专题7弦图与垂直模型-【压轴必刷】中考数学压轴大题之经典模型培优案（学生版）

中考数学压轴大题之经典模型培优案专题7弦图与垂直模型解题策略解题策略模型1：垂直模型如图：∠D＝∠BCA＝∠E＝90°，BC＝AC.，结论：Rt△BCD≌Rt△CAE.模型分析说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位，很多利用垂直求角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图支离出来的一部分几何图形去求解.图①和图②就是我们经常会见到的两种弦图.三垂直图形变形如图③、图④，这也是由弦图演变而来的.模型2：弦图模型经典例题经典例题【例1】．（2021·全国·八年级专题练习）如图1，正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点P是线段AO上（不与点A，O重合）的一个动点，过点P作PE⊥PB且PE交边CD于点E．（1）求证：PE＝PB；（2）如图2，若正方形ABCD的边长为2，过点E作EF⊥AC于点F，在点P运动的过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值；若变化，请说明理由；（3）用等式表示线段PC，PA，CE之间的数量关系．【例2】（2021·黑龙江·哈尔滨市第四十九中学校九年级阶段练习）正方形ABCD中，点E、F在BC、CD上，且BE＝CF，AE与BF交于点G．（1）如图1，求证AE⊥BF；（2）如图2，在GF上截取GM＝GB，∠MAD的平分线交CD于点H，交BF于点N，连接CN，求证：AN+CN＝2BN；【例3】（2021·云南曲靖·八年级期末）如图1，在正方形ABCD中，E为BC上一点，连接AE，过点B作BG⊥AE于点H，交CD于点G．（1）求证：AE=BG；（2）如图2，连接AG、GE，点M、N、P、Q分别是AB、AG、GE、EB的中点，试判断四边形MNPQ的形状，并说明理由；（3）如图3，点F、R分别在正方形ABCD的边AB、CD上，把正方形沿直线FR翻折，使得BC的对应边B'C'恰好经过点A，过点A作AO⊥FR于点O，若AB'=1，正方形的边长为3，求线段OF的长．【例4】（2021·河南商丘·八年级期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为4,0，点B为y轴正半轴上的一个动点，以B为直角顶点，AB为直角边在第一象限作等腰Rt△ABC．(1)如图1，若OB=3，则点C的坐标为______；(2)如图2，若OB=4，点D为OA延长线上一点，以D为直角顶点，BD为直角边在第一象限作等腰Rt△BDE，连接AE，求证：AE⊥AB；(3)如图3，以B为直角顶点，OB为直角边在第三象限作等腰Rt△OBF．连接CF，交y轴于点P，求线段BP的长度．【例5】．（2021·黑龙江·哈尔滨市风华中学校九年级阶段练习）如图1，正方形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE，垂足为点F，BF与CD相交于点G．（1）求证：△BCG≌△DCE；（2）如图2，连接BD，若BE＝42，DG＝22，求tan∠DBG的值．培优训练培优训练一、解答题1．（2022·江苏·八年级课时练习）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)由图1，证明：DE=AD+BE；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，请猜想出DE，AD，BE的等量关系并说明理由；(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE，AD，BE又具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不必说明理由）．2．（2022·全国·八年级专题练习）如图所示，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D为AB上一点，过点B作直线CD的垂线，垂足为E，连接AE，过点A作AE的垂线交CE于点F．（1）如图1，求∠AEC的度数；（2）如图2，连接BF，且∠ABF−∠EAB=15°，求证：BF=2CF；（3）如图3，在（2）的条件下，G为DF上一点，连接AG，若∠AGD=∠EBF，AG=2，求CF的长．3．（2020·北京市第十三中学九年级期中）已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D是BC边上一点（不与点B，C重合），连接AD，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，连接CE．①若∠BAD＝α，求∠DBE的大小（用含α的式子表示）；②用等式表示线段EA，EB和EC之间的数量关系，并证明．（2）如图2，点D在线段BC的延长线上时，连接AD，过点B作BE⊥AD，垂足E在线段AD上，连接CE．①依题意补全图2；②直接写出线段EA，EB和EC之间的数量关系．4．（2021·四川省成都市七中育才学校七年级期中）已知：△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，D为直线BC上一动点，连接AD，在直线AC右侧作AE⊥AD，且AE=AD．（1）如图1，当点D在线段BC上时，过点E作EH⊥AC于H，连接DE．求证：EH=AC；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，连接BE交CA的延长线于点M．求证：BM=EM；（3）当点D在直线CB上时，连接BE交直线AC于M，若2AC=5CM，请求出S△ADB5．（2022·江苏·八年级课时练习）在△ABC中，AB=BC，∠B=90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．（1）如果点D在线段BC上运动，如图1：求证：∠BAD=∠EDC（2）如果点D在线段BC上运动，请写出AC与CE的位置关系．通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△ABD，可推证△CEF等腰直角三角形，从而得出AC与CE的位置关系，请你写出证明过程．（3）如果点D在线段CB的延长线上运动，利用图3画图分析，（2）中的结论是否仍然成若成立，请证明；若不成立，请说明理由．6．（2021·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学八年级开学考试）如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F．（1）如图1，过A的直线与斜边BC不相交时，直接写出线段EF、BE、CF的数量关系是______；（2）如图2，过A的直线与斜边BC相交时，探究线段EF、BE、CF的数量关系并加以证明；（3）在（2）的条件下，如图3，直线FA交BC于点H，延长BE交AC于点G，连接BF、FG、HG，若∠AHB=∠GHC，EF=CF=6，EH=2FH，四边形ABFG的面积是90，求△GHC的面积．7．（2021·江苏泰州·八年级期末）如图，正方形ABCD边长为4，点G在边AD上（不与点A、D重合），BG的垂直平分线分别交AB、CD于E、F两点，连接EG．（1）当AG=1时，求EG的长；（2）当AG的值等于时，BE=8－2DF；（3）过G点作GM⊥EG交CD于M

①求证：GB平分∠AGM；

②设AG=x，CM=y，试说明16xy8．（2021·全国·八年级专题练习）已知，如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，点D为直线BC上一动点(点D不与点B，C重合)．以AD为边作正方形ADEF，连接CF，当点D在线段BC的反向延长线上，且点A，F分别在直线BC的两侧时．(1)求证：△ABD≌△ACF；(2)若正方形ADEF的边长为22，对角线AE，DF相交于点O，连接OC，求OC9．（2021·安徽安庆·八年级期末）如图1，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°（即∠EBE'＝90°），得到△CBE′（点A的对应点为点C）延长AE交CE于点F，连接DE．（1）试判断四边形BE′FE的形状，并说明理由．（2）如图2，若DA＝DE，请猜想线段CF于FE'的数量关系并加以证明．（3）如图1，若AB＝17，CF＝3，请直接写出DE的长．10．（2021·湖北鄂州·八年级期末）如图，四边形ABCD是正方形，点P是线段AB的延长线上一点，点M是线段AB上一点，连接DM，以点M为直角顶点作MN⊥DM交∠CBP的角平分线于N，过点C作CE//MN交AD于E，连接EM，CN，（1）求证：DM=MN．（2）求证：EM//（3）若AE=1，BN=32，求DN11．（2022·广东·塘厦初中八年级期中）四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）如图，求证：矩形DEFG是正方形；（2）若AB＝4，CE＝22，求CG的长度；（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC的度数．12．（2021·山西·八年级期末）综合与实践：如图1，在正方形ABCD中，连接对角线AC，点O是AC的中点，点E是线段OA上任意一点（不与点A，O重合），连接DE，BE．过点E作EF⊥DE交直线BC于点F．（1）试猜想线段DE与EF的数量关系，并说明理由；（2）试猜想线段CE,CD,CF之间的数量关系，并说明理由；（3）如图2，当E在线段CO上时（不与点C，O重合），EF交BC延长线于点F，保持其余条件不变，直接写出线段CE,CD,CF之间的数量关系．13．（2021·全国·八年级专题练习）如图1，已知正方形ABCD和正方形CEGF，点F,C,B在同一直线上，连接BE，DF，DF与EG相交于点M．（1）求证：BE=FD．（2）如图2，N是BC边上的一点，连接AN交BE于点H，且BNBC①求证：BN=EC；②若CE=2DE，直接写出BNAB14．（2021·全国·八年级专题练习）探究证明：（1）如图1，正方形ABCD中，点M、N分别在边BC、CD上，AM⊥BN．求证：BN=AM；（2）如图2，矩形ABCD中，点M在BC上，EF⊥AM，EF分别交AB、CD于点E、F．求证：EFAM（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M、N分别在边BC、AB上，求DNAM15．（2021·全国·八年级专题练习）如图①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE，BG．（1）试猜想线段BG和AE的关系（直接写出答案，不用证明）；（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转α（0°＜α≤60°），判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图②证明你的结论；（3）若BC＝DE＝4，当α等于多少度时，AE最大？并求出此时AF的值．16．（2021·全国·八年级专题练习）四边形ABCD是边长为2的正方形，点M在边AD所在的直线上，连接CM，以M为直角顶点在CM右侧作等腰Rt△CMN，连接BN.（1）如图1，当点M在点A左侧，且A、B、N三点共线时，BN=______；（2）如图2，当点M在点A右侧，且AM=52时，求（3）若点M在边AD所在直线上，且BN=26，求AM17．（2021·安徽黄山·八年级期中）在正方形ABCD中，点G是边DC上的一点，点F是直线BC上一动点，FE⊥AG于H，交直线AD于点E．（1）当点F运动到与点B重合时(如图1)，线段EF与AG的数量关系是________．（2）若点F运动到如图2所示的位置时，（1）探究的结论还成立吗？如果成立，请给出证明：如果不成立，请说明理由．（3）如图3，将边长为6的正方形ABCD折叠，使得点A落在边CD的中点M处，折痕为PQ，点P、Q分别在边AD、BC上，请直接写出折痕PQ的长．18．（2021·全国·八年级专题练习）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF与DE相交于点M，且∠BAF＝∠ADE．（1）如图1，求证：AF⊥DE；（2）如图2，AC与BD相交于点O，AC交DE于点G，BD交AF于点H，连接GH，试探究直线GH与AB的位置关系，并说明理由；（3）在（1）（2）的基础上，若AF平分∠BAC，且△BDE的面积为4+22，求正方形ABCD的面积．19．（2021·全国·八年级专题练习）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OD、OC上，且DE=CF，连接AE、DF