专题13易错易混集训：一元二次方程之五大易错类型(原卷版+解析)

专题13易错易混集训：一元二次方程之五大易错类型【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【易错类型一利用方程的定义求待定系数时忽略“a≠0”】 1【易错类型二利用方程的解求待定系数时忽略“a≠0”】 3【易错类型三利用判别式求字母的值或取值范围时忽略“a≠0”】 5【易错类型四利用根与系数关系求值时忽略“△≠0”】 8【易错类型五与几何图形结合时取舍不当或考虑不全】 12【典型例题】【易错类型一利用方程的定义求待定系数时忽略“a≠0”】例题：（2023春·江苏·八年级统考期末）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（）A． B． C． D．【变式训练】1．（2023春·北京门头沟·八年级统考期末）关于x的方程是一元二次方程，则（

）A． B． C． D．2．（2022秋·四川乐山·九年级统考期末）若是关于x的一元二次方程，则．3．（2023春·黑龙江大庆·八年级校联考期中）方程是关于x的一元二次方程，则m的值是多少？【易错类型二利用方程的解求待定系数时忽略“a≠0”】例题：（2023·全国·九年级假期作业）若关于x的一元二次方程有一个根是0，则k的值是（

）A． B．2 C．0 D．或2【变式训练】1．（2023·四川绵阳·统考三模）若关于x的一元二次方程有一个根为，则k的值为（

）A． B．3 C． D．92．（2023春·浙江杭州·八年级校联考期中）若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为．3．（2023春·重庆北碚·八年级西南大学附中校考阶段练习）若关于的一元二次方程的一个根为．则．4．（2023·山东济南·统考一模）若关于x的一元二次方程有一个根为0，则a的值等于．5．（2023春·北京西城·九年级北师大实验中学校考阶段练习）若关于x的一元二次方程有一个根是，则．【答案】1【易错类型三利用判别式求字母的值或取值范围时忽略“a≠0”】例题：（2023春·浙江金华·八年级统考期末）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为（

）A．0或4 B．4或8 C．8 D．4【变式训练】1．（2023·山东聊城·统考中考真题）若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（

）A． B． C．且 D．且2．（2023·福建福州·校考二模）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为．3．（2023秋·四川泸州·九年级统考期末）关于x的一元二次方程有实数根，求m的取值范围．4．（2023·湖北荆州·统考中考真题）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．(1)求的取值范围；(2)当时，用配方法解方程．【易错类型四利用根与系数关系求值时忽略“△≠0”】例题：（2023春·安徽马鞍山·八年级安徽省马鞍山市第七中学校考期末）若、是关于的方程的两个不相等的实数根，且，则的值为．【变式训练】1．（2023·全国·九年级专题练习）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数．2．（2023春·山东济宁·八年级统考期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，(1)求k的取值范围；(2)若，满足，求k的值．3．（2023春·黑龙江大庆·八年级统考阶段练习）已知关于x的方程有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围．(2)若两个实数根分别是，，且，求m的值．4．（2023春·安徽六安·八年级统考期末）已知关于的一元二次方程．(1)若是方程的一个根，求的值和方程的另一根；(2)若是方程的两个实数根，且满足，求的值．【易错类型五与几何图形结合时取舍不当或考虑不全】例题：（2023·四川凉山·统考一模）已知等腰三角形的一边长，另外两边的长恰好是关于的一元二次方程的两个根，则的周长为【变式训练】1．（2023春·八年级单元测试）已知关于x的方程，若等腰三角形ABC的一边长a=1，另外两边长b，c恰好是这个方程的两个根，则△ABC的周长为．2．（2023春·浙江·八年级期中）有一边为3的等腰三角形，它的两边长是方程的两根，则这个三角形的周长为．3．（2023春·安徽滁州·八年级校考阶段练习）已知是关于x的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形的两条边长．则：（1）m的值为；（2）的周长为．

专题13易错易混集训：一元二次方程之五大易错类型【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【易错类型一利用方程的定义求待定系数时忽略“a≠0”】 1【易错类型二利用方程的解求待定系数时忽略“a≠0”】 3【易错类型三利用判别式求字母的值或取值范围时忽略“a≠0”】 5【易错类型四利用根与系数关系求值时忽略“△≠0”】 8【易错类型五与几何图形结合时取舍不当或考虑不全】 12【典型例题】【易错类型一利用方程的定义求待定系数时忽略“a≠0”】例题：（2023春·江苏·八年级统考期末）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据一元二次方程的定义，即可求解．【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程，∴且，解得：，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·北京门头沟·八年级统考期末）关于x的方程是一元二次方程，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据一元二次方程的定义得出，解之即可．【详解】解：∵方程是一元二次方程，∴，解得：，故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．2．（2022秋·四川乐山·九年级统考期末）若是关于x的一元二次方程，则．【答案】【分析】根据一元二次方程的定义进行求解即可．【详解】解：∵是关于x的一元二次方程，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地，形如（a、b、c是常数，且）的方程叫做一元二次方程．3．（2023春·黑龙江大庆·八年级校联考期中）方程是关于x的一元二次方程，则m的值是多少？【答案】2【分析】一元二次方程两个条件：①二次项系数不为0；②未知数的最高次数为2，由题意可以得到关于的方程和不等式，求解即可．【详解】解：由题意可得：且，解得：．即的值是2．【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．【易错类型二利用方程的解求待定系数时忽略“a≠0”】例题：（2023·全国·九年级假期作业）若关于x的一元二次方程有一个根是0，则k的值是（

）A． B．2 C．0 D．或2【答案】A【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．【详解】解：原方程，把代入可得到，解得或，当时，，一元二次方程不成立，故舍去，所以．故选：A．【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．本题容易出现的错误是忽视二次项系数不等于0这一条件．【变式训练】1．（2023·四川绵阳·统考三模）若关于x的一元二次方程有一个根为，则k的值为（

）A． B．3 C． D．9【答案】A【分析】根据一元二次方程根的定义，将代入关于x的一元二次方程得到关于k的方程求解，再根据一元二次方程定义确定k值即可得到答案．【详解】解：由题意得：把代入方程，得：，整理得解得：，，，故选：A．【点睛】本题考查一元二次方程的定义及一元二次方程根的定义，熟练掌握相关概念是解决问题的关键．2．（2023春·浙江杭州·八年级校联考期中）若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为．【答案】【分析】将代入原方程，结合一元二次方程的定义即可求得的值．【详解】解：根据题意，将代入方程可得，解得：或，，即，．故答案为：．【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，是一个基础题，解题时候注意二次项系数不能为，难度不大．3．（2023春·重庆北碚·八年级西南大学附中校考阶段练习）若关于的一元二次方程的一个根为．则．【答案】【分析】根据一元二次方程的定义及根的意义，得到，根据题意求解即可．【详解】解：将代入得，整理得，解得或当时，原方程二次项系数为零，不满足题意，，故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及一元二次方程的解，熟练掌握知识点是解题的关键．4．（2023·山东济南·统考一模）若关于x的一元二次方程有一个根为0，则a的值等于．【答案】【分析】根据一元二次方程的解的定义，把代入得，再解关于a的方程，然后利用一元二次方程的定义确定a的值．【详解】把代入得，解得，而，所以．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．5．（2023春·北京西城·九年级北师大实验中学校考阶段练习）若关于x的一元二次方程有一个根是，则．【答案】1【分析】根据一元二次方程的定义可得，根据一元二次方程的解的定义将代入原方程，得到关于的一元二次方程，解方程即可求解．【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根是，∴且，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．【易错类型三利用判别式求字母的值或取值范围时忽略“a≠0”】例题：（2023春·浙江金华·八年级统考期末）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为（

）A．0或4 B．4或8 C．8 D．4【答案】D【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式，建立方程，求出值即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，∴，解得，（舍去）．∴k的值为4，故选：D．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：（1）⇔方程有两个不相等的实数根；（2）⇔方程有两个相等的实数根；（3）⇔方程没有实数根．【变式训练】1．（2023·山东聊城·统考中考真题）若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（

）A． B． C．且 D．且【答案】D【分析】由于关于的一元二次方程有实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可知，且，据此列不等式求解即可．【详解】解：由题意得，，且，解得，，且.故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．2．（2023·福建福州·校考二模）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为．【答案】且【分析】由方程有两个不相等的实数根，则有且，然后求它们的公共部分即可．【详解】解：根据题意得，且，即，∵原方程有两个不相等的实数根，∴且．故答案为：且．【点睛】本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）根的判别式．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．同时考查了一元一次不等式的解法．3．（2023秋·四川泸州·九年级统考期末）关于x的一元二次方程有实数根，求m的取值范围．【答案】且【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的性质列出算式，计算即可求解．【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，∴且，解得且，故m的取值范围且．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．4．（2023·湖北荆州·统考中考真题）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．(1)求的取值范围；(2)当时，用配方法解方程．【答案】(1)且(2)，【分析】（1）根据题意，可得，注意一元二次方程的系数问题，即可解答，（2）将代入，利用配方法解方程即可．【详解】（1）解：依题意得：，解得且；（2）解：当时，原方程变为：，则有：，，，方程的根为，．【点睛】本题考查了根据根的情况判断参数，用配方法解一元二次方程，熟练利用配方法解一元二次方程是解题的关键．【易错类型四利用根与系数关系求值时忽略“△≠0”】例题：（2023春·安徽马鞍山·八年级安徽省马鞍山市第七中学校考期末）若、是关于的方程的两个不相等的实数根，且，则的值为．【答案】3【分析】根据根与系数的关系得到，再根据得到，解方程求出k的值，最后用根的判别式验证是否符合题意即可．【详解】解：∵、是关于的方程的两个不相等的实数根，∴，∵，∴，即，∴，∴，解得或，又∵方程有两个不相等的实数根，∴，∴，∴，故答案为：3．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键．【变式训练】1．（2023·全国·九年级专题练习）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数．【答案】3【分析】利用一元二次方程有两个不相等的实数根求出m的取值范围，由根与系数关系得到，代入，解得的值，根据求得的m的取值范围，确定m的值即可．【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，解得，∵，，∴，解得（不合题意，舍去），∴故答案为：3【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数关系，熟练掌握根的判别式和根与系数关系的内容是解题的关键．2．（2023春·山东济宁·八年级统考期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，(1)求k的取值范围；(2)若，满足，求k的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据判别式的意义得到，然后解不等式即可得到的范围；（2）根据根与系数的关系得到，，由题意得出关于的方程，则可求出答案．【详解】（1）解：根据题意得，解得；的取值范围是．（2）根据题意得，，，满足，，，，，经检验是原方程的根，，．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式的意义．3．（2023春·黑龙江大庆·八年级统考阶段练习）已知关于x的方程有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围．(2)若两个实数根分别是，，且，求m的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意可得，继而求得实数的取值范围；（2）由方程的两个实数根为、，且，可得方程，解关于的方程求得答案．【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．，即；（2）解：由根与系数的关系可知：，，，，解得或，而，的值为．【点睛】此题考查了根的判别式以及根与系数的关系．注意方程有两个不相等的实数根，若二次项系数为1，常用以下关系：，是方程的两根时，，．4．（2023春·安徽六安·八年级统考期末）已知关于的一元二次方程．(1)若是方程的一个根，求的值和方程的另一根；(2)若是方程的两个实数根，且满足，求的值．【答案】(1)的值为，另一个根为(2)的值为【分析】（1）直接把代入方程中，求出m的值，再根据根与系数的关系求出另一个根即可；（2）根据根与系数的关系得到，再利用判别式求出，结合已知条件推出，即，解方程即可得到答案．【详解】（1）解：将代入方程得，，解得设另一个根为，则，解得∴的值为，另一个根为；（2）解：由题意得：，同时满足即，∴，∵，∴∴解得或，∵∴，∴的值为．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程解的定义，解一元二次方程等等，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键．【易错类型五与几何图形结合时取舍不当或考虑不全】例题：（2023·四川凉山·统考一模）已知等腰三角形的一边长，另外两边的长恰好是关于的一元二次方程的两个根，则的周长为【答案】15【分析】分情况讨论：若a作为腰，则方程的一个根为6，将6代入求出k的值，然后求出方程的解，得出三角形的周长；将a作为底，则说明方程有两个相等的实数根，则根据求出k的值，然后将k的值代入方程求出解，得出周长．【详解】若为腰，则中还有一腰，即6是方程的一个根．∴解得：将代入得：解得：．，此时能构成三角形，的周长为：若为底，则，即方程有两个相等的实根．∴解得：将代入得：解得：．，∵∴此时不能构成三角形，不能计算周长综上可得：的周长为15．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、一元二次方程的根、一元二次方程的解法、根的判别式等知识，按若是否为底边分类讨论和构成三角形的条件是解题的关键．特别注意验证是否能构成三角形．【变式训练】1．（2023春·八年级单元测试）已知关于x的方程，若等腰三角形ABC的一边长a=1，另外两边长b，c恰好是这个方程的两个根，则△ABC的周长为．【答案】5【分析】已知a=1，则a可能是底，也可能是腰，分两种情况求得b，c的值后，再求出△ABC的周长．注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验．【详解】解：①若a=1为底边，则b，c为腰长，则b=c，则Δ=0．∴，解得：k=2．此时原方程化为，∴==2，即b=c=2．此时△ABC三边为1，2，2能构成三角形，∴△ABC的周长为：1+2+2=5；②若b≠c，则b=a=1或c=a=1，即方程有一根为1，∵把x=1代入方程，得1-（k+2）+2k=0，解得k=1，∴此时方