专题03勾股定理应用(十二大类型)(题型专练)(原卷版+解析)

专题03勾股定理应用（十二大类型）【题型1应用勾股定理解决梯子滑落高度问题】【题型2应用勾股定理解决旗杆高度】【题型3应用勾股定理解决小鸟飞行的距离】【题型4应用勾股定理解决大树折断前的高度】【题型5应用勾股定理解决水杯中的筷子问题】【题型6应用勾股定理解决航海问题】【题型7应用勾股定理解决河的宽度】【题型8应用勾股定理解决汽车是否超速问题】【题型9应用勾股定理解决是否受台风影响问题】【题型10应用勾股定理解决选扯距离相离问题】【题型11应用勾股定理解决几何图形中折叠问题】【题型12面展开图-最短路径问题】【题型1应用勾股定理解决梯子滑落高度问题】1．（2023春•益阳期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（）A．2.2米 B．2.3米 C．2.4米 D．2.5米2．（2023春•新抚区期末）一架长25m的云梯，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底端7m，如果梯子的顶端沿墙下滑了4m，那么梯足将滑动（）A．5m B．8m C．13m D．15m3．（2023春•百色期末）如图，一架梯子斜靠在墙上，设梯子AB的中点为O，AB＝6米，BC＝2米，若梯子B端沿地面向右滑行1米，则点O到点C的距离（）A．减小1米 B．增大1米 C．始终是2米 D．始终是3米4．（2023春•海珠区期末）如图，一架靠墙摆放的梯子长5米，底端离墙脚的距离为3米，则梯子顶端离地面的距离为（）米．A．5 B．4 C．3 D．25．（2022秋•无锡期末）如图，长为2.5m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.5m，则梯子顶端的高度h是（）A．1.8m B．2m C．2.2m D．2.4m6．（2023春•大连月考）如图，一个长2.5m的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2m．当梯子底端B外移0.5m时，求梯子顶端A下落的距离．​7．（2023春•长春期末）如图，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AC上，∠C＝90°，这时，梯子的底端B到墙底C的距离BC为1m．（1）求此时梯子的顶端A距地面的高度AC．（2）如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B外移0.5m吗？通过计算说明你的结论．【题型2应用勾股定理解决旗杆高度】 8．（2023春•新余期末）学过《勾股定理》后，学校数学兴趣小组的队员们来到操场上测量旗杆AB高度，通过测量得到如下信息：①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3米（如图1）；②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为12米（如图2）．根据以上信息，求旗杆AB的高度．9．（2023春•防城港期末）【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度．【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．【实践探究】设计测量方案：第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米；第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离，测得距离为5米；【问题解决】设旗杆的高度AB为x米，通过计算即可求得旗杆的高度．（1）依题知BC＝米，用含有x的式子表示AC为米；（2）请你求出旗杆的高度．10．（2023春•灵宝市期中）将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为400cm，彩旗完全展开时的尺寸是如图①所示的长方形，其中∠B＝90°，AB＝90cm，BC＝120cm，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图②所示．求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h．11．（2023春•岳麓区校级期末）如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，已知旗杆原长16米，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？12．（2022秋•新津县校级期中）如图所示，小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开与旗杆底部相距5米后，发现下端刚好接触地面．请你求出旗杆的高度．【题型3应用勾股定理解决小鸟飞行的距离】13．（2022春•隆阳区校级月考）如图，有两棵树，大树AC高为10米，小树BD高为5米，两树相距12米．若一只小鸟从一棵树的树梢A飞到另一棵树的树梢B，求小鸟飞行的最短路程．14．（2022秋•亭湖区校级期中）如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米．【题型4应用勾股定理解决大树折断前的高度】15.（2023春•西峰区校级期中）我国古代数学著作《九章算术》中有“折竹抵地”问题：今有竹高9尺，末折抵地，去根三尺．问折者高几何？意思是：如图，有一根竹子，原高9尺，一阵风将竹子折断，折断后竹子顶端落在离竹子底部3尺远的位置，求折断处离地面的高度．16．围墙内一棵大树被风吹歪后斜靠在旁边的围墙上，然后在围墙的顶部被折断，树梢着地（如图），已知围墙高CD＝4m，树的根部到围墙的距离AD＝3m，树梢着地点到围墙的距离BD＝8m，CD⊥AB．求大树折断前的高度．17．（2022春•新罗区期中）如图，一根竹子高10尺，折断后竹子的顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是多少尺？【题型5应用勾股定理解决水杯中的筷子问题】18．（2023春•西丰县期中）如图，一支笔放到圆柱形笔筒中，笔筒内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支笔长18cm，则这支笔在笔筒外面部分的长度是（）A．6cm B．5cm C．3cm D．2cm19．（2022秋•雁峰区校级期末）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这支铅笔的长度可能是（）A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm20．（2022春•东莞市月考）一只17cm的铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒内部底面直径是9cm，内壁高12cm，那么这根铅笔露在笔筒外的部分长度x的范围是（）A．2≤x≤5cm B．6≤x≤9cm C．9≤x≤12cm D．12≤x≤15cm21．（2022春•昭化区期末）如图，将一根长为16cm的橡皮筋固定在笔直的木棒上，两端点分别记为A，B，然后将中点C向上竖直拉升6cm至点D处，则拉伸后橡皮筋的长为（）A．20cm B．22cm C．28cm D．32cm22．（2023春•渝北区月考）将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围是（）A．h≤17 B．h≥8 C．15≤h≤16 D．7≤h≤1623．（2022春•襄州区期末）如图，一个直径为10cm的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子露出杯子外1cm，当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端刚好触到杯口，筷子长度为（）A．10 B．12 C．13 D．14【题型6应用勾股定理解决航海问题】24．（2022秋•南关区校级期末）如图，甲货船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，乙货船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后两船之间的距离是（）A．40海里 B．32海里 C．24海里 D．20海里25．（2021秋•滦州市期末）如图，从笔直的公路l旁一点P出发，向西走6km到达l；从P出发向北走6km也到达l．下列说法错误的是（）A．公路l走向是南偏西45° B．公路l走向是北偏东45° C．从点P向北走3km后，再向西走3km到达l D．从点P向北偏西45°走3km到达l26．（2022春•思明区校级期中）如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，两船相距（）A．40海里 B．35海里 C．30海里 D．25海里27．（2022春•北京期中）一艘船以20海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船以15海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1小时后，它们相距海里．28．（2022秋•高陵区期中）如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东42°方向航行，乙船向南偏东48°方向航行，0.5小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C，B两岛相距17海里，问乙船的航速是多少？【答案】乙船的航速是30海里/时．29．（2022春•天门校级期中）如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，6分钟后同时到达C处将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西23°．（1）求甲巡逻艇的航行方向；（2）成功拦截后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，3分钟后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？【题型7应用勾股定理解决河的宽度】30．（2022秋•朝阳区校级期中）如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为6km，与公路上另一停靠站B的距离为8km，且AC⊥BC，CD⊥AB．（1）求修建的公路CD的长；（2）若公路CD建成后，一辆货车由C处途经D处到达B处的总路程是多少km？31．（2022春•封开县期末）湖的两岸有A，B两棵景观树，数学兴趣小组设计实验测量两棵景观树之间的距离，他们在与AB垂直的BC方向上取点C，测得BC＝30米，AC＝50米．求：（1）两棵景观树之间的距离；（2）点B到直线AC的距离．32．（2022春•合川区校级期中）笔直的河流一侧有一营地C，河边有两个漂流点A，B、其中AB＝AC，由于周边施工，由C到A的路现在已经不通，为方便游客，在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路CH，测得BC＝10千米，CH＝8千米，BH＝6千米．（1）判断△BCH的形状，并说明理由；（2）求原路线AC的长．【题型8应用勾股定理解决汽车是否超速问题】33．（2022春•海沧区校级期中）某路段限速标志规定：小汽车在此路段上的行驶速度不得超过70km/h，如图，一辆小汽车在该笔直路段l上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面的车速检测仪A的正前方30m的点C处，2s后小汽车行驶到点B处，测得此时小汽车与车速检测仪A间的距离为50m．（1）求BC的长．（2）这辆小汽车超速了吗？并说明理由．34.（2022春•新罗区校级月考）规定：小汽车的城市街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，小汽车行驶到B点，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s＝3.6km/h）【题型9应用勾股定理解决是否受台风影响问题】35．（2022秋•太平区校级月考）某市创建文明城市，采用移动宣讲的形式进行宣传动员，如图，笔直公路MN的一侧点A处有一学校，学校A到公路MN的距离AB＝480米，若宣讲车P周围800米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路MN上沿M到N的方向行驶时．（1）请问学校A能否听到宣传，请说明理由．（2）如果能听到，已知宣讲车的速度是256米/分，求学校A总共能听到多长时间的宣传．36．（2022•成武县校级开学）如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A4m．（1）求旗杆距地面多高处折断；（2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25m的点D处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？37．（2022春•雁塔区校级期末）如图，有一台环卫车沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，环卫车周围130m以内为受噪声影响区域．（1）学校C会受噪声影响吗？为什么？（2）若环卫车的行驶速度为每分钟50米，环卫车噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？38．（2022春•彭州市校级期中）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为600m和800m，又AB＝1000m，飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响．（1）着火点C受洒水影响吗？为什么？（2）若飞机的速度为10m/s，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？【题型10应用勾股定理解决选扯距离相离问题】39．（2022秋•苏州期中）“三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，公路上A、B两点相距50km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝30km，CB＝20km，现在要在公路AB上建一个土特产品市场E，使得C、D两村庄到市场E的距离相等，则市场E应建在距A多少千米处？并判断此时△DEC的形状，请说明理由．40．（2022秋•晋源区校级月考）如图，笔直的公路上A、B两点相距17km，C，D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝12km．CB＝5km，现在要在公路的AB段上建一个公交车站E，使得C，D两村到公交车站E的距离相等．则公交车站E应建在离A点多远处？【题型11应用勾股定理解决几何图形中折叠问题】41．（2022春•兴义市校级月考）小宇手里有一张直角三角形纸片ABC，他无意中将直角边AC折叠了一下，恰好使AC落在斜边AB上，且C点与E点重合，小宇经过测量得知两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，他想用所学知识求出CD的长，你能帮他吗？42．（2022春•平原县校级月考）长方形纸片ABCD中，AD＝4cm，AB＝10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE的长．43．（2022秋•章丘区校级月考）如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE＝3cm，AB＝8cm，求图中阴影部分的面积．44．（2022春•龙凤区期末）如图，已知长方形ABCD中AB＝8cm，BC＝10cm，在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长．【题型12面展开图-最短路径问题】45．（2022秋•济南期中）如图，长方体木箱的长、宽、高分别为12cm，4cm，3cm，则能放进木箱中的直木棒最长为cm．46.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为7寸、5寸和3寸，A和B是这个台阶的两个相对端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度是寸．

专题03勾股定理应用（十二大类型）【题型1应用勾股定理解决梯子滑落高度问题】【题型2应用勾股定理解决旗杆高度】【题型3应用勾股定理解决小鸟飞行的距离】【题型4应用勾股定理解决大树折断前的高度】【题型5应用勾股定理解决水杯中的筷子问题】【题型6应用勾股定理解决航海问题】【题型7应用勾股定理解决河的宽度】【题型8应用勾股定理解决汽车是否超速问题】【题型9应用勾股定理解决是否受台风影响问题】【题型10应用勾股定理解决选扯距离相离问题】【题型11应用勾股定理解决几何图形中折叠问题】【题型12面展开图-最短路径问题】【题型1应用勾股定理解决梯子滑落高度问题】1．（2023春•益阳期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（）A．2.2米 B．2.3米 C．2.4米 D．2.5米【答案】A【解答】解：在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝0.7米，AC＝2.4米，∴AB2＝0.72+2.42＝6.25．在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝2米，BD2+A′D2＝A′B2，∴BD2+22＝6.25，∴BD2＝2.25，∵BD＞0，∴BD＝1.5米，∴CD＝BC+BD＝0.7+1.5＝2.2米．故选：A．2．（2023春•新抚区期末）一架长25m的云梯，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底端7m，如果梯子的顶端沿墙下滑了4m，那么梯足将滑动（）A．5m B．8m C．13m D．15m【答案】B【解答】解：梯子顶端距离墙角地距离为＝24（m），顶端下滑后梯子底端距离墙角的距离为＝15（m），15m﹣7m＝8m．故选：B．3．（2023春•百色期末）如图，一架梯子斜靠在墙上，设梯子AB的中点为O，AB＝6米，BC＝2米，若梯子B端沿地面向右滑行1米，则点O到点C的距离（）A．减小1米 B．增大1米 C．始终是2米 D．始终是3米【答案】D【解答】解：∵O为直角三角形ACB斜边上的中点，斜边AB＝6米，∴CO＝AB＝3米，故选：D．4．（2023春•海珠区期末）如图，一架靠墙摆放的梯子长5米，底端离墙脚的距离为3米，则梯子顶端离地面的距离为（）米．A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【解答】解：梯子顶端离地面的距离＝＝4，故选：B．5．（2022秋•无锡期末）如图，长为2.5m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.5m，则梯子顶端的高度h是（）A．1.8m B．2m C．2.2m D．2.4m【答案】B【解答】解：根据勾股定理得，h2+1.52＝2.52，解得h＝2m，故选：B．6．（2023春•大连月考）如图，一个长2.5m的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2m．当梯子底端B外移0.5m时，求梯子顶端A下落的距离．​【答案】梯子顶端A下落的距离为0.5m．【解答】解：由题意得：AO＝2m，A′B′＝AB＝2.5m，BB′＝0.5m，在Rt△AOB中：BO＝＝1.5（m），∵BB′＝0.5m，∴B′O＝BO﹣BB′＝2m，在Rt△A′B′O中：OA′＝＝1.5（m），∴AA′＝AO﹣OA′＝2﹣1.5＝0.5（m）．答：梯子顶端A下落的距离为0.5m．7．（2023春•长春期末）如图，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AC上，∠C＝90°，这时，梯子的底端B到墙底C的距离BC为1m．（1）求此时梯子的顶端A距地面的高度AC．（2）如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B外移0.5m吗？通过计算说明你的结论．【答案】（1）2.4m；（2）梯子底端B外移0.77m不是0.5m，理由见解析．【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AB＝2.6m，BC＝1m，∴，∴此时梯子的顶端A距地面的高度AC为2.4m；（2）由图可知梯子的顶端A沿墙下滑0.5m后，A′C＝AC﹣0.5＝2.4﹣0.5＝1.9（m），A′B′＝AB＝2.6m，∴，∴BB′＝B′C﹣BC＝1.77﹣1＝0.77（m），∴梯子底端B外移0.77m不是0.5m．【题型2应用勾股定理解决旗杆高度】 8．（2023春•新余期末）学过《勾股定理》后，学校数学兴趣小组的队员们来到操场上测量旗杆AB高度，通过测量得到如下信息：①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3米（如图1）；②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为12米（如图2）．根据以上信息，求旗杆AB的高度．【答案】17米．【解答】解：设AB＝x，根据题意得：在Rt△ACE中，AC2＝AE2+CE2，即：（x+3）2＝（x﹣1）2+122，解得：x＝17．答：旗杆AB的高度为17米．9．（2023春•防城港期末）【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度．【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．【实践探究】设计测量方案：第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米；第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离，测得距离为5米；【问题解决】设旗杆的高度AB为x米，通过计算即可求得旗杆的高度．（1）依题知BC＝5米，用含有x的式子表示AC为（x+1）米；（2）请你求出旗杆的高度．【答案】（1）5；（x+1）；（2）12米．【解答】解：（1）根据题意知：BC＝5米，AC＝（x+1）米．故答案为：5；（x+1）；（2）在直角△ABC中，由勾股定理得：BC2+AB2＝AC2，即52+x2＝（+1）2．解得x＝12．答：旗杆的高度为12米．10．（2023春•灵宝市期中）将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为400cm，彩旗完全展开时的尺寸是如图①所示的长方形，其中∠B＝90°，AB＝90cm，BC＝120cm，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图②所示．求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h．【答案】见试题解答内容【解答】解：彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h也就是旗杆的高度减去彩旗的对角线的长，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝90cm，BC＝120cm，∴AC＝＝＝150（cm），∴h＝400﹣150＝250cm．彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h为250cm．11．（2023春•岳麓区校级期末）如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，已知旗杆原长16米，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？【答案】见试题解答内容【解答】解：设旗杆在离底部x米的位置断裂，在给定图形上标上字母如图所示．∵AB＝x米，AB+AC＝16米，∴AC＝（16﹣x）米．在Rt△ABC中，AB＝x米，AC＝（16﹣x）米，BC＝8米，∴AC2＝AB2+BC2，即（16﹣x）2＝x2+82，解得：x＝6．故旗杆在离底部6米的位置断裂．12．（2022秋•新津县校级期中）如图所示，小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开与旗杆底部相距5米后，发现下端刚好接触地面．请你求出旗杆的高度．【答案】见试题解答内容【解答】解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+1）米，根据勾股定理可得：x2+52＝（x+1）2，解得，x＝12．答：旗杆的高度为12米．【题型3应用勾股定理解决小鸟飞行的距离】13．（2022春•隆阳区校级月考）如图，有两棵树，大树AC高为10米，小树BD高为5米，两树相距12米．若一只小鸟从一棵树的树梢A飞到另一棵树的树梢B，求小鸟飞行的最短路程．【答案】小鸟飞行的最短路程为13米．【解答】解：如图，过B点作BE⊥AC于点E，则四边形EBDC是长方形，连接AB．∵AC＝10米，BD＝5米，∴EC＝5米，EB＝12米，AE＝AC﹣EC＝10﹣5＝5米，在Rt△AEB中，（米），故小鸟飞行的最短路程为13米．14．（2022秋•亭湖区校级期中）如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，设大树高为AB＝12m，小树高为CD＝6m，过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，∴EB＝CD＝6m，EC＝BD＝8m，AE＝AB﹣EB＝12﹣6＝6m，在Rt△AEC中，AC＝＝＝10m，故小鸟至少飞行10m．【题型4应用勾股定理解决大树折断前的高度】15.（2023春•西峰区校级期中）我国古代数学著作《九章算术》中有“折竹抵地”问题：今有竹高9尺，末折抵地，去根三尺．问折者高几何？意思是：如图，有一根竹子，原高9尺，一阵风将竹子折断，折断后竹子顶端落在离竹子底部3尺远的位置，求折断处离地面的高度．【答案】4尺．【解答】解：设折断处离地面的高度为x尺，则AB＝（9﹣x）尺，BC＝3尺．在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即x2+32＝（9﹣x）2，解得：x＝4，即折断处离地面的高度为4尺．16．围墙内一棵大树被风吹歪后斜靠在旁边的围墙上，然后在围墙的顶部被折断，树梢着地（如图），已知围墙高CD＝4m，树的根部到围墙的距离AD＝3m，树梢着地点到围墙的距离BD＝8m，CD⊥AB．求大树折断前的高度．【答案】大树折断前的高度为（5+4）m．【解答】解：在Rt△ACD中，CD＝4m，AD＝3m，AC2＝AD2+CD2＝32+42＝25，∴AC＝5（m），在Rt△BCD中，CD＝4m，BD＝8m，BC2＝BD2+CD2＝82+42＝80，∴，∴，因此，大树折断前的高度为（5+4）m．17．（2022春•新罗区期中）如图，一根竹子高10尺，折断后竹子的顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是多少尺？【答案】见试题解答内容【解答】解：设杆子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2解得：x＝．答：折断处离地面的高度是尺．【题型5应用勾股定理解决水杯中的筷子问题】18．（2023春•西丰县期中）如图，一支笔放到圆柱形笔筒中，笔筒内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支笔长18cm，则这支笔在笔筒外面部分的长度是（）A．6cm B．5cm C．3cm D．2cm【答案】C【解答】解：根据题意可得图形：AB＝12cm，BC＝9cm，在Rt△ABC中：AC＝＝＝15（cm），所以18﹣15＝3（cm）．则这只铅笔在笔筒外面部分长度为3cm．故选：C．19．（2022秋•雁峰区校级期末）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这支铅笔的长度可能是（）A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm【答案】D【解答】解：根据题意可得图形：AB＝12cm，BC＝9cm，在Rt△ABC中：AC＝＝＝15（cm），则这支铅笔的长度大于15cm．故选：D．20．（2022春•东莞市月考）一只17cm的铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒内部底面直径是9cm，内壁高12cm，那么这根铅笔露在笔筒外的部分长度x的范围是（）A．2≤x≤5cm B．6≤x≤9cm C．9≤x≤12cm D．12≤x≤15cm【答案】A【解答】解：当铅笔与笔筒底垂直时x最大，x最大＝17﹣12＝5（cm）．当铅笔如图放置时x最小．在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2＝122+92＝152，∴AC＝15，∴x＝17﹣15＝2（cm）．∴x的取值范围：2cm≤x≤5cm．故选：A．21．（2022春•昭化区期末）如图，将一根长为16cm的橡皮筋固定在笔直的木棒上，两端点分别记为A，B，然后将中点C向上竖直拉升6cm至点D处，则拉伸后橡皮筋的长为（）A．20cm B．22cm C．28cm D．32cm【答案】A【解答】解：Rt△ACD中，AC＝AB＝8cm，CD＝6cm；根据勾股定理，得：AD＝＝10（cm）；∴AD+BD＝2AD＝20（cm）；故拉伸后橡皮筋的长为20cm．故选：A．22．（2023春•渝北区月考）将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围是（）A．h≤17 B．h≥8 C．15≤h≤16 D．7≤h≤16【答案】D【解答】解：如图，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，∴h＝24﹣8＝16cm；当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，在Rt△ABD中，AD＝15，BD＝8，∴AB＝＝17，∴此时h＝24﹣17＝7，所以h的取值范围是7≤h≤16．故选：D．23．（2022春•襄州区期末）如图，一个直径为10cm的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子露出杯子外1cm，当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端刚好触到杯口，筷子长度为（）A．10 B．12 C．13 D．14【答案】C【解答】解：设杯子的高度是xcm，那么筷子的高度是（x+1）cm，∵杯子的直径为10cm，∴杯子半径为5cm，∴x2+52＝（x+1）2，解得x＝12，12+1＝13（cm）．答：筷子长13cm．故选：C．【题型6应用勾股定理解决航海问题】24．（2022秋•南关区校级期末）如图，甲货船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，乙货船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后两船之间的距离是（）A．40海里 B．32海里 C．24海里 D．20海里【答案】A【解答】解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，∴∠BAC＝90°，两小时后，两艘船分别行驶了AB＝16×2＝32（海里），AC＝12×2＝24（海里），根据勾股定理得BC＝＝＝40（海里）．故选：A．25．（2021秋•滦州市期末）如图，从笔直的公路l旁一点P出发，向西走6km到达l；从P出发向北走6km也到达l．下列说法错误的是（）A．公路l走向是南偏西45° B．公路l走向是北偏东45° C．从点P向北走3km后，再向西走3km到达l D．从点P向北偏西45°走3km到达l【答案】D【解答】解：如图，由题意可得△PAB是腰长6km的等腰直角三角形，则AB＝6km，如图所示，过P点作AB的垂线PC，则PC＝3km，则从点P向北偏西45°走3km到达l，选项D错误；则公路l的走向是南偏西45°或北偏东45°，选项A，B正确；则从点P向北走3km后到达BP中点D，此时CD为△PAB的中位线，故CD＝AP＝3km，故再向西走3km到达l，选项C正确．故选：D．26．（2022春•思明区校级期中）如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，两船相距（）A．40海里 B．35海里 C．30海里 D．25海里【答案】A【解答】解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，∴∠BAC＝90°，两小时后，两艘船分别行驶了16×2＝32海里，12×2＝24海里，根据勾股定理得：＝40（海里）．故选：A．27．（2022春•北京期中）一艘船以20海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船以15海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1小时后，它们相距25海里．【答案】25．【解答】解：如图，∵由图可知AC＝20×1＝20（海里），AB＝15×1＝15（海里），在Rt△ABC中，BC＝＝＝25（海里）．故它们相距25海里．故答案为：25． 28．（2022秋•高陵区期中）如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东42°方向航行，乙船向南偏东48°方向航行，0.5小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C，B两岛相距17海里，问乙船的航速是多少？【答案】乙船的航速是30海里/时．【解答】解：根据题意可知：∠BAC＝180°﹣42°﹣48°＝90°，AC＝16×0.5＝8（海里），在Rt△ABC中（海里），乙船的航速是：（海里/时），答：乙船的航速是30海里/时．29．（2022春•天门校级期中）如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，6分钟后同时到达C处将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西23°．（1）求甲巡逻艇的航行方向；（2）成功拦截后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，3分钟后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由题意得：∠CBA＝90°﹣23°＝67°，AC＝120×＝12（海里），BC＝50×＝5（海里），∵AB＝13（海里），∵AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∵∠CBA＝67°，∴∠CAB＝23°，∴甲的航向为北偏东67°；（2）甲巡逻船航行3分钟的路程为：120×＝6（海里），乙巡逻船航行3分钟的路程为：50×＝2.5（海里），3分钟后，甲乙两巡逻船相距为：＝6.5（海里）．【题型7应用勾股定理解决河的宽度】30．（2022秋•朝阳区校级期中）如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为6km，与公路上另一停靠站B的距离为8km，且AC⊥BC，CD⊥AB．（1）求修建的公路CD的长；（2）若公路CD建成后，一辆货车由C处途经D处到达B处的总路程是多少km？【答案】（1）修建的公路CD的长为km；（2）货车由C处途经D处到达B处的总路程为km．【解答】解：（1）∵AC＝6km，BC＝8km，AC⊥BC，∴AB＝＝10（km），∵S△ABC＝AC•BC＝AB•DC，∴6×8＝10×CD，∴CD＝（km）答：修建的公路CD的长为km；（2）∵CD＝km，BC＝8km，∴BD＝＝（km），∴货车由C处途经D处到达B处的总路程为：CD+BD＝+＝（km）．31．（2022春•封开县期末）湖的两岸有A，B两棵景观树，数学兴趣小组设计实验测量两棵景观树之间的距离，他们在与AB垂直的BC方向上取点C，测得BC＝30米，AC＝50米．求：（1）两棵景观树之间的距离；（2）点B到直线AC的距离．【答案】（1）40米；（2）24米【解答】解：（1）在Rt△ABC，AB＝＝40（米），∴两棵景观树之间的距离为40米；（2）过点B作BD⊥AC于点D，∵S△ABC＝，∴，∴BD＝24（米），∴点B到直线AC的距离为24米．32．（2022春•合川区校级期中）笔直的河流一侧有一营地C，河边有两个漂流点A，B、其中AB＝AC，由于周边施工，由C到A的路现在已经不通，为方便游客，在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路CH，测得BC＝10千米，CH＝8千米，BH＝6千米．（1）判断△BCH的形状，并说明理由；（2）求原路线AC的长．【答案】（1）△BCH是直角三角形；（2）8千米．【解答】解：（1）△BCH是直角三角形，理由是：在△CHB中，∵CH2+BH2＝82+62＝100，BC2＝100，∴CH2+BH2＝BC2，∴△HBC是直角三角形且∠CHB＝90°；（2）设AC＝AB＝x千米，则AH＝AB﹣BH＝（x﹣6）千米，在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣6，CH＝8，由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2，∴x2＝（x﹣6）2+82解这个方程，得x＝8，答：原来的路线AC的长为8千米．【题型8应用勾股定理解决汽车是否超速问题】33．（2022春•海沧区校级期中）某路段限速标志规定：小汽车在此路段上的行驶速度不得超过70km/h，如图，一辆小汽车在该笔直路段l上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面的车速检测仪A的正前方30m的点C处，2s后小汽车行驶到点B处，测得此时小汽车与车速检测仪A间的距离为50m．（1）求BC的长．（2）这辆小汽车超速了吗？并说明理由．【答案】（1）40m；（2）这辆小汽车超速了，理由见解析．【解答】解：（1）根据题意得：∠ACB＝90°，AC＝30m，AB＝50m，∴BC＝＝＝40（m），答：BC的长为40m；（2）这辆小汽车超速了，理由如下：∵该小汽车的速度为40÷2＝20（m/s）＝72（km/h）＞70km/h，∴这辆小汽车超速了．34.（2022春•新罗区校级月考）规定：小汽车的城市街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，小汽车行驶到B点，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s＝3.6km/h）【答案】这辆小汽车超速了．【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝30m，AB＝50m；根据勾股定理可得：BC＝＝40（m），∴小汽车的速度为v＝＝20（m/s）＝20×3.6（km/h）＝72（km/h）；∵72（km/h）＞70（km/h）；∴这辆小汽车超速行驶．答：这辆小汽车超速了．【题型9应用勾股定理解决是否受台风影响问题】35．（2022秋•太平区校级月考）某市创建文明城市，采用移动宣讲的形式进行宣传动员，如图，笔直公路MN的一侧点A处有一学校，学校A到公路MN的距离AB＝480米，若宣讲车P周围800米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路MN上沿M到N的方向行驶时．（1）请问学校A能否听到宣传，请说明理由．（2）如果能听到，已知宣讲车的速度是256米/分，求学校A总共能听到多长时间的宣传．【答案】（1）学校A能听到宣传，理由见解答部分；（2）学校A总共能听到5分钟的宣传．【解答】解：（1）学校能听到宣传，理由：∵学校A到公路MN的距离为480米＜800米，∴学校能听到宣传；（2）如图：假设当宣讲车行驶到P点开始影响学校，行驶到Q点结束对学校的影响，则AP＝AQ＝800米，AB＝480米，∴BP＝BQ＝＝640（米），∴PQ＝1280米，∴影响学校的时间为：1280÷256＝5（分钟），∴学校A总共能听到5分钟的宣传．36．（2022•成武县校级开学）如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A4m．（1）求旗杆距地面多高处折断；（2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25m的点D处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？【答案】（1）3米；（2）6米．【解答】解：（1）由题意可知：AC+BC＝8米，∵∠A＝90°，∴AB2+AC2＝BC2，又∵AB＝4米，∴AC＝3米，BC＝5米，故旗杆距地面3米处折断；（2）如图，∵D点距地面AD＝3﹣1.25＝1.75米，∴B'D＝8﹣1.75＝6.25米，∴AB′＝米，∴距离杆脚周围6米大范围内有被砸伤的危险．37．（2022春•雁塔区校级期末）如图，有一台环卫车沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，环卫车周围130m以内为受噪声影响区域．（1）学校C会受噪声影响吗？为什么？（2）若环卫车的行驶速度为每分钟50米，环卫车噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）学校C会受噪声影响．理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，∵AC＝150m，BC＝200m，AB＝250m，∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．∴AC×BC＝CD×AB，∴150×200＝250×CD，∴CD＝＝120（m），∵环卫车周围130m以内为受噪声影响区域，∴学校C会受噪声影响．（2）当EC＝130m，FC＝130m时，正好影响C学校，∵ED＝（m），∴EF＝100（m），∵环卫车的行驶速度为每分钟50米，∴100÷50＝2（分钟），即环卫车噪声影响该学校持续的时间有2分钟．38．（2022春•彭州市校级期中）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为600m和800m，又AB＝1000m，飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响．（1）着火点C受洒水影响吗？为什么？（2）若飞机的速度为10m/s，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？【答案】（1）着火点C受洒水影响．理由见解析；（2）着火点C能被扑灭．【解答】解：（1）着火点C受洒水影响．理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，由题意知AC＝600m，BC＝800m，AB＝1000m，∵AC2+BC2＝6002+8002＝10002，AB2＝10002，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴S△ABC＝AC•BC＝CD•AB，∴600×800＝1000CD，∴CD＝480，∵飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响，∴着火点C受洒水影响；（2）当EC＝FC＝500m时，飞机正好喷到着火点C，在Rt△CDE中，ED＝＝＝140（m），∴EF＝280m，∵飞机的速度为10m/s，∴280÷10＝28（秒），∵28秒＞13秒，∴着火点C能被扑灭，答：着火点C能被扑灭．【题型10应用勾股定理解决选扯距离相离问题】39．（2022秋•苏州期中）“三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，公路上A、B两点相距50km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝30km，CB＝20km，现在要在公路AB上建一个土特产品市场E，使得C、D两村庄到市场E的距离相等，则市场E应建在距A多少千米处？并判断此时△DEC的形状，请说明理由．【答案】△DEC是等腰直角三角形，理由见解析；市场E应建在离A点20km的位置．【解答】解：△DEC是等腰直角三角形，理由：设AE＝x，则BE＝50﹣x，在直角△ADE中，DE2＝302+x2，在直角△CBE中，CE2＝202+（50﹣x）2，解得x＝20km，即AE＝20