2024年广东省东莞中学中考三模数学试题及答案

2023-2024学年第二学期初三第三次模拟测试数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共301.2024年4月日是第个世界读书日，习近平总书记多次强调读书的重要性，倡导全社会都参与到阅读中来，形成爱读书、读好书、善读书的浓厚氛围．图书馆是开展全民阅读的重要场所，以下是我省四个城市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是（）A.C.B.D.2.218000000公里的行星命名为“苏步青星”218000000用科学记数法表示为（）A.0.218×9B.2.18×109C.×8D.218×1063.下列二次根式中能与2合并的是（A.12B.）8C.D.4.榫卯（măo榫的实物图，它的主视图是（）A.B.D.C.55.反比例函数y=−的图象位于（）xA.第一、第三象限B.第一、第四象限C.第二、第三象限D.第二、第四象限6.y=x1的自变量的取值范围在数轴上可表示为（−x）AB.C.D.7.某市为解决冬季取暖问题需铺设一条长350035003500x−=15“…”表示的缺“…”x−10x失的条件应补为（）A.每天比原计划多铺设米，结果提前天完成B.每天比原计划少铺设米，结果延期天完成C.每天比原计划少铺设米，结果延期天完成D.每天比原计划多铺设米，结果提前天完成x+y=6，=6，则2+y2的值为（）8.xA.9B.18C.24D.9.如图，将以O为中心点的量角器与含°角的直角三角板紧靠着放在同一平面内，此时点DCB在同一条直线上，且2．过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E，则点E在量角器上所对应=的锐角度数是（）50°A°B.°C.°D.10.如图，和ECD都是等腰三角形，且∠=CED，点BCD在同一条直线上，和ECD的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（）A.B.20C.D.二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15单项式−2x12.广东省大陆海岸线长居全国第一，森林、湿地资源丰富，候鸟数量庞大、种类繁多．为了解某湿地公园大白鹭的情况，从中捕捉502y的系数是______．只大白鹭，戴上识别卡并放回，经过一段时间后发现，捕捉的大白鹭中有记号的频率稳定在0.1左右，由此估计该湿地公园约有__________只大白鹭．13.如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部AB与支撑平台CD平行．若1=°，3，则∠=°∠2=__________．14.如图，一次函数yb的图像经过、两点，则关于的不等式+b<2的解集是___________．=+ABx15.“点燃我的梦想，数学皆有可能数学创新设计活动中，智多星小强设计了一个数学探究活，n，n−m2次，n动；对依次排列的两个整式按如下规律进行操作：第1次操作后得到整式中，nn−m−m；第3次操作后……其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上操作后得到整式中，，一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏．则该回头差游戏第次操作后得到的整式串各项之和是______．3个小题，每题10分，第17、18题各7分，共24分）1116（）计算：1−⋅sin45°+02−2；2x−2y=1（2）解方程组：3x+4y=23．17.作为东莞的城市文化名片之一，篮球已成为不少东莞人生活的一部分．这个五一，我市举行“缤纷运动‘’精彩、‘’不住”场比赛．（1）应邀请多少支球队参加比赛？（2）若某支球队参加2场后，因故不参与以后比赛，问实际共比赛了多少场？11218.如图，的对角线AC，BD交于点O，分别以点B，C长为半径画为圆心，AC，2弧，两弧交于点P，连接BP，．（1）试判断四边形BPCO的形状，并说明理由；ABCD是__________（2）①当平行四边形形时，四边形BPCO是菱形；②当平行四边形ABCD是__________形时，四边形BPCO是矩形．3小题，每小题9分，共27分）19.，是一电动门，当它水平下落时，可以抽象成如图2所示的矩形ABCD，其中AB3m=，=，此时它与出入口OM等宽，与地面的距离AO0.2m=；当它抬起时，变为平行四边形ABC′D，如图3所示，此时，′′与水平方向的夹角为°．（1）求图3中点B到地面的距离；′（2）在电动门抬起的过程中，求点C所经过的路径长；（34中，一辆宽1.6m，高1.6m的汽车从该入口进入时，汽车需要与保持0.4m的安全距离，此时，汽车能否安全通过﹖若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．（参考数据：31.732，≈π≈3.14，所有结果精确到0.1）20.乙两个小区各随机抽取1月份的用电量·xh电量的数据分成5组：0x50，≤≤50<x≤100，<x≤，150<x≤200，<x≤，并对数据进行整理和分析，下面给出部分信息：信息一：信息二：乙小区居民1月份用电量在100x150这一组的数据是106120125125131133133137140<≤信息三：甲、乙两个小区居民1月份用电量的平均数、中位数如下．甲小乙小区区平均数数120130/kW·h中位b/kWh根据以上信息，解答下列问题：a=（1）填空：__________，b=___________．（2）在扇形统计图中，“x”所在扇形圆心角的度数为__________°．（3）若甲小区共有1000户居民，乙小区共有户居民，试估计这两个小区1月份用电量大于kW·h的总户数．<≤（4）请选择―种统计量分析这两个小区1月份的用电情况，并提出一条能够节能降碳的建议．21.综合探究小明同学在学习“”这一章内容时，发现如果四个点在同一个圆上（即四点共圆）时，就可以通过添加辅助圆的方式，使得某些复杂的问题变得相对简单，于是开始和同学一起探究四点共圆的条件．小明同学已经学习了圆内接四边形的一个性质：圆内接四边形的对角互补．因此，他想探究它的逆命题是否成立，以下是小明同学的探究过程，请你补充完整．（1圆内接四边形的对角互补”的逆命题为：________________________________________，如果该逆命题成立，则可以作为判定四点共圆的一个依据．（2，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°1、、C，请在图中作出过点三点O，并直接判断点D与O的（31，在四边形ABC∠+∠ADC180，=°求证：点、、、D四点共圆．、、CODO证明：过三点作，假设点不在上，则它有可能在圆内（如图23．假设点D在O内时，如图，延长CD交O于点E，连结AE，是的外角，∴∠>，O的内接四边形，∴∠ABC+∠AEC=180°，四边形ABCE是∠ABC+∠ADC=180°∴∠=．这与∠>相矛盾，所以假设不成立，所以点D不可能在O内．请仿照以上证明，用反证法证明“D在O外（如图3）的情形2个小题，每小题12分，共24分）22.阅读理解【信息提取】新定义：在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于坐标原点对称，则一条抛物线叫另一条抛物线的“友好抛物线．y=kx+bk≠0()和y=kxbk+(≠)0，若kk1y1y与互相垂2新知识：对于直线，则直线1111222212y1ykk1互相垂直，则．12直；若直线与2【感知理解】y=2(x+12−3y=____________________；（1）抛物线的“友好抛物线”为2（2）若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与1y=22+nx+q(m≠0)互为友好抛物线a与m的数量关系为__________b与n的数量关系为__________，c与q的数量关系为__________；【综合应用】l:y=x2−4x+3EllF的直线l的顶点为，的“友好抛物线”的顶点为，过点O3（3）如图，抛物线1112ll2与抛物线交于点，A在B交于点CD（点C在D1AFDE为菱形，求23.如图，矩形ABCD中，AB=AD=3，点E在折线BCD上运动，将AE绕点A顺时针旋转得到，旋转角等于∠，连接．（1）当点E在BC上时，作FM⊥AC，垂足为，求证=；M（2AE=32时，求的长；（3）连接，点E从点B运动到点D的过程中，试探究的最小值．2023-2024学年第二学期初三第三次模拟测试数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共301.2024年4月日是第个世界读书日，习近平总书记多次强调读书的重要性，倡导全社会都参与到阅读中来，形成爱读书、读好书、善读书的浓厚氛围．图书馆是开展全民阅读的重要场所，以下是我省四个城市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是（）A.C.B.D.【答案】C【解析】形是轴对称图形，据此判断即可．【详解】解：A、不是轴对称图形，故不符合题意；B、不是轴对称图形，故不符合题意；C、是轴对称图形，故符合题意；D、不轴对称图形，故不符合题意；故选：．2.218000000公里的行星命名为“苏步青星”218000000用科学记数法表示为（）A.0.218×9B.2.18×109C.×8D.218×106【答案】C【解析】≤a<，【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a10×n的形式，其中1nnan的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，是正整数；当原数的绝对值1时，是负整数．n<n【详解】解：2180000002.18108，=×故选：．3.下列二次根式中能与2合并的是（）A.12B.8C.D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查二次根式的性质化简，同类二次根式的定义，二次根式的加减运算法则，掌握同类二次根式，二次根式的加减运算法则是解题的关键．【详解】解：A、1223，不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；B、8=22，是同类二次根式，可以合并，符合题意；=C、=25，不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；D、27=33，不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；故选：．4.榫卯（măo榫的实物图，它的主视图是（）A.C.B.D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了物体的三视图，根据从正面看到的图形即可求解，掌握物体三视图的画法是解题的关键．【详解】解：如图是某个部件榫的实物图，它的主视图是：故选：．5.反比例函数y=−的图象位于（5）xA.第一、第三象限【答案】DB.第一、第四象限C.第二、第三象限D.第二、第四象限【解析】k=(≠)k0k>0yx三象限，当k0时，图象在二、四象限，据此可得答案．<【详解】解：∵50，−<5∴反比例函数y=−的图象位于第二、第四象限，x故选：D．6.y=x1的自变量的取值范围在数轴上可表示为（−x）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件，求出x10的解集，再在数轴上表示即可．−≥x1中，x−1≥0，−∴x≥1，故在数轴上表示为：故选：D．【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，要注意，不等式的解集包括1．7.某市为解决冬季取暖问题需铺设一条长350035003500x−=15“…”表示的缺“…”x−10x失的条件应补为（）A.每天比原计划多铺设米，结果提前天完成B.每天比原计划少铺设米，结果延期天完成C.每天比原计划少铺设米，结果延期天完成D.每天比原计划多铺设米，结果提前天完成【答案】A【解析】得解．35003500−=15，【详解】解：利用工作时间列出方程：x−10x∴缺失的条件为：每天比原计划多铺设米，结果提前天完成．故选：A．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，明确题意，由列出的分式方程找出题干缺失的条件是解题的关键．x+y=6，=6，则2+y2的值为（）8.xA.9B.18C.24D.【答案】C【解析】【分析】此题考查了完全平方公式的变形计算，正确掌握完全平方公式是解题的关键，根据完全平方公式变形计算即可得到答案．【详解】解：∵x+y=6，=6，x2+y2=(+)2−262−2×6=24=∴xy故选：．9.如图，将以O为中心点的量角器与含°角的直角三角板紧靠着放在同一平面内，此时点，，在DCB同一条直线上，且2．过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E，则点E在量角器上所对应=的锐角度数是（）50°A.°B.°C.°D.【答案】D【解析】关键是掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．设半圆的圆心为OAC是线段AOC=ABC=60°AERt≌Rt，继而求得∠的度数，则可求得答案．【详解】解：设半圆的圆心为O，连接，∵CD=OC=2BC，∴，=∵ACB90，即AC⊥OB，∠=°∴，=∴∠=，∵∠BAC=30°，∴AOC=ABC=60°，∵AE是切线，∴∠AEO=90°，∴AEO=ACO=90°，在Rt△和Rt中，==，()，Rt≌Rt∴∴∠AOE=AOC=60°，∴∠AOD=180°−60°−60°=60°，即点E在量角器上所对应的锐角度数是．故选：D．°10.如图，和ECD都是等腰三角形，且∠=CED，点BCD在同一条直线上，和ECD的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（）A.B.20C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意可判定∽△ECD，AB∥EC，从而得到的比，再由AB边上的高SABEC=和边上的高相等，得到S的比，即可计算的面积．ACE和ECD是等腰三角形，且=CED∴∠ABC=∠ACB=∠ECD=∠EDC△△ECD，AB∥EC=16，S=25S16∴∴=△SECD25ABEC45=AB∥EC∴AB边上的高和边上的高相等SABSEC45==∴，55∴S=S=×16=20．44故选：．平方，平行线之间的距离处处相等，熟练掌握以上知识点是解题的关键．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15单项式−2xy的系数是______．2【答案】2【解析】【分析】根据单项式系数的定义作答．【详解】解：2x−2y中不含字母的项为﹣，2单项式的系数是2∴，故答案为：﹣．【点睛】本题考查单项式系数的概念，单项式中的数字因数叫单项式的系数；掌握系数的定义是解题关键．12.广东省大陆海岸线长居全国第一，森林、湿地资源丰富，候鸟数量庞大、种类繁多．为了解某湿地公园大白鹭的情况，从中捕捉50只大白鹭，戴上识别卡并放回，经过一段时间后发现，捕捉的大白鹭中有记号的频率稳定在0.1左右，由此估计该湿地公园约有__________只大白鹭．【答案】500【解析】【分析】捕捉的大白鹭样本中有记号的频率稳定在0.1左右50只大白鹭占总体的比也是0.1，据此即可解答．x【详解】解：设该湿地公园约有只大白鹭，则50:x0.1，=解得x．=答：估计该湿地约有500只大白鹭．故答案为：500．13.如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部AB与支撑平台CD平行．若1=°，3，则∠=°∠2=__________．【答案】67°##67【解析】度2顶点作直线l∥支撑∠平台，直线l将2分成两个角即∠∠4、5，根据平行线的性质即可求解．【详解】解：如图所示，过2顶点作直线∠l∥支撑平台，直线l将∠2分成两个角∠4和5，工作篮底部与支撑平台平行、直线l∥支撑平台，∴ll直线∥支撑平台∥工作篮底部，∴∠1=∠4=32°，5+3=180°，∵3=°∴∠5=35°，∴∠2=∠4+5=67°，故答案为：67°．14.如图，一次函数yb的图像经过、两点，则关于的不等式+b<2的解集是___________．=+ABx【答案】x<0【解析】【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细x+b<2的解集是x<0．【详解】解：由图象可知，关于的不等式故答案为：x<0．15.“点燃我的梦想，数学皆有可能数学创新设计活动中，智多星小强设计了一个数学探究活动；对依次排列的两个整式，n按如下规律进行操作：第1次操作后得到整式中，n，n−m2次操作后得到整式中，n，n−m，−m；第3次操作后……其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏．则该回头差游戏第次操作后得到的整式串各项之和是______．【答案】2n−m【解析】是解本题的关键．先逐步分析前面7次操作，可得整式串的循环规律，即可求解．m,n,n−m；【详解】解∶第1次操作后得到整式串第2次操作后得到整式串第3次操作后得到整式串第4次操作后得到整式串第5次操作后得到整式串第6次操作后得到的整式串第7次操作后得到的整式串m,n,n−m,−m；m,n,n−m,−m,−n；,n,n−,−,−,−n+m；m,n,n−m,−m,−n,−n+m,m；,n,n−,−,−n,−n+,,n；,n,n−,−,−n,−n+,,n,n−m；归纳可得∶“回头差游戏每六次一循环，2024÷6=337∴第次操作后得到的整式中各项之和与第2次操作后得到整式串之和相等，第2次操作后得到整式串之和为mnnmm2nm++−−=−故答案为：2n−m．3个小题，每题10分，第17、18题各7分，共24分）1116.1）计算：1−⋅sin45°+02−2；2x−2y=1（2）解方程组：3x+4y=23．【答案】（）0x=5（2）y=2【解析】）根据负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值计算．（2）利用加减消元法解答即可．本题考查了负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，解方程组，熟练掌握公式，熟记特殊角的三角函数值，正确解方程组是解题的关键．2）解：原式=1−2×+2−12=1−2+2−1=0x−2y=①（2）3x+4y=②①×2得：2x4y2③−=②③得：5x25，=x=5把x5代入①得=5−2y=1，y=2x=5∴原方程组的解为y=217.作为东莞的城市文化名片之一，篮球已成为不少东莞人生活的一部分．这个五一，我市举行“缤纷运动‘’精彩、‘’不住”场比赛．（1）应邀请多少支球队参加比赛？（2）若某支球队参加2场后，因故不参与以后比赛，问实际共比赛了多少场？【答案】（）设应邀请6支球队参加比赛（2）实际共比赛场【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．（1xx其正值即可得出结论；（2）利用比赛总场次数【小问1详解】=该球队参加的场次数+5支球队实行双循环比赛的场次数，即可求出结论．解：设应邀请x支球队参加比赛，由题意得：x(x−=30x=6x=−5解得：，12答：设应邀请6支球队参加比赛．【小问2详解】解：2+5×4=22（场）答：实际共比赛121218.如图，的对角线AC，BD交于点O，分别以点B，C为圆心，长为半径画AC，弧，两弧交于点P，连接BP，．（1）试判断四边形BPCO的形状，并说明理由；（2）①当平行四边形ABCD是__________形时，四边形BPCO是菱形；②当平行四边形ABCD是__________形时，四边形BPCO是矩形．【答案】（）四边形BPCO为平行四边形．理由见解析（2）①矩；②菱【解析】11OC=OA=AC==BD=CP=，，22则可得出结论；（2）①由菱形的判定可得出结论．②由矩形的判定可得结论．【小问1详解】解：四边形BPCO为平行四边形．四边形ABCD为平行四边形，121∴====BD，，211以点B，C为圆心，AC，长为半径画弧，两弧交于点P，22∴=CP=，，∴四边形BPCO为平行四边形；【小问2详解】①当ABCD是矩形时，四边形BPCO是菱形，理由如下：∵ABCD是矩形，∴BD，=∴，=又∵四边形BPCO是平行四边形，∴四边形BPCO是菱形．②当ABCD是菱形时，四边形BPCO是矩形，理由如下：∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴90，∠=°又∵四边形BPCO是平行四边形，∴四边形BPCO是矩形．形的性质是解题的关键．3小题，每小题9分，共27分）19.，是一电动门，当它水平下落时，可以抽象成如图2所示的矩形ABCD，其中AB3m=，=，此时它与出入口OM等宽，与地面的距离AO0.2m=；当它抬起时，变为平行四边形ABC′D，如图3所示，此时，′′与水平方向的夹角为°．（1）求图3中点B到地面的距离；′（2）在电动门抬起的过程中，求点C所经过的路径长；（34中，一辆宽1.6m，高1.6m的汽车从该入口进入时，汽车需要与保持0.4m的安全距离，此时，汽车能否安全通过﹖若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．（参考数据：31.732，≈π≈3.14，所有结果精确到0.1）【答案】（）点B到地面的距离约为（2C所经过的路径约为（3）汽车能安全通过，理由见解析【解析】′三角形解决问题．（1）过点B′作BN于点，交AB于点E，根据解直角三角形、锐角三角函数进行解答即可．⊥N（2）根据弧长公式解答即可；（3）根据解直角三角形、锐角三角函数进行解答即可．【小问1详解】′′N⊥于点，交，解：如图，过点B作依题意得：∠B′AE=60°，AB′=AB，BAB60，=B′EAB′△′sinBAB′=∠在Rt中，3332∴B′E=AB′⋅sin∠BAB′=3×sin60°=3×∴B′N=B′E+EN=2.598+0.2≈2.8m=≈2.598m2答：点B到地面的距离约为【小问2详解】′；点C′C°D得到的，60⋅π⋅3∴点C经过的路径长为l==π≈．180答：点C所经过的路径约为．【小问3详解】汽车能安全通过．解：在OMMK0.4m，=KF=1.6m，作⊥，交FH′于点G，即汽车与保持安全距离MK0.4m，汽车的宽=KF=1.6m，∴OF=3−1.6−0.4=，依题意得：90，=°，四边形AOFH是矩形，∠=°∴AH=OF=，==0.2m，在Rt中，tan=∴=⋅tan=1×tan°=3≈1.732m∴GF=GH+HF≈1.732+0.2=1.932m汽车高度为1.6m，1.6，>∴汽车能安全通过20.乙两个小区各随机抽取1月份的用电量·xh电量的数据分成5组：0x50，≤≤50<x≤100，<x≤，150<x≤200，<x≤，并对数据进行整理和分析，下面给出部分信息：信息一：信息二：乙小区居民1月份用电量在100x150这一组的数据是106120125125131133133137140<≤信息三：甲、乙两个小区居民1月份用电量的平均数、中位数如下．甲小乙小区区平均数数120130/kW·h中位b/kWh根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a=__________，b=___________．（2）在扇形统计图中，“x”所在扇形圆心角的度数为__________°．（3）若甲小区共有1000户居民，乙小区共有户居民，试估计这两个小区1月份用电量大于kW·h的总户数．<≤（4）请选择―种统计量分析这两个小区1月份的用电情况，并提出一条能够节能降碳的建议．【答案】（）；（2）3）户（4）答案不唯一，合理即可，如拔掉家中一切不用的电源【解析】14组的频数可求出a均数即可得出中位数；对于（2x所占的百分数，再乘以<≤360°；对于（3150kw⋅h对于（4的户数，再求和即可；【小问1详解】a=50−3−21−6−4=16．根据题意可知乙小区第个数在100x150之间，这两个数是125，125<≤125+125b==125．2故答案为：16125；【小问2详解】根据题意可知100％-40％-16％-6％-8％=30％，所以“x”所在扇形圆心角的度数为<≤360°×30°．故答案为：108°；【小问3详解】6+4甲小区用电量大于150h的百分比为％，乙小区用电量大于⋅150⋅h的百分比为=20％，所以这两个小区1月份用电量大于150h的总户数为1000×22％+800×20380（户）；⋅【小问4详解】拔掉家中一切不用的电源【点睛】本题主要考查了频数分布直方图，求中位数，样本估计总体的思想，从频数分布直方图中获取信息是解题的关键．21.综合探究小明同学在学习“”这一章内容时，发现如果四个点在同一个圆上（即四点共圆）时，就可以通过添加辅助圆的方式，使得某些复杂的问题变得相对简单，于是开始和同学一起探究四点共圆的条件．小明同学已经学习了圆内接四边形的一个性质：圆内接四边形的对角互补．因此，他想探究它的逆命题是否成立，以下是小明同学的探究过程，请你补充完整．（1圆内接四边形的对角互补”的逆命题为：________________________________________，如果该逆命题成立，则可以作为判定四点共圆的一个依据．（2，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°1、、C三点，请在图中作出过点的O，并直接判断点D与O（31，在四边形ABC∠+∠ADC=180°，求证：点、、、D四点共圆．证明：过、、C三点作O，假设点D不在O上，则它有可能在圆内（如图23．假设点D在O内时，如图，延长CD交O于点E，连结AE，是的外角，∴∠>，O的内接四边形，∴∠ABC+∠AEC=180°，四边形ABCE是∠ABC+∠ADC=180°∴∠=．这与∠>相矛盾，所以假设不成立，所以点D不可能在O内．请仿照以上证明，用反证法证明“D在O外（如图3）的情形【答案】（（2）图见解析，点D在O上（3）详见解析【解析】【分析】本题考查了反证法，命题与定理及线段的垂直平分线的性质及有关圆的性质是解题的关键．（1）根据逆命题与原命题是条件、结论互换解答．（2）根据作过不共线的三个点的圆作法作图，先确定圆心再确定半径；（3）根据反证法的步骤进行证明．【小问1详解】【小问2详解】解：如图，O为所求．点D在O上．【小问3详解】证明：假设点D在O外时，如图，交O于点，连结AE，∠AEC是的外角，∴∠>．四边形ABCE是O的内接四边形，∴∠ABC+∠AEC=180°∠ABC+∠ADC=180°，∴∠=．这与∠>相矛盾，所以假设不成立，所以点D不可能在O外．2个小题，每小题12分，共24分）22.阅读理解【信息提取】新定义：在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于坐标原点对称，则一条抛物线叫另一条抛物线的“友好抛物线．y=kx+bk≠0()和y=kxbk+(≠)0kk1，则直线y与y，若互相垂1212新知识：对于直线11112222直；若直线1与y互相垂直，则kk1．212【感知理解】y=2(x+−3的“友好抛物线”为y2=____________________；2（1）抛物线1（2）若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与1y=22+nx+q(m≠0)互为友好抛物线与的数量am关系为__________b与n的数量关系为__________，c与q的数量关系为__________；【综合应用】l:y=x2−4x+3ll的顶点为，的“友好抛物线”的顶点为F，过点O12的直线l3（3）如图，抛物线11ll2与抛物线交于点，A在B交于点CD（点C在D1AFDE为菱形，求【答案】（）2(x2)−2+3（2）a=−mc=−q，bn，=（3）230【解析】“友好抛物线=（2y=ax2+bx+c(a≠0)与1y=22+nx+q(m≠0)“友好抛物线”求解；l:y=x2−4x+3的顶点为E的坐标为(2,F(−“友好抛物线可得（3111l:y=−x2−4x−3EFy=−xAD线的解析式为的解222=2−4x+3析式为y=2xyx(3−6,6−26)，B(3+6,6+26)y=2x式即可求解．y=2(x+−3与它的友好抛物线”211相同，开口方向相反．y=2(x+12−−−3的顶点坐标为(，抛物线∴它的友好抛物线的顶点坐标为(2,，∴y2=2(x−2)2+3，32+；故答案为：2(x2)−b4ac−b2n4−n4m2（2抛物线1ax=2+bx+c=a(x+)2+，y=22+nx+q=m(x+2)+，2a4a2mb4ac−b4a2∴抛物线1ax2+bxc(a0)的顶点坐标为(=+≠−y=+nx+q(m≠0)的顶点坐2，)2a2n4−n4m2标为(−，)，2m抛物线1=ax2+bx+c(a≠0)与y=22+nx+q(m≠0)互为友好抛物线”．bn4ac−b4a24−n4m2∴a=−m=−=−，，，2a2m∴a=−m，b=n，c=−q．，c=−q．∴a=−m，b=n故答案为：l:y=x2−4x+3y=x的顶点为E，12−4x+3=(x−2)2−1，（3抛物线11∴E(2,−．l:y=x2−4x+3ll抛物线∴F(∴的顶点为，的“友好抛物线”的顶点为，EF1112．l:y=−x2−4x−3，抛物线22E(2,．F(−．1∴直线EF的解析式为y=−x．2若四边形AFDE为菱形，则EFAD．⊥∴直线AD的解析式为y=2x．=2−4x+3yxx=3−6x=3+6