2023年二轮复习解答题专题十八：以实际问题为背景的二次函数模型(原卷版+解析)

2023年二轮复习解答题专题十八：以实际问题为背景的二次函数模型方法点睛利用二次函数解决抛物线型问题，一般是先根据实际问题的特点建立直角坐标系，设计合适的二次函数的解析式，把实际问题中的已知条件转化为点的坐标，代入解析式求解，最后要把求出的结果转化为实际问题的答案.典例分析例1：（2022河南中考）红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．（1）求抛物线的表达式．（2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．专题过关1.（2022兰州中考）掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心求行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．（1）求y关于x的函数表达式；（2）根据兰州市高中阶段学校招生体有考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．2.（2022武汉中考）在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在处开始减速，此时白球在黑球前面处．

小聪测量黑球减速后的运动速度（单位：）、运动距离（单位：）随运动时间（单位：）变化的数据，整理得下表．运动时间01234运动速度109.598.58运动距离09.751927.7536小聪探究发现，黑球的运动速度与运动时间之间成一次函数关系，运动距离与运动时间之间成二次函数关系．（1）直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）（2）当黑球减速后运动距离为时，求它此时的运动速度；（3）若白球一直以的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由．3．（2022江西中考）（9分）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点为飞行距离计分的参照点，落地点超过点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度为，基准点到起跳台的水平距离为，高度为为定值）．设运动员从起跳点起跳后的高度与水平距离之间的函数关系为．（1）的值为66；（2）①若运动员落地点恰好到达点，且此时，，求基准点的高度；②若时，运动员落地点要超过点，则的取值范围为；（3）若运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，试判断他的落地点能否超过点，并说明理由．4.（2022北京中考）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系．某运动员进行了两次训练．（1）第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如下：水平距离x/m02581114竖直高度y/m20.0021.4022.7523.2022.7521.40根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为，则______（填“>”“=”或“<”）．5．（2022温州中考）（12分）根据以下素材，探索完成任务．如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？素材1图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高．素材2为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．问题解决任务1确定桥拱形状在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．任务2探究悬挂范围在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．任务3拟定设计方案给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．6.（2022陕西中考）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：，该抛物线的顶点P到的距离为．（1）求满足设计要求的抛物线的函数表达式；（2）现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到的距离均为，求点A、B的坐标．7．（2022江西中考）（9分）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点为飞行距离计分的参照点，落地点超过点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度为，基准点到起跳台的水平距离为，高度为为定值）．设运动员从起跳点起跳后的高度与水平距离之间的函数关系为．（1）的值为66；（2）①若运动员落地点恰好到达点，且此时，，求基准点的高度；②若时，运动员落地点要超过点，则的取值范围为；（3）若运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，试判断他的落地点能否超过点，并说明理由．8.（2022安徽中考）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点，在x轴上，MN与矩形的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段，，，MN长度之和．请解决以下问题：（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点，在抛物线AED上．设点横坐标为，求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“”型或“”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形面积的最大值，及取最大值时点的横坐标的取值范围（在右侧）．9．（2022临沂中考）（12分）第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺得金牌．在该项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止．本项目主要考核运动员的飞行距离和动作姿态，某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：如图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区CD所在水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡AC的坡角为30°，OA＝65m，某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，AB＝100m．在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离y（m）与水平方向移动的距离x（m）具备二次函数关系，其解析式为y＝﹣x2+bx+c．（1）求b，c的值；（2）进一步研究发现，运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离x（m）与飞行时间t（s）具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，t＝0，x＝0；空中飞行5s后着陆．①求x关于t的函数解析式；②当t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是多少？10.（2022台州中考）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）．

（1）若，；①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；②求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标；③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围；（2）若．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的最小值．11.（2022潍坊中考）某市在盐碱地种植海水稻获得突破性进展，小亮和小莹到海水稻种植基地调研．小莹根据水稻年产量数据，分别在直角坐标系中描出表示2017-2021年①号田和②号田年产量情况的点（记2017年为第1年度，横轴表示年度，纵轴表示年产量），如下图．

小亮认为，可以从y=kx+b(k>0)，y=(m>0)，y=−0.1x2+ax+c中选择适当的函数模型，模拟①号田和②号田的年产量变化趋势．（1）小莹认为不能选．你认同吗？请说明理由；（2）请从小亮提供的函数模型中，选择适当的模型分别模拟①号田和②号田的年产量变化趋势，并求出函数表达式；（3）根据（2）中你选择的函数模型，请预测①号田和②号田总年产量在哪一年最大？最大是多少？12.（2022南阳宛城一模）某山村经过脱贫攻坚和乡村振兴，经济收入持续增长．据统计，近五年该村农户老王年度纯收入如表所示：年度（年）20172018201920202021年度纯收入（万元）254.57.511.516.5若记2017年度为第1年，在直角坐标系中用点A（1，2.5），B（2，4.5），C（3，7.5），D（4，11.5），E（5，16.5）表示近五年农户老王纯收入的年度变化情况，如图所示．拟用下列三个函数模拟农户老王从2017年开始的年度纯收入变化趋势：，，，以便估算农户老王2022年度的纯收入．（1）能否选用函数）进行模拟，请说明理由；（2）你认为选用哪个函数模拟最合理，请说明理由；（3）农户老王准备在2022年底购买一台价值22万元的农机设备，根据（2）中你选择的函数表达式，预测农户老王2022年度的纯收入能否满足购买农机设备的资金需求．13.（2022河南兰考一模）中国农业农村部为养护黄河水生生物资源、保护生物多样性、促进黄河渔业可持续发展、推动黄河流域生态保护和高质量发展，根据《中华人民共和国渔业法》有关规定和《黄河流域生态保护和高质量发展规划纲要》有关要求，决定自2022年起调整黄河禁渔期制度．部分河段从2022年4月1日起至2025年12月31日实行全年禁渔．黄河干流河南段的禁渔期为每年4月1日至7月31日．为配合黄河高质量发展，郑州“黄河鲤鱼”鱼苗场经常向黄河投放优质“黄河鲤鱼”鱼苗．郑州“黄河鲤鱼”鱼苗场，需要定期购买饲料，已知该鱼苗场每天需要200千克饲料，饲料的价格为1.8元/千克，饲料的保管费与其它费用平均每天为0.05元/千克，购买饲料每次的运费为180元．任务1：该鱼苗场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少；小牛同学的分析如下：如果2天购买一次，则保管费与其它费用需支付（元）；如果3天购买一次，则保管费与其它费用需支付（元）；如果4天购买一次，则保管费与其它费用需支付（元），小牛同学发现已有数学模型不能解决这个问题，想到了用函数图象的方法解决，设x天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y元，下面是小牛同学解决这个问题的过程，请解答相关问题．（1）计算得到x与y的部分对应值如表，请补全表格：x/天…2345678910…y/元…455.0430.0420.0____________415.7417.5420.0423.0…（2）在平面直角坐标系中，描出（1）中所对应的点（3）结合图象：鱼苗场______天购买一次饲料才能使平均每天支付总费用最少．任务2：饲料生产公司规定：当一次购买饲料不少于2000千克时，价格可享受九折优惠，在该鱼苗场购买饲料时是否需要考虑这一优惠条件，简要说明理由．14.（2022开封二模）如图①是气势如弘、古典凝重的开封北门，也叫安远门，有安定远方之寓意．其主门洞的截面如图②，上部分可看作是抛物线形，下部分可看作是矩形，边AB为16米，BC为6米，最高处点E到地面AB的距离为8米．（1）请在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式．（2）该主门洞内设双向行驶车道，正中间有0.6米宽的双黄线．车辆必须在双黄线两侧行驶，不能压双黄线，并保持车辆最高点与门洞有不少于0.6米的空隙（安全距离）．试判断一辆大型货运汽车装载某大型设备后，宽3.7米，高6.6米，能否安全通过该主门洞？并说明理由．15.（2022河南方城一模）2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为轴，过跳台终点作水平线的垂线为轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点正上方米处的点滑出，滑出后沿一段抛物线运动．

（1）当运动员运动到离处的水平距离为米时，离水平线的高度为米，求抛物线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）在（1）的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为米？（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过米时，求的取值范围．16.（2022北京171中二模）某运动馆使用发球机进行辅助训练，假设发球机每次发球的运动路线是抛物线，且形状固定不变的，在球运行时，球与发球机的水平距离为（米），与地面的高度为（米），经多次测试后，得到如下数据：（米）00.40.8123.24（米）11.081.121.12510.520（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；（2）球经发球机发出后，最高点离地面__________米，并求出与的函数解析式；（3）当球拍触球时，球离地面的高度为米.①求此时发球机与球的水平距离；②现将发球机向上平移了米，为确保球拍在原高度还能接到球，球拍的接球位置应后退多少米？17.（2022北京顺义二模）如图是某抛物线形拱桥的截面图．某数学小组对这座拱桥很感兴趣，他们利用测量工具测出水面AB的宽为8米．设AB上的点E到点A的距离米，点E到拱桥顶面的垂直距离米．通过取点、测量，数学小组的同学得到了x与y的几组值，如下表：x（米）012345678y（米）01.7533.7543.7531.750（1）拱桥顶面离水面AB的最大高度为______米；（2）请你帮助该数学小组建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接；（3）测量后的某一天，由于降雨原因，水面比测量时上升1米．现有一游船（截面为矩形）宽度为4米，船顶到水面的高度为2米．要求游船从拱桥下面通过时，船顶到拱桥顶面的距离应大于0.5米．结合所画图象，请判断该游船是否能安全通过：______（填写“能”或“不能”）．18.（2022北京人大附中一模）某地想要建造儿童直线斜坡轨道滑车设施（如图），为防止滑车下滑速度过快，轨道与地面夹角要适度，根据儿童能够在斜坡轨道上的滑行时间来确定直线斜坡轨道的长度．为解决此问题，小明用小车沿斜面滑下的实验来模拟此过程．借助打点计时器（一种测量短暂时间的工具，每隔0.02s打一次点），让小车带动纸带通过打点计时器，再按顺序测得相邻各点之间的距离数据如下表：

时间（秒）00.020040.060.080.10相邻各点的距离（厘米）00.30.5070.91.0（1）当时间为0.04秒时，滑行距离是______厘米；（2）请在下图网格中建立平面直角坐标系，以时间为横坐标，以滑行距离为纵坐标，根据表格中的数据计算并描点，用平滑的曲线连起来；

（3）通过计算确定滑车能够在斜坡轨道上滑行10秒时直线斜坡轨道的长度．19.（2022北京燕山二模）某社区文化广场修建了一个人工喷泉，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口为A，喷水口A距地面2m，喷出水流的轨迹是抛物线．水流最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，水流落地点C距离喷水枪底部B的距离为3m．

请解决以下问题：（1）如图，以B为原点，BC所在的直线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则点A的坐标是______，点C的坐标是______，水流轨迹抛物线的对称轴是______．

（2）求出水柱最高点P到地面的距离．（3）在线段BC上到喷水枪AB所在直线的距离为2m处放置一物体，为避免物体被水流淋到，物体的高度应小于多少米？请说明理由．20.（2022北京西城一模）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，记喷出的水与池中心的水平距离为xm，距地面的高度为ym．测量得到如下数值：x/m00.511.522.533.37y/m2.443.153.493.453.042.251.090小腾根据学习函数的经验，发现y是x的函数，并对y随x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点，并画出函数的图象；（2）结合函数图象，出水口距地面的高度为_______m，水达到最高点时与池中心的水平距离约为_______m（结果保留小数点后两位）；（3）为了使水柱落地点与池中心的距离不超过3.2m，如果只调整水管的高度，其他条件不变，结合函数图象，估计出水口至少需要_______（填“升高”或“降低”）_______m（结果保留小数点后两位）．21.（2022北京通州一模）如图1是某条公路的一个单向隧道的横断面．经测量，两侧墙AD和与路面AB垂直，隧道内侧宽AB＝4米．为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面AB上取点E，测量点E到墙面AD的距离和到隧道顶面的距离EF．设米，米．通过取点、测量，工程人员得到了x与y的几组值，如下表：x（米）00.51.01.52.02.53.03.54.0y（米）3.003.443.763.943.993.923.783.423.00（1）隧道顶面到路面AB的最大高度为______米；（2）请你帮助工程人员建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，画出可以表示隧道顶面的图象．（3）今有宽为2.4米，高为3米的货车准备在隧道中间通过（如图2）．根据隧道通行标准，其车厢最高点到隧道顶面的距离应大于0.5米．结合所画图象，请判断该货车是否安全通过：______（填写“是”或“否”）．22.（2022北京顺义一模）某公园内的人工湖里有一组小型喷泉，水柱从位于湖面上方的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．现测量出如下数据，在距离水枪水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为h米．d（米）00.52.03.55h（米）1.672.253.002.250请解决以下问题：（1）在下面网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；（2）请结合所画图象，水柱最高点距离湖面的高度是______米；（3）求抛物线的表达式，并写出自变量的取值范围；（4）现有一游船宽度为2米，顶棚到湖面的高度为2.5米．要求游船从喷泉水柱中间通过时，顶棚不碰到水柱．请问游船是否能符合上述要求通过？并说明理由．23.（2022北京石景山二模）某公园内人工喷泉有一个竖直的喷水枪，喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水流距喷水枪的水平距离为，距地面的竖直高度为，获得数据如下：0.01.02.03.04.51.63.74.43.70.0小景根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小景的探究过程，请补充完整：（1）在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；（2）水流的最高点距喷水枪的水平距离为________m；（3）结合函数图象，解决问题：公园准备在距喷水枪水平距离为处加装一个石柱，使该喷水枪喷出的水流刚好落在石柱顶端，则石柱的高度约为_____m．24.（2022北京平谷一模）某景观公园内人工湖里有一组喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．现测量出如下数据，在距水枪水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为h米．d（米）00.7234…h（米）2.03.495.25.65.2…请解决以下问题：（1）在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；（2）请结合表中所给数据或所画图象，估出喷泉的落水点距水枪的水平距离约为米（精确到0.1）；（3）公园增设了新的游玩项目，购置了宽度4米，顶棚到水面高度为4.2米的平顶游船，游船从喷泉正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被喷泉淋到的危险．25.（2020北京平谷二模）一名同学推铅球，铅球出手后行进过程中离地面的高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系，已知铅球行进过程中的水平距离与离地面的高度的部分数据及图象如下．x（米）012345…y（米）1.672.252.672.923.002.92…请解决以下问题：（1）在平面直角坐标系中，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接，补全图形；（2）根据图象估出铅球落地时的水平距离（单位：m，精确到0.1）；（3）在铅球行进过程中，当它离地面的高度为2.5m时，根据图象估出铅球的水平距离（单位：m，精确到0.1）．26.（2022北京密云二模）某景观公园计划在圆形水池内修建一个小型喷泉，水柱从池中心且垂直于水面的水枪喷出，水柱喷出后落于水面的形状是抛物线．现测量出如下数据，在距水枪水平距离为d米的地点，水柱距离水面的高度为h米．d（米）00.51.01.52.5h（米）m3.23.63.20请解决以下问题：（1）请结合表中所给数据，直接写出水柱最高点距离水面的高度为______米．（2）在网格中建立适当的平面直角坐标系，描出表中已知各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线画出该函数的图象．（3）求表格中m的值．（4）以节水为原则，为体现公园喷泉景观的美观性，在不改变水柱形状的基础上，修建工人打算将水枪的高度上升0.4米．若圆形喷水池的半径为3米，提升水枪高度后水柱是否会喷到水池外面？请说明理由．（其中）27.（2022门头沟一模）某景观公园内人工湖里有一组喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是一条抛物线．现测量出如下数据，在距水枪水平距离为米的地点，水柱距离湖面高度为米．（米）012.03…（米）1.62.12.52.10…（1）在下边网格中建立适当平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接．（2）结合表中所给数据或所画的图象，直接写出水柱最高点距离湖面的高度；（3）求水柱在湖面上的落点距水枪的水平距离是多少？（4）现公园想通过喷泉设立一个新的游玩项目．准备通过调节水枪高度使得公园的平顶游船能从喷泉最高点的正下方通过（两次水柱喷出水嘴的初速度相同），如果游船宽度为3米，顶棚到水面的高度为2米，为了避免游船被淋到，顶棚到水柱的垂直距离不小于0.8米．问应如何调节水枪的高度才能符合要求？请通过计算说明理由．28.（2022北京门头沟二模）如图，杂技团进行杂技表演，演员要从跷跷板右端A处弹跳后恰好落在人梯的顶端B处，其身体（看成一点）的路径是一条抛物线．现测量出如下的数据，设演员身体距起跳点A水平距离为d米时，距地面的高度为h米．d（米）…1.001.502.002.503.003.50…h（米）…3.404.154.604.754.604.15…请你解决以下问题：（1）在下边网格中建立适当平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接；（2）结合表中所给的数据或所画的图象，直接写出演员身体距离地面的最大高度；（3）求起跳点A距离地面的高度；（4）在一次表演中，已知人梯到起跳点A的水平距离是3米，人梯的高度是3.40米．问此次表演是否成功？如果成功，说明理由；如果不成功，说明应怎样调节人梯到起跳点A的水平距离才能成功？29.（2022北京丰台一模）某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，水柱从喷水头喷出到落于湖面的路径形状可以看作是抛物线的一部分．若记水柱上某一位置与水管的水平距离为d米，与湖面的垂直高度为h米．下面的表中记录了d与h的五组数据：d（米）01234h（米）0.51.251.51.250.5根据上述信息，解决以下问题：（1）在下面网格（图1）中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示h与d函数关系的图象；（2）若水柱最高点距离湖面的高度为m米，则m=；（3）现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下方通过．如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米．已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）．30.（2022北京丰台二模）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．记运动员在该项目的运动过程中的某个位置与起跳点的水平距离为x（单位：m），竖直高度为y（单位：m），下面记录了甲运动员起跳后的运动过程中的七组数据：x/m0102030405060y/m54.057.857.653.445.233.016.8下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）为观察y与x之间的关系，建立坐标系，以x为横坐标，y为纵坐标，描出表中数据对应的7个点，并用平滑的曲线连接它们：

（2）观察发现，（1）中的曲线可以看作是_________的一部分（填“抛物线”或“双曲线”），结合图象，可推断出水平距离约为_______m（结果保留小数点后一位）时，甲运动员起跳后达到最高点；（3）乙运动员在此跳台进行训练，若乙运动员在运动过程中的最高点的竖直高度达到61m，则乙运动员运动中的最高点比甲运动员运动中的最高点_________（填写“高”或“低”）约_________m（结果保留小数点后一位）．31.（2022北京房山一模）如图，一个单向隧道的断面，隧道顶是一条抛物线的一部分，经测量，隧道顶的跨度为4米，最高处到地面的距离为4米，两侧墙高均为3米，距左侧墙壁1米和3米时，隧道高度均为3.75米．设距左侧墙壁水平距离为x米的地点，隧道高度为y米．请解决以下问题：（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据题中数据描点，并用平滑的曲线连接；（2）请结合所画图象，写出抛物线的对称轴；（3）今有宽为2.4米的卡车在隧道中间行驶，如果卡车载物后的高度为3.2米，要求卡车从隧道中间通过时，为保证安全，要求卡车载物后最高点到隧道顶面对应的点的距离均不小于0.6米，结合所画图象，试判断该卡车能否通过隧道．32.（2022北京昌平二模）如图，在一次学校组织的社会实践活动中，小龙看到农田上安装了很多灌溉喷枪，喷枪喷出的水流轨迹是抛物线，他发现这种喷枪射程是可调节的，且喷射的水流越高射程越远，于是他从该农田的技术部门得到了这种喷枪的一个数据表，水流的最高点与喷枪的水平距离记为，水流的最高点到地面的距离记为．

与的几组对应值如下表：（单位：）01234…（单位：）12…

（1）该喷枪的出水口到地面的距离为________；（2）在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，并画出与的函数图像；（3）结合（2）中的图像，估算当水流的最高点与喷枪的水平距离为时，水流的最高点到地面的距离为________（精确到）．根据估算结果，计算此时水流的射程约为________（精确到）33.（2022北京朝阳区一模）某公园在人工湖里建造一道喷泉拱门，工人在垂直于湖面的立柱上安装喷头，从喷头喷出的水柱的形状可以看作是抛物线的一部分．安装后，通过测量获得如下数据，喷头高出湖面3米，在距立柱水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为h米．d（米）0.501.001.52.002.503.00h（米）3.754.003.753.001.750请解决以下问题：（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；（2）结合表中所给数据或所画图象，直接写出水柱最高点距离湖面的高度；（3）求h关于d的函数表达式；（4）公园希望游船能从喷泉拱门下穿过，已知游船的宽度约为2米，游船的平顶棚到湖面的高度约为1米，从安全的角度考虑，要求游船到立柱的水平距离不小于1米，顶棚到水柱的竖直距离也不小于1米，工人想只通过调整喷头距离湖面的高度（不考虑其他因素）就能满足上述要求，请通过计算说明应如何调整．34.（2022北京燕山区一模）某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．现测量出如下数据，在湖面上距水枪水平距离为d米的位置，水柱距离湖面高度为h米．d（米）0.51.02.03.03.54.5…h（米）1.62.12.52.1m0…请解决以下问题：（1）以水枪与湖面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水枪所在直线为y轴，在下边网格中建立平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接．（2）请结合表中所给数据或所画图象，写出水柱最高点的坐标．（3）湖面上距水枪水平距离为3.5米时，水柱距离湖面的高度____________米．（4）现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过调节水枪高度，使得公园湖中的游船能从喷泉下方通过．游船左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，若游船宽（指船的最大宽度）为2米，从水面到棚顶的高度为2.1米，要求是游船从喷泉水柱中间通过时，为避免游船被喷泉淋到，顶棚到水柱的垂直距离均不小于0.5米．请问公园该如何调节水枪高度以符合要求？请通过计算说明理由．2023年二轮复习解答题专题十八：以实际问题为背景的二次函数模型方法点睛利用二次函数解决抛物线型问题，一般是先根据实际问题的特点建立直角坐标系，设计合适的二次函数的解析式，把实际问题中的已知条件转化为点的坐标，代入解析式求解，最后要把求出的结果转化为实际问题的答案.典例分析例1：（2022河南中考）红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．（1）求抛物线的表达式．（2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．【答案】（1）（2）2或6m【解析】【分析】（1）根据顶点，设抛物线的表达式为，将点，代入即可求解；（2）将代入（1）的解析式，求得的值，进而求与点的距离即可求解．【小问1详解】解：根据题意可知抛物线的顶点为，设抛物线的解析式为，将点代入，得，解得，抛物线的解析式为，【小问2详解】由，令，得，解得，爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为(m)，或(m)．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，掌握顶点式求二次函数解析式是解题的关键．专题过关1.（2022兰州中考）掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心求行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．（1）求y关于x的函数表达式；（2）根据兰州市高中阶段学校招生体有考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．【答案】（1）y关于x的函数表达式为；（2）该女生在此项考试中是得满分，理由见解析．【解析】【分析】（1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可；（2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y=0，解方程即可求解．【小问1详解】解∶∵当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处，∴设，∵经过点(0，)，∴解得∶∴，∴y关于x的函数表达式为；【小问2详解】解：该女生在此项考试中是得满分，理由如下∶∵对于二次函数，当y=0时，有∴，解得∶，(舍去)，∵>6.70，∴该女生在此项考试中是得满分．【点睛】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，利用待定系数法求出二次函数的解析是是解题的关键．2.（2022武汉中考）在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在处开始减速，此时白球在黑球前面处．

小聪测量黑球减速后的运动速度（单位：）、运动距离（单位：）随运动时间（单位：）变化的数据，整理得下表．运动时间01234运动速度109.598.58运动距离09.751927.7536小聪探究发现，黑球的运动速度与运动时间之间成一次函数关系，运动距离与运动时间之间成二次函数关系．（1）直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）（2）当黑球减速后运动距离为时，求它此时的运动速度；（3）若白球一直以的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由．【答案】（1），（2）（3）黑、白两球的最小距离为，大于0，黑球不会碰到白球【解析】【分析】（1）根据黑球的运动速度与运动时间之间成一次函数关系，设表达式为v=kt+b，代入两组数值求解即可；根据运动距离与运动时间之间成二次函数关系，设表达式为，代入三组数值求解即可；（2）当黑球减速后运动距离为时，代入（1）式中关于的函数解析式求出时间t，再将t代入关于的函数解析式，求得速度v即可；（3）设黑白两球的距离为，得到，化简即可求出最小值，于是得到结论．【小问1详解】根据黑球的运动速度与运动时间之间成一次函数关系，设表达式为v=kt+b，代入（0，10），（1，9.5）得，，解得，∴，根据运动距离与运动时间之间成二次函数关系，设表达式为，代入（0，0），（1，9.75），（2，19）得，解得，∴;【小问2详解】依题意，得，∴，解得，，；当时，；当时，（舍）；答：黑球减速后运动时的速度为．【小问3详解】设黑白两球的距离为，，∵，∴当时，的值最小为6，∴黑、白两球的最小距离为，大于0，黑球不会碰到白球．【点睛】本题考查一次函数和二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，解决本题的关键是明确题意求出函数表达式．3．（2022江西中考）（9分）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点为飞行距离计分的参照点，落地点超过点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度为，基准点到起跳台的水平距离为，高度为为定值）．设运动员从起跳点起跳后的高度与水平距离之间的函数关系为．（1）的值为66；（2）①若运动员落地点恰好到达点，且此时，，求基准点的高度；②若时，运动员落地点要超过点，则的取值范围为；（3）若运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，试判断他的落地点能否超过点，并说明理由．【分析】（1）根据起跳台的高度为，即可得；（2）①由，，知，根据基准点到起跳台的水平距离为，即得基准点的高度为；②运动员落地点要超过点，即是时，，故，即可解得答案；（3）运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，即是抛物线的顶点为，设抛物线解析式为，可得抛物线解析式为，当时，，从而可知他的落地点能超过点．【解答】解：（1）起跳台的高度为，，把代入得：，故答案为：66；（2）①，，，基准点到起跳台的水平距离为，，基准点的高度为；②，，运动员落地点要超过点，时，，即，解得，故答案为：；（3）他的落地点能超过点，理由如下：运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，抛物线的顶点为，设抛物线解析式为，把代入得：，解得，抛物线解析式为，当时，，，他的落地点能超过点．【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意把实际问题转化为数学问题．4.（2022北京中考）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系．某运动员进行了两次训练．（1）第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如下：水平距离x/m02581114竖直高度y/m20.0021.4022.7523.2022.7521.40根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为，则______（填“>”“=”或“<”）．【答案】（1）23.20m；（2）【解析】【分析】（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出h、k的值，运动员竖直高度的最大值；将表格中除顶点坐标之外的一组数据代入函数关系式即可求出a的值，得出函数解析式；（2）着陆点的纵坐标为，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，用t表示出和，然后进行比较即可．【小问1详解】解：根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：，∴，，即该运动员竖直高度的最大值为23.20m，根据表格中的数据可知，当时，，代入得：，解得：，∴函数关系关系式为：．【小问2详解】设着陆点的纵坐标为，则第一次训练时，，解得：或，∴根据图象可知，第一次训练时着陆点水平距离，第二次训练时，，解得：或，∴根据图象可知，第二次训练时着陆点的水平距离，∵，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，设着陆点的纵坐标为，用t表示出和，是解题的关键．5．（2022温州中考）（12分）根据以下素材，探索完成任务．如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？素材1图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高．素材2为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．问题解决任务1确定桥拱形状在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．任务2探究悬挂范围在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．任务3拟定设计方案给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．【分析】任务1：利用待定系数法可得抛物线的函数表达式；任务2：根据该河段水位再涨达到最高，灯笼底部距离水面至少，灯笼长，计算悬挂点的纵坐标的最小值是；任务3：介绍两种方案：分别挂7盏和8盏．【解答】解：任务以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，则顶点为，且过点，设抛物线的解析式为：，把点代入得：，，抛物线的函数表达式为：；任务该河段水位再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长，当悬挂点的纵坐标，即悬挂点的纵坐标的最小值是，当时，，，悬挂点的横坐标的取值范围是：；任务方案一：如图2（坐标轴的横轴），从顶点处开始悬挂灯笼，，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为，若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，，若顶点一侧悬挂3盏灯笼时，，顶点一侧最多悬挂3盏灯笼，灯笼挂满后成轴对称分布，共可挂7盏灯笼，最左边一盏灯笼的横坐标为：；方案二：如图3，若顶点一侧悬挂5盏灯笼时，，若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，，顶点一侧最多悬挂4盏灯笼，灯笼挂满后成轴对称分布，共可挂8盏灯笼，最左边一盏灯笼的横坐标为：．【点评】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握不同坐标系中求解析式，能把实际问题转化为抛物线是解题的关键．6.（2022陕西中考）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：，该抛物线的顶点P到的距离为．（1）求满足设计要求的抛物线的函数表达式；（2）现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到的距离均为，求点A、B的坐标．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，设抛物线的函数表达式为，再代入（0，0），求出a的值即可；（2）根据题意知，A，B两点的纵坐标为6，代入函数解析式可求出两点的横坐标，从而可解决问题．【小问1详解】依题意，顶点，设抛物线的函数表达式为，将代入，得．解之，得．∴抛物线的函数表达式为．【小问2详解】令，得．解之，得．∴．【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．7．（2022江西中考）（9分）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点为飞行距离计分的参照点，落地点超过点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度为，基准点到起跳台的水平距离为，高度为为定值）．设运动员从起跳点起跳后的高度与水平距离之间的函数关系为．（1）的值为66；（2）①若运动员落地点恰好到达点，且此时，，求基准点的高度；②若时，运动员落地点要超过点，则的取值范围为；（3）若运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，试判断他的落地点能否超过点，并说明理由．【分析】（1）根据起跳台的高度为，即可得；（2）①由，，知，根据基准点到起跳台的水平距离为，即得基准点的高度为；②运动员落地点要超过点，即是时，，故，即可解得答案；（3）运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，即是抛物线的顶点为，设抛物线解析式为，可得抛物线解析式为，当时，，从而可知他的落地点能超过点．【解答】解：（1）起跳台的高度为，，把代入得：，故答案为：66；（2）①，，，基准点到起跳台的水平距离为，，基准点的高度为；②，，运动员落地点要超过点，时，，即，解得，故答案为：；（3）他的落地点能超过点，理由如下：运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，抛物线的顶点为，设抛物线解析式为，把代入得：，解得，抛物线解析式为，当时，，，他的落地点能超过点．【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意把实际问题转化为数学问题．8.（2022安徽中考）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点，在x轴上，MN与矩形的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段，，，MN长度之和．请解决以下问题：（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点，在抛物线AED上．设点横坐标为，求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“”型或“”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形面积的最大值，及取最大值时点的横坐标的取值范围（在右侧）．【答案】（1）y＝x2＋8（2）（ⅰ）l＝m2＋2m＋24，l的最大值为26；（ⅱ）方案一：＋9≤P1横坐标≤；方案二：＋≤P1横坐标≤【解析】【分析】（1）通过分析A点坐标，利用待定系数法求函数解析式；（2）（ⅰ）结合矩形性质分析得出P2的坐标为（m，－m2＋8），然后列出函数关系式，利用二次函数的性质分析最值；（ⅱ）设P2P1＝n，分别表示出方案一和方案二的矩形面积，利用二次函数的性质分析最值，从而利用数形结合思想确定取值范围．【小问1详解】由题意可得：A（－6，2），D（6，2），又∵E（0，8）是抛物线的顶点，设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2＋8，将A（－6，2）代入，（－6）2a＋8＝2，解得：a＝，∴抛物线对应的函数表达式为y＝x2＋8；【小问2详解】（ⅰ）∵点P1的横坐标为m（0＜m≤6），且四边形P1P2P3P4为矩形，点P2，P3在抛物线AED上，∴P2的坐标为（m，m2＋8），∴P1P2＝P3P4＝MN＝m2＋8，P2P3＝2m，∴l＝3（m2＋8）＋2m＝m2＋2m＋24＝（m－2）2＋26，∵＜0，∴当m＝2时，l有最大值为26，即栅栏总长l与m之间的函数表达式为l＝m2＋2m＋24，l的最大值为26；（ⅱ）方案一：设P2P1＝n，则P2P3＝18－3n，∴矩形P1P2P3P4面积为（18－3n）n＝－3n2＋18n＝－3（n－3）2＋27，∵－3＜0，∴当n＝3时，矩形面积有最大值为27，此时P2P1＝3，P2P3＝9，令x2＋8＝3，解得：x＝，∴此时P1的横坐标的取值范围为＋9≤P1横坐标≤，方案二：设P2P1＝n，则P2P3＝9－n，∴矩形P1P2P3P4面积为（9－n）n＝－n2＋9n＝－（n－）2＋，∵－1＜0，∴当n＝时，矩形面积有最大值为，此时P2P1＝，P2P3＝，令x2＋8＝，解得：x＝，∴此时P1的横坐标的取值范围为＋≤P1横坐标≤．【点睛】本题考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式，准确识图，确定关键点的坐标，利用数形结合思想解题是关键.9．（2022临沂中考）（12分）第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺得金牌．在该项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止．本项目主要考核运动员的飞行距离和动作姿态，某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：如图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区CD所在水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡AC的坡角为30°，OA＝65m，某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，AB＝100m．在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离y（m）与水平方向移动的距离x（m）具备二次函数关系，其解析式为y＝﹣x2+bx+c．（1）求b，c的值；（2）进一步研究发现，运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离x（m）与飞行时间t（s）具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，t＝0，x＝0；空中飞行5s后着陆．①求x关于t的函数解析式；②当t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是多少？【分析】（1）根据题意，可以求得点A和点B的坐标，然后代入二次函数解析式，即可得到b、c的值；（2）①根据题意，可以得到x关于t的函数图象经过的两个点，然后根据待定系数法，即可得到x关于t的函数的解析式；②先求出直线AB的解析式，再根据题意，可以表示出h，然后根据二次函数的性质，可以求得当h为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，并求出这个最大值．【解答】解：（1）作BE⊥y轴于点E，∵OA＝65m，着陆坡AC的坡角为30°，AB＝100m，∴点A的坐标为（0，65），AE＝50m，BE＝50m，∴OE＝OA﹣AE＝65﹣50＝15（m），∴点B的坐标为（50，15），∵点A（0，65），点B（50，15）在二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象上，∴，解得，即b的值是，c的值是65；（2）①设x关于t的函数解析式是x＝kt+m，因为点（0，0），（5，50）在该函数图象上，∴，解得，即x关于t的函数解析式是x＝10t；②设直线AB的解析式为y＝px+q，∵点A（0，65），点B（50，15）在该直线上，∴，解得，即直线AB的解析式为y＝﹣x+65，则h＝（﹣x2+x+65）﹣（﹣x+65）＝﹣x2+x，∴当x＝﹣＝25时，h取得最值，此时h＝，∵25＜50，∴x＝25时，h取得最值，符合题意，将x＝25代入x＝10t，得：25＝10t，解得t＝2.5，即当t为2.5时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是m．【点评】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值．10.（2022台州中考）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）．

（1）若，；①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；②求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标；③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围；（2）若．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的最小值．【答案】（1）①；②；③（2）【解析】【分析】（1）①根据顶点式求上边缘二次函数解析式即可；②设根据对称性求出平移规则，再根据平移规则由C点求出B点坐标；③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则上边缘抛物线至少要经过F点，下边缘抛物线，计算即可；（2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点，恰好分别在两条抛物线上，设出D、F坐标计算即可．【小问1详解】（1）①如图1，由题意得是上边缘抛物线的顶点，设．又∵抛物线经过点，∴，∴．∴上边缘抛物线的函数解析式为．当时，，∴，（舍去）．∴喷出水的最大射程为．图1②∵对称轴为直线，∴点的对称点的坐标为．∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，即点是由点向左平移得到，则点的坐标为．③如图2，先看上边缘抛物线，∵，∴点纵坐标为0.5．抛物线恰好经过点时，．解得，∵，∴．当时，随着的增大而减小，∴当时，要使，则．∵当时，随的增大而增大，且时，，∴当时，要使，则．∵，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带，∴的最大值为．再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，∴的最小值为2．综上所述，的取值范围是．【小问2详解】的最小值为．由题意得是上边缘抛物线的顶点，∴设上边缘抛物线解析式为．∵上边缘抛物线过出水口（0，h）∴解得∴上边缘抛物线解析式为∵对称轴为直线，∴点的对称点的坐标为．∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，∴下边缘抛物线解析式为．当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点，恰好分别在两条抛物线上，∵DE=3∴设点，，，∵D在下边缘抛物线上，∴∵EF=1∴∴，解得，代入，得．所以的最小值为．【点睛】本题考查二次函数的实际应用中的喷水问题，构造二次函数模型并把实际问题中的数据转换成二次函数上的坐标是解题的关键．11.（2022潍坊中考）某市在盐碱地种植海水稻获得突破性进展，小亮和小莹到海水稻种植基地调研．小莹根据水稻年产量数据，分别在直角坐标系中描出表示2017-2021年①号田和②号田年产量情况的点（记2017年为第1年度，横轴表示年度，纵轴表示年产量），如下图．

小亮认为，可以从y=kx+b(k>0)，y=(m>0)，y=−0.1x2+ax+c中选择适当的函数模型，模拟①号田和②号田的年产量变化趋势．（1）小莹认为不能选．你认同吗？请说明理由；（2）请从小亮提供的函数模型中，选择适当的模型分别模拟①号田和②号田的年产量变化趋势，并求出函数表达式；（3）根据（2）中你选择的函数模型，请预测①号田和②号田总年产量在哪一年最大？最大是多少？【答案】（1）认同，理由见解析（2）①号田的函数关系式为y=0.5x+1(k>0)；②号田的函数关系式为y=−0.1x2+x+1；（3）在2024年或2025年总年产量最大，最大是7.6吨．【解析】【分析】（1）根据年产量变化情况，以及反比例函数的性质即可判断；（2）利用待定系数法求解即可；（3）设总年产量为w，依题意得w=−0.1x2+x+1+0.5x+1，利用二次函数的性质即可求解．【小问1详解】解：认同，理由如下：观察①号田的年产量变化：每年增加0.5吨，呈一次函数关系；观察②号田的年产量变化：经过点（1，1.9），（2，2.6），（3，3.1），∵1×1.9=1.9，2×2.6=5.2，1.9≠5.2，∴不是反比例函数关系，小莹认为不能选是正确的；【小问2详解】解：由（1）知①号田符合y=kx+b(k>0)，由题意得，解得：，∴①号田的函数关系式为y=0.5x+1(k>0)；检验，当x=4时，y=2+1=3，符合题意；②号田符合y=−0.1x2+ax+c，由题意得，解得：，∴②号田的函数关系式为y=−0.1x2+x+1；检验，当x=4时，y=-1.6+4+1=3.4，符合题意；【小问3详解】解：设总年产量为w，依题意得：w=−0.1x2+x+1+0.5x+1=−0.1x2+1.5x+2=−0.1(x2-15x+-)+2=−0.1(x-7.5)2+7.625，∵−0.1<0，∴当x=7.5时，函数有最大值，∴在2024年或2025年总年产量最大，最大是7.6吨．【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的应用，待定系数法求函数式，二次函数的性质，反比例函数的性质，理解题意，利用二次函数的性质是解题的关键．12.（2022南阳宛城一模）某山村经过脱贫攻坚和乡村振兴，经济收入持续增长．据统计，近五年该村农户老王年度纯收入如表所示：年度（年）20172018201920202021年度纯收入（万元）254.57.511.516.5若记2017年度为第1年，在直角坐标系中用点A（1，2.5），B（2，4.5），C（3，7.5），D（4，11.5），E（5，16.5）表示近五年农户老王纯收入的年度变化情况，如图所示．拟用下列三个函数模拟农户老王从2017年开始的年度纯收入变化趋势：，，，以便估算农户老王2022年度的纯收入．（1）能否选用函数）进行模拟，请说明理由；（2）你认为选用哪个函数模拟最合理，请说明理由；（3）农户老王准备在2022年底购买一台价值22万元的农机设备，根据（2）中你选择的函数表达式，预测农户老王2022年度的纯收入能否满足购买农机设备的资金需求．【答案】（1）不能；理由见解析（2）选用函数模拟；理由见解析（3）农户老王2022年度的纯收入满足购买农机设备的资金需求【解析】【分析】（1）由数据的变化大小或者由m＝xy计算判断；（2）通过点的变化可知不是一次函数，由（1）可知不是反比例，则可判断选用二次函数模拟最合理；（3）利用已知点坐标用待定系数法求出解析式，然后计算出2022年即第6年度的纯收入y，然后比较可得结论．【小问1详解】解：∵，，∴，∴不能选用函数进行模拟．【小问2详解】解：选用，理由如下，由（1）可知不能选用函数，由A（1，2.5），B（2，4.5），C（3，7.5），D（4，11.5），E（5，16.5）可知，x每增大1个单位，y的变化不均匀，∴不能选用函数，故只能选用函数模拟．【小问3详解】解：把A（1，2.5），B（2，4.5）代入得：解得：∴．经检验，点C（3，7.5），D（4，11.5），E（5，16.5）也满足当时，，∵，∴农户老王2022年度的纯收入满足购买农机设备的资金需求．【点睛】本题考查了二次函数的图象特征，反比例函数的图象特征、待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的函数值问题．本题解题的关键是熟练判断出图象符合的函数种类，要求学生牢记各类函数图象的特征并能与实际题目结合应用．13.（2022河南兰考一模）中国农业农村部为养护黄河水生生物资源、保护生物多样性、促进黄河渔业可持续发展、推动黄河流域生态保护和高质量发展，根据《中华人民共和国渔业法》有关规定和《黄河流域生态保护和高质量发展规划纲要》有关要求，决定自2022年起调整黄河禁渔期制度．部分河段从2022年4月1日起至2025年12月31日实行全年禁渔．黄河干流河南段的禁渔期为每年4月1日至7月31日．为配合黄河高质量发展，郑州“黄河鲤鱼”鱼苗场经常向黄河投放优质“黄河鲤鱼”鱼苗．郑州“黄河鲤鱼”鱼苗场，需要定期购买饲料，已知该鱼苗场每天需要200千克饲料，饲料的价格为1.8元/千克，饲料的保管费与其它费用平均每天为0.05元/千克，购买饲料每次的运费为180元．任务1：该鱼苗场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少；小牛同学的分析如下：如果2天购买一次，则保管费与其它费用需支付（元）；如果3天购买一次，则保管费与其它费用需支付（元）；如果4天购买一次，则保管费与其它费用需支付（元），小牛同学发现已有数学模型不能解决这个问题，想到了用函数图象的方法解决，设x天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y元，下面是小牛同学解决这个问题的过程，请解答相关问题．（1）计算得到x与y的部分对应值如表，请补全表格：x/天…2345678910…y/元…455.0430.0420.0____________415.7417.5420.0423.0…（2）在平面直角坐标系中，描出（1）中所对应的点（3）结合图象：鱼苗场______天购买一次饲料才能使平均每天支付总费用最少．任务2：饲料生产公司规定：当一次购买饲料不少于2000千克时，价格可享受九折优惠，在该鱼苗场购买饲料时是否需要考虑这一优惠条件，简要说明理由．【答案】任务一：（1）416，415；（2）见解析；（3）6；任务二：该鱼苗场购买饲料时需要考虑这一优惠条件，理由见解析．【解析】【分析】任务一：（1）设每天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为元，饲料的保管费与其它费用每天比前一天少（元．结合题意可列出关于y与x的函数关系式，再将，=6代入所求的函数关系式，求出y的值即可填表；（2）根据表格数据描点即可；（3）结合图象即可知鱼苗场6天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少；任务二：求出10天购买一次饲料享受优惠的费用和原来的作比较即可．【详解】解：任务一：（1）设每天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为元，饲料的保管费与其它费用每天比前一天少（元．天饲料的保管费用共：，，当时，，当=6时，，补全表格；天2345678910元455.0430.0420.0416415415.7417.5420.0423.0（2）在平面直角坐标系中，描出（1）中所对应点；（3）结合图象：鱼苗场6天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少；故答案为：6．任务二：若考虑此优惠条件，则10天购买一次饲料，当时，，享受优惠后（元，由（3）可知，不享受优惠时，最小为415，，∴该鱼苗场购买饲料时需要考虑这一优惠条件．【点睛】本题考查二次函数的实际应用．理解题意，学会用函数的思想解决问题是解题关键．14.（2022开封二模）如图①是气势如弘、古典凝重的开封北门，也叫安远门，有安定远方之寓意．其主门洞的截面如图②，上部分可看作是抛物线形，下部分可看作是矩形，边AB为16米，BC为6米，最高处点E到地面AB的距离为8米．（1）请在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式．（2）该主门洞内设双向行驶车道，正中间有0.6米宽的双黄线．车辆必须在双黄线两侧行驶，不能压双黄线，并保持车辆最高点与门洞有不少于0.6米的空隙（安全距离）．试判断一辆大型货运汽车装载某大型设备后，宽3.7米，高6.6米，能否安全通过该主门洞？并说明理由．【答案】（1）；（2）该车能安全通过．【解析】【分析】（1）以CD为x轴，垂直于CD中点的线为y轴，构建直角坐标系，然后根据对称轴是y轴设解析式，再将C点坐标代入即可求出解析式；（2）先根据条件算出0.6÷2＋3.7＝4，再将x=4代入解析式，即可求出y值，再减去0.6的安全距离，就可以算出实际高度，再与车高进行对比就可以判断是否安全通过；【小问1详解】建立如图所示的平面直角坐标系由题意知，设抛物线解析式为∵矩形ABCD的边BC＝6m，AB＝16m∴把代入得：∴抛物线解析式为：【小问2详解】该车能安全通过．理由如下：∵0.6÷2＋3.7＝4，∴当x＝4时，∵7.5－0.6＝6.9，16÷2＝8，又∵，，∴该车能安全通过．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的解析式求法，并能根据二次函数的图象与性质解决实际问题是解答本题的关键．15.（2022河南方城一模）2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为轴，过跳台终点作水平线的垂线为轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点正上方米处的点滑出，滑出后沿一段抛物线运动．

（1）当运动员运动到离处的水平距离为米时，离水平线的高度为米，求抛物线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）在（1）的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为米？（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过米时，求的取值范围．【答案】（1）；（2）12米；（3）．【解析】【分析】（1）根据题意可知：点A（0，4）点B（4，8），利用待定系数法代入抛物线即可求解；（2）高度差为1米可得可得方程，由此即可求解；（3）由抛物线可知坡顶坐标为，此时即当时，运动员运动到坡顶正上方，若与坡顶距离超过米，即，由此即可求出b的取值范围．【详解】解：（1）根据题意可知：点A（0，4），点B（4，8）代入抛物线得，，解得：，∴抛物线的函数解析式；（2）∵运动员与小山坡的竖直距离为米，∴，解得：（不合题意，舍去），，故当运动员运动水平线的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为米；（3）∵点A（0，4），∴抛物线，∵抛物线，∴坡顶坐标为，∵当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过米时，∴，解得：．【点睛】本题属二次函数应用中的难题.解决函数应用问题的一般步骤为：（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系；(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型；（3）求模：求解数学模型，得到数学结论；(4)还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题．16.（2022北京171中二模）某运动馆使用发球机进行辅助训练，假设发球机每次发球的运动路线是抛物线，且形状固定不变的，在球运行时，球与发球机的水平距离为（米），与地面的高度为（米），经多次测试后，得到如下数据：（米）00.40.8123.24（米）11.081.121.12510.520（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；（2）球经发球机发出后，最高点离地面__________米，并求出与的函数解析式；（3）当球拍触球时，球离地面的高度为米.①求此时发球机与球的水平距离；②现将发球机向上平移了米，为确保球拍在原高度还能接到球，球拍的接球位置应后退多少米？【答案】（1）图见详解（2）1.125；（3）①；②后退1米【解析】【分析】（1）根据表格，构造合理的坐标轴，选出几个点，再用平滑的曲线连接起来即可．（2）通过图象可判定这是一个二次函数图象，观察表格，根据二次函数的对称性可将该函数设为顶点式，再代入一个点坐标．（3）用（2）的函数，代入数值就可以解决第一小问；第2小问根据题意，将二次函数加上求出对应的y值即可．【小问1详解】【小问2详解】由顶点坐标可知：当x=1时，y最大值=1.125将（0，1）代入解析式得：，∴，∴该函数解析式为．【小问3详解】①，∴，∴，∴．∴或（舍）．②∴，∴，∴或．∴或（舍）∴后退1米【点睛】本题考查二次函数的实际应用，学会用描点法画出图象，根据题意表示二次函数的关系．熟练掌握二次函数图象的性质与意义，掌握二次函数的实际应用是解决本题的关键．17.（2022北京顺义二模）如图是某抛物线形拱桥的截面图．某数学小组对这座拱桥很感兴趣，他们利用测量工具测出水面AB的宽为8米．设AB上的点E到点A的距离米，点E到拱桥顶面的垂直距离米．通过取点、测量，数学小组的同学得