2023年北京市初三一模数学试题汇编：解直角三角形

第1页/共1页2023北京初三一模数学汇编解直角三角形一、解答题1．（2023·北京平谷·统考一模）如图，在中，点E是中点．点F是中点．连接平分．(1)求证：四边形是菱形：(2)连接，与交于点O，连接．若，，求的长．2．（2023·北京顺义·统考一模）给出如下定义：对于线段，以点P为中心，把点逆时针旋转得到点R，点R叫做线段关于点P的“完美点”，例如等边中，点C就是线段关于点A的“完美点”．在平面直角坐标系中．(1)已知点，在，，，中，_____是线段关于点O的“完美点”；(2)直线上存在线段，若点恰好是线段关于点B的“完美点”，求线段的长；(3)若，，点D是线段关于点O的“完美点”，点F是线段关于点E的“完美点”，当线段分别取得最大值和最小值时，直接写出线段的长．3．（2023·北京通州·统考一模）已知在中，，点D，E分别是边中点，连接，延长到点F，使得，连接．(1)求证：四边形是菱形(2)如果，且，求的长．

参考答案1．(1)见解析(2)【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形及F是AD中点，E是BC中点，可得四边形AECF是平行四边形，再根据EF平分∠AEC，易证得，则可得，继而证得结论；（2）过点O作于点G，由三角形面积公式可求的长，勾股定理可求，的长，的长即可求解.【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴，∵F是AD中点，E是BC中点∴，∴四边形AECF是平行四边形∵EF平分∠AEC∴∵∴∴∴四边形AECF是菱形（2）解：∵四边形AECF是菱形∴，，∵，，∴∴，过点O作于点G，∵，即∴，∵∴，∴【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理的应用，解直角三角形，三角形面积公式的应用，解题的关键是熟练掌握各知识点，作出辅助线，用好数形结合的思想.2．(1)(2)(3)，【分析】（1）根据“完美点”的定义判断即可；（2）根据“完美点”的定义计算即可；（3）根据“完美点”的定义画出图形再分别计算即可．【详解】（1）∵点∴线段关于点O的“完美点”在第二象限，∴是线段关于点O的“完美点”；其他点都不符合题意；故答案为：；（2）点恰好是线段关于点B的“完美点”，是等边三角形.过点O作于点M.∴，∴在直线上，∴直线与x轴交点为，与y轴交点为，..（3）∵点D是线段关于点O的“完美点”，点F是线段关于点E的“完美点”，∴、是等边三角形，∴，，，当线段取得最大值时，此时在线段上，此时∵，∴，∴；当线段取得最小值时，此时在线段上，过作于，则∴，，∴∴．【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角函数，一次函数的性质等知识点，解题的关键是理解“完美点”的定义得到等边三角形．3．(1)见解析(2)的长为10【分析】（1）先根据对角线互相平分证明四边形是平行四边形，再根据三角线中位线的性质证明，进而得出，即可证明四边形是菱形；（2）根据菱形的性质可得，再利用三角函数、勾股定理解即可．【详解】（1）证明：点E是边中点，，又，四边形是平行四边形在中，点D，E分别是边中点，，，，，．四边形是菱形；（2）解：由（1）知，四边形是菱形，，，，，在中，，，解得或（舍），的长为10．【点睛】本题