第6章《图形的相似》知识讲练(学生版+解析)

2023-2024学年苏科版数学九年级下册章节知识讲练知识点01：比例线段及黄金分割1.比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．要点诠释：（1）若a:b=c:d，则ad=bc；（d也叫第四比例项）（2）若a:b=b:c，则b2=ac（b称为a、c的比例中项）．2.黄金分割的定义：如图，将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB，若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即（此时线段AP叫作线段PB、AB的比例中项），则P点就是线段AB的黄金分割点（黄金点），这种分割就叫黄金分割．3.黄金矩形与黄金三角形：黄金矩形：若矩形的两条邻边长度的比值约为0.618，这种矩形称为黄金矩形.黄金三角形：顶角为36°的等腰三角形，它的底角为72°，恰好是顶角的2倍，人们称这种三角形为黄金三角形．黄金三角形性质：底角平分线将其腰黄金分割．知识点02：相似图形1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similarfigures).要点诠释：

(1)相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；

(2)“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等.2.相似多边形各角分别相等，各边成比例的两个多边形，它们的形状相同，称为相似多边形．要点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．（2）相似多边形对应边的比称为相似比.知识点03：相似三角形相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似.判定方法（二）：两角分别相等的两个三角形相似.要点诠释：

要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.判定方法（三）：两边成比例夹角相等的两个三角形相似.要点诠释：

此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.判定方法（四）：三边成比例的两个三角形相似.

2.相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；（2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比；（3）相似三角形周长的比等于相似比；（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方.3.相似多边形的性质：（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．（2）相似多边形的周长比等于相似比．（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．知识点04：图形的位似及投影1.位似多边形定义:如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O，且每组对应点与点O点的距离之比都等于一个定值k，例如，如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心.要点诠释：位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.

2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心；

（2)位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；

（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.3.作位似图形的步骤

第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；

第二步：作位似中心与各关键点连线；

第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；

第四步：顺次连接各对应点.要点诠释：位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.4.平行投影在平行光的照射下，物体所产生的影称为平行投影.(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.

(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.

(3)在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.

即：

利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.

注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.

5.中心投影在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影.(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.

(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023春•仪征市校级月考）如图，△ABC∽△ADE，S△ABC：S四边形BDEC＝1：3，BC＝，则DE的长为（）A． B． C． D．2．（2分）（2023•靖江市一模）已知，则的值是（）A． B． C．3 D．3．（2分）（2023•姑苏区校级一模）如图，在△ABC中，AB＝4，，点D在AB的延长线上，∠A＝∠BCD＝45°，则△BCD的面积为（）A．7.5 B． C．7 D．8.54．（2分）（2023•盐都区三模）小明用地理中所学的等高线的知识在某地进行野外考察，他根据当地地形画出了“等高线示意图”，如图所示（注：若某地在等高线上，则其海拔就是其所在等高线的数值；若不在等高线上，则其海拔在相邻两条等高线的数值范围内），若点A，B，C三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，则的值为（）A． B． C． D．25．（2分）（2023•锡山区校级四模）《墨子•天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形ABCD的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A′B′C′D′，若AB：A′B′＝1：2，则四边形A′B′C′D′的外接圆的半径为（）A． B．2 C． D．46．（2分）（2023•大丰区校级模拟）若4m＝5n（m≠0），则下列等式成立的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝7．（2分）（2023•新吴区二模）如图，正方形ABCD中，AB＝4，E，F分别是边AB，AD上的动点，AE＝DF，连接DE，CF交于点P，过点P作PQ∥BC，且PQ＝2，在下列结论中：①DE＝CF；②AE2＝FP•FC；③在运动过程中，线段AP最小值为；④当∠CBQ的度数最大时，BQ的长为，其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．（2分）（2023春•滨湖区期末）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在边AD上，且AE＝2，F为边AB上的一个动点，连接EF，过点E作EG⊥EF交直线BC于点G，连接FG，若P是FG的中点，则DP的最小值为（）​A． B．6 C．5 D．29．（2分）（2023•海州区校级三模）如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使＝，连结EF交DC于点G，则＝（）A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：910．（2分）（2023•沛县校级模拟）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．连接AC，若AH平分∠CAD，且正方形EFGH的面积为3，则正方形ABCD的面积为（）A． B． C． D．15二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023•宝应县二模）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AB＝3，则线段BC＝．12．（2分）（2023•青岛一模）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点分别为O（0，0），A（﹣3，0），B（﹣4，3），△ODC与△OAB是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为1：3，则点C在第四象限的坐标为．​13．（2分）（2023•姜堰区二模）如图，△AOB与△CDB关于点B位似，其中B（1，1），D（3，3），若S△AOB＝2，则S△CDB＝．14．（2分）（2023•梁溪区一模）如图，在平行四边形ABCD中，CE＝ED，BE交AC于点F，则EF：FB的比值是．15．（2分）（2023•张家港市校级二模）如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，AD与BC相交于点O，小正方形的边长为1，则AO的长等于．16．（2分）（2023•泉山区校级三模）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、BC上，且，△CDE与四边形ABED的面积的比为．​17．（2分）（2023•玄武区二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E是边BC上的动点，连接AE，过点E作EF⊥AE，与CD边交于点F，连接AF，则AF的最小值为．​18．（2分）（2023•阜宁县二模）如图，小明同学用自制直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DF＝50cm，DE＝40cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝12m，则树高AB＝m．19．（2分）（2023•工业园区校级模拟）如图，正方形ABCD由16个边长为1的小正方形组成，形变后成为菱形A′B′C′D′，△AEF（E、F是小正方形的顶点）同时形变为△A′E′F′．当△AEF与△A′E′F′的面积之比等于2：时，则A′C′＝．20．（2分）（2023•海安市一模）已知点D（2，a）为直线y＝﹣x+3上一点，将一直角三角板的直角顶点放在D处旋转，保持两直角边始终交x轴于A、B两点，C（0，﹣1）为y轴上一点，连接AC，BC，则四边形ACBD面积的最小值为．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2023春•姑苏区校级期末）已知线段AB＝2，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP）．（1）求线段AP的长；（2）以AB为三角形的一边作△ABQ，使得BQ＝AP，连接QP，若QP平分∠AQB，求AQ的长．22．（6分）（2023•沭阳县模拟）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条边DF＝0.5m，EF＝0.3m，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，求树高AB．23．（8分）（2023•滨湖区一模）如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，D是的中点，连接BD、OD分别交AC于点E、F．（1）求证：△DEF∽△BEC；（2）若DE＝2，BE＝6，求⊙O的面积．24．（8分）（2023•江都区模拟）在数学活动课上，老师带领数学小组测量大树AB的高度．如图，数学小组发现大树离教学楼5m，大树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在教学楼的墙上，墙上的影子CD长为2m，已知此时高1.2m的竹竿在水平地面上的影子长1m，那么这棵大树高度是多少？25．（8分）（2023•海陵区校级二模）（1）如图1，在△ABC中，AB＞AC，请用无刻度的直尺和圆规在AB上确定一点P，使得△ACP∽△ABC．（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）在（1）的条件下，若AC＝6，AB＝8，则AP的长为；（3）在如图2的正方形网格中，△DEF的三个顶点均为格点，请用无刻度的直尺，在边DF上确定一点M，使得DE2＝DM⋅DF．（保留作图痕迹，不要求写作法）26．（8分）（2023•宿城区校级模拟）问题提出如图（1），在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，D是△ABC内一点，AD⊥CD，∠ACD＝30°，若AD＝1，连接BD，求BD的长．问题探究（1）请你在图（1）中，用尺规作图，在AB左侧作△ABE，使△ABE∽△ACD．（用直尺、圆规作图，保留作图痕迹，不写作法，不说明理由）（2）根据（1）中作图，你可以得到CD与BE的位置关系是；你求得BD的长为；问题拓展（3）如图（2），在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，D是△ABC内一点，若AD＝，BD＝2，CD＝4，求BC的长．27．（8分）（2023•启东市二模）如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上．（1）求BC的长．（2）求灯泡到地面的高度AG．28．（8分）（2023•邗江区校级模拟）定义：两个相似三角形共边且位于一个角的角平分线两边，则称这样的两个相似三角形为邻似三角形．（1）[初步理解]：如图1，四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，∠BCD+∠BAD＝180°，求证：△ACB和△ADC为邻似三角形；（2）[尝试应用]：在（1）的基础上，如图2，若CD∥AB，AD＝4，AC＝6，求四边形ABCD的周长；（3）[拓展应用]：如图3，四边形ABCD中，△ACB和△ADC为邻似三角形，对角线AC平分∠BAD，且∠ADC＝∠ACB．若AB＝9，AD＝4，∠BAD＝60°，求△BCD的面积．

2023-2024学年苏科版数学九年级下册章节知识讲练知识点01：比例线段及黄金分割1.比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．要点诠释：（1）若a:b=c:d，则ad=bc；（d也叫第四比例项）（2）若a:b=b:c，则b2=ac（b称为a、c的比例中项）．2.黄金分割的定义：如图，将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB，若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即（此时线段AP叫作线段PB、AB的比例中项），则P点就是线段AB的黄金分割点（黄金点），这种分割就叫黄金分割．3.黄金矩形与黄金三角形：黄金矩形：若矩形的两条邻边长度的比值约为0.618，这种矩形称为黄金矩形.黄金三角形：顶角为36°的等腰三角形，它的底角为72°，恰好是顶角的2倍，人们称这种三角形为黄金三角形．黄金三角形性质：底角平分线将其腰黄金分割．知识点02：相似图形1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similarfigures).要点诠释：

(1)相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；

(2)“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等.2.相似多边形各角分别相等，各边成比例的两个多边形，它们的形状相同，称为相似多边形．要点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．（2）相似多边形对应边的比称为相似比.知识点03：相似三角形相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似.判定方法（二）：两角分别相等的两个三角形相似.要点诠释：

要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.判定方法（三）：两边成比例夹角相等的两个三角形相似.要点诠释：

此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.判定方法（四）：三边成比例的两个三角形相似.

2.相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；（2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比；（3）相似三角形周长的比等于相似比；（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方.3.相似多边形的性质：（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．（2）相似多边形的周长比等于相似比．（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．知识点04：图形的位似及投影1.位似多边形定义:如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O，且每组对应点与点O点的距离之比都等于一个定值k，例如，如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心.要点诠释：位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.

2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心；

（2)位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；

（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.3.作位似图形的步骤

第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；

第二步：作位似中心与各关键点连线；

第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；

第四步：顺次连接各对应点.要点诠释：位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.4.平行投影在平行光的照射下，物体所产生的影称为平行投影.(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.

(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.

(3)在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.

即：

利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.

注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.

5.中心投影在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影.(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.

(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023春•仪征市校级月考）如图，△ABC∽△ADE，S△ABC：S四边形BDEC＝1：3，BC＝，则DE的长为（）A． B． C． D．解：∵S△ABC：S四边形BDEC＝1：3，∴S△ABC：S△ADE＝1：4，∵△ABC∽△ADE，∴，∴或（不符合题意，舍去）∵，∴．故选：B．2．（2分）（2023•靖江市一模）已知，则的值是（）A． B． C．3 D．解：∵＝，∴＝，∴＝﹣1＝﹣1＝．故选：D．3．（2分）（2023•姑苏区校级一模）如图，在△ABC中，AB＝4，，点D在AB的延长线上，∠A＝∠BCD＝45°，则△BCD的面积为（）A．7.5 B． C．7 D．8.5解：如图，过点C作CH⊥AB于H，∵∠A＝45°，CH⊥AB，∴△ACH是等腰直角三角形，∴AH＝CH，AC＝CH＝3，∴AH＝CH＝3，∴BH＝1，∴CB＝＝＝，∵∠A＝∠BCD＝45°，∠D＝∠D，∴△BCD∽△CAD，∴，∴＝，∴设BD＝x，CD＝3x，∵CD2＝CH2+DH2，∴9x2＝9+（x+1）2，∴x1＝，x2＝﹣，∴BD＝5，∴△BCD的面积＝×BD•CH＝，故选：A．4．（2分）（2023•盐都区三模）小明用地理中所学的等高线的知识在某地进行野外考察，他根据当地地形画出了“等高线示意图”，如图所示（注：若某地在等高线上，则其海拔就是其所在等高线的数值；若不在等高线上，则其海拔在相邻两条等高线的数值范围内），若点A，B，C三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，则的值为（）A． B． C． D．2解；∵点A，B，C三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，∴＝＝，故选：B．5．（2分）（2023•锡山区校级四模）《墨子•天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形ABCD的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A′B′C′D′，若AB：A′B′＝1：2，则四边形A′B′C′D′的外接圆的半径为（）A． B．2 C． D．4解：连接B′D′，∵四边形A′B′C′D′是正方形，∴∠B′C′D′＝90°，∴B′D′是圆O的直径，∵正方形ABCD的面积为4，∴正方形ABCD的边长为2，∵正方形ABCD的与A′B′C′D′是位似图形，AB：A′B′＝1：2，∴B′C′＝C′D′＝4，∴B′D′＝＝4，∴四边形A′B′C′D′的外接圆的半径为2，故选：C．6．（2分）（2023•大丰区校级模拟）若4m＝5n（m≠0），则下列等式成立的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝解：A．因为＝，所以5m＝4n，不符合题意；B．因为＝，所以4m＝5n，符合题意；C．因为＝，所以5m＝4n，不符合题意；D．因为＝，所以mn＝20，不符合题意．故选：B．7．（2分）（2023•新吴区二模）如图，正方形ABCD中，AB＝4，E，F分别是边AB，AD上的动点，AE＝DF，连接DE，CF交于点P，过点P作PQ∥BC，且PQ＝2，在下列结论中：①DE＝CF；②AE2＝FP•FC；③在运动过程中，线段AP最小值为；④当∠CBQ的度数最大时，BQ的长为，其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：∵正方形ABCD，∴∠EAD＝∠FDC＝90°，AD＝DC，在∴△AED和△DFC中，，∴△AED≅△DFC（SAS），∴DE＝CF，即①正确；∵△AED≅△DFC，∴∠ADE＝∠DCF，∵∠ADC＝∠ADE+∠PDC＝90°，∴∠DCP+∠PDC＝90°，即∠CPD＝90°，∴∠DPF＝∠FDC＝90°，∵∠DFP＝∠CFD，∴△FDP∽△FCD，∴＝，∴FD2＝FP⋅FC，∵AE＝DF，∴AE2＝FP⋅FC，即②正确；如图：取CD的中点G，连接AG，PG，∵∠CPD＝90°，∴PG＝CD＝2，在Rt△ADG中，AG＝＝2，在△APG中，AP＞AG−PG，当A、P、G三点共线时，AP有最小值，AP＝AG−PG＝2−2，即③正确；如图：作GH⊥CD且GH＝2，则PQ∥HG，PQ＝HG，作HM⊥BC于BC延长线M，∴四边形PGHQ是平行四边形，∵GH＝PG，∴四边形PGHQ是菱形，∴点Q在以H为圆心，2为半径的圆弧上运动，∴当BQ与⊙H相切时，∠CBQ的度数最大，则BM是⊙H的切线，∴BQ＝BM＝BC+CM＝4+2＝6，故④错误．所以正确的有3个．故选：C．8．（2分）（2023春•滨湖区期末）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在边AD上，且AE＝2，F为边AB上的一个动点，连接EF，过点E作EG⊥EF交直线BC于点G，连接FG，若P是FG的中点，则DP的最小值为（）​A． B．6 C．5 D．2解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，且DC＝AB＝6，AD＝BC＝10．当点F与点A重合时，作EG1⊥BC于G1，则四边形ABG1E是矩形．连接AG1，BE交于点O，则O点是AG1的中点，也是BE的中点，此时，P点与O点重合．当F点与B点重合时，作EG2⊥EB交BC的延长线于G2，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBG2．又∵∠BAE＝∠BEG2＝90°，∴△ABE∽△EG2B，∴＝．∵BE＝＝＝2，∴＝，解得BG2＝20．设BG2的中点为P2，则BP2＝10，∴P2点与C点重合，∴P点的运动轨迹是线段OC．当DP⊥OC时，DP的值最小．∵O点是BE的中点，C点是BG2的中点，∴OC是△BEG2的中位线．∴OC∥EG2，∴∠BOC＝∠BEG2＝90°，∴∠BOC＝∠DPC．∵∠OBC+∠OCB＝90°，∠OCB+∠PCD＝90°，∴∠OBC＝∠PCD，∴△OBC∽△PCD，∴＝．∵BO＝BE＝，BC＝10，∴OC＝＝3．∴＝，解得DP＝．故选：A．9．（2分）（2023•海州区校级三模）如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使＝，连结EF交DC于点G，则＝（）A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：9解：设DE＝x，∵DE：AD＝1：3，∴AD＝3x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，BC＝AD＝3x，∵点F是BC的中点，∴CF＝BC＝x，∵AD∥BC，∴△DEG∽△CFG，∴＝（）2＝（）2＝，故选：D．10．（2分）（2023•沛县校级模拟）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．连接AC，若AH平分∠CAD，且正方形EFGH的面积为3，则正方形ABCD的面积为（）A． B． C． D．15解：设直角三角形的长直角边是a，短直角边是b，∴正方形EFGH的边长是a﹣b，∵正方形EFGH的面积为3，∴（a﹣b）2＝3，∴a2+b2﹣2ab＝3，∵AH平分∠DAN，∴∠DAH＝∠NAH，∵∠AHD＝∠AHN＝90°，AH＝AH，∴△AHD≌△AHN（ASA），∴DH＝NH＝b，∵AH∥CF，∴∠HAM＝∠FCM，∵FC＝AH，∠CFM＝∠AHN＝90°，∴△AHN≌△CFM（ASA），∴FM＝NH＝b，∴EM＝a﹣b﹣b＝a﹣2b，∵ME∥HN，∴△AME∽△ANH，∴ME：NH＝AE：AH，∴（a﹣2b）：b＝b：a，∴a2﹣b2＝2ab，∴b2＝，∴b＝，∵（a﹣b）2＝3，∴a＝，∴AD2＝a2+b2＝6+3，∴正方形ABCD的面积是6+3．故选：A．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023•宝应县二模）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AB＝3，则线段BC＝．解：如图，过点A作AF⊥CF于点F，交过点B的平行线于点E，交A的邻近平行线于点D，根据题意，AD＝DE＝EF＝h，所以．解得．故答案为：．12．（2分）（2023•青岛一模）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点分别为O（0，0），A（﹣3，0），B（﹣4，3），△ODC与△OAB是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为1：3，则点C在第四象限的坐标为（，﹣1）．​解：∵点O为位似中心，△OAB的位似图形为△OCD，位似比为1：3，而B（﹣4，3），∴C（×4，﹣×3），即C（，﹣1），故答案为：（，﹣1），13．（2分）（2023•姜堰区二模）如图，△AOB与△CDB关于点B位似，其中B（1，1），D（3，3），若S△AOB＝2，则S△CDB＝8．解：∵△AOB与△CDB关于点B位似，∴△AOB∽△CDB，∵B（1，1），D（3，3），∴OB＝＝，BD＝＝2，∴△AOB与△CDB的相似比为1：2，∴△AOB与△CDB的面积比为1：4，∵S△AOB＝2，∴S△CDB＝8，故答案为：8．14．（2分）（2023•梁溪区一模）如图，在平行四边形ABCD中，CE＝ED，BE交AC于点F，则EF：FB的比值是1：2．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CE∥AB，CD＝AB，∴△CEF∽△ABF，∴EF：FB＝CE：AB．∵CE＝ED，∴CE：CD＝1：2，∴EF：FB＝1：2．故答案为：1：2．15．（2分）（2023•张家港市校级二模）如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，AD与BC相交于点O，小正方形的边长为1，则AO的长等于2．解：∵AB∥CD，∴△AOB∽△DOC，∴，∵，∴，故答案为：2．16．（2分）（2023•泉山区校级三模）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、BC上，且，△CDE与四边形ABED的面积的比为9：16．​解：∵＝＝，∴＝＝，又∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAB，∴＝（）2＝，∴＝9：16．故答案为：9：16．17．（2分）（2023•玄武区二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E是边BC上的动点，连接AE，过点E作EF⊥AE，与CD边交于点F，连接AF，则AF的最小值为．​解：BE的长为x，则CE＝BC﹣BE＝8﹣x，CF的长为y，∵AB⊥BC，EF⊥AE，DC⊥BC，∴∠ABE＝∠ECF＝∠AEF＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠CEF＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴Rt△ABE∽Rt△ECF，∴＝，即＝，∴y＝﹣x2+x＝﹣（x﹣4）2+，（0＜x＜8）∴y最大＝，当CF＝时，DF＝6﹣＝，此时AF为最小，AF＝＝＝＝．故答案为：．18．（2分）（2023•阜宁县二模）如图，小明同学用自制直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DF＝50cm，DE＝40cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝12m，则树高AB＝10.5m．解：在Rt△DEF中，DE2+EF2＝DF2，即：402+EF2＝502，∴EF＝30，由题意得：∠BCD＝∠DEF＝90°，∠CDB＝∠EDF，∴△DCB∽△DEF，＝，∵EF＝30cm＝0.3m，DE＝40cm＝0.4m，CD＝12m，∴＝，解得：BC＝9米，∵AC＝1.5m，∴AB＝AC+BC＝1.5+9＝10.5（m）．故答案为：10.5．19．（2分）（2023•工业园区校级模拟）如图，正方形ABCD由16个边长为1的小正方形组成，形变后成为菱形A′B′C′D′，△AEF（E、F是小正方形的顶点）同时形变为△A′E′F′．当△AEF与△A′E′F′的面积之比等于2：时，则A′C′＝4．解：△AEF的面积＝△AGE的面积+△FGE的面积＝GE•AB＝×2×4＝4，∵△AEF与△A′E′F′的面积之比等于2：，∴△A′E′F′的面积＝2，△AEF变成菱形A′B′C′D′时的△A′E′F′，G′E′的长度没有变化，A′B′的长度也没有变化，过点B′作B′H⊥A′D′，垂足为H，∴△A′E′F′面积＝G′E′•B′H＝×2×B′H＝2，∴B′H＝2，∵sin∠B′A′H＝＝＝，∴∠B′A′H＝60°，∴∠A′B′C′＝120°，又∵A′B′＝B′C′＝4，∴A′C′＝A′B′＝4．故答案为：4．20．（2分）（2023•海安市一模）已知点D（2，a）为直线y＝﹣x+3上一点，将一直角三角板的直角顶点放在D处旋转，保持两直角边始终交x轴于A、B两点，C（0，﹣1）为y轴上一点，连接AC，BC，则四边形ACBD面积的最小值为6．解：如图，取AB的中点F，连接DF，∵∠ADB＝90°，∴AB＝2DF∵点D（2，a）为直线y＝﹣x+3上一点，∴a＝﹣×2+3＝2，∴D（2，2），过点D作DE⊥AB于E，∴DE＝2，E（2，0），∴S四边形ACBD＝S△ABC+S△ABD＝AB•OC+AB•DE＝AB（OC+DE）＝AB＝3DF，要四边形ACBD的面积最小，即DF最小，∵点D（2，2），点F在x轴上，∴当DF⊥x轴时，DF最小，最小值为DE＝2，∴S四边形ACBD最小＝3×2＝6，故答案为6．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2023春•姑苏区校级期末）已知线段AB＝2，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP）．（1）求线段AP的长；（2）以AB为三角形的一边作△ABQ，使得BQ＝AP，连接QP，若QP平分∠AQB，求AQ的长．解：（1）∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＜BP，∴BP＝×AB＝×2＝．∴AP＝AB﹣BP＝2﹣（﹣1）＝3﹣．（2）∵QP平分∠AQB，∴P到AQ、BQ的距离相等．∴＝＝．又由（1）AP＝BQ＝3﹣，∵AB＝2，∴PB＝AB﹣AP＝2﹣（3﹣）＝﹣1．∴AQ＝＝＝2﹣4．22．（6分）（2023•沭阳县模拟）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条边DF＝0.5m，EF＝0.3m，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，求树高AB．解：∵∠DEF＝∠DCB＝90°，∠EDF＝∠CDB，∴△DEF∽△DCB，∴＝，在Rt△DEF中，∵DF＝0.5m，EF＝0.3m，由勾股定理得DE＝＝0.4（m），∵CD＝10m，∴＝，∴BC＝7.5（m），∴AB＝AC+BC＝1.5+7.5＝9（m），答：树高AB是9m．23．（8分）（2023•滨湖区一模）如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，D是的中点，连接BD、OD分别交AC于点E、F．（1）求证：△DEF∽△BEC；（2）若DE＝2，BE＝6，求⊙O的面积．（1）证明：∵点D是的中点，∴OD⊥AC，AF＝CF，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°＝∠DFE，又∵∠DEF＝∠CEB，∴△DEF∽△BEC；（2）解：∵△DEF∽△BEC，∴＝＝＝，设DF＝2x，则BC＝6x，∵AO＝BO，AF＝CF，∴OF＝BC＝3x，∴OD＝5x＝OA，∴AF＝＝＝4x＝CF，∴CE＝3x，EF＝x，∵DE2＝EF2+DF2，∴4＝5x2，∴x＝，∴DO＝2，∴⊙O的面积＝π×OD2＝20π．24．（8分）（2023•江都区模拟）在数学活动课上，老师带领数学小组测量大树AB的高度．如图，数学小组发现大树离教学楼5m，大树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在教学楼的墙上，墙上的影子CD长为2m，已知此时高1.2m的竹竿在水平地面上的影子长1m，那么这棵大树高度是多少？解：过D点作DE⊥AB于E点，如图，DE＝BC＝5m，CD＝BE＝2m，根据题意得＝，∴AE＝1.2DE＝1.2×5＝6（m），∴AB＝AE+BE＝6+2＝8（m）．答：这棵大树高度是8m．25．（8分）（2023•海陵区校级二模）（1）如图1，在△ABC中，AB＞AC，请用无刻度的直尺和圆规在AB上确定一点P，使得△ACP∽△ABC．（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）在（1）的条件下，若AC＝6，AB＝8，则AP的长为；（3）在如图2的正方形网格中，△DEF的三个顶点均为格点，请用无刻度的直尺，在边DF上确定一点M，使得DE2＝DM⋅DF．（保留作图痕迹，不要求写作法）解：（1）如图，点P满足要求，∵∠ACP＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ACP∽△ABC．（2）∵△ACP∽△ABC．∴，∵AC＝6，AB＝8，∴，故答案为：（3）如图，点M即为所求，如图，取FN＝3，DQ＝2，连接QN交DF于点M，∵DQ∥NF，∴∠QDM＝∠NFM，∠DQM＝∠FNM，∴△QDM∽△NFM，∴，∵，∴，∵，∴DE2＝＝10＝DE•DF，∴点M满足要求．26．（8分）（2023•宿城区校级模拟）问题提出如图（1），在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，D是△ABC内一点，AD⊥CD，∠ACD＝30°，若AD＝1，连接BD，求BD的长．问题探究（1）请你在图（1）中，用尺规作图，在AB左侧作△ABE，使△ABE∽△ACD．（用直尺、圆规作图，保留作图痕迹，不写作法，不说明理由）（2）根据（1）中作图，你可以得到CD与BE的位置关系是垂直；你求得BD的长为；问题拓展（3）如图（2），在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，D是△ABC内一点，若AD＝，BD＝2，CD＝4，求BC的长．解：（1）如图，△ABE即为所求；（2）如图，延长CD交BE于点F，∵Rt△ADC中，∠ACD＝30°，AD＝1，∴AC＝2CD＝，BC＝4，∵△AEB∽△ADC，∴∠ABE＝