专题01一元二次方程的根(原卷版+解析)

专题01一元二次方程的根考点1：一元二次方程相关概念；考点2：一元二次方程的根；考点3：由实际问题抽象出一元二次方程。题型01一元二次方程相关概念题型01一元二次方程相关概念1．下列方程中，属于一元二次方程的是（）A．x﹣2y＝1 B．x2+3=2x C．x2﹣2y+4＝0 D．x2．（易错题）关于x的方程（m+1）x|m|+1﹣mx+6＝0是一元二次方程，则m的值是（）A．﹣1 B．3 C．1 D．1或﹣13．将方程3x2＝5x﹣1化为一元二次方程一般式后得（）A．3x2﹣5x﹣1＝0 B．3x2+5x﹣1＝0 C．3x2﹣5x+1＝0 D．3x2+5x+1＝04．（易错题）若(a−1)x2+a+1x=2是关于x5．一元二次方程x2+2x＝1的二次项系数、一次项系数与常数项的和等于．6．将方程2x（x﹣1）＝3（x﹣5）化为一般形式．7．已知关于x的方程（m2﹣9）x2+（m+3）x﹣5＝0．①当m为何值时，此方程是一元一次方程？并求出此时方程的解．②当m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个方程的二次项系数、一次项系数及常数项．题型02一元二次方程的根题型02一元二次方程的根8．若关于x的一元二次方程（k﹣3）x2+6x+k2﹣k＝0有一个根为﹣1，则k的值为（）A．﹣3 B．3 C．±3 D．99．若a是关于一元二次方程3x2﹣x﹣2023＝0的一个实数根，则2023+2a﹣6a2的值是（）A．4046 B．﹣4046 C．﹣2023 D．010．（易错题）若x0是方程ax2+2x+c＝0（a≠0）的一个根，设M＝2﹣ac，N＝（ax0+1）2，则下列关于M与N的关系正确的为（）A．M＝N B．M＝N+1 C．M+N＝3 D．M＝2N11．设a是方程x2+x﹣2023＝0的一个根，则a2+a+1的值为．12．若关于x的一元二次方程mx2+nx﹣1＝0（m≠0）的一个解是x＝﹣1，则m﹣n＝．13．设α，β是方程x2﹣2023x﹣3＝0的两个根，则（a2﹣2023α﹣1）（β2﹣2023β+2）＝．14．（易错题）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“黄金方程”．（1）判断一元二次方程2x2+5x+3＝0是否为黄金方程，并说明理由．（2）已知3x2﹣ax+b＝0是关于x的黄金方程，若a是此黄金方程的一个根，求a的值．题型03由实际问题抽象出一元二次方程题型03由实际问题抽象出一元二次方程15．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，设平均每次降价的百分率是x，则根据题意，下列方程正确的是（）A．16（1﹣x）2＝9 B．16（1﹣x2）＝9 C．9（1﹣x）2＝16 D．9（1+x2）＝1616．（易错题）某校在操场东边开发出一块长、宽分别为18m、10m的矩形菜园（如图），作为劳动教育系列课程的实验基地之一，为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，剩下的用于种植，且种植面积为144m2，设小道的宽为xm，根据题意可列方程为（）A．（18﹣2x）（10﹣x）＝144 B．2x2＝144 C．（18﹣x）（10﹣2x）＝144 D．（18﹣2x）（10﹣2x）＝14417．某产品每件的生产成本为50元，原定销售价65元，经市场预测，从现在开始的第一季度销售价格将下降10%，第二季度又将回升5%．若要使半年以后的销售利润不变，设每个季度平均降低成本的百分率为x，根据题意可列方程是．18．为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，请列出方程．19．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？请完成下列问题：（1）未降价之前，某商场衬衫的总盈利为元；（2）降价后，设某商场每件衬衫应降价x元，则每件衬衫盈利元，平均每天可售出件（用含x的代数式进行表示）；（3）请列出方程，求出x的值．

专题01一元二次方程的根考点1：一元二次方程相关概念；考点2：一元二次方程的根；考点3：由实际问题抽象出一元二次方程。题型01一元二次方程相关概念题型01一元二次方程相关概念1．下列方程中，属于一元二次方程的是（）A．x﹣2y＝1 B．x2+3=2x C．x2﹣2y+4＝0 D．x解：A．方程x﹣2y＝1是二元一次方程，选项A不符合题意；B．方程x2+3=2x是分式方程，选项C．方程x2﹣2y+4＝0是二元二次方程，选项C不符合题意；D．方程x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，选项D符合题意．答案：D．2．（易错题）关于x的方程（m+1）x|m|+1﹣mx+6＝0是一元二次方程，则m的值是（）A．﹣1 B．3 C．1 D．1或﹣1解：∵关于x的方程（m+1）x|m|+1﹣mx+6＝0是一元二次方程，∴|m|+1＝2且m+1≠0，解得m＝1．答案：C．3．将方程3x2＝5x﹣1化为一元二次方程一般式后得（）A．3x2﹣5x﹣1＝0 B．3x2+5x﹣1＝0 C．3x2﹣5x+1＝0 D．3x2+5x+1＝0解：将方程3x2＝5x﹣1化成一元二次方程的一般形式得3x2﹣5x+1＝0．答案：C．4．（易错题）若(a−1)x2+a+1x=2是关于x的一元二次方程，则a的取值范围为解：∵(a−1)x2+∴a﹣1≠0，a+1≥0，解得：a≥﹣1且a≠1．答案：a≥﹣1且a≠1．5．一元二次方程x2+2x＝1的二次项系数、一次项系数与常数项的和等于2．解：x2+2x＝1的一般形式为x2+2x﹣1＝0，∴二次项系数、一次项系数与常数项分别为1，2，﹣1，∴1+2﹣1＝2，答案：2．6．将方程2x（x﹣1）＝3（x﹣5）化为一般形式2x2﹣5x+15＝0．解：2x（x﹣1）＝3（x﹣5），去括号，得2x2﹣2x＝3x﹣15，移项，得2x2﹣2x﹣3x+15＝0，合并同类项，得2x2﹣5x+15＝0，答案：2x2﹣5x+15＝0．7．已知关于x的方程（m2﹣9）x2+（m+3）x﹣5＝0．①当m为何值时，此方程是一元一次方程？并求出此时方程的解．②当m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个方程的二次项系数、一次项系数及常数项．解：①根据一元一次方程的定义可知：m2﹣9＝0，m+3≠0，解得：m＝3，此时化简方程为：6x﹣5＝0，解得：x=5②根据一元二次方程的定义可知：m2﹣9≠0，解得：m≠±3．该方程的二次项系数为：m2﹣9（m≠±3）；一次项系数为：m+3；常数项为：﹣5．题型02一元二次方程的根题型02一元二次方程的根8．若关于x的一元二次方程（k﹣3）x2+6x+k2﹣k＝0有一个根为﹣1，则k的值为（）A．﹣3 B．3 C．±3 D．9解：由题意得：把x＝﹣1代入方程（k﹣3）x2+6x+k2﹣k＝0，得：（k﹣3）﹣6+k2﹣k＝0，解得：k＝±3，∵k﹣3≠0，∴k≠3，∴k＝﹣3，答案：A．9．若a是关于一元二次方程3x2﹣x﹣2023＝0的一个实数根，则2023+2a﹣6a2的值是（）A．4046 B．﹣4046 C．﹣2023 D．0解：∵a是关于一元二次方程3x2﹣x﹣2023＝0的一个实数根，∴3a2﹣a﹣2023＝0，∴3a2﹣a＝2023，∴2023+2a﹣6a2＝2023﹣2（3a2﹣a）＝2023﹣2×2023＝﹣2023．答案：C．10．（易错题）若x0是方程ax2+2x+c＝0（a≠0）的一个根，设M＝2﹣ac，N＝（ax0+1）2，则下列关于M与N的关系正确的为（）A．M＝N B．M＝N+1 C．M+N＝3 D．M＝2N解：∵x0是方程ax2+2x+c＝0（a≠0）的一个根，∴ax02+2x0∴ax02+2x0∴N＝（ax0+1）2＝a2x02+2ax0+1＝a（ax02+∵M＝2﹣ac，∴M＝N+1．答案：B．11．设a是方程x2+x﹣2023＝0的一个根，则a2+a+1的值为2024．解：把x＝a代入x2+x﹣2023＝0中得：a2+a﹣2023＝0．∴a2+a＝2023，把a2+a＝2023代入a2+a+1＝2023+1＝2024，答案：2024．12．若关于x的一元二次方程mx2+nx﹣1＝0（m≠0）的一个解是x＝﹣1，则m﹣n＝1．解：∵关于x的一元二次方程mx2+nx﹣1＝0（m≠0）的一个解是x＝﹣1，∴m﹣n﹣1＝0，∴m﹣n＝1．答案：1．13．设α，β是方程x2﹣2023x﹣3＝0的两个根，则（a2﹣2023α﹣1）（β2﹣2023β+2）＝10．解：由题意知，α2﹣2023α＝3，β2﹣2023β＝3，∴（a2﹣2023α﹣1）（β2﹣2023β+2）＝（3﹣1）×（3+2）＝2×5＝10．答案：10．14．（易错题）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“黄金方程”．（1）判断一元二次方程2x2+5x+3＝0是否为黄金方程，并说明理由．（2）已知3x2﹣ax+b＝0是关于x的黄金方程，若a是此黄金方程的一个根，求a的值．解：（1）一元二次方程2x2+5x+3＝0是黄金方程，理由如下：由题意得，a＝2，b＝5，c＝3，∴a﹣b+c＝2+3﹣5＝0，∴一元二次方程2x2+5x+3＝0是黄金方程；（2）∵3x2﹣ax+b＝0是关于x的黄金方程，∴3+b﹣（﹣a）＝0，∴b＝﹣a﹣3，∴原方程为3x2﹣ax﹣a﹣3＝0，∵a是此黄金方程的一个根，∴3a2﹣a2﹣a﹣3＝0，即2a2﹣a﹣3＝0，∴（a+1）（2a﹣3）＝0，解得a＝﹣1或a=3题型03由实际问题抽象出一元二次方程题型03由实际问题抽象出一元二次方程15．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，设平均每次降价的百分率是x，则根据题意，下列方程正确的是（）A．16（1﹣x）2＝9 B．16（1﹣x2）＝9 C．9（1﹣x）2＝16 D．9（1+x2）＝16解：根据题意得：16（1﹣x）2＝9，答案：A．16．（易错题）某校在操场东边开发出一块长、宽分别为18m、10m的矩形菜园（如图），作为劳动教育系列课程的实验基地之一，为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，剩下的用于种植，且种植面积为144m2，设小道的宽为xm，根据题意可列方程为（）A．（18﹣2x）（10﹣x）＝144 B．2x2＝144 C．（18﹣x）（10﹣2x）＝144 D．（18﹣2x）（10﹣2x）＝144解：∵小道的宽为xm，∴剩下的用于种植的部分可合成长为（18﹣2x）m，宽为（10﹣x）m的矩形．根据题意得：（18﹣2x）（10﹣x）＝144．答案：A．17．某产品每件的生产成本为50元，原定销售价65元，经市场预测，从现在开始的第一季度销售价格将下降10%，第二季度又将回升5%．若要使半年以后的销售利润不变，设每个季度平均降低成本的百分率为x，根据题意可列方程是65×（1﹣10%）×（1+5%）﹣50（1﹣x）2＝65﹣50．解：设每个季度平均降低成本的百分率为x，依题意，得：65×（1﹣10%）×（1+5%）﹣50（1﹣x）2＝65﹣50．答案：65×（1﹣10%）×（1+5%）﹣50（1﹣x）2＝65﹣50．18．为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，请列出方程301（1+x）2＝500．解：设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，依题意得：301（1+x）2＝500．答案：301（1+x）2＝500．19．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少