2）求四边形的面积；（3）若为轴上一点，且为等腰三角形，请求出点的坐标．9．如图1，在平面直角坐标中，直线：与抽交于点，直线：与轴交于点，与相交于点．（1）请直接写出点，点，点的坐标：_________，________，_______．（2）如图2，动直线分别与直线、交于、两点．①若，求的值；②若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．10．一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别相交于点A（﹣8，0）和点B（0，6）．点C在线段AO上．如图，将△CBO沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处．（1）求一次函数的解析式；（2）求AC的长；（3）点P为x轴上一点．且以A，B，P为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点坐标．11．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与直线交于点，点E为x轴上一个动点．(1)求直线的解析式；(2)若点E的坐标为，过点E作直线轴，分别交直线，于点F，G．求的面积；(3)若以点C、A、E为顶点的三角形为直角三角形，求点E的坐标．12．如图，直角坐标系中，一次函数的图像分别与、轴交于两点，正比例函数的图像与交于点．（1）求的值及的解析式；（2）求的值；（3）在坐标轴上找一点，使以为腰的为等腰三角形，请直接写出点的坐标．13．如图，已知直线l1：y1＝2x+1与坐标轴交于A、C两点，直线l2：y2＝﹣x﹣2与坐标轴交于B、D两点，两直线的交点为P点．(1)求P点的坐标；(2)求△APB的面积；(3)x轴上存在点T，使得S△ATP＝S△APB，求出此时点T的坐标．14．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，点在直线上，过点P的直线交x轴于点．（1）求的面积；（2）求直线的解析式；（3）以PA为腰做等腰直角，请直接写出满足条件的点Q的坐标15．如图，直线与x轴交于点，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，直线与直线相交于点D，且．（1）分别求出直线和直线解析式．（2）求四边形的面积．（3）若E为y轴上一点，且为等腰三角形，请求出点E的坐标．16．如图1，直线yx+6与x轴交于点A，直线y＝﹣x+m（m＞0）与x轴、y轴分别交于B、C两点，并与直线yx+6相交于点D，若AB＝5．(1)求直线BC的解析式；(2)求出四边形AOCD的面积；(3)如图2，若P为直线AD上一动点，当△PBD的面积是四边形AOCD的面积的一半时，求点P的坐标．17．在平面直角坐标系中，正比例函数的图像经过点，过点A的直线与x轴、y轴分别交于B，C两点．(1)求正比例函数的表达式；(2)若的面积为的面积的倍，求直线的表达式；(3)在（2）的条件下，若一条平行于的直线与直线在第二象限内相交于点D，与y轴相交于点E，连接，当平分时，求点D的坐标．专练01一次函数综合（A卷解答题）1．在平面直角坐标系上，点A为直线OA第一象限上一点，AB垂直x轴于B，OB＝4，AB＝2，(1)求直线OA的解析式；(2)直线y＝2x上有一点C（x轴上方），若AOC为直角三角形，求点C坐标．【答案】(1)y＝x(2)(，5)或(，)【解析】（1）解：∵AB垂直x轴于B，OB=4，AB=2，∴A（4，2），设直线OA的解析式为y=kx，则2=4k，解得k=，∴直线OA的解析式为y=x；（2）解：设点C坐标为（x，2x），∵A（4，2），∴OA2=42+22=20，OC2=x2+（2x）2=5x2，AC2=（4-x）2+（2x-2）2=5x2-16x+20，当OA2+OC2=AC2时，20+5x2=5x2-16x+20，解得x=0（舍去），当OA2+AC2=OC2时，20+5x2-16x+20=5x2，解得x=，∴点C坐标为（，5），当OC2+AC2=OA2时，5x2+5x2-16x+20=20，解得x=或x=0（舍去），∴点C坐标为（，），综上，点C坐标为（，5）或（，）．2．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，点为直线上一点，直线过点．（1）求和的值；（2）直线与轴交于点，动点在射线上从点开始以每秒1个单位的速度运动．设点的运动时间为秒；①若的面积为，请求出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；②是否存在的值，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1），；(2)①；②的值为4或12．【详解】（1）把点代入直线中得：，∴点C的坐标为，∵直线过点C，∴，∴；故答案为：2，；(2)由(1)得，令，则，∵直线与轴交于A，令，，则点的坐标，∴，①当时，，，当时，，，∴综上所述，；②存在，理由如下：∵，①当时，，，∴解得：；②当时，，，∴，解得：；∴综上所述，的值为4或12时，使得．3．如图，在平面直角坐标系中，直线l₁：yx与直线l₂：y=kx+b相交于点A（a，3），直线交l₂交y轴于点B（0，﹣5）．（1）求直线l₂的解析式；（2）将△OAB沿直线l₂翻折得到△CAB（其中点O的对应点为点C），求证：AC∥OB；（3）在直线BC下方以BC为边作等腰直角三角形BCP，直接写出点P的坐标．【答案】（1）直线l₂的解析式为y=2x﹣5；（2）证明见解析；（3）P1（0，﹣9），P2（7，﹣6），P3（，）．【详解】（1）∵直线l₁：yx与直线l₂：y=kx+b相交于点A（a，3），∴A（4，3）．∵直线交l₂交y轴于点B（0，﹣5），∴y=kx﹣5，把A（4，3）代入得：3=4k﹣5，∴k=2，∴直线l₂的解析式为y=2x﹣5；（2）∵OA5，∴OA=OB，∴∠OAB=∠OBA．∵将△OAB沿直线l₂翻折得到△CAB，∴∠OAB=∠CAB，∴∠OBA=∠CAB，∴AC∥OB；（3）如图，过C作CM⊥OB于M，则CM=OD=4．∵BC=OB=5，∴BM=3，∴OB=2，∴C（4，﹣2），过P1作P1N⊥y轴于N．∵△BCP是等腰直角三角形，∴∠CBP1=90°，∴∠MCB=∠NBP1．∵BC=BP1，∴△BCM≌△P1BN（AAS），∴BN=CM=4，∴P1（0，﹣9）；同理可得：P2（7，﹣6），P3（，）．4．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与轴交于点A，与轴交于点B，与直线OC：交于点C．（1）若直线AB解析式为，①求点C的坐标；②求△OAC的面积．（2）如图2，作的平分线ON，若AB⊥ON，垂足为E，OA＝4，P、Q分别为线段OA、OE上的动点，连结AQ与PQ，试探索AQ＋PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．【答案】（1）①C（4，4）；②12；（2）存在，3【详解】试题分析：（1）①联立两个函数式，求解即可得出交点坐标，即为点C的坐标；②欲求△OAC的面积，结合图形，可知，只要得出点A和点C的坐标即可，点C的坐标已知，利用函数关系式即可求得点A的坐标，代入面积公式即可；（2）在OC上取点M，使OM=OP，连接MQ，易证△POQ≌△MOQ，可推出AQ+PQ=AQ+MQ；若想使得AQ+PQ存在最小值，即使得A、Q、M三点共线，又AB⊥OP，可得∠AEO=∠CEO，即证△AEO≌△CEO（ASA），又OC=OA=4，利用△OAC的面积为6，即可得出AM=3，AQ+PQ存在最小值，最小值为3．（1）①由题意，解得所以C（4，4）；②把代入得，，所以A点坐标为（6，0），所以；（2）由题意，在OC上截取OM＝OP，连结MQ∵OQ平分∠AOC，∴∠AOQ=∠COQ，又OQ=OQ，∴△POQ≌△MOQ（SAS），∴PQ=MQ，∴AQ+PQ=AQ+MQ，当A、Q、M在同一直线上，且AM⊥OC时，AQ+MQ最小．即AQ+PQ存在最小值．∵AB⊥ON，所以∠AEO=∠CEO，∴△AEO≌△CEO（ASA），∴OC=OA=4，∵△OAC的面积为12，所以AM=12÷4=3，∴AQ+PQ存在最小值，最小值为3．5．已知：如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+3交x轴于点A，交y轴于点B，点C是点A关于y轴对称的点，过点C作y轴平行的射线CD，交直线AB与点D，点P是射线CD上的一个动点．(1)求点A，B的坐标．(2)如图2，将△ACP沿着AP翻折，当点C的对应点C′落在直线AB上时，求点P的坐标．(3)若直线OP与直线AD有交点，不妨设交点为Q(不与点D重合)，连接CQ，是否存在点P，使得S△CPQ＝2S△DPQ，若存在，请求出对应的点Q坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A（﹣4，0），B（0，3）；（2）P（4，）；（3）满足条件的点Q（12，12）或（，4）．【详解】解：（1）令x=0，则y=3，∴B（0，3），令y=0，则x+3=0，∴x=﹣4，∴A（﹣4，0）；（2）∵点C是点A关于y轴对称的点，∴C（4，0），∵CD⊥x轴，∴x=4时，y=6，∴D（4，6），∴AC=8，CD=6，AD=10，由折叠知，AC'=AC=8，∴C'D=AD﹣AC'=2，设PC=a，∴PC'=a，DP=6﹣a，在Rt△DC'P中，a2+4=（6﹣a）2，∴a=，∴P（4，）；（3）设P（4，m），∴CP=m，DP=|m﹣6|，∵S△CPQ=2S△DPQ，∴CP=2PD，∴2|m﹣6|=m，∴m=4或m=12，∴P（4，4）或P（4，12），∵直线AB的解析式为y=x+3①，当P（4，4）时，直线OP的解析式为y=x②，联立①②解得，x=12，y=12，∴Q（12，12），当P（4，12）时，直线OP解析式为y=3x③，联立①③解得，x=，y=4，∴Q（，4），即：满足条件的点Q（12，12）或（，4）．6．如图，平面直角坐标系中，A（0，a），B（b，0），OC＝OA，且a，b满足|a﹣8|＋＝0（1）求直线AB的表达式；（2）现有一动点P从点B出发，以1米/秒的速度沿x轴正方向运动到点C停止，设P的运动时间为t，连接AP，过点C作AP的垂线交射线AP于点M，交y轴于点N，请用含t的式子表示线段ON的长度；（3）在（2）的条件下，连接BM，当S△ABM：S△ACM＝3：7时，求此时P点的坐标．【答案】（1）；（2）6-t或t﹣6；（3）P（﹣1.8，0）【详解】解：（1）∵，∴，，∴a＝8，b＝6，∴A（0，8），B（﹣6，0），设直线AB的表达式为：，则，解得：，∴直线AB的表达式为：；（2）由（1）知，A（0，8），B（﹣6，0），∴OB＝6，OA＝8，∵OC＝OA，∴OC＝8，∴C（8，0），①当点P在x轴负半轴时，即0≤t≤6时，如图1，由运动知，BP＝t，∴OP＝6﹣t，∵CM⊥AP，∴∠CMA＝90°＝∠AOP＝∠AOC，∵∠ANM＝∠CNO，∴∠OAP＝∠OCN，∵OA＝OC，∴△AOP≌△CON（ASA），∴ON＝OP＝6﹣t；②当点P在x轴正半轴时，即6＜t≤14，如图2，由运动知，BP＝t，∴OP＝t﹣6，同①的方法得，△AOP≌△CON（ASA），∴ON＝OP＝t﹣6；（3）如图3，过点B作BH⊥AP于H，则S△ABM＝AM•BH，S△ACM＝AM•CM，∵S△ABM：S△ACM＝3：7，∴AM•BH：AM•CM＝3：7，∴，∵S△ABP＝AP•BH，S△ACP＝AP•CM，∴S△ABP：S△ACP＝3：7，∵S△ABP＝BP•OA，S△ACP＝CP•OA，∴BP：CP＝3：7，∴BP：BC＝3：10，∵B（﹣6，0），C（8，0），∴BC＝14，∴BP＝4.2，∴OP＝6﹣4.2＝1.8，∴P（﹣1.8，0）．7．如图，直线：交轴于点，直线：交x轴于点，两直线交于点，根据图中的信息解答下列问题：（1）不等式的解集是，不等式组的解集是；（2）求点的坐标；（3）若过点的直线与轴交于点，当以为顶点的三角形是直角三角形时，求直线的解析式．【答案】（1），；（2）；（3）直线为，直线为．【详解】（1），；（2）∵直线交轴于点，∴，则∴∵直线交轴于点，∴，则∴解方程组，得∴（3）当时，有：∴∴直线为：当时，设点如图，直线为与轴交于点，∴则，,∵∴解之得：

∴

∴设直线为：则，解之：∴直线为：8．如图，直线：与轴交于点，直线：与轴、轴分别交于、两点，直线与直线相交于点，且．（1）分别求出直线和直线解析式；（2）求四边形的面积；（3）若为轴上一点，且为等腰三角形，请求出点的坐标．【答案】（1）：，：；（2）；（3）或或或【详解】解：（1）把代入中，，，∴直线解析式，∵，，∴，把代入中，得，，∴直线解析式；（2）联立，解得，∴，把代入中得．∴，∴，∵，∴，∴，，∴；（3）∵，，∴，∵，∴，设，①时，，∴，∴，∴或；②时（图1），∵，，∴，∴；③时（图2），∵，∴E与O重合，∴；综上，的坐标为或或或．9．如图1，在平面直角坐标中，直线：与抽交于点，直线：与轴交于点，与相交于点．（1）请直接写出点，点，点的坐标：_________，________，_______．（2）如图2，动直线分别与直线、交于、两点．①若，求的值；②若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（-1，0）、（1，0）、（2，3）；（2）①t=1或3；②（0，-3）或（4，9）【详解】（1）对于直线l2：y=3x-3①，令y=3x-3=0，解得x=1，故点B（1，0），对于l1：y=x+1，同理可得：点A（-1，0），则，解得，故点C的坐标为（2，3），故答案为：（-1，0）、（1，0）、（2，3）；（2）①点P在直线l1上，则设点P（t，t+1），同理点Q（t，3t-3），则PQ=|t+1-3t+3|=2，解得t=1或3；②当点Q在x轴下方时，如下图，设直线l1交y轴于点K，过点B作直线n∥AC交y轴于点N，在y轴负半轴取点M使NM=2NK，过点M作直线m∥AC交l2于点Q，则点Q为所求点，理由：∵M、Q在直线m上，且m∥AC，∴S△MAC=S△QAC，同理S△NAC=S△BAC，∵MN=2KN，则m、l1之间的距离等于2倍n、l1之间的距离，∴S△AQC=2S△ABC，由直线l1的表达式知点K（0，1），设直线n的表达式为y=x+b，将点B的坐标代入上式并解得b=-1，∴N（0，-1），∵NK=1-（-1）=2，∴MN=NK=2，∴M（0，-3），在直线m的表达式为y=x-3②，联立①②解得，∴Q（0，-3）；②当点M在x轴上方时，同理可得点M（0，5），同理可得，过点M且平行于AC的直线表达式为y=x+5③，联立①③解得，∴Q的坐标为（4，9）；综上，点Q的坐标为（0，-3）或（4，9）．10．一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别相交于点A（﹣8，0）和点B（0，6）．点C在线段AO上．如图，将△CBO沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处．（1）求一次函数的解析式；（2）求AC的长；（3）点P为x轴上一点．且以A，B，P为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点坐标．【答案】（1）；（2）AC=5；（3）当点P的坐标为（2，0）或（-18，0）或（8，0）或（，0），以A，B，P为顶点的三角形是等腰三角形．【详解】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别相交于点A（﹣8，0）和点B（0，6），∴，∴，∴一次函数解析式为；（2）∵A（-8，0），B（0，6），∴OA=8，OB=6，∴，由折叠的性质可知：CD=CO，BD=OD=6，∠CDB=∠COB=90°，∴∠CDA=90°，AD=AB-BD=4，设AC=m，则OC=CD=OA-AC=8-m，∵，∴，解得，∴AC=5；（3）如图3-1所示，当AP=AB=10时，∵A点坐标为（-8，0），∴P点坐标为（2，0）或（-18，0）；如图3-2所示，当AB=PB时，∵BO⊥AP，∴AO=PO=8，∴点P的坐标为（8，0）；如图3-3所示，当AP=BP时，设AP=BP=n，则OP=AO-AP=8-n，∵，∴，解得，∴，∴点P的坐标为（，0）；∴综上所述，当点P的坐标为（2，0）或（-18，0）或（8，0）或（，0），以A，B，P为顶点的三角形是等腰三角形．11．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与直线交于点，点E为x轴上一个动点．(1)求直线的解析式；(2)若点E的坐标为，过点E作直线轴，分别交直线，于点F，G．求的面积；(3)若以点C、A、E为顶点的三角形为直角三角形，求点E的坐标．【答案】(1)(2)(3)或．【解析】（1）解：将代入得，，，，将、代入得，，解得，直线的解析式；（2）解：如图，当时，，，当时，，，，；（3）解：当时，，当时，，，，，，由题意知不可能为，综上，或．12．如图，直角坐标系中，一次函数的图像分别与、轴交于两点，正比例函数的图像与交于点．（1）求的值及的解析式；（2）求的值；（3）在坐标轴上找一点，使以为腰的为等腰三角形，请直接写出点的坐标．【答案】（1）m=4，l2的解析式为；（2）5；（3）点P的坐标为（），（0，），（0，5），（5，0），（8，0），（0，6）.【详解】解：（1）把C（m，3）代入一次函数，可得，解得m=4，∴C（4，3），设l2的解析式为y=ax，则3=4a，解得：a=，∴l2的解析式为：；（2）如图，过C作CD⊥AO于D，CE⊥BO于E，则CD=3，CE=4，由，令x=0，则y=5；令y=0，则x=10，∴A（10，0），B（0，5），∴AO=10，BO=5，∴S△AOC-S△BOC=×10×3×5×4=15-10=5；（3）∵是以为腰的等腰三角形，则点P的位置有6种情况，如图：∵点C的坐标为：（4，3），∴，∴，∴点P的坐标为：（），（0，），（0，5），（5，0），（8，0），（0，6）.13．如图，已知直线l1：y1＝2x+1与坐标轴交于A、C两点，直线l2：y2＝﹣x﹣2与坐标轴交于B、D两点，两直线的交点为P点．(1)求P点的坐标；(2)求△APB的面积；(3)x轴上存在点T，使得S△ATP＝S△APB，求出此时点T的坐标．【答案】（1）P(﹣1，﹣1)；（2）；（3）T(1，0)或(﹣2，0)．【详解】解：（1）由，解得，所以P（﹣1，﹣1）；（2）令x＝0，得y1＝1，y2＝﹣2∴A（0，1），B（0，﹣2），则S△APB＝×（1+2）×1＝；（3）在直线l1：y1＝2x+1中，令y＝0，解得x＝﹣，∴C（﹣，0），设T（x，0），∴CT＝|x+|，∵S△ATP＝S△APB，S△ATP＝S△ATC+S△PTC＝•|x+|•（1+1）＝|x+|，∴|x+|＝，解得x＝1或﹣2，∴T(1，0)或(﹣2，0)．14．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，点在直线上，过点P的直线交x轴于点．（1）求的面积；（2）求直线的解析式；（3）以PA为腰做等腰直角，请直接写出满足条件的点Q的坐标【答案】（1）12；（2）；（3）(-5,0)，(-1,-4)，(3,8)，(7,4)．【详解】解：（1）∵直线与x轴交于点A，∴A（3，0）；∵点，∴AB=3-(-3)=6，∵，∴；（2）∵点在直线上，∴，∴，∴，设直线的解析式为，则，∴，∴直线的解析式为，（3）如图1,以PA为边在两侧作正方形APQ1Q2和APQ3Q4，显然、、、是以PA为腰的等腰直角三角形，由，A（3，0）可知AC=4，PC=4，∴AC=PC，∴直线PA与x轴的夹角为，∴Q3在x轴上，Q3C=CA=4，∴Q3(-5,0)，由正方形APQ1Q2和APQ3Q4可知AP∥Q3Q4，AP=Q3Q4，由，A（3，0）可知点P向右平移4个单位再向下平移4个单位到点A，∴Q3向右平移4个单位再向下平移4个单位到点Q4，∴Q4(-1,-4)，∴PQ4=8，AQ3=8，∴AQ1=8，PQ2=8，∴Q1(3,8)，Q2(7,4)，综上所述，满足条件的点Q的坐标为(-5,0)，(-1,-4)，(3,8)，(7,4)．15．如图，直线与x轴交于点，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，直线与直线相交于点D，且．（1）分别求出直线和直线解析式．（2