2024全国各地区数学中考真题汇编《第三期》

数学（第三期）解直角三角形的实际应用1.（2024成都16题8分）中国古代运用“土圭之法”判别四季.夏至时日影最短，冬至.某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子AB垂直于地面，AB长8尺.在AB在太阳光线AC照射下产生的日影为BC,杆子AB在太阳光线AD照射下产生的日影为BD.已知∠ACB=73.4°∠ADB=26.6°长度.（结果精确到0.1尺；参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin73.4°≈0.96，cos73.4°≈0.29，tan73.4°≈3.35）第1题图【推荐地区：江西、山西】【参考答案】AB1.解：由题可知，tan∠ACB=≈3.35，BCABtanÐ∴BC=≈2.39（尺），ABtan∠ADB=≈0.50，BDABtanÐADB∴BD=≈16.00（尺），2.39+16∴春分和秋分时日影长度=≈9.2（尺）.2特殊四边形的判定2.（2024遂宁18题8分）康康在学习了矩形定义及判定定理1后，继续探究其它判定定理.（1）实践与操作①任意作两条相交的直线,交点记为；②以点OOAOB、OC、；③顺次连结所得的四点得到四边形ABCD.于是可以直接判定四边形ABCD是平行四边形.则该判定定理是；．．（2）猜想与证明通过和同伴交流，他们一致认为四边形ABCD是矩形,于是猜想得到了矩形的另外一种过程.已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，ACBD；求证：四边形ABCD是矩形.第2题图【推荐地区：江西、山西】【参考答案】2.（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，ABCD，∴∠ABC∠BCD=180°，∵ACBD，BCCB，∴△ABC≌△DCB，∴∠ABC∠BCD=90°，∴四边形ABCD是矩形．数据的整理、分析与评价3.（2024重庆A卷20题10分）竞赛.现从七、八年级的学生各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析.所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用x表示，共分成四组：A.60＜≤70；B.70＜≤80；C.80＜≤90；D.90＜≤100），下面给出了部分信息：七年级20名学生的竞赛成绩为：66，67，68，68，75，83，84，86，86，86，86，87，87，89，95，95，96，98，98，100.八年级20名学生的竞赛成绩在C组的数据是：81，82，84，87，88，89.七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表年级平均数中位数众数七年级八年级8586a85b79八年级所抽学生的竞赛成绩统计图第3题图根据以上信息，解答下列问题：（1）上述图表中中a=，b=，=；（2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）该校七年级有400名学生、八年级有500名学生参加了此次安全知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀（＞90）的学生人数是多少？【推荐地区：江西、福建、辽宁】【参考答案】3.解：（1）86，87.5，40；【解法提示】根据七年级学生竞赛成绩可知：86出现次数最多，则众数为86，八年级竞赛成绩中A组：20×10%=2（人），B组：20×20%=4（人），C组：6人，6所占百分比为×100%=30%，D组：20-2-4-6=8（人），所占百分比为20m%=1-10%-20%-30%=40%，则m=40，∴八年级的中位数为第10、个同学竞赛87+88成绩的平均数，即C组第4、5个同学竞赛成绩的平均数b==87.5.2（2）①我认为七年级学生的安全知识竞赛成绩较好，理由是:七年级学生的安全知识竞赛成绩的众数86大于八年级学生的安全知识竞赛成绩的众数79；①:八年级学生的安全知识竞赛成绩的中位数87.5大于七年级学生的安全知识竞赛成绩的中位数86；（答案不唯一，写出一条即可）6´400+40%´500=320（人），（3）20答：该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀的学生人数是人．反比例函数与一次函数综合题mx（2024遂宁23题10ykx（≠0y=12（≠0）的图象相交于A（1，3），B（n，1）两点.（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象，直接写出y＞y时，x的取值范围；12（3）过点B作直线OB，交反比例函数图象于点C，连接AC，求△ABC的面积.第4题图【推荐地区：江西、山西】【参考答案】mx4.解：（1）将点A（1，3）代入反比例函数2=，得，3∴反比例函数的表达式为y=，2x∴n3，即B（3，1）.将A，B两点的坐标分别代入一次函数1+b，ìk+b=3得í，-k+b=1îìk=1解得í，b=2î∴一次函数表达式为1+2；（2）3＜＜0或x＞1；（3）如解图，设直线1+2与y轴相交于点，过点A作AM⊥x轴于点，过点C作CN⊥x轴于点N，则（0，2），∴=2，∵点B，C关于原点对称，∴C（3，1），∴MN=31=2，CN=1，ON=3，∴S△ABCS△BODS梯形ADOMS梯形AMNCSCON1121212=´´+´(+)´+´(+)´-´´23231132312=8，∴△ABC的面积为8．第4题解图切线的判定5.（2024南充22题10分）⊙OABAEF是上一点，ꢂ=ꢂ，AE，BF交于点C，点D为BF延长线上一点，且∠CAD∠CDA.ꢀꢃꢄꢁ（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若BE=4，AD=25，求⊙O的半径长.第5题图【推荐地区：江西、福建、辽宁】【参考答案】5.（1）证明：∵，∴∠ABF∠BAE.∵∠CAD∠CDA，∠ADC∠ABF∠BAE∠CAD=180°，∴∠ADC∠ABF∠BAE∠CAD，∴∠BAE∠CAD=90°，即∠BAD=90°，∴AD⊥AB，∵AB是⊙O的直径，∴AD是⊙O的切线；（2）解：如解图，连接AF.∵，∴AFBE=4.∵AB是直径，∴∠AFB=90°，∴∠AFD=90°.在Rt△ADF中，DF=AD2-AF=2.2ABAF∵tan==，ADDF4∴=，252∴AB=45.又∵AB是直径，∴⊙O的半径长为25.第5题解图二次函数性质综合题6.（2024成都25题10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L：ax22ax-3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），其顶点为C，D是抛物线第四象限上一点.（1）求线段AB的长；（2）当a=1时，若△ACD的面积与△ABD的面积相等，求tan∠ABD的值；（3）延长CD交x轴于点E，当ADDE时，将△ADB沿DE方向平移得到△AEB´.将抛物线L平移得到抛物线LA´B都落在抛物线L上.试判断抛物线L与L是否交于某个定点.若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由.第6题图【推荐地区：江西】【参考答案】6.解：（1）令ax2-2ax-3a=0，则a（3）（x+1）=0，∴x，x1，12即A（1，0），B（3，0），∴线段AB的长为3（-1）=4；（2）当a=1时，L：=223，∴C（1，4）.∵△ACD的面积与△ABD的面积相等，∴点C和点B到线段AD的距离相等，即AD垂直平分BC，通过构造“8字”全等模型可得BC中点在直线AD上，由（1）可知A（1，0），B（3，0），∴BC中点为（2，-2），设直线AD的解析式为kxb，ì-k+b=0则í，2k+b=2îì2323k=-ïï解得í，ïb=-ïî22∴直线AD的解析式为--，3322令--223，337解得x1，x=，1237209∴（，-），3yDxB-xD3∴tan∠ABD==；（3）抛物线L与L交于定点（3，0），理由如下：如解图，根据平移的性质可得，AA∥DE且AADE，∴四边形AAED是平行四边形.∵ADDE，∴▱AAED是菱形，∴AD垂直平分AE，设（，am22am3a），则