专题3方程与不等式的解与参数问题(原卷版+解析)

专题3方程与不等式的解与参数问题目录一、热点题型归纳【题型一】一元一方程中的解与参数问题【题型二】二元一次方程组中的解与参数问题【题型三】一元一次不等式组的解与参数问题【题型四】分式方程中的解与参数问题【题型五】分式方程中的增根问题【题型六】一元二次方程中的解与参数问题【题型七】一元二次方程根与系数的关系二、最新模考题组练【题型一】一元一方程中的解与参数问题【典例分析】已知关于x的方程的解是，则m的值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【提分秘籍】基本规律根据方程根的概念，将方程的解代入一元一次方程，建立新的方程，解方程即可求出一元一次方程中的参数的值。【变式演练】1.关于x的方程得解为，则m的值为（

）A． B．5 C． D．72．若是方程的解，则关于的方程的解是（

）A． B． C． D．【题型二】二元一次方程组中的解与参数问题【典例分析】已知方程组的解满足，则k的值是（）A． B．2 C． D．【提分秘籍】基本规律根据方程根的概念，将方程的解代入二元一次方程组，建立新的方程组，解方程组即可求出二元一次方程组的参数的值。【变式演练】1．已知方程组的解满足，则的值为（

）A． B． C．2 D．42．若关于x，y的方程组的解满足，则m的值是（

）A． B． C．0 D．【题型三】一元一次不等式组的解与参数问题【典例分析】若不等式组有解，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本规律根据题目所给的条件，求出参数的范围，并建立关于参数的不等式或不等式组，从而求出参数的值或范围。【变式演练】1．（2022·江苏南通·统考一模）若关于x的不等式组的最大整数解是2，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2022·江苏南京·模拟）如果关于x的不等式（a﹣1）x＞a﹣1的解集为x＜1，那么a的取值范围是（）A．a≤1 B．a≥1 C．a＜1 D．a＜0【题型四】分式方程中的解与参数问题【典例分析】如果关于x的方程的解是正数，那么m的取值范围是（）A． B．且C． D．且【提分秘籍】基本规律根据方程根的概念，将方程的解代入分式方程，建立新的方程，解方程即可求出分式方程的参数的值。【变式演练】1．若整数a使得关于x的分式方程解的取值范围为，则符合条件的a值可以为（

）A．5 B．4 C．1 D．02．已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（

）A． B．且 C． D．且【题型五】分式方程中的增根问题【典例分析】关于的分式方程有增根，则增根是(

)A．1 B．2 C．-2 D．-1【提分秘籍】基本规律1.方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根。2.产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根。3.用参数表达出分式方程的根，在令分母等于0。【变式演练】1．若分式方程无解，则的值为（

）A．4 B．2 C．1 D．02．（2021·江苏苏州·苏州高新区实验初级中学校考二模）如果解关于x的分式方程时出现增根，那么m的值为（

）A．-2 B．2 C．4 D．-4【题型六】一元二次方程中的解与参数问题【典例分析】若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的值可以是（

）A．2 B．1 C．0 D．【提分秘籍】基本规律根据方程根的概念，将方程的解代入一元二次方程，建立新的方程，解方程即可求出一元二次方程的参数的值。【变式演练】1．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（

）A． B． C． D．2．一元二次方程的两实数根都是整数，则下列选项中a可以取的值是（

）A．12 B．16 C．20 D．24【题型七】一元二次方程根与系数的关系【典例分析】若一元二次方程的两个根为、，则是（

）A．1 B． C．2 D．【提分秘籍】基本规律1.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，。2.一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩．(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；以两个数为根的一元二次方程是.(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号。设一元二次方程的两根为、，则①当△≥0且时，两根同号．当△≥0且，时，两根同为正数；当△≥0且，时，两根同为负数。②当△＞0且时，两根异号．当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大；当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大。【变式演练】1．若，是一元二次方程的两个根，则的值是（

）A． B． C． D．2．若m、n是方程的两个实数根，则的值为(

)A．4 B．2 C．0 D．-1一、单选题1．（2023·江苏南通·南通田家炳中学校考模拟）关于x的不等式组有且只有2个整数解，则符合要求的所有整数a的和为(

)A． B． C．0 D．72．（2023·江苏扬州·校考一模）已知m是方程的一个根，则的值为（）A．2023 B．2022 C．2021 D．20203．（2022·江苏盐城·校考三模）若是关于x的不等式的一个整数解，而不是其整数解，则m的取值范围为（）A． B． C． D．4．（2023·江苏扬州·校考一模）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（

）A． B． C． D．5．（2022·江苏徐州·校考二模）若x=2是方程的一个根，则m-n的值为（）A．-2 B．0 C．2 D．无法确定6．（2022·江苏无锡·统考一模）若关于的方程有增根，则的值为（

）A．－5 B．0 C．1 D．27．（2023·江苏泰州·一模）若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（

）A．2或6 B．2或8 C．2 D．68．（2023·江苏泰州·一模）若不等式组恰有两个整数解，则的取值范围是（

）．A． B． C． D．二、填空题9．（2023·江苏南京·校联考一模）设、是方程的两个根，且，则________．10．（2023·江苏常州·校考一模）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是______．11．（2023·江苏苏州·苏州工业园区星湾学校校考模拟）若关于x的一元一次不等式组的解集为，则的取值范围是_____．12．（2023·江苏盐城·校联考模拟）若是一元二次方程的两个根，则的值是_____．13．（2023·江苏常州·统考一模）若关于的方程（为常数）有两个相等的实数根，则______．14．（2023·江苏苏州·苏州中学校考一模）若满足的每一个实数都是不等式的解，则实数取值范围为______．15．（2023·江苏南通·南通田家炳中学校考模拟）已知是方程的两个根，且满足，则___________．16．（2023·江苏泰州·统考一模）已知方程的两根分别为，，则的值为______．17．（2023·江苏苏州·校考一模）设x1，x2是关于x的方程x2+3x-m=0的两个根，且2x1=x2，则m=__________．18．（2023·江苏盐城·校联考模拟）已知关于x的分式方程的解为正数，则k的取值范围为____________；19．（2023·江苏徐州·统考一模）已知是方程的解，则的值是________．20．（2022·江苏扬州·校考二模）已知关于x的不等式的解也是不等式的解，则常数a的取值范围是_____．21．（2022·江苏徐州·校考二模）关于x的方程有两个不相等的实数根，则整数m的最大值是_____．22．（2022·江苏淮安·统考一模）已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值是______．23．（2022·江苏南通·统考二模）若关于x的不等式组，恰有两个整数解，则m的取值范围是______．24．（2022·江苏苏州·统考一模）若关于x的分式方程有增根，则a的值为__________．专题3方程与不等式的解与参数问题目录一、热点题型归纳【题型一】一元一方程中的解与参数问题【题型二】二元一次方程组中的解与参数问题【题型三】一元一次不等式组的解与参数问题【题型四】分式方程中的解与参数问题【题型五】分式方程中的增根问题【题型六】一元二次方程中的解与参数问题【题型七】一元二次方程根与系数的关系二、最新模考题组练【题型一】一元一方程中的解与参数问题【典例分析】已知关于x的方程的解是，则m的值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】利用方程的解的含义，把代入即可得到答案．【详解】解：把代入，，故选：A．【提分秘籍】基本规律根据方程根的概念，将方程的解代入一元一次方程，建立新的方程，解方程即可求出一元一次方程中的参数的值。【变式演练】1.关于x的方程得解为，则m的值为（

）A． B．5 C． D．7【答案】B【分析】把x的值代入方程计算即可求出m的值．【详解】解：把x=3代入方程得：6-m=3-2，解得：m=5，故选：B．2．若是方程的解，则关于的方程的解是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据x=1为已知方程的解，将x=1代入方程求出m的值，代入所求方程即可求出y的值．【详解】将x=1代入已知方程得：3﹣m+1=6，解得：m=-2．所求方程化为-2（y﹣3）﹣2=-2(2y﹣5)，解得：y=3．故选B．【题型二】二元一次方程组中的解与参数问题【典例分析】已知方程组的解满足，则k的值是（）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】根据得，再根据，可得，进一步求解即可．【详解】解：，得，∵，∴，解得，故选：B．【提分秘籍】基本规律根据方程根的概念，将方程的解代入二元一次方程组，建立新的方程组，解方程组即可求出二元一次方程组的参数的值。【变式演练】1．已知方程组的解满足，则的值为（

）A． B． C．2 D．4【答案】C【分析】将方程组中两方程相加可得，根据可得关于的方程，解之可得．【详解】①+②得：解得：故选：C．2．若关于x，y的方程组的解满足，则m的值是（

）A． B． C．0 D．【答案】A【分析】由方程组①+②求得x+y，再代入即可解决问题．【详解】解：由方程组，①＋②解得：又∵∴，解得m=-2故选：A【题型三】一元一次不等式组的解与参数问题【典例分析】若不等式组有解，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先确定不等式的解集，进而得出关于a的不等式，求出解集即可．【详解】根据题意，得，可知，解得．故选：B．【提分秘籍】基本规律根据题目所给的条件，求出参数的范围，并建立关于参数的不等式或不等式组，从而求出参数的值或范围。【变式演练】1．（2022·江苏南通·统考一模）若关于x的不等式组的最大整数解是2，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分别解每个不等式，再根据条件确定a的范围．【详解】解：，由①得：，由②得：，∵该不等式组的最大整数解是2，∴该不等式组解集为：，其中，∴，故选：B．2．（2022·江苏南京·模拟）如果关于x的不等式（a﹣1）x＞a﹣1的解集为x＜1，那么a的取值范围是（）A．a≤1 B．a≥1 C．a＜1 D．a＜0【答案】C【分析】根据不等式的解法，给左右两边同时除以（a－1），且a－1≠0，根据不等式的解集为x＜1发现，不等号的方向发生了改变，由此可知a－1小于0，进而可以推出a的取值范围．【详解】解：要解此不等式要在不等号的两边同时除以（a－1）且a≠1，不等号右边变为1，∵不等号的方向发生了改变，∴a－1＜0，解得a＜1，故选C.【题型四】分式方程中的解与参数问题【典例分析】如果关于x的方程的解是正数，那么m的取值范围是（）A． B．且C． D．且【答案】D【分析】根据得出，为正数，即，从而得出m的取值范围．再根据，推出．【详解】解：解得：方程的解是正数，即且故选：D【提分秘籍】基本规律根据方程根的概念，将方程的解代入分式方程，建立新的方程，解方程即可求出分式方程的参数的值。【变式演练】1．若整数a使得关于x的分式方程解的取值范围为，则符合条件的a值可以为（

）A．5 B．4 C．1 D．0【答案】D【分析】根据分式方程的性质，求解得，再根据一元一次不等式组和分式方程的性质，计算得，且；结合整数的性质分析，即可得到答案．【详解】∵∴去分母，去括号，得：移项并合并同类项，得：∵∴∴又∵∴∴∴∴，且∵a为整数∴或或∴符合题意故选：D．2．已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（

）A． B．且 C． D．且【答案】B【分析】根据题意先求出分式方程的解，然后根据方程的解为非负数可进行求解．【详解】解：由关于的分式方程可得：，且，∵方程的解为非负数，∴，且，解得：且，故选B．【题型五】分式方程中的增根问题【典例分析】关于的分式方程有增根，则增根是(

)A．1 B．2 C．-2 D．-1【答案】A【分析】分式方程有增根，令最简公分母为0，即可求出增根．【详解】解：分式方程有增根，最简公分母，解得：．故选：A．【提分秘籍】基本规律1.方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根。2.产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根。3.用参数表达出分式方程的根，在令分母等于0。【变式演练】1．若分式方程无解，则的值为（

）A．4 B．2 C．1 D．0【答案】A【分析】分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根，得到最简公分母为0，求出的值，代入整式方程即可求出的值．【详解】解：分式方程去分母得：，由分式方程有增根，得到，即，把代入整式方程得：，解得：，故选：A．2．（2021·江苏苏州·苏州高新区实验初级中学校考二模）如果解关于x的分式方程时出现增根，那么m的值为（

）A．-2 B．2 C．4 D．-4【答案】D【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．【详解】解：，去分母，得m＋2x＝x−2，∵分式方程有增根，则x−2＝0，∴x＝2，把x＝2代入整式方程得：m＋4＝0，解得：m＝−4．故选：D．【题型六】一元二次方程中的解与参数问题【典例分析】若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的值可以是（

）A．2 B．1 C．0 D．【答案】A【分析】根据一元二次方程根的判别式进行求解即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根，∴，∴，∴四个选项中，只有选项A符合题意，故选A．【提分秘籍】基本规律根据方程根的概念，将方程的解代入一元二次方程，建立新的方程，解方程即可求出一元二次方程的参数的值。【变式演练】1．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据一元二次方程有实数根，可知，求出解即可．【详解】∵一元二次方程有实数根，∴，即，解得．故选：B．2．一元二次方程的两实数根都是整数，则下列选项中a可以取的值是（

）A．12 B．16 C．20 D．24【答案】C【分析】分别代入数值解方程，逐一判断即可解题．【详解】解：当时，方程为，解得不是整数，故A选项不符合题意；当时，方程为，解得不是整数，故B选项不符合题意；当时，方程为，解得或是整数，故C选项符合题意；当时，方程为，解得不是整数，故D选项不符合题意；故选：C【题型七】一元二次方程根与系数的关系【典例分析】若一元二次方程的两个根为、，则是（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】利用两根之积等于即可解决问题．【详解】解：一元二次方程的两个根为、，，故选：D．【提分秘籍】基本规律1.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，。2.一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩．(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；以两个数为根的一元二次方程是.(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号。设一元二次方程的两根为、，则①当△≥0且时，两根同号．当△≥0且，时，两根同为正数；当△≥0且，时，两根同为负数。②当△＞0且时，两根异号．当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大；当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大。【变式演练】1．若，是一元二次方程的两个根，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得的值．【详解】解：一元二次方程的二次项系数是，一次项系数，由根与系数的关系，得．故选：A．2．若m、n是方程的两个实数根，则的值为(

)A．4 B．2 C．0 D．-1【答案】C【分析】根据根与系数的关系及方程的解的定义即可求解．【详解】∵m、n是方程的两个实数根，∴，，∴，∴，故选：C．一、单选题1．（2023·江苏南通·南通田家炳中学校考模拟）关于x的不等式组有且只有2个整数解，则符合要求的所有整数a的和为(

)A． B． C．0 D．7【答案】D【分析】分别表示出不等式组两不等式的解集，找出两解集的公共部分表示出不等式组的解集，由不等式组有且只有2个整数解确定出a的范围，进而求出整数a的值，求出和即可．【详解】解：，解不等式①，得，解不等式②，得，所以，不等式组的解集为：的不等式组有且只有2个整数解，解得，，为整数，为3，4，和为，故选：D．2．（2023·江苏扬州·校考一模）已知m是方程的一个根，则的值为（）A．2023 B．2022 C．2021 D．2020【答案】C【分析】先根据一元二次方程解的定义得到，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．【详解】解：是一元二次方程的一个根，，，．故选C．3．（2022·江苏盐城·校考三模）若是关于x的不等式的一个整数解，而不是其整数解，则m的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先解一元一次不等式可得，再根据不是不等式的整数解，可得，然后根据是关于x的不等式的一个整数解，可得，最后进行计算即可解答．【详解】解：∵，∴．∵不是不等式的整数解，∴，解得．∵是关于x的不等式的一个整数解，∴，∴，∴．故选：C．4．（2023·江苏扬州·校考一模）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算的值．【详解】解：根据题意得，所以．故选：B．5．（2022·江苏徐州·校考二模）若x=2是方程的一个根，则m-n的值为（）A．-2 B．0 C．2 D．无法确定【答案】C【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=2代入一元二次方程，即可求得m-n的值．【详解】解：∵x=2是一元二次方程的一个根，∴x=2满足一元二次方程，∴，∴m-n=2；故选：C．6．（2022·江苏无锡·统考一模）若关于的方程有增根，则的值为（

）A．－5 B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】根据题意可得x=2，然后把x的值代入整式方程中进行计算即可解答．【详解】解：，去分母得，m+1+2x=0，解得：，∵方程有增根，∴x=2，把x=2代入，得，,解得．故选A.7．（2023·江苏泰州·一模）若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（

）A．2或6 B．2或8 C．2 D．6【答案】A【分析】根据一元二次方程有实数根先确定m的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系得出，把变形为，再代入得方程，求出m的值即可．【详解】解:∵关于x的一元二次方程有两个实数根,∴,∴∵是方程的两个实数根,∵，又∴把代入整理得,解得,故选A8．（2023·江苏泰州·一模）若不等式组恰有两个整数解，则的取值范围是（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根据不等式组恰有两个整数解，可以求得m的取值范围，本题得以解决．【详解】解：∵x＜1且不等式组恰有两个整数解，∴其整数解为0、-1，∴-2＜m-1≤-1，∴-1＜m≤0．故选：A．二、填空题9．（2023·江苏南京·校联考一模）设、是方程的两个根，且，则________．【答案】4【分析】根据根与系数的关系，得出，，代入，即可求出m的值．【详解】解：∵、是方程的两个根，∴，，∵，∴，∴．故答案为：4．10．（2023·江苏常州·校考一模）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是______．【答案】且【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的性质计算，即可得到答案．【详解】∵关于的一元二次方程有实数根，∴∴，即且．故答案为：且．11．（2023·江苏苏州·苏州工业园区星湾学校校考模拟）若关于x的一元一次不等式组的解集为，则的取值范围是_____．【答案】【分析】分别解两个不等式，根据解集为，结合求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）即可得答案．【详解】解：，解不等式得：，解不等式得：，∵不等式组的解集为x＜3，∴．故答案为：12．（2023·江苏盐城·校联考模拟）若是一元二次方程的两个根，则的值是_____．【答案】【分析】直接根据一元二次方程根与系数的关系解答即可．【详解】解：∵是一元二次方程的两个根，∴．故答案为．13．（2023·江苏常州·统考一模）若关于的方程（为常数）有两个相等的实数根，则______．【答案】【分析】先根据方程有两个相等的实数根得出△，求出的值即可．【详解】解：关于的方程为常数）有两个相等的实数根，△，解得．故答案为：．14．（2023·江苏苏州·苏州中学校考一模）若满足的每一个实数都是不等式的解，则实数取值范围为______．【答案】【分析】先求出当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，再根据题意确定此时不等式的解集为，由此即可得到．【详解】解：∵，∴或∴或，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，∵满足的每一个实数都是不等式的解，∴此时不等式的解集为，∴，故答案为：．15．（2023·江苏南通·南通田家炳中学校考模拟）已知是方程的两个根，且满足，则___________．【答案】【分析】根据一元二次方程中根与系数的关系可以表示出两个根的和与积，代入即，即可得到一个关于k的方程，从而求得k的值．【详解】解：∵、是方程的两个根，∴，，∵，∴，∴，解得：，当时，方程为，，不合题意舍去；当时，方程为，，符合题意．∴所求k的值为．故答案为：．16．（2023·江苏泰州·统考一模）已知方程的两根分别为，，则的值为______．【答案】4【分析】利用一元二次方程解的定义得到，；然后由根与系数的关系求得；最后代入所求的代数式求值即可．【详解】解：∵方程的两根分别为，，∴，，，∴．故答案是：4．17．（2023·江苏苏州·校考一模）设x1，x2是关于x的方程x2+3x-m=0的两个根，且2x1=x2，则m=__________．【答案】-2【分析】根据根与系数的关系求得x1=-1，将其代入已知方程，列出关于m的方程，解方程即可．【详解】解：根据题意，知x1+x2=3x1=-3，则x1=-1，将其代入关于x的方程x2-3x+m