第4讲二次函数(题型精讲)(原卷版+解析)

第4讲二次函数目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析题型一：二次函数的定义题型二：二次函数的图象与性质题型三：二次函数的图象与性质题型四：二次函数图象与系数关系题型五：一次函数与二次函数图象综合判断题型六：反比例函数与二次函数图象综合判断题型七：两个二次函数图象综合判断题型八：二次函数的对称性问题题型九：求二次函数解析式题型十：二次函数平移问题题型十一：二次函数最值问题题型十二：二次函数与一元二次方程题型十三：二次函数与不等式题型十四：实际问题与二次函数题型十五：二次函数综合第四部分：中考真题感悟第一部分：知识点精准记忆知识点一：二次函数的定义一般地，形如（、、是常数，）的函数，叫做二次函数．知识点二：二次函数解析式二次函数的解析式有三种常见形式：①一般式：（、、是常数，）；②顶点式：（，，是常数，），其中为顶点坐标；③交点式：（），该抛物线与轴的两个交点坐标，．知识点三：二次函数（）的图象与性质函数二次函数（、、是常数，）图象开口方向向上向下对称轴直线直线顶点坐标增减性在对称轴的左侧，即当时，随的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，随的增大而增大．简记：左减右增在对称轴的左侧，即当时，随的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，随的增大而减小．简记：左增右减最大(小)值抛物线有最低点，当时，有最小值，抛物线有最高点，当时，有最大值，知识点四：二次函数（）图象与系数的关系字母的符号图象的特征开口向上开口向下（，同号）对称轴在轴左侧（，异号）对称轴在轴右侧图象过原点与轴正半轴相交与轴负半轴相交知识点五：二次函数图象变换（左加，右减，上加，下减）平移方式（）一般式顶点式向左平移个单位向右平移个单位向上平移个单位向下平移个单位知识点六：二次函数与方程的关系与轴交点个数2个1个0个图象交点坐标无交点对称轴韦达定理；知识点七：二次函数与不等式的关系图象与轴交点2个1个无的解集情况或取任意实数的解集情况无解无解第二部分：课前自我评估测试1．（2023·浙江·九年级专题练习）将抛物线向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是（）A． B． C． D．2．（2023春·浙江杭州·九年级翠苑中学校联考阶段练习）下列各式中，y是x的二次函数的是（

）A．y=3x B．y=x²+（3-x）xC．y=（x-1）² D．y=ax²+bx+c3．（2023春·广东揭阳·九年级校考阶段练习）根据下表：x－3－2－1…456x²－bx－5135－1…－1513确定方程x²－bx－5＝0的解的取值范围是（

）A．－2＜x＜－1或4＜x＜5 B．－2＜x＜－1或5＜x＜6C．－3＜x＜－2或5＜x＜6 D．－3＜x＜－2或4＜x＜54．（2023春·云南昆明·九年级昆明市第一中学西山学校校考期中）抛物线的顶点坐标是___________．5．（2023春·浙江杭州·九年级翠苑中学校联考阶段练习）已知是关于x的二次函数，那么m的值为______6．（2023春·天津和平·九年级天津一中校考阶段练习）将二次函数化为的形式，则____________．第三部分：典型例题剖析题型一：二次函数的定义典型例题例题1．（2023春·湖北恩施·九年级校考阶段练习）下列函数中是二次函数的是A． B． C． D．例题2．（2023春·山东临沂·九年级临沂沂州实验学校校考阶段练习）若函数是关于的二次函数，则的值为______．例题3．（2022秋·江苏·九年级专题练习）有下列函数：①；②；③；④．其中是的二次函数有_____．（填序号）例题4．（2022秋·江苏·九年级专题练习）已知函数．(1)当为何值时，此函数是二次函数；(2)当为何值时，此函数是正比例函数．同类题型归类练1．（2022春·广东江门·九年级校考期中）下列各式中，是关于的二次函数的是（

）A． B． C． D．2．（2022秋·江苏·九年级专题练习）二次函数中，a的取值范围是_____．3．（2022春·北京西城·九年级校考期中）已知是关于的二次函数，那么的值为______．4．（2022春·广东江门·九年级校考期中）已知函数为二次函数，则的值为______．题型二：二次函数的图象与性质典型例题例题1．（2022春·山东烟台·九年级期末）将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（）A． B．C． D．例题2．（2022春·天津河北·九年级天津二中期末）已知抛物线（，，为常数），，，是抛物线上三点，则，，由小到大依序排列为（

）A． B． C． D．例题3．（2022秋·江苏·九年级专题练习）当时，直线与抛物线在自变量取值范围内的图象有两个交点，则的取值范围是__．例题4．（2022春·江苏扬州·九年级阶段练习）已知二次函数．(1)该二次函数的顶点坐标为______；(2)该函数的图象与轴的交点坐标为______；(3)用五点法画函数图象：…………(4)将该抛物线绕其顶点旋转180°后所得抛物线的表达式为______．同类题型归类练1．（2022春·山东济宁·九年级期中）已知二次函数，当时，随的增大而减小，则函数中的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2022春·广东东莞·九年级期中）关于抛物线的图象，下列结论正确的是（）A．对称轴是直线 B．当时，随的增大而增大C．与y轴的交点坐标是 D．顶点坐标是3．（2022春·江苏南京·九年级阶段练习）已知点，，在函数的图像上，试确定，，的大小关系是______．4．（2022春·江苏镇江·九年级阶段练习）当时，二次函数有最大值4，则实数m的值为_________．题型三：二次函数的图象与性质典型例题例题1．（2022春·辽宁沈阳·九年级期末）已知二次函数的图像如图所示，则下列选项中正确的是（

）A． B． C． D．例题2．（2022春·湖北武汉·九年级阶段练习）已知二次函数图象上三点、、，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．例题3．（2022春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）二次函数的图象经过点，，，与轴正半轴相交．下列结论：①；②；③若点，，都在二次函数的图象上，则；④关于的一元二次方程一定有两个不相等的实数根．其中正确的结论是_____（填写序号）．例题4．（2022·江苏·九年级专题练习）二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1)写出方程的两个根；(2)写出方程时的取值范围；(3)写出随的增大而减小的自变量的取值范围；(4)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．同类题型归类练1．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，已知二次函数图象的对称轴为直线，下列结论：①；②；③若为任意实数，则有；④若图象经过点，方程的两根为，，则．其中正确的结论的个数是（

）A．个 B．个 C．个 D．个2．（2022春·江苏连云港·九年级阶段练习）抛物线上部分点的横坐标x和纵坐标y的对应值如下表，则下列说法中正确的有（）个①当时，y随x的增大而减小．②抛物线的对称轴为直线．③当时，．④方程一个正数解满足．A．1 B．2 C．3 D．43．（2022春·安徽淮北·九年级校考阶段练习）二次函数的图象如图所示，其对称轴为，下列结论中：①；②；③；④．正确的是（）A．①② B．②③ C．②③④ D．①②③④4．（2022春·江苏南京·九年级南京市第一中学校考阶段练习）二次函数的图像如图所示，其对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中，正确的是___________．题型四：二次函数图象与系数关系典型例题例题1．（2022春·北京海淀·九年级校考阶段练习）已知函数，其中，此函数的图象可以是（

）A．．B．．C．．D．例题2．（2022春·山东德州·九年级校考阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是()A．③④ B．②③ C．①④ D．①②③例题3．（2022春·黑龙江齐齐哈尔·九年级校考阶段练习）如图所示是二次函数图像的一部分，图像过点，二次函数图像对称轴为直线，给出五个结论：①；②；③；④方程的根为，；⑤当时，随着的增大而增大．其中正确结论有________________同类题型归类练1．（2022春·安徽滁州·九年级校考阶段练习）已知抛物线如图所示，则下列判断正确的是（

）A． B．C． D．2．（2022春·北京·九年级校考期中）如图所示，是二次函数图象的一部分，其对称轴为，且过点，下列说法：①；②；③；④若是抛物线上两点，则．其中说法正确的是（

）A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④3．（2022春·山东临沂·九年级统考期中）如图，二次函数的图像关于直线对称，与轴交于，两点．若，则下列四个结论：①；②；③；④，正确结论的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个题型五：一次函数与二次函数图象综合判断典型例题例题1．（2022春·河南南阳·九年级南阳市第三中学校考阶段练习）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（

）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限例题2．（2022秋·江苏·九年级专题练习）函数数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B．C． D．例题3．（2022春·河南濮阳·九年级校考阶段练习）已知二次函数的部分函数图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A． B． C．D．例题4．（2022·山东泰安·校考二模）如图所示，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线．直线与抛物线交于，两点，点在轴下方且横坐标等于3，则下列结论：①；②；③；④的解集为中正确的结论是______（只填写序号）．同类题型归类练1．（2022春·湖南长沙·九年级校考阶段练习）在同一坐标系内，函数和的图象大致为（）A． B． C． D．2．（2022春·广西钦州·九年级校考期中）函数与(是常数，且)在同一坐标系中的图像可能是(

)A．B．C．D．3．（2022·江苏·九年级专题练习）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致是（）A．B．C．D．4．（2022春·湖南永州·九年级校考阶段练习）当时，抛物线与直线在同一直角坐标系中的图象大致是（）A． B．C． D．题型六：反比例函数与二次函数图象综合判断典型例题例题1．（2022春·安徽安庆·九年级统考期中）已知点，是反比例函数的图象上的两点，且当时，，则函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．例题2．（2022秋·广东湛江·九年级校考阶段练习）已知二次函数的图像如图所示，则一次函数和反比例函数的图像为（

）A． B． C．D．例题3．（2022春·安徽合肥·九年级统考期中）在同一平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数的大致图象可能是（

）A． B．C． D．例题4．（2022·全国·九年级专题练习）已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（

）B．C．D．同类题型归类练1．（2022春·浙江舟山·九年级校考阶段练习）反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图像是（

）A． B．C．D．2．（2022秋·全国·九年级专题练习）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致是（）A． B．C． D．3．（2022秋·九年级课时练习）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象是（

）B．C．D．4．（2022秋·九年级单元测试）根据如图所示的二次函数的图象，判断反比例函数与一次函数的图象大致是（

）B．C．D．题型七：两个二次函数图象综合判断典型例题例题1．（2022春·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，垂直于轴的直线分别交抛物线（）和抛物线（）于点和点，过点作轴交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，则的值为（）A． B． C． D．例题2．（2022春·九年级课时练习）已知抛物线与轴交于点，其关于轴对称的抛物线为：，且经过点和点．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线沿轴向右平移得到抛物线，抛物线与轴的交点记为点和点（在的右侧），与轴交于点，如果满足与相似，请求出平移后抛物线的表达式．同类题型归类练1．（2022秋·四川成都·九年级专题练习）抛物线y1＝（x-h）2＋k与交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知B（3，3），BC=10，其中正确结论是：①；②点（，m）、（，n）及（，p）都在y1上，则p＜n＜m；③y1≥y2，则x≤1；④PQ＝．A．②④ B．①③ C．②③ D．②③④2．（2022春·江苏苏州·九年级星海实验中学校考期中）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋b与y＝bx2＋ax的图象可能是()A． B． C．D．题型八：二次函数的对称性问题典型例题例题1．（2022春·江苏无锡·九年级江苏省天一中学校考阶段练习）点和在二次函数图象上，则抛物线的对称轴是直线（

）A． B． C． D．例题2．（2022春·辽宁沈阳·九年级沈阳市雨田实验中学期末）已知二次函数的部分对应值如下表．同学们讨论得出了下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④是方程的一个根．其中正确的结论有（

）…0135……70…A．1个 B．2个 C．3个 D．4个例题3．（2022春·江苏宿迁·九年级沭阳县怀文中学校考期中）如图，函数（，，为常数，且）经过点、，且，下列结论：①；②﹔③若点，在抛物线上，则；④，必有两个不相等的实数根．其中结论正确的有___________．（填序号）例题4．（2022春·北京海淀·九年级北京市十一学校校考阶段练习）已知二次函数的部分图象如图所示，点，，在二次函数图象上．(1)写出此二次函数的对称轴______，并求这个二次函数的解析式；(2)关于的一元二次方程的根为_____；(3)当时，的取值范围是_____．同类题型归类练1．（2022秋·河北承德·九年级承德市第四中学校考阶段练习）二次函数的图象如图，点在轴的正半轴上，且，则下列结论：①；②抛物线的对称轴是直线；③，；④与两点间的距离为．其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2022春·北京西城·九年级北京十四中校考期中）抛物线，对称轴为直线，且经过点，则的值为___________．3．（2022春·山东烟台·九年级统考期中）已知，，，，是抛物线上的点，则，，的大小关系是______（用“”连接）．4．（2022春·山东烟台·九年级统考期中）若，为抛物线上两点，则h的值为___________．题型九：求二次函数解析式典型例题例题1．（2022春·吉林长春·九年级期末）已知，二次函数的图象如图所示，二次函数与轴交于，，(1)求二次函数的解析式；(2)当时，的取值范围是．例题2．（2022春·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）如图，已知抛物线的顶点为，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点．求此抛物线的解析式例题3．（2022春·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）已知二次函数的图像经过点，．(1)求这个二次函数的表达式；(2)求这个图像的顶点坐标．（配方法）同类题型归类练1．（2022春·辽宁大连·九年级期末）已知二次函数的图象经过，，，(1)此二次函数的解析式；(2)它的顶点坐标．2．（2022春·陕西渭南·九年级期末）已知二次函数（其中为常数）．(1)该函数的图像与轴的公共点有_________个；(2)若该函数的图像的对称轴是，顶点为点A，求此时函数的解析式及点A的坐标．3．（2022秋·江苏·九年级专题练习）如图，已知抛物线y＝ax2＋c过点（﹣2，2），（4，5），过定点F（0，2）的直线l；y＝kx＋2与抛物线交于A，B两点，点B在点A的右侧，过点B作x轴的垂线，垂足为点C．(1)求抛物线的表达式；(2)当点B在抛物线上运动时，判断线段BF与BC的数量关系，并证明你的判断．题型十：二次函数平移问题典型例题例题1．（2022·江苏·九年级专题练习）将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（）A． B．C． D．例题2．（2022春·北京·九年级北京市陈经纶中学分校期末）将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为（

）A． B． C． D．例题3．（2022·江苏·九年级专题练习）在同一平面直角坐标系中，将函数的图像向左平移3个单位长度，再向下平移2单位，得到的图像的顶点坐标是_______________．例题4．（2022·北京西城·九年级北师大实验中学校考期末）抛物线经过点，且对称轴是直线，该抛物线的解析式是__________．该抛物线经过平移得到抛物线，请描述平移过程_________．同类题型归类练1．（2022春·陕西渭南·九年级期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴相交于点C，将该二次函数图象向右平移m个单位长度后，也经过点C，则m的值为（

）A．2 B．4 C．6 D．82．（2022春·湖北武汉·九年级统考阶段练习）将抛物线经过怎样平移变换得到（

）A．向右平移2个单位，再向上平移3个单位 B．向右平移2个单位，再向下平移3个单位C．向左平移2个单位，再向上平移3个单位 D．向左平移2个单位，再向下平移3个单位3．（2022春·辽宁葫芦岛·九年级期中）抛物线的函数表达式为，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为______．4．（2022春·江苏南京·九年级南京市第一中学校考阶段练习）已知二次函数（是常数）．(1)求证：不论为何值，该函数图像与轴没有公共点；(2)把该函数的图像沿轴向下平移___________个单位长度后，得到的函数的图像与轴只有一个公共点？题型十一：二次函数最值问题典型例题例题1．（2022春·北京西城·九年级北师大实验中学校考期末）二次函数的最小值为（）A．2 B．0 C． D．例题2．（2022春·山西忻州·九年级期末）已知二次函数，当时，函数的最小值为，则的值为______．例题3．（2022春·吉林长春·九年级吉林省实验期末）已知二次函数，当时，函数值的最大值为1，则的值为______．例题4．（2022春·山东青岛·九年级青岛三十九中期末）“互联网＋”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条90元时，每月可销售50条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为元（售价不低于40元），每月的销售量为条．(1)直接写出与的函数关系式；(2)该网店每月获得的利润为元，当销售单价多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？(3)该网店店主为了保证捐款后每月利润4420元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？同类题型归类练1．（2022春·河北沧州·九年级校考阶段练习）已知二次函数，当时，该函数（

）A．有最大值、最小值，分别是3，0B．最大值是4，无最小值C．最小值是，最大值是3D．最小值是，最大值是42．（2022春·江苏南通·九年级统考期中）已知二次函数，当时，其最小值为，最大值为3，则的最大值是___________．3．（2022秋·江苏·九年级专题练习）已知二次函数，当，且，时，y的最小值为，最大值为，则的值为．4．（2022春·辽宁大连·九年级大连市第79中学阶段练习）如图，已知二次函数的图象顶点A在x轴上，且，与一次函数的图象交于y轴上一点B和另一交点C.(1)求抛物线的解析式；(2)点D为线段上一点，过点D作轴，垂足为E，交F抛物线于点F，请求出线段的最大值.题型十二：二次函数与一元二次方程典型例题例题1．（2022春·新疆昌吉·九年级新疆昌吉回族自治州第二中学期末）抛物线与轴交点的个数为（

）A．3 B．2 C．1 D．0例题2．（2022春·北京房山·九年级校考阶段练习）关于的函数的图像与轴有两个交点，则的取值范围是（

）A．且 B． C． D．例题3．（2022春·安徽合肥·九年级校考期中）已知抛物线与轴只有一个公共点，______．例题4．（2022春·辽宁大连·九年级期末）抛物线的顶点坐标为，且经过点(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线交轴、两点，求的长同类题型归类练1．（2022春·福建福州·九年级闽清天儒中学阶段练习）二次函数的图像与x轴的两个交点间的距离是（

）A．3 B．4 C．5 D．62．（2022春·广东东莞·九年级期中）如图，一元二次方程的解为_____________3．（2022春·辽宁大连·九年级期末）如图是二次函数的部分图象，由图象可知方程的解是________．4．（2022秋·江苏·九年级专题练习）抛物线经过点，两点，则关于x的一元二次方程的解是__．题型十三：二次函数与不等式典型例题例题1．（2022·江苏·九年级专题练习）已知关于的一元二次方程为的根为则关于的一元二次不等式的解集为（）A．或 B． C． D．例题2．（2022春·北京·八年级人大附中校考期中）抛物线与直线交于两点，关于的不等式的解集是（）A．或 B．或 C． D．例题3．如图，二次函数的图象经过点,，．现有四个推断：①抛物线开口向下；②当时，取最大值；③当时．关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根；④直线经过点,，当时，的取值范围是；其中推断正确的是（

）A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④例题4．（2022春·山西大同·九年级大同一中阶段练习）阅读理解：我们学习过二次函数与一元二次方程之间的关系，可以借助二次函数的图象，研究一元二次方程的根．那么我们能否借助二次函数的图象研究一元二次不等式的解集？例如，图1：与轴的两个交点分别是，．此时有两个不相等的实数根，；观察图象可以知道：在轴上方的图象所有点的纵坐标大于0，此时对应的的取值范围是或；所以不等式的解集为：或；类比上述所了解的内容，相信你一定能够解决如下的问题：(1)的解集是：________________________．(2)图2是把的图象沿轴翻折而形成的图象，求此二次函数的解析式，顶点坐标，对称轴，并根据图象求出的解集．同类题型归类练1．（2022春·江苏盐城·九年级阶段练习）如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是（）A．或 B．或 C． D．2．（2022春·四川自贡·九年级四川省荣县中学校校考阶段练习）二次函数中的x与y的部分对应值如下表：x013y353下列结论：①，②当时，y的值随x的增大而减小；③是方程的一个根；④当时，，其中正确的个数为（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个3．（2022春·湖北黄冈·九年级校联考阶段练习）如图，抛物线分别交坐标轴于，，，则的解是________．4．（2022春·新疆乌鲁木齐·九年级阶段练习）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点．(1)求点、、坐标；(2)若直线经过、两点，直接写出不等式的解集．题型十四：实际问题与二次函数典型例题例题1．（2022秋·江苏·九年级专题练习）赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为，当水面离桥拱顶的高度是2m时，这时水面宽度为（）A．﹣10m B．m C．m D．m例题2．（2022春·浙江·九年级专题练习）东海体育用品商场为了推销某一运动服，先做了市场调查，得到数据如下表：卖出价格（元/件）50515253…销售量（件）500490480470…(1)以作为点的横坐标，作为纵坐标，把表中的数据，在图中的直角坐标系中描出相应的点，观察连接各点所得的图形，判断与的函数关系式；(2)如果这种运动服的买入价为每件40元，试求销售利润（元）与卖出价格（元/件）的函数关系式（销售利润销售收入买入支出）；(3)在（2）的条件下，当卖出价为多少时，能获得最大利润？例题3．（2022春·山东青岛·九年级期末）某著名索拉桥，在桥头立柱两侧拉着钢索，以其中一根立柱为轴，以桥面为轴建立平面直角坐标系，如下图所示，左侧钢索近似于直线，底端在远离立柱200米的桥面上的处固定，处离桥面100米．右侧钢索近似于抛物线，该抛物线最低处离立柱300米，离桥面10米．(1)求出抛物线和直线的函数关系式；（不要求写自变量的取值范围）(2)现要在左右两条钢索上各加一条竖直钢索和进行加固，要求它们的水平距离相距200米，请问这两条竖直钢索和加在何处，使得它们的高度之和最小？高度之和最小是多少？例题4．（2022春·北京东城·九年级北京二中期末）第二十四届冬季奥林匹克运动会已于2022年在北京成功举办，跳台滑雪是北京冬奥会的比赛项目之一，近些年来冰雪运动也得到了蓬勃发展．如图是某跳台滑雪场地的截面示意图．平台长1米（即），平台距地面18米．以地面所在直线为轴，过点垂直于地面的直线为轴，取1米为单位长度，建立平面直角坐标系，已知滑道对应的函数为．运动员（看成点）在方向获得速度米/秒后，从处向右下飞向滑道，点是下落过程中的某位置（忽略空气阻力）．设运动员飞出时间为秒，运动员与点的竖直距离为米，运动员与点的水平距离为米，经实验表明：，．(1)求滑道对应的函数表达式；(2)当，时，通过计算判断运动员此时是否已落在滑道上；(3)在试跳中，运动员从处飞出，运动员甲飞出的路径近似看做函数图像的一部分，着陆时水平距离为，运动员乙飞出的路径近似看做函数图像的一部分，着陆时水平距离为，则______（填“＞”“＝”或“＜”）．同类题型归类练1．（2022春·天津·九年级天津市第五十五中学期末）进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是，降价后的价格为元，原价为元，则y与之间的函数关系式为（

）A． B．C． D．2．（2022春·山东烟台·九年级期末）飞机着陆后滑行的距离（单位：m）关于滑行时间（单位：s）的函数解析式是，在飞机着陆滑行中，最后10s滑行的距离是___________m．3．（2022·江苏·九年级专题练习）近年来，电动车驾驶安全越来越被重视．某商店销售头盔，每个进价50元．经市场调研，当售价为60元时，每月可销售300个；售价每增加1元，销售量将减少10个．为了提高销售量，当售价为80元时，启用网络主播直播带货，此时售价每增加1元，需支付给主播300元．物价局对此头盔规定：售价最高不超过110元．如图中的折线表示该品牌头盔的销售量y（单位：个）与售价x（单位：元）之间的函数关系．(1)直接写出点B的坐标，并求线段BC对应的函数表达式；(2)启用网络主播直播带货后，当售价为多少元时，该商家获得的利润最大？最大利润是多少元？4．（2022秋·河北石家庄·九年级校考期末）如图是进行小球平抛实验的截面示意图，平台距轴（水平）分米，与轴交于点，且分米．小球（看成点）在方向获得速度分米/秒后，从处向右下飞向x轴，点是下落路线的某位置，忽略空气阻力，实验表明：的竖直距离（分米）与飞出时间（秒）的平方成正比，且时，，的水平距离是分米，在x轴上垂直竖立一根高杆，且分米．(1)用含的代数式表示______；(2)设，点的坐标为，则①用含的代数式表示的横坐标______，纵坐标_____；并求与的关系式（不写的取值范围）；②当时，求小球与点的水平距离．(3)要保证小球飞到高杆上方时，小球与高杆顶部的距离恰为分米，已知分米/秒，直接写出高杆与y轴的距离的取值范围．题型十五：二次函数综合典型例题例题1．（2022春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）下列关于二次函数（其中是自变量）的结论：①该抛物线的对称轴为；②若时，随的增大而减小，则；③若，则的解集为或；④该抛物线经过不同两点，，那么该抛物线的顶点一定不可能在函数的图像上．其中结论正确的有____________（填序号）．例题2．（2022春·江苏苏州·九年级统考期中）已知拋物线与轴交于，两点，与轴交于点．(1)求抛物线的表达式；(2)连接，，抛物线上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．例题3．（2022春·山东日照·九年级日照市新营中学校考阶段练习）如图，已知抛物线经过，两点．(1)求此抛物线的解析式和直线的解析式；(2)如图①，动点从点出发，沿着方向以个单位/秒的速度向终点匀速运动，同时，动点从点出发，沿着方向以个单位/秒的速度向终点匀速运动，当，中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动，连接，设运动时间为秒，当为何值时，与相似．(3)如图②，动点在直线上方，且在抛物线上，求出的最大面积，并指出此时点的坐标．例题4．（2022·重庆合川·九年级重庆市合川中学期末）已知抛物线的图象与轴相交于点和点，与轴交于点，连接，有一动点在线段上运动，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点，，设点的横坐标为．(1)连接，则的最大面积为______；(2)当时，在平面内存在点，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形，请写出点的坐标______．同类题型归类练1．（2022春·山东烟台·九年级统考期中）已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．(1)求点A，点B的坐标；(2)如图，过点A的直线l：与抛物线的另一个交点为C，点P为抛物线对称轴上的一点，连接，，设点P的纵坐标为m，当时，求m的值．2．（2022春·广东东莞·九年级校考阶段练习）二次函数图象的顶点在原点O，经过点A；点F在y轴上，直线与y轴交于点H．(1)求二次函数的解析式；(2)点P是抛物线上的点，过点P作x轴的垂线与直线交于点M，求证：；(3)当是等边三角形时，求P点的坐标．3．（2022春·陕西渭南·九年级期末）如图，直线交x轴于点A，交y轴于点C，抛物线经过点A，C，与x轴交于另一点B．(1)求抛物线的解析式；(2)若D是抛物线上一点（不与点C重合），且，请求出点D的坐标．4．（2022春·新疆昌吉·九年级新疆昌吉回族自治州第二中学期末）已知直线经过点，且与抛物线相交于B，C两点，点C的坐标为．(1)求直线和抛物线的函数解析式；(2)在y轴上有一点P，若，求点P坐标；第四部分：中考真题感悟1．（2022·湖北黄石·统考中考真题）已知二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，有以下结论：①；②若t为任意实数，则有；③当图象经过点时，方程的两根为，（），则，其中，正确结论的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．32．（2022·山东日照·统考中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为，且经过点（-1，0）．下列结论：①3a+b=0；②若点，（3，y2）是抛物线上的两点，则y1<y2；③10b-3c=0；④若y≤c，则0≤x≤3．其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2022·甘肃兰州·统考中考真题）已知二次函数，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（2022·内蒙古通辽·统考中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（

）A． B．C． D．5．（2022·湖北襄阳·统考中考真题）在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国选手谷爱凌的精彩表现让人叹为观止，已知谷爱凌从2m高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为xm，与跳台底部所在水平面的竖直高度为ym，y与x的函数关系式为y＝x2+x+2（0≤x≤20.5），当她与跳台边缘的水平距离为_____m时，竖直高度达到最大值．6．（2022·贵州六盘水·统考中考真题）如图是二次函数的图像，该函数的最小值是__________．7．（2022·辽宁锦州·统考中考真题）如图，抛物线与x轴交于点和点，以下结论：①；②；③；④当时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有___________．（填写代表正确结论的序号）8．（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D．(1)求该抛物线的解析式；(2)连接BC，CD，BD，P为BD的中点，连接CP，则线段CP的长是______．注：抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．9．（2022·四川攀枝花·统考中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，y轴上一点．(1)求二次函数的表达式；(2)二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结，，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式；(3)在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．第4讲二次函数目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析题型一：二次函数的定义题型二：二次函数的图象与性质题型三：二次函数的图象与性质题型四：二次函数图象与系数关系题型五：一次函数与二次函数图象综合判断题型六：反比例函数与二次函数图象综合判断题型七：两个二次函数图象综合判断题型八：二次函数的对称性问题题型九：求二次函数解析式题型十：二次函数平移问题题型十一：二次函数最值问题题型十二：二次函数与一元二次方程题型十三：二次函数与不等式题型十四：实际问题与二次函数题型十五：二次函数综合第四部分：中考真题感悟第一部分：知识点精准记忆知识点一：二次函数的定义一般地，形如（、、是常数，）的函数，叫做二次函数．知识点二：二次函数解析式二次函数的解析式有三种常见形式：①一般式：（、、是常数，）；②顶点式：（，，是常数，），其中为顶点坐标；③交点式：（），该抛物线与轴的两个交点坐标，．知识点三：二次函数（）的图象与性质函数二次函数（、、是常数，）图象开口方向向上向下对称轴直线直线顶点坐标增减性在对称轴的左侧，即当时，随的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，随的增大而增大．简记：左减右增在对称轴的左侧，即当时，随的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，随的增大而减小．简记：左增右减最大(小)值抛物线有最低点，当时，有最小值，抛物线有最高点，当时，有最大值，知识点四：二次函数（）图象与系数的关系字母的符号图象的特征开口向上开口向下（，同号）对称轴在轴左侧（，异号）对称轴在轴右侧图象过原点与轴正半轴相交与轴负半轴相交知识点五：二次函数图象变换（左加，右减，上加，下减）平移方式（）一般式顶点式向左平移个单位向右平移个单位向上平移个单位向下平移个单位知识点六：二次函数与方程的关系与轴交点个数2个1个0个图象交点坐标无交点对称轴韦达定理；知识点七：二次函数与不等式的关系图象与轴交点2个1个无的解集情况或取任意实数的解集情况无解无解第二部分：课前自我评估测试1．（2023·浙江·九年级专题练习）将抛物线向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：∵抛物线向上平移3个单位，∴平移后的解析式为：．故选：A．2．（2023春·浙江杭州·九年级翠苑中学校联考阶段练习）下列各式中，y是x的二次函数的是（

）A．y=3x B．y=x²+（3-x）xC．y=（x-1）² D．y=ax²+bx+c【答案】C【详解】A．，是一次函数，故该选项不正确，不符合题意；B．，是一次函数，故该选项不正确，不符合题意；C．，是二次函数，故该选项正确，符合题意；D．，当时，是一次函数，故该选项不正确，不符合题意．故选：C．3．（2023春·广东揭阳·九年级校考阶段练习）根据下表：x－3－2－1…456x²－bx－5135－1…－1513确定方程x²－bx－5＝0的解的取值范围是（

）A．－2＜x＜－1或4＜x＜5 B．－2＜x＜－1或5＜x＜6C．－3＜x＜－2或5＜x＜6 D．－3＜x＜－2或4＜x＜5【答案】A【详解】解：由表格可知：当x＝－2时，x²－bx－5＝5，当x＝－1时，x²－bx－5＝－1，∴关于x的一元二次方程x²－bx－5=0的一个解x的范围是－2＜x＜－1，同理，另一个解的范围是：4＜x＜5综上，方程x²－bx－5＝0的解的取值范围是：－2＜x＜－1或4＜x＜5故选A．4．（2023春·云南昆明·九年级昆明市第一中学西山学校校考期中）抛物线的顶点坐标是___________．【答案】【详解】抛物线的顶点坐标是．故答案为：．5．（2023春·浙江杭州·九年级翠苑中学校联考阶段练习）已知是关于x的二次函数，那么m的值为______【答案】2【详解】解：是y关于x的二次函数，且，解得，故答案为：．6．（2023春·天津和平·九年级天津一中校考阶段练习）将二次函数化为的形式，则____________．【答案】【详解】解：===故答案为：．第三部分：典型例题剖析题型一：二次函数的定义典型例题例题1．（2023春·湖北恩施·九年级校考阶段练习）下列函数中是二次函数的是A． B． C． D．【答案】D【详解】A.是一次函数；

B.，是三次函数；

C.=2x+1，是一次函数；

D.，是二次函数.故选D例题2．（2023春·山东临沂·九年级临沂沂州实验学校校考阶段练习）若函数是关于的二次函数，则的值为______．【答案】1【详解】解：函数是关于的二次函数，且，解得，故答案为：1．例题3．（2022秋·江苏·九年级专题练习）有下列函数：①；②；③；④．其中是的二次函数有_____．（填序号）【答案】②③④【详解】解：y是x的二次函数的是②；③；④．故答案为：②③④．例题4．（2022秋·江苏·九年级专题练习）已知函数．(1)当为何值时，此函数是二次函数；(2)当为何值时，此函数是正比例函数．【答案】(1)时，此函数是二次函数；(2)或或2，此函数是正比例函数．【详解】（1）解：由题意得：且，解得：，∴当时，此函数是二次函数；（2）解：由题意得：且，或，且，解得：或或2，当时或或2，此函数是正比例函数．同类题型归类练1．（2022春·广东江门·九年级校考期中）下列各式中，是关于的二次函数的是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：A、，是一次函数，故A不符合题意；B、，是二次函数，故B符合题意；C、，不是二次函数，故C不符合题意；D、，欠缺这个条件，所以不是二次函数，故D不符合题意；故选：B．2．（2022秋·江苏·九年级专题练习）二次函数中，a的取值范围是_____．【答案】【详解】解：∵函数是二次函数，，解得：．故答案为：．3．（2022春·北京西城·九年级校考期中）已知是关于的二次函数，那么的值为______．【答案】【详解】解：∵为二次函数，∴，∴，故．故答案为：．4．（2022春·广东江门·九年级校考期中）已知函数为二次函数，则的值为______．【答案】【详解】解：依题意，得解得故答案为题型二：二次函数的图象与性质典型例题例题1．（2022春·山东烟台·九年级期末）将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（）A． B．C． D．【答案】B【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，把点向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点的坐标为，∴平移后得到的抛物线解析式为．故选：B．例题2．（2022春·天津河北·九年级天津二中期末）已知抛物线（，，为常数），，，是抛物线上三点，则，，由小到大依序排列为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：∵，，∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，∴当，随的增大而增大，∵关于直线的对称点是，且，∴．故选：A．例题3．（2022秋·江苏·九年级专题练习）当时，直线与抛物线在自变量取值范围内的图象有两个交点，则的取值范围是__．【答案】##【详解】解：∵抛物线，∴抛物线开口向上，对称轴是直线，顶点坐标为，令，则，令，则，解得：，，∴抛物线与轴的交点为和，与轴交点为，∵当时，，当时，，∴抛物线的图象如图所示：由图象知：当时，直线与抛物线在内图象有两个交点．故答案为：．例题4．（2022春·江苏扬州·九年级阶段练习）已知二次函数．(1)该二次函数的顶点坐标为______；(2)该函数的图象与轴的交点坐标为______；(3)用五点法画函数图象：…………(4)将该抛物线绕其顶点旋转180°后所得抛物线的表达式为______．【答案】(1)(2)、(3)见解析(4)【详解】（1）∵，∴顶点坐标为；故答案为；（2）令，即，解得或1，故答案为、；（3）令，则，故抛物线和y轴的交点为，当时，，x…01…y…00…将表格数据描点连线画出如下函数图象：（4）旋转后只是抛物线开口向下了，即，故抛物线的表达式为，故答案为；同类题型归类练1．（2022春·山东济宁·九年级期中）已知二次函数，当时，随的增大而减小，则函数中的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：抛物线的对称轴为直线，因为，所以抛物线开口向下，所以当时，y的值随x值的增大而减小，而时，y的值随x值的增大而减小，所以．故选：B．2．（2022春·广东东莞·九年级期中）关于抛物线的图象，下列结论正确的是（）A．对称轴是直线 B．当时，随的增大而增大C．与y轴的交点坐标是 D．顶点坐标是【答案】B【详解】解：∵二次函数中，，∴抛物线开口向下，对称轴为：，顶点坐标为，当时，随的增大而增大，故A，D选项不正确，B选项正确；令，，即抛物线与轴交于点，故C选项不正确．故选：B．3．（2022春·江苏南京·九年级阶段练习）已知点，，在函数的图像上，试确定，，的大小关系是______．【答案】##【详解】解：∵∴对称轴为直线，开口方向向上∴A点到对称轴的距离为1，B点到对称轴的距离为2，点到对称轴的距离为3∵，∴，故答案为．4．（2022春·江苏镇江·九年级阶段练习）当时，二次函数有最大值4，则实数m的值为_________．【答案】2或【详解】解：二次函数的对称轴为直线，且开口向下，①时，取得最大值，∴，解得，∵，∴；②时，取得最大值，，解得，综上所述，或时，二次函数有最大值．故答案为：2或．题型三：二次函数的图象与性质典型例题例题1．（2022春·辽宁沈阳·九年级期末）已知二次函数的图像如图所示，则下列选项中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】根据抛物线与y轴的交点，判定，故A错误，不符合题意；抛物线与x轴有两个不同的交点，则，故B错误，不符合题意；设抛物线与x轴正半轴交点横坐标为，则，所以即；故C错误，不符合题意；当时，，当时，，且，因为抛物线开口向下，对称轴左侧，y随x的增大而增大，所以．故D正确，符合题意；故选D．例题2．（2022春·湖北武汉·九年级阶段练习）已知二次函数图象上三点、、，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：∵，∴二次函数的开口向下，对称轴是直线，即在对称轴的左侧y随x的增大而增大，∵三点、、在二次函数图象上，∴C点关于直线的对称点也在二次函数图象上，∵，∴，故选：D．例题3．（2022春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）二次函数的图象经过点，，，与轴正半轴相交．下列结论：①；②；③若点，，都在二次函数的图象上，则；④关于的一元二次方程一定有两个不相等的实数根．其中正确的结论是_____（填写序号）．【答案】①③④【详解】∵抛物线与y轴正半轴相交，与x轴交点在y轴两侧，∴抛物线开口向下，∴当时，，所以①正确．∵抛物线经过，，，∴抛物线对称轴在与之间，∴.∵，∴，即，②错误．∵，，，∴点距离对称轴最远，点距离对称轴最近，∴，③正确．由图象可得抛物线与直线有两个交点，∴方程有两个不相等的实数根，即有两个不相等的实数根，④正确．故答案为：①③④．例题4．（2022·江苏·九年级专题练习）二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1)写出方程的两个根；(2)写出方程时的取值范围；(3)写出随的增大而减小的自变量的取值范围；(4)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．【答案】(1)1和3(2)或(3)当时，y随x的增大而减小(4)【详解】（1）解：由图象可知，图象与x轴交于和点，则方程的两个根为1和3；（2）解：由图象可知当或时，不等式；（3）解：由图象可知，的图象的对称轴为，开口向下，即当时，y随x的增大而减小；（4）解：由图象可知，二次函数的最大值为2，若方程有两个不相等的实数根，则k必须小于的最大值，则．同类题型归类练1．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，已知二次函数图象的对称轴为直线，下列结论：①；②；③若为任意实数，则有；④若图象经过点，方程的两根为，，则．其中正确的结论的个数是（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【详解】解：由图象可知：，，，∴，∴，故①错误；当时，，∵，∴，∴，故②正确；∵时，有最大值，∴（m为任意实数），∴，∴，故③错误；∵二次函数图象经过点，方程的两根为：，，∴二次函数与直线的一个交点为，∵抛物线的对称轴为直线，∴二次函数与直线的一个交点为，即，，∴，故④正确．∴正确的是②④；故选：C．2．（2022春·江苏连云港·九年级阶段练习）抛物线上部分点的横坐标x和纵坐标y的对应值如下表，则下列说法中正确的有（）个①当时，y随x的增大而减小．②抛物线的对称轴为直线．③当时，．④方程一个正数解满足．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】解：①由表格看出，当时，y随x的增大而减小，故①的说法正确；②由表格看出，这个抛物线的对称轴为直线，故②的说法错误；③当时的函数值与时的函数值相同，即，故③的说法错误；④方程的解异号，其中正数解满足，负数解满足，故④的说法正确．故选：B．3．（2022春·安徽淮北·九年级校考阶段练习）二次函数的图象如图所示，其对称轴为，下列结论中：①；②；③；④．正确的是（）A．①② B．②③ C．②③④ D．①②③④【答案】C【详解】解：∵二次函数的图象如图所示，其对称轴为，∴，则；故①错误；，故②正确；∵图象与x轴两个交点，∴，故③正确；∵当时，二次函数取到最大值，∴，故④正确；故选：C．4．（2022春·江苏南京·九年级南京市第一中学校考阶段练习）二次函数的图像如图所示，其对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中，正确的是___________．【答案】②③④⑤【详解】解：由图像可知，当时，，，，则①不正确；当时，与轴有两个交点，则；②正确；时，，即；③正确；对称轴，∴，④正确；时，．故⑤正确；故答案为：②③④⑤．题型四：二次函数图象与系数关系典型例题例题1．（2022春·北京海淀·九年级校考阶段练习）已知函数，其中，此函数的图象可以是（

）A．．B．．C．．D．【答案】D【详解】解：由得，∴图象开口向下，故A选项错误；∵，∴抛物线的对称轴在y轴右侧，且图象与y轴交于负半轴，故B、C选项错误，D选项正确；故选：D．例题2．（2022春·山东德州·九年级校考阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是()A．③④ B．②③ C．①④ D．①②③【答案】B【详解】解：由图象可知，当时，，∴，故选项①错误；当时，，∴，故选项②正确；∵抛物线有两个交点，∴，故选项③正确；∵抛物线开口向下，∴，∵对称轴为，∴异号，即，∵图象与坐标相交于轴正半轴，∴，∴，故选项④错误；∴正确结论的序号为②③．故选：B．例题3．（2022春·黑龙江齐齐哈尔·九年级校考阶段练习）如图所示是二次函数图像的一部分，图像过点，二次函数图像对称轴为直线，给出五个结论：①；②；③；④方程的根为，；⑤当时，随着的增大而增大．其中正确结论有________________【答案】①④⑤【详解】∵抛物线的开口向下，∴，∵对称轴在y轴右侧，∴，∵抛物线与y轴的正半轴相交，∴，∴，故①正确；当时，，故②错误；当时，，故③错误；∵对称轴为，与x轴交于点，∴与x轴的另一个交点，故④正确；由图像得时，y随着x的增大而增大，故⑤正确；故答案为：①④⑤．同类题型归类练1．（2022春·安徽滁州·九年级校考阶段练习）已知抛物线如图所示，则下列判断正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】解：∵抛物线的开口方向向下，∴，∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，∴，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴，∴，∵，∴．综上，．故选：B．2．（2022春·北京·九年级校考期中）如图所示，是二次函数图象的一部分，其对称轴为，且过点，下列说法：①；②；③；④若是抛物线上两点，则．其中说法正确的是（

）A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④【答案】C【详解】解：∵抛物线开口向上，∴，∵抛物线对称轴为直线，∴，∴，②正确．∵抛物线与y轴交点在x轴下方，∴，∴，①正确．∵抛物线经过，对称轴为直线，∴抛物线经过，∴时，，③错误．∵抛物线对称轴为直线，抛物线开口向上，∴时，y随x增大而减小，∵，∴，④正确．故选：C．3．（2022春·山东临沂·九年级统考期中）如图，二次函数的图像关于直线对称，与轴交于，两点．若，则下列四个结论：①；②；③；④，正确结论的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【详解】解：根据抛物线的图像性质，结论①：∵对称轴，，∴，故结论①错误；结论②：当时，即，且函数有最小值，∴，∵结论②的左边，，∴，∴结论②错误；结论③：当时，函数的值为，∵，，，则，∴，故结论③正确；结论④：∵图像与轴有两个交点，∴，即，故结论④错误．综上所述，正确的有③，故选：．题型五：一次函数与二次函数图象综合判断典型例题例题1．（2022春·河南南阳·九年级南阳市第三中学校考阶段练习）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（

）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限【答案】D【详解】解：根据二次函数关系式可知该二次函数顶点为，由图像可知该二次函数顶点在第四象限一次函数图像经过二、三、四象限故答案为：D例题2．（2022秋·江苏·九年级专题练习）函数数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的，∴两个函数图象交于y轴上的同一点，排除A；当时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，排除B；当时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，排除C；故选：D．例题3．（2022春·河南濮阳·九年级校考阶段练习）已知二次函数的部分函数图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A． B． C．D．【答案】B【详解】解：∵二次函数的部分函数图象开口向上，∴，∵二次函数的部分函数图象顶点在x轴下方，开口向上，∴二次函数的图象与x轴有两个交点，，∴一次函数的图象位于第一，二，三象限，由二次函数的部分函数图象可知，点在x轴上方，∴，∴的图象位于第一，三象限，据此可知，符合题意的是B，故选：B．例题4．（2022·山东泰安·校考二模）如图所示，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线．直线与抛物线交于，两点，点在轴下方且横坐标等于3，则下列结论：①；②；③；④的解集为中正确的结论是______（只填写序号）．【答案】①②③④【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点在点左侧，而抛物线的对称轴为直线，∴抛物线与x轴的另一个交点在点右侧，∴当时，函数值小于0，即，所以①正确；∵对称轴为，∴，∴，又，∴，即，所以②正确；∵时，二次函数有最大值，∴，∴，所以③正确；∵直线与抛物线交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标等于3，由图象可知，在C、D之间，即时，，∴的解集为，即的解集为，所以④正确．故答案为：①②③④．同类题型归类练1．（2022春·湖南长沙·九年级校考阶段练习）在同一坐标系内，函数和的图象大致为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：由一次函数解析式可知一次函数与y轴交于正半轴，四个选项中只有D选项符合题意，故选D．2．（2022春·广西钦州·九年级校考期中）函数与(是常数，且)在同一坐标系中的图像可能是(

)A．B．C．D．【答案】C【详解】解：A．由一次函数的图像可知，由抛物线图像可知，开口向下，，但是一次函数与轴的交点和二次函数与轴的交点，不是同一点，故A选项错误；B．由一次函数的图像可知，由抛物线图像可知，开口向下，，两者相矛盾，故B选项不正确，不符合题意；C．由一次函数的图像可知，由抛物线图像可知，开口向上，，且两函数相交轴于同一点，故C选项正确，符合题意；D．由一次函数的图像可知，由抛物线图像可知，开口向上，两者相矛盾，故D选项不正确，不符合题意．故选：C．3．（2022·江苏·九年级专题练习）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致是（）A．B．C．D．【答案】C【详解】解：∵二次函数的图像开口向下，∴，∵，∴，∵抛物线与y轴相交于正半轴，∴，∴直线经过一、二、四象限，由图像可知，当x=1时，，∴，∴反比例函数的图像必在二、四象限，故A、B、D错误，C正确；故选：C．4．（2022春·湖南永州·九年级校考阶段练习）当时，抛物线与直线在同一直角坐标系中的图象大致是（）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：∵，∴，或，，当，时，抛物线的图象开口向上，顶点为原点，直线的图象经过第一、二、三象限，故选项A、B不符合题意；当，时，抛物线的图象开口向下，顶点为原点，直线的图象经过第二、三、四象限，故选项C不符合题意、选项D符合题意；故选：D．题型六：反比例函数与二次函数图象综合判断典型例题例题1．（2022春·安徽安庆·九年级统考期中）已知点，是反比例函数的图象上的两点，且当时，，则函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：分两种情况讨论：当时，反比例函数，在一、三象限，而二次函数开口向上，与轴交点在原点下方，都不符；当时，反比例函数，在二、四象限，而二次函数开口向下，与轴交点在原点上方，A符合．由已知，k＞0：它们在同一直角坐标系中的图象大致是A．故选A．例题2．（2022秋·广东湛江·九年级校考阶段练习）已知二次函数的图像如图所示，则一次函数和反比例函数的图像为（

）A． B． C．D．【答案】C【详解】解：∵二次函数的图像开口向下，对称轴在y轴右边，与y轴的交点在y轴负半轴，∴a<0，，c<0，∴b＞0，∴一次函数的图像经过第一、二、四象限，反比例函数的图像在第二、四象限，选项C符合题意．故选：C例题3．（2022春·安徽合肥·九年级统考期中）在同一平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数的大致图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】解：当k>0时，反比例函数的图象经过第一、三象限，二次函数图象的对称轴在y轴右侧，并且二次函数的图象与y轴交于负半轴，则A选项不符合题意，C选项符合题意；当k<0时，反比例函数的图象经过第二、四象限，二次函数图象的对称轴在y轴左侧，并且二次函数的图象与y轴交于正半轴，则B、D选项均不符合题意．故选：C．例题4．（2022·全国·九年级专题练习）已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（

）B．C．D．【答案】D【详解】解：∵反比例函数的图象在第一和第三象限内，∴b>0，若a<0，则->0，所以二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧，故A、B、C、D选项全不符合；当a>0，则-<0时，所以二次函数开口向上，对称轴在y轴左侧，故只有C、D两选项可能符合题意，由C、D两选图象知，c<0，又∵a>0，则-a<0，当c<0,a>0时，一次函数y=cx-a图象经过第二、第三、第四象限，故只有D选项符合题意．故选：D．同类题型归类练1．（2022春·浙江舟山·九年级校考阶段练习）反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图像是（

）A． B．C．D．【答案】D【详解】解：当k＞0时，二次函数的图像开口向下，顶点在y轴的正半轴；反比例函数图像在第一、三象限；当k＜0时，二次函数的图像开口向上，顶点在y轴的负半轴；反比例函数图像在第二、四象限，故选项D正确；故选：D．2．（2022秋·全国·九年级专题练习）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致是（）A． B．C． D．【答案】C【详解】由图象可知：图象开口向下，对称轴位于y轴左侧，与y轴正半轴交于一点，∴∴一次函数的图象经过第一、二、四象限；又∵当时，二次函数所对应的点在x轴下方，即此时，∴∴反比例函数的图象位于二、四象限．故只有C选项符合题意．故选C．3．（2022秋·九年级课时练习）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象是（

）B．C．D．【答案】A【详解】解：∵二次函数图象开口方向向上，∴a＞0，即－a＜0，又∵对称轴为直线x＝－＜0，∴b＞0，∵与y轴的负半轴相交，∴c＜0，∴y＝－ax+b的图象经过第一、二、四象限，反比例函数图象在第二、四象限，只有A选项图象符合．故选：A．4．（2022秋·九年级单元测试）根据如图所示的二次函数的图象，判断反比例函数与一次函数的图象大致是（

）B．C．D．【答案】A【详解】解：由二次函数图象可知a＞0，c＜0，由对称轴x0，可知b＜0，所以反比例函数y的图象在一、三象限，一次函数y＝bx+c经过二、三、四象限．故选：A．题型七：两个二次函数图象综合判断典型例题例题1．（2022春·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，垂直于轴的直线分别交抛物线（）和抛物线（）于点和点，过点作轴交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】设A（m，m2），则B（m，m2），∵AC∥x轴交抛物线y＝x2于点C，BD∥x轴交抛物线y＝x2于点D，∴C（2m，m2），D（m，m2），∴BD＝m﹣m＝m，AC＝2m﹣m＝m，.故选C．例题2．（2022春·九年级课时练习）已知抛物线与轴交于点，其关于轴对称的抛物线为：，且经过点和点．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线沿轴向右平移得到抛物线，抛物线与轴的交点记为点和点（在的右侧），与轴交于点，如果满足与相似，请求出平移后抛物线的表达式．【答案】（1）的解析式为；（2）平移后抛物线的表达式为或.【详解】解：（1）抛物线和抛物线关于轴对称，且：，：，经过点和点，经过点和点，把点和点代入：可得：，解得：，：；（2）设抛物线沿轴向右平移个单位得到抛物线，：，的解析式可以表示为：，抛物线与轴的交点为点和点，且在的右侧，，抛物线与轴交于点，，∵A（-3，0），C（0，3），∴△AOC为等腰直角三角形，∴当△AOC和△DOQ相似时，△DOQ为等腰直角三角形，∴OQ=OD，当点Q在y轴正半轴上时，OQ=OD=OA=OC，∴，解得：a=0（舍）或2，此时：；当点Q在y轴负半轴时，OD=OQ，则，解得：a=-1（舍）或4，此时：；综上：平移后抛物线W3的表达式为：或.同类题型归类练1．（2022秋·四川成都·九年级专题练习）抛物线y1＝（x-h）2＋k与交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知B（3，3），BC=10，其中正确结论是：①；②点（，m）、（，n）及（，p）都在y1上，则p＜n＜m；③y1≥y2，则x≤1；④PQ＝．A．②④ B．①③ C．②③ D．②③④【答案】A【详解】解∶根据题意得：抛物线y1＝（x-h）2＋k与的对称轴分别为直线和，如图，设直线和分别交BC于点M、N，则MN=h+3，∴AM=BM，AN=CN，∴，∵BC=10，∴MN=5，∴h+3=5，∴h=2，∵点B（3，3），∴3＝（3-2）2＋k，解得：，∴，∵BC∥x轴，∴点A、C的纵坐标为3，令，则，解得：，∴点A（1，3），把点A（1，3）代入，得：，解得：，故①错误；∵，且对称轴为直线x=2，∴当x＞2时，y1随x的增大而增大；当x＜2时，y1随x的增大而减小，∵，∴，∵点（，p）关于对称轴x=2的对称点为，∴p＜n＜m，故②正确；∵，∴，∵y1≥y2，∴，整理得：，解得：或，故③错误；∵，，当x=0时，，，∴点，∴，故④正确；∴正确的有②④．故选：A2．（2022春·江苏苏州·九年级星海实验中学校考期中）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋b与y＝bx2＋ax的图象可能是()A． B． C．D．【答案】D【详解】解：A、两个函数的开口方向都向上，那么a＞0，b＞0，可得第一个函数的对称轴是y轴，与y轴交于正半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项错误；B、两个函数的开口方向都向下，那么a＜0，b＜0，可得第一个函数的对称轴是y轴，与y轴交于负半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项错误；C、D、两个函数一个开口向上，一个开口向下，那么a，b异号，可得第二个函数的对称轴在y轴的右侧，故C错误，D正确．故选D．题型八：二次函数的对称性问题典型例题例题1．（2022春·江苏无锡·九年级江苏省天一中学校考阶段练习）点和在二次函数图象上，则抛物线的对称轴是直线（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：∵点和在二次函数图象上，∴抛物线对称轴为直线，故选D．例题2．（2022春·辽宁沈阳·九年级沈阳市雨田实验中学期末）已知二次函数的部分对应值如下表．同学们讨论得出了下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④是方程的一个根．其中正确的结论有（

）…0135……70…A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【详解】解：∵时，，时，，∴函数的对称轴为直线，在对称轴的右侧，随的增大而增大，故抛物线的开口向上，故①正确，符合题意；②错误，不合题意；∵当时，，根据函数的对称性，则时，，故当时，，故③正确，符合题意；∵由表格知，当时，，即，则是方程的一个根，故④正确，符合题意．故选：C．例题3．（2022春·江苏宿迁·九年级沭阳县怀文中学校考期中）如图，函数（，，为常数，且）经过点、，且，下列结论：①；②﹔③若点，在抛物线上，则；④，必有两个不相等的实数根．其中结论正确的有___________．（填序号）【答案】②④##④②【详解】解：解：抛物线开口向上，，抛物线的对称轴在y轴的右侧，，抛物线与y轴的交点在x轴下方，，，①错误；函数图像经过点、，对称轴，，，，②正确；点，到对称轴的距离比点到对称轴的距离远，，③错误由图像可得：函数与x轴有两个交点，，有两个不相等的实数根，④正确，故答案为：②④．例题4．（2022春·北京海淀·九年级北京市十一学校校考阶段练习）已知二次函数的部分图象如图所示，点，，在二次函数图象上．(1)写出此二次函数的对称轴______，并求这个二次函数的解析式；(2)关于的一元二次方程的根为_____；(3)当时，的取值范围是_____．【答案】(1)直线，(2)(3)【详解】（1）解：由题意得二次函数对称轴为直线，代入A、B、C坐标得，∴，∴二次函数解析式为；（2）解：∵二次函数与x轴的一个交点为，对称轴为直线，∴二次函数与x轴的另一个交点坐标为，∴关于x的一元二次方程即的根为；（3）解：当时，，当时，，∴当时，y的取值范围是，故答案为：．同类题型归类练1．（2022秋·河北承德·九年级承德市第四中学校考阶段练习）二次函数的图象如图，点在轴的正半轴上，且，则下列结论：①；②抛物线的对称轴是直线；③，；④与两点间的距离为．其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【详解】解：∵，，∴，，∴，∴，，∴对称轴为直线，故结论正确；把代入，可得：，∴，故结论正确；，解得：，故结论错误；∵，故结论正确，综上所述，正确的结论为：，共有个．故选：C2．（2022春·北京西城·九年级北京十四中校考期中）抛物线，对称轴为直线，且经过点，则的值为___________．【答案】【详解】∵对称轴为直线，∴和的函数值相同，即，故答案为：．3．（2022春·山东烟台·九年级统考期中）已知，，，，是抛物线上的点，则，，的大小关系是______（用“”连接）．【答案】【详解】解∶∵，是抛物线上的点，∴抛物线的对称轴为直线，∵，∴抛物线上的