2024年四川省泸州市中考数学试题含答案解析

泸州市二〇二四年初中学业水平考试数学试题全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．全卷满分120分．考试时间共120分钟．注意事项：1．答题前，请考生务必在答题卡上正确填写自己的姓名、准考证号和座位号．考试结束，将试卷和答题卡一并交回．2．选择题每小题选出的答案须用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦净后，再选涂其它答案．非选择题须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上对应题号位置作答，在试卷上作答无效．第Ⅰ卷（选择题共分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只1.下列各数中，无理数是（）1−3.14πD.A.B.C.03【答案】D【解析】【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①ππ类，如2，等；②开方开不尽的数，如2，35等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如π3…（两个1之间依次增加1个0，…（两个2之间依次增加1个1）等．【详解】解：根据无理数的定义可知，四个数中，只有D选项中的数π是无理数，故选：D．2.第二十届中国国际酒业博览会于年3月21-24日在泸州市国际会展中心举办，各种活动带动消费亿元，将数据260000000用科学记数法表示为（）A.2.6×10B.2.6×1078C.2.6×9D.2.6×【答案】B【解析】1≤a<，确定的值时，要看原n【分析】本题考查科学记数法的表示方法，一般形式为a10n，其中×anan数变成时，小数点移动了多少位，的值与小数点移动位数相同，确定与的值是解题关键．【详解】解：2600000002.6108，=×故选：．3.下列几何体中，其三视图的主视图和左视图都为矩形的是（）A.C.B.D.【答案】C【解析】【分析】本题考查三视图．主视图、左视图是分别从物体正面、左面所看到的图形．依此即可求解．【详解】解：A、主视图为三角形，左视图为三角形，故本选项不符合题意；B、主视图为三角形，左视图为三角形，故本选项不符合题意；C、主视图为矩形，左视图为矩形，故本选项符合题意；D、主视图为矩形，左视图为三角形，故本选项不符合题意．故选：．4.把一块含°角的直角三角板按如图方式放置于两条平行线间，若1=45°，则∠=（2）A.10°B.15°C.20°°D.【答案】B【解析】得到3，再根据平角的定义求解，即可解题．∠=°【详解】解：如图，直角三角板位于两条平行线间且145，∠=°∴∠3=135°，直角三角板含°角，180°−∠2−3=30°，∴∠2=15°故选：．，5.下列运算正确的是（）A.a+2a2a33=5a4B.a2⋅2a3=6a6)2=4a6D.4a6÷a2=4a3C.【答案】C【解析】计算法则是解题的关键．【详解】解：A、a与2a3不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；B、a2⋅2a3=6a5，原式计算错误，不符合题意；C、−2a)2=4a6，原式计算正确，符合题意；3D、4a6÷a2=4a4，原式计算错误，不符合题意；故选：．6.已知四边形ABCD为矩形的是（）A.A=90°B.B=CC.【答案】D【解析】=D.ACBD⊥【分析】本题考查了矩形的判定．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形、对角线相等的平行四边形是矩形、有一个角是直角的平行四边形是矩形判断即可．【详解】解：如图，A、A=90°，能判定为矩形，本选项不符合题意；∠=∠，能判定为矩形，本选项不符合题意；B、BCBD，能判定为矩形，本选项不符合题意；C、=D、AC⊥BD，能判定为菱形，不能判定故选：D．为矩形，本选项符合题意；1x−222−x7.分式方程−3=的解是（）75A.x=−B.x=1−C.x=x=3D.33【答案】D【解析】为1，检验）求解，即可解题．1x−222−x−3=【详解】解：，1x−22x−2−3=−，13x2−(−)=2，1−3x+6=2，−3x=−9，x=3，经检验x3是该方程的解，=故选：D．2y=y=8.已知关于x的一元二次方程x2+2x+1−k=0无实数根，则函数与函数的图象交点个数x为（）A.0B.1C.2D.3【答案】A【解析】【分析】本题考查了根的判别式及一次函数和反比例函数的图象．首先根据一元二次方程无实数根确定k的取值范围，然后根据一次函数和反比例函数的性质确定其图象的位置．【详解】解：∵方程x2+2x+1−k=0无实数根，Δ=4−41−k<0()∴，<y=的图象过二，四象限，解得：k0，则函数2y=而函数∴函数的图象过一，三象限，x2y=y=与函数的图象不会相交，则交点个数为0，x故选：A．9.如图，，ED是O的切线，切点为ADBC在O上，若BAE∠+∠BCD236，则=°E=（）A.°B.°C.68°70°D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，切线长定理，等腰三角形的性质等知识点，正确作辅助线是解题关键．根据圆的内接四边形的性质得BAD∠+∠BCD180，由∠BAE+∠BCD=236°得EAD=56°，由=°切线长定理得EAED，即可求得结果．=【详解】解：如图，连接AD，∵四边形ABCD是O的内接四边形，∴BAD∠+∠BCD=180°，∵BAE∠+∠BCD=236°，∠BAE+∠BCD−∠BAD+∠BCD=236°−180°，()∴即BAE∠−∠BAD56，=°∴EAD56，∠=°∵，ED是O的切线，根据切线长定理得，∴EAED，=∴EAD∠=∠EDA56，=°∴∠E=180°−∠EAD−∠EDA180°−56°−56°=68．=°故选：．5−110.宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形2ABCDACB′处，AB′交CDE，则sin沿对角线翻折，点B落在点于点的值为（）3512255A.B.C.D.55【答案】A【解析】【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角函数等知识点，利用黄金比例表示各线段的长是解题的关键．′△设宽，根据比例表示长，证明△ADE≌△E，在Rt中，利用勾股定理即可求得结果．x【详解】解：设宽为，5−1∵宽与长的比是，2x5+1=x∴长为：5−12，2由折叠的性质可知，ADBCBCx，==′=′在ADE和CBE中，∠AED=∠AEB′∠D=∠B′，ADBC=′′()CBE，∴∴AE=CE，5+1∴AE=+=x，2=y设，25+1△x+y=x−y在Rt中，22，2y12=变形得：，x设=k，则2k，AE==2+()=5k，2k2kAEk5∴sinDAE===，5k5故选A．y=ax2+(2a−3)x+a−1（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a已知二次函数值范围为（）93A.1≤a<C.0<a<B.0<a<D.1≤a<829382【答案】A【解析】x2【分析】本题考查了二次函数图象与性质．利用二次函数的性质，抛物线与轴有个交点，开口向上，y而且与轴的交点不在负半轴上，然后解不等式组即可．y=ax+(2a−3)x+a−1图象经过第一、二、四象限，2二次函数24aa12a3−(−)>且a−1≥0，a>0，∴Δ=(−)09解得1≤a<．8故选：A．12.如图，在边长为6的正方形ABCD中，点EF分别是边上的动点，且满足AEBF，=1与交于点OM是的中点，G是边AB上的点，，则=+的最小值是2（）A.4B.5C.8D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理等等，()BAF得到=，进而得到DOF90，则由直角三角形的性质可∠=°先证明1得OM=DF，如图所示，在延长线上截取，连接，易证明AB=2()，则FH=FG，可得当、、三点共线时，有最小值，即此时中，由勾股定理得FBHDF+HFADHHDF1+=8的长的一半，求出，在有最小值，最小值即为DH21+5DH=AD2+AH2=10，责任ABCD的最小值为．2【详解】解：∵四边形是正方形，∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=90°，又∵AEBF，=()BAF，∴∴∠=，∴∠DOF=∠ADO+DAO=BAE+DAO=DAB=90°，∵点M是的中点，1∴OM=DF；2如图所示，在AB延长线上截取=，连接，∵∠FBG=∠FBH=90，FB=FB，BG=BH，()FBH，∴∴FHFG，=11121=(+)，∴+FG=+2221++有最小值，最小值即为DH的长的∴当HDF三点共线时，DFHF有最小值，即此时2一半，∵，==6，∴BH=BG=2，∴8，=在RtADH中，由勾股定理得DH=AD+AH=10，221+∴的最小值为，2故选：．第Ⅱ卷（非选择题共84分）注意事项：用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上对应题号位置作答，在试卷上作答无效．二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共1213.y=x+2中，自变量x的取值范围是_____．【答案】x≥2【解析】【详解】解：∵x2在实数范围内有意义，+x+2≥0∴，∴x≥2，故答案为x≥2．14.在一个不透明的盒子中装有6个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸2出一个球是白球的概率是，则黄球的个数为______．3【答案】3【解析】【分析】此题考查了分式方程的应用，以及概率公式的应用．设黄球的个数为x个，然后根据概率公式列方程，解此分式方程即可求得答案．【详解】解：设黄球的个数为x6x+623=根据题意得：，解得：x3，=经检验，x3是原分式方程的解，∴黄球的个数为3个．故答案为：3．=−3x−5=0的两个实数根，则1(−)+3xx的值是______．x215.x，x是一元二次方程x21【答案】【解析】2212bac该方程的两个实数根为x1，，则xx+x=−，xx=x+x=3．先根据根与系数的关系得到，1221212axx=−5(12)+2=12++2=9(x−x)=29221x221212得到答案．x，x是一元二次方程，2x−3x−5=0的两个实数根，12∴x+x=3xx=−5，1212∴(+)xx2=1221222=1−2xx+x+3xx=29+3×(−5)=14++=9，12∴(x−x)2222=9−4xx=9+20=29，1212212∴(x−x)．1212故答案为：14．(>)个单位，再绕原点按逆时针方向旋转θaa016.定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移ρa,θ角度，这样的图形运动叫做图形的()变换．如：点A(0)ρ90°)变换后得到点A的坐标为′按照()1,2，则点B3,−1按照ρ(2,105°)′变换后得到点B的坐标为______．【答案】−2,2)【解析】B(3,−)【分析】本题考查了解直角三角形，坐标与图形．根据题意，点向上平移2个单位，得到点(3,1)(3,1)绕原点按逆时针方向旋转105°OB′==2∠B=45°CC，据此求解即可．B(3,−)(3,1)【详解】解：根据题意，点向上平移2个单位，得到点C，∴=1，=3，CEOC12()2∠==∴OC=12+3=2，sinCOE，∴COE=30°，(3,1)绕原点按逆时针方向旋转105°根据题意，将点C，∴B105°+30°=135°，∠′=作B′Dx轴于点D，⊥∴OB′==∠′=°−°=°2，B18013545，′==′⋅°=∴BDsin452，∴点B′的坐标为−2,2)，故答案为：−2,2)．三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分．11−3π2024+(−)0−2sin60°+17.计算：．2【答案】3【解析】减运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．先化简各式，然后再进行加减计算即可解答．3【详解】解：原式=3+1−2×+2，2=3−3+3，=3．18.如图，在中，F是对角线BD上的点，且=．求证：1∠=∠2．【答案】证明见解析【解析】【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，先由平行四边形的性质得到AD=，∥，则=CBF，再证明△≌CBFSAS)，即可证明1=∠2．△ABCD【详解】证明：∵四边形是平行四边形，∴AD=，∥，∴∠=CBF，又∵=，△CBFSAS)，(∴∴1=∠2．22−2yxy+x−2y÷19.化简：．xxx−yx+y【答案】【解析】【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．案．22−2yxy+x−2y÷【详解】解：xxy2+x2−2x−y=⋅xx22(−)2xyx==⋅(+)(−)xyxyxx−yx+y四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分．20.某地两块试验田中分别栽种了甲、乙两种小麦，为了考察这两种小麦的长势，分别从中随机抽取16株麦苗，测得苗高（单位：）如下表．10121313141414141516161810131812131310131314151617甲乙778将数据整理分析，并绘制成以下不完整的统计表格和频数分布直方图．甲种小麦的频苗高分组数7≤x<1010≤x<13≤x<≤x<ab73小麦甲乙种类统计量平均数12.87512.875众数中位数方差14cd138.657.85根据所给出的信息，解决下列问题：a=______，b=______，并补全乙种小麦的频数分布直方图；（1）（2）c=______，d______；=（3）甲、乙两种小麦的苗高长势比较整齐的是______≤<）的株数．取1200株，试估计苗高在10x13（单位：【答案】（），4，乙种小麦的频数分布直方图见解析；（2），；（3）乙，375．【解析】计总体．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．（1）根据题中数据和频数分布直方图的，即可直接得到a、b，以及乙种小麦≤x<的株数，再画出频数分布直方图，即可解题；（2）根据众数和中位数的概念，即可解题；（310x13≤<总数乘以其所占比，即可解题．【小问1详解】解：由表可知：甲种小麦苗高在7x1078a2；≤<=甲种小麦苗高在10x1312b4，≤<=16−1−5−3=7补全后的乙种小麦的频数分布直方图如下：故答案为：2，；【小问2详解】解：由表可知：乙种小麦苗高最多，为次，故；5d=13将甲种小麦苗高从小到大排列得78、、1213131414、、、、、13+14=13.5，即c=13.5；中位数为2故答案为：；【小问3详解】乙种小麦方差7.85甲种小麦方差8.65，<∴甲、乙两种小麦的苗高长势比较整齐的是乙，由题可知：乙种小麦随机抽取株麦苗中苗高在10x13有5株，≤<∴若从栽种乙种小麦的试验田中随机抽取株，苗高在10≤x<13的株数为：51200×=3751621.某商场购进AB两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多元；购进5件A2件B商品总费用为元．（1B两种商品每件进价各为多少元？（2）该商场计划购进B件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍．若A按每件B商品按每件元销售，为满足销售完AB两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进A商品的件数最多为多少？【答案】（AB两种商品每件进价各为元，（2）购进A商品的件数最多为件【解析】【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用：（1B两种商品每件进价各为x元，y元，根据购进3件A商品比购进4件B商品费用多进5件A2件B商品总费用为元列出方程组求解即可；（2）设购进A商品的件数为m件，则购进B商品的件数为(60−m)件，根据利润不低于1770元且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍列出不等式组求解即可．【小问1详解】解：设B两种商品每件进价各为x元，y3x−4y=60由题意得，5x+2y=620，x=100解得，y=60答：AB两种商品每件进价各为元，【小问2详解】解：设购进A商品的件数为m件，则购进B商品的件数为(60−m)件，(−)+(−)(−)≥150100m806060m1770由题意得，，60−m≥2m解得19m20，≤≤m为整数，m的最大值为20，答：购进A商品的件数最多为件．五、本大题共2小题，每小题8分，共16分．22.如图，海中有一个小岛，某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达B点，测得小岛C位于北偏西°方向上，再沿北偏东方向继续航行一段时间后到达D°点，这时测得小岛C位于北偏西方向上．已知C相距mileD间的距离（计算过程中的°【答案】CD间的距离为202n．【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用．作CEECB=°∠ECD=60°，证明CAE⊥于点E，利用方向角的定义求得∠CAE=45°，RtBCE中，求得BC的长，再证明，是等腰直角三角形，在=°，DCB=30°，在RtBCD中，利用三角函数的定义即可求解．【详解】解：作CE于点E，⊥由题意得CAE90°−45°=45，ECB=°，ECD=60°，∠=°∴CAE是等腰直角三角形，∵AC=30，∴AE=CE=AC⋅cos45°=152，CEcos30°BC==106，在RtBCE中，在△BCD中，∠CBD=30°+60°=90°，DCB=∠ECD−∠ECB=30°，BC30°202nmile)(在RtBCD中，CD==，答：CD间的距离为202n．a(−)，与反比例函数A2,0y=与x轴相交于点y=+b23.如图，在平面直角坐标系中，一次函数x的图象相交于点()．B3（1）求一次函数和反比例函数的解析式；a2x=mm>2()与反比例函数=(>)y=−(x>0)（2）直线yx0和的图象分别交于点，CDxx=2，求点C的坐标．3326y=x+y=，反比例函数解析式为【答案】（）一次函数解析式为4x()C1（2）【解析】【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，反比例函数与几何综合：（1）利用待定系数法求解即可；S=，ODF=1，进而得到（2）先利用反比例函数比例系数的几何意义得到6mOBC=2=8；再证明OBE==3S==8C，，推出，设，则663+OF==，求出OF=m−2，可得m，解方程即可得到答案．m2⋅(−)=8m2【小问1详解】axa解：把()代入中得：B2,3y=3=a=6，解得，26y=∴反比例函数解析式为；x−2k+b=0把A(−0)，(B3)代入y=+b中得：，2k+b=33432k=∴，b=33y=x+∴一次函数解析式为；42【小问2详解】解：如图所示，过点B作⊥x轴于ECD与轴交于，xF62x=mm>2()与反比例函数=(>)y=−(x>0)yx0和CD∵直线的图象分别交于点，，xx11S=×6=，S=×−2=1∴∴∴，COFODF22S=+DOF=4，OBCS=2=8；6∵⊥x轴，点B在反比例函数y=(>)x0的图象上，xSS==3，∵∵OBE=+=+S，S==8，∴6m6C，，则OF==设，m∵()，B3∴OE=，BE=3，∴OF=m−2，63+∴m，m2⋅(−)=822解得m6或=m=−3经检验m6是原方程的解，且符合题意，=∴()．C1六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分．24.如图，是O的内接三角形，AB是O的直径，过点B作O的切线与AC的延长线交于点DE在O上，CE，=交AB于点．（1）求证：CAE∠=∠D；（2）过点C作CG⊥AB【答案】（）证明见解析于点=3，BD32，求的长．G=45（2）【解析】）由直径所对的圆周角是直角得到∠BCD=90°，则D+CBD=°ABCCBD90，则ABC=∠D，由切线的性质推出，再由同弧所对的圆周角相等和等边对等角得到∠E=∠ABC，∠CAE=∠E，据此即可证明∠CAE=D；（2）由勾股定理得AD36，利用等面积法求出=BC=23，则于HAE2AH，证明=AF=4+xAC=26，同理可得22，=则AG4，进而得到==2；如图所示，过点C作CH⊥AE=△∽△CHA，求出AH=22，则AE=42；设FGx，则，证明46+6x△AEFCBF中，由勾股定理得，推出=，在4246+6x()2=22+x2，解方程即可得到答案．4【小问1详解】证明：∵AB是O的直径，∴ACB90，∠=°∴∠BCD=90°，∴D+∠CBD90；=°∵BD是O的切线，∴ABD90，CBD90，∴ABC∴ABC∠=∠D，∵，AC=AC∴∠E=∠ABC，∵CE，=∴∠CAE=∠E，∴CAE∠=∠D；【小问2详解】解：∵3，===6∴，()322在△中，由勾股定理得AD=AB2+BD2=62+=36，121SABD=AB⋅BD=AD⋅BC，∵2AB⋅BD6×32∴BC∴AC====−23，AD36()232AB2−BC2=62=26，同理可得=22，()262()222∴AG=AC2−CG2=−=4，∴2；=如图所示，过点C作CHAE于H，则AE2AH，⊥=由（）可得ABC∠=∠CAH，∠ACB=CHA90，=°∴△∽△CHA，AHACAH26==∴，即，BCAB236∴AH=22，∴AE=42；设FGx，则=AF=4+x，∵∠E=∠，∠EAF=∠BCF，∴△AEFCBF，CFBC4+x2342==∴，即，AFAE46+6x∴=，4△在中，由勾股定理得2=CG2+FG2，246+6x()2=22+x2∴，44x=x=4解得或．54=∴5【点睛】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，等腰三角形的性质