03代数式(中等类型)(原卷版+解析)

03代数式【专题过关】类型一、不含某项、与某项无关【解惑】若关于与的式子与取值无关，则m的值是（

）A．3 B． C．2 D．【融会贯通】1．（2023秋·云南昭通·七年级统考期末）若多项式与的差中不含项，则k的值为（

）A．-6 B．-3 C．3 D．62．（2023秋·重庆南岸·七年级校考期末）若关于的多项式的值与字母的取值无关，则．3．（2022秋·江苏盐城·七年级校联考期中）关于x，y的多项式中不含项，则常数m的值是．4.（2022秋·湖南永州·七年级统考期中）已知：，(1)若，求的值；(2)若代数式的的值与无关，求此时的值．5．（2022秋·河南周口·七年级统考期中）已知，，且的值不含的一次项，求的值．类型二、整体代入求值【解惑】已知，则的值为（

）A．0 B． C．1 D．2【融会贯通】1．（2022秋·福建福州·七年级校考期中）已知多项式的值为6，则多项式的值等于．2．（2021春·广东深圳·七年级深圳中学校考开学考试）若多项式的值为10，则多项式的值为．3．（2022秋·湖北武汉·七年级校考期中）已知，则代数式的值是．4．（2023秋·全国·七年级专题练习）若，则．5．（2023秋·湖南岳阳·七年级统考期末）已知，则的值为．类型三、数字规律【解惑】观察下列各式：，，，，，，，……根据上述算式中的规律，猜想的末位数字是（）A．3 B．9 C．7 D．1【融会贯通】1．（2023秋·广东惠州·七年级校考阶段练习）观察图中菱形四个顶点所标的数字规律，可知数2019应标在（

）A．第504个菱形的左边 B．第505个菱形的左边C．第504个菱形的上边 D．第505个菱形的下边2．（2020秋·浙江宁波·七年级校考期中）观察算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256…，根据上述算式的规律，那么22018的个位数字是．3．（2017秋·甘肃张掖·七年级校联考期末）下面每个图形中的数字都是按照相同规律填写的，根据此规律确定a的值为.4．（2019春·七年级课时练习）如图所示，数轴被折成，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3．先让圆周上数字2所对应的点与数轴上的数3所对应的点重合，数轴固定，圆紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动，那么数轴上的数2009将与圆周上的数字重合．5．（2020·安徽·九年级专题练习）杨辉是我国南宋时期杰出的数学家和教育家，如图是杨辉在公元1261年的著作《详解九章算法》里面的一张图，即“杨辉三角”，该图中有很多规律，请仔细观察，解答下列问题：（1）图中给出了七行数字，根据构成规律，第行中从左边数第个数是；（2）第行中从左边数第个数为；第行中所有数字之和为.类型四、算筹规律【解惑】算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如图：数字形式123456789纵式|||||||||||||||横式表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，示例如图：，则表示的数是（）A．5123 B．9167 C．9176 D．9163【融会贯通】1．（2022·湖南长沙·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考二模）中国古代十进位制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造．据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年．1至9这9个数字的纵式和横式的表示数码如下图所示，算筹记数的方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式…，以此类推，就可以用算筹表示出任意大的自然数了．根据上述材料，的运算结果可用算筹表示为（

）A． B． C． D．2．（2020·浙江绍兴·统考二模）中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算的，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种，如图：当表示一个多位数时，像阿拉伯数字一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位数用横式表示，以此类推．例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹可表示为（

）A． B．C． D．3．（2023秋·山东滨州·七年级统考期末）算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的跌献．在算筹计数法中，以“纵式和”“横式”两种方式来表示数字如图：表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．如“”表示的数是6728，“”表示的数是6708．若已知一个用这种方式者示的四位数中含有“”、“”和两个空位，则这个四位数是．4．（2020秋·山西晋城·七年级统考期中）成语“运筹帷幄”中“筹”的原意是指《孙子算经》中记载的算筹．算筹是中国古代进行计算的工具，它是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算的，算筹的摆放有纵、横两种形式(如图)，当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的算筹需要纵、横相间：个位，百位，万位数用纵式表示；十位，千位，十万位数用横式表示；“0”用空位来代替，以此类推．如：算筹“”表示的数是3306，则算筹“”表示的数为．5．（2022秋·浙江金华·七年级校考期中）我国在数的发展上有辉煌的历史，其中算筹计数法可追溯到公元前五世纪．算筹是竹制的小棍，摆法有横式和纵式两种（如图）．它计数的方法是：摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横……这样纵横依次交替，零以空格表示．如3123，表示为．（1）请用算筹表示数721（在答题卷的图1中画出）；（2）用三根算筹表示一个两位数（用完三根算筹，且十位不能为零），在答题卷图2的双方框中把所有可能的情况都画出来，并在下方的横线上填上所表示的数（注：图中的双方框仅供选用，不一定用完）．类型五、图形规律【解惑】利用如图①的二维码可以进行身份识别．某校建立了一个身份识别系统，图②是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行小正方形表示的数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为，如图②第一行小正方形表示的数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班学生．表示3班学生的识别图案是（

）A． B． C． D．【融会贯通】1．（2023春·河北唐山·八年级统考期末）如图是一组密码的一部分，为了保密，不同的情况下可以采用不同的密码．若输入数字密码，，对应中转口令是“数学”，最后输出口令为“文化”；按此方法，若输入数字密码，，则最后输出口令为（

）A．垂直 B．平行 C．素养 D．相交2．（2023·重庆·九年级专题练习）某班举行拼汉字比赛，小梅用●排列成数字“上”，图①共用10个●，图②共用13个●，图③共用16个●，……按此规律排列下去，则第⑥个图共用●的个数是（）A．22 B．25 C．28 D．323．（2022秋·河南郑州·七年级郑州一中经开区实验学校校考阶段练习）有一个正六面体骰子放在桌面上，将骰子按如图所示顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2021次后，骰子朝下一面的数字是（

）A．5 B．4 C．3 D．24．（2023秋·山东济南·七年级校考期末）如图，给正五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5，若从某一个顶点开始，沿正五边形的边顺时针方向行起，顶点编号的数字是几，就走几个边长，则称这利走法为一次“移位”，如：小明在编号为2的顶点比时，那么他应走2个边长，即从为第一次“移位“，这时他到达编号为4的顶点，接下来他应走4个边长后从4→5→1→2→3为第二次移位”若小明从编号1的顶点开始，第2022次“移位”后，则他所处顶点的编号为．

5．（2022秋·江苏淮安·七年级统考期中）八一中学利用二维码进行学生学号统一编排．黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将每一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么利用公式计算出每一行的数据．第一行表示年级，第二行表示班级，如图1所示，第一行数字从左往右依次是1，0，0，1，则表示的数据为，计作09，第二行数字从左往右依次是1，0，1，0，则表示的数据为，计作10，以此类推，图1代表的统一学号为091034，表示9年级10班34号．小明所对应的二维码如图2所示，则他的编号是．类型六、算法程序【解惑】如图所示的运算程序中，如果开始输入的x值为，我们发现第1次输出的结果为，第2次输出的结果为，……，第2023次输出的结果为（

）

A． B． C． D．【融会贯通】1．（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考一模）根据如图所示的程序计算y的值，若输入x的值为3时，输出y的值为4，则输入x的值为6时，输出y的值为（

）

A．14 B．11 C．10 D．82．（2023秋·广西桂林·八年级统考期末）《九章算术》是中国古代数学专著，它的出现标志着中国古代数学体系的形成．程序框图的算法思路源于《九章算术》，它在计算机编程中应用广泛．如图所示为一个循环编程部分的程序框图，当输入的值是时，根据程序循环计算，第次计算输出的结果是，第次计算输出的结果是，，那么第次计算输出的结果是．3．（2022秋·江苏淮安·七年级洪泽外国语中学校考期中）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，……第2017次输出的结果为．

4．（2022秋·陕西咸阳·七年级统考期中）如图是一个运算程序的示意图，若开始输入的值为125，第1次输出的结果为25，再将25继续输入，……，则第2022次输出的结果为．

5．（2022秋·陕西榆林·七年级校考期中）如图所示是王老师设计的一个运算程序．(1)这个运算程序所表示的式子为______（用含、的代数式表示）；(2)当，时，求这个程序输出的结果．类型七、代数规律【解惑】一列单项式按以下规律排列：，，，，，，，，则第个单项式是（

）A． B． C． D．【融会贯通】1．（2023春·云南楚雄·七年级统考期末）按一定规律排列的单项式：，第（为正整数）个单项式是（

）A． B． C． D．2．（2022秋·广东汕头·七年级汕头市龙湖实验中学校考期中）按一定规律排列的单项式：，，，，，……，第n个单项式是（）A． B． C． D．3．（2023秋·全国·七年级专题练习）观察这一系列单项式的特点：，，，，…那么第8个单项式为（）A． B． C． D．4．（2023·云南楚雄·统考二模）按一定规律排列的单项式：，，，，…，第n个单项式是（

）A． B． C． D．5．（2023春·云南昭通·八年级校联考期中）观察下列式子：，，，，…请你找出其中规律，并将第个式子写出来：．类型八、浓度问题【解惑】把浓度为的酒精150升加水升稀释为的酒精，下列所列方程中，不正确的是（

）A． B．C． D．【融会贯通】1．（2018秋·七年级单元测试）两瓶酒精，甲瓶有升，浓度未知；乙瓶有升，浓度，从甲瓶中倒入乙瓶升酒精，摇匀后倒回一部分给甲瓶，此时甲瓶浓度为，乙瓶浓度为，此时乙瓶中有酒精（）升．A．5 B．6.3 C．5.25 D．5.62．（2022秋·上海·七年级校联考期末）在装有150克盐的容器中加入一些水后可以得到浓度为30%的盐水，那么所加入的水有克．3．（2019秋·上海·七年级上外附中校考期末）有的盐水克，若要使盐水浓度变为，则需要再加入盐克．4.（2019春·浙江杭州·九年级期末）今有浓度分别为3%、8%、11%的甲、乙、丙三种盐水50千克、70千克、60千克，现要用甲、乙、丙这三种盐水配制浓度为7%的盐水100千克，则丙种盐水最多可用千克．类型九、绝对值数轴化简【解惑】已知a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则代数式化简后的结果为．【融会贯通】1．（2023秋·广西河池·七年级统考期末）有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简.2．（2023秋·河南濮阳·七年级统考期末）人教版《七年级上册》教材，第11页，我们本学期学习了绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．【定义应用】计算：________；________；________．【学习总结】当时，________；当________时，．【学以致用】在数轴上的位置如图所示，化简下列各式：①________；②________；③计算：．

3．（2023秋·江西吉安·七年级统考期末）已知有理数，，在数轴上对应点的位置如图；

(1)______0，______，______．（填“”或“”）(2)化简：4．（2022秋·陕西西安·七年级统考期末）如图，数轴上有a，b，c三点，化简：．5．（2022秋·贵州黔南·七年级统考期中）如图，数轴上的三点A，B，C分别表示有理数a，b，c．(1)___________0，___________0，___________0．（用“>”，“<”或“=”填空）(2)化简：．类型十、初识完全平方、平方差【解惑】图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均裁成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形．(1)图2中的阴影部分正方形的边长是（用含a，b的代数式表示）；(2)观察图1，图2，能验证的等式是：（请选择正确的一个）；A．B．C．(3)如图3，C是线段上的一点，以为边向上分别作正方形和正方形，连结．若，求的面积．【融会贯通】1．（2022秋·河南新乡·七年级统考期中）探索发现：①当、取不同数值时，计算代数式与代数式的值，请同学们将正确结果填入下表：、的取值当，时当，时当，时②根据上表计算，对于任意给、各取一个数值计算，与代数式的值时，蕴含着一个规律，写出你的发现：．③用你发现的规律计算：2．（2023春·安徽亳州·七年级统考期末）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们进行推理，获得结论．初中数学里的一些代数恒等式，很多都可以借助几何图形进行直观推导和解释．请结合相关知识，解答下列问题：

(1)如图1是由4个大小相同，长为a、宽为b的长方形围成的边长为的正方形，用含字母a，b的代数式表示出阴影部分的面积．①通过计算阴影部分正方形的边长，求阴影部分的面积，可列代数式：________；②通过用较大正方形的面积减去4个小长方形的面积，求阴影部分的面积，可列代数式：________________；(2)根据图1中的阴影部分的面积关系写出一个代数恒等式：________________；(3)若，，求图2中阴影部分的面积．3．（2021春·山东青岛·七年级校考期中）问题再现：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：利用图形的几何意义推证完全平方公式．将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1，这个图形的面积可以表示成：或，∴，这就验证了两数和的完全平方公式．问题提出：如何利用图形几何意义的方法推证：，如图2，A表示1个1×1的正方形，即：，B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：，而A、B、C、D恰好可以拼成一个的大正方形，由此可得：．(1)尝试解决：请你类比上述推导过程，利用图形几何意义方法推证：___________（要求自己构造图形并写出推证过程）．(2)类比归纳：请用上面的表示几何图形面积的方法探究：___________（要求直接写出结论，不必写出解题过程）．(3)实际应用：图3是由棱长为1的小正方体搭成的大正方体，图中大小正方体一共有多少个？为了正确数出大小正方体的总个数，我们可以分类统计，即分别数出棱长是1，2，3和4的正方体的个数，再求总和．例如：棱长是1的正方体有：个，棱长是2的正方体有：个，棱长是3的正方体有：个，棱长是4的正方体有：个，然后利用（3）类比归纳的结论，可得：___________=___________．(4)图4是由棱长为1的小正方体成的大正方体，图中大小正方体一共有___________个．(5)逆向应用：如果由棱长为1的小正方体搭成的大正方体中，通过上面的方式数出的大小正方体一共有3025个，那么棱长为1的小正方体一共有___________个．4．（2022秋·全国·七年级专题练习）数形结合是一种重要的数学思想方法，以形助数更直观．下面是用边长为或的正方形硬纸片和长为、宽为的长方形硬纸片若干块，不同组合摆成的图形，请你利用数形结合的思想解答下列问题：(1)如图1，请用两个不同的代数式（含字母、）表示图中阴影部分的面积．代数式1：___________．代数式2：______________．(2)利用面积关系写出图1中蕴含的一个代数恒等式：____________．(3)若，，求图2中阴影部分的面积．5．（2020秋·江苏盐城·七年级校考期中）我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非”．【I】如图，请你用“数形结合”的思想．（1）求的值为；（2）请你利用（1）的结论，求下列各式的值：①=；②计算：【II】将若干个同样大小的小长方形纸片拼成如图形状的大长方形（小长方形纸片宽为a，长为b），请你仔细观察图形，解答下列问题：（1）a和b之间的关系满足．（2）图中阴影部分的面积与大长方形面积的比值是．（3）请你仔细观察图中的一个阴影部分，根据面积的不同表示方法，请你写出（b-a）2与（b+a）2，ab三个代数式之间的等量关系；应用：根据探索中的等量关系，解决如下问题：x+y＝9，xy＝，求x﹣y的值．

03代数式【专题过关】类型一、不含某项、与某项无关【解惑】若关于与的式子与取值无关，则m的值是（

）A．3 B． C．2 D．【答案】B【分析】先将式子化简，再根据与x的取值无关，得出含x的项系数为0，即可解答．【详解】解：，∵原式与x取值无关，∴，解得：．故选：B．【点睛】本题主要考查了整式的化简，解题的关键是熟练掌握去括号法则，合并同类项法则，以及与某字母取值无关则含该字母的项系数为0．【融会贯通】1．（2023秋·云南昭通·七年级统考期末）若多项式与的差中不含项，则k的值为（

）A．-6 B．-3 C．3 D．6【答案】A【分析】根据题意列出关系式，合并后根据不含项，即可确定出k的值．【详解】解：则由题意可知，解得．故选：A．【点睛】本题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．2．（2023秋·重庆南岸·七年级校考期末）若关于的多项式的值与字母的取值无关，则．【答案】【分析】先去括号，再合并同类项，然后根据“与字母的取值无关”列方程，进行计算即可解答．【详解】∵关于的多项式的值与字母的取值无关，∴，，解得，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了整式的加减，准确熟练地进行计算是解题的关键．3．（2022秋·江苏盐城·七年级校联考期中）关于x，y的多项式中不含项，则常数m的值是．【答案】2【分析】先合并，然后根据多项式不含项，即含项的系数为0进行求解即可．【详解】，∵关于x，y的多项式中不含项，∴解得．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，熟知不含某项即含某项的系数为0是解题的关键．4.（2022秋·湖南永州·七年级统考期中）已知：，(1)若，求的值；(2)若代数式的的值与无关，求此时的值．【答案】(1)52(2)【分析】（1）若，则，，求出、的值各是多少，即可求出的值是多少；（2）化简代数式，令a的系数为0，即可；【详解】（1）由题可得，，所以，把，代入得：原式（2）由题可得得【点睛】此题主要考查了整式的加减化简求值问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算．5．（2022秋·河南周口·七年级统考期中）已知，，且的值不含的一次项，求的值．【答案】【分析】先求出的值，然后根据的值不含的一次项，得出，求出a的值即可．【详解】解：∵，，∴，∵的值不含的一次项，∴，解得：．【点睛】本题主要考查了整式加减运算中的无关项问题，解题的关键是熟练掌握整式加减运算法则，准确计算．类型二、整体代入求值【解惑】已知，则的值为（

）A．0 B． C．1 D．2【答案】D【分析】根据题意可得，即可求解．【详解】解：∵，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查的是代数式求值，找到已知式子和所求式子之间的关系是解题关键．【融会贯通】1．（2022秋·福建福州·七年级校考期中）已知多项式的值为6，则多项式的值等于．【答案】17【分析】把整体代入求解即可．【详解】解：∵多项式的值为6，即，∴．故答案为：．【点睛】本题考查代数式求值．利用整体思想代入求值，是解题的关键．2．（2021春·广东深圳·七年级深圳中学校考开学考试）若多项式的值为10，则多项式的值为．【答案】8【分析】由多项式的值为10，可得，再把化为，再整体代入进行计算即可．【详解】解：∵，∴，∴；故答案为：8【点睛】本题考查的是求解代数式的值，熟练的利用整体法求解代数式的值是解本题的关键．3．（2022秋·湖北武汉·七年级校考期中）已知，则代数式的值是．【答案】【分析】根据得到，代入计算即可．【详解】∵，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了求代数式的值，运用整体思想计算是解题的关键．4．（2023秋·全国·七年级专题练习）若，则．【答案】2004【分析】原式前两项提取变形后，将已知等式代入计算即可求出值．【详解】解：∵，∴，∴．故答案为：2004．【点睛】本题考查已知代数式的值把它代入求另一个代数式的值，解决此题的关键是合理的变形．5．（2023秋·湖南岳阳·七年级统考期末）已知，则的值为．【答案】【分析】将代入到中，即可解答．【详解】解：∵∴，故答案为：5．【点睛】本题考查了求代数式的值，解题的关键是整体代入．类型三、数字规律【解惑】观察下列各式：，，，，，，，……根据上述算式中的规律，猜想的末位数字是（）A．3 B．9 C．7 D．1【答案】C【分析】根据已知的等式找到末位数字的规律，再求出的末位数字即可.【详解】∵，末位数字为3，，末位数字为9，，末位数字为7，，末位数字为1，，末位数字为3，，末位数字为9，，末位数字为7，，末位数字为1，故每4次一循环，∵2019÷4=504…3∴的末位数字为7故选C【点睛】此题主要考查规律探索，解题的关键是根据已知条件找到规律进行求解.【融会贯通】1．（2023秋·广东惠州·七年级校考阶段练习）观察图中菱形四个顶点所标的数字规律，可知数2019应标在（

）A．第504个菱形的左边 B．第505个菱形的左边C．第504个菱形的上边 D．第505个菱形的下边【答案】A【分析】根据题意每4次一循环，即可找到规律得到数2019的位置.【详解】∵2019÷4=504…3，故2019的位置是第504个菱形的左边故选A.【点睛】此题主要考查图形的规律探索，解题的关键是根据题意找到规律.2．（2020秋·浙江宁波·七年级校考期中）观察算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256…，根据上述算式的规律，那么22018的个位数字是．【答案】4【分析】先找出规律，求出2018÷4=504…2，即可得出答案．【详解】解：∵2n的个位数字是2，4，8，6四个一循环，∵2018÷4=504…2，∴22018的末位数字应该是4．故答案为4．【点睛】本题考查了数字类规律，能根据已知找出规律是解此题的关键．3．（2017秋·甘肃张掖·七年级校联考期末）下面每个图形中的数字都是按照相同规律填写的，根据此规律确定a的值为.【答案】226【分析】根据图形的特点知这4个三角形中的值的规律是中间与上面的乘积是左下角与右下角的和，故可求解.【详解】由图中的三角形中的值其规律为1×2=0+2,3×4=2+10,5×6=4+26，∴15×16=14+a，解得a=226.【点睛】此题主要考查图形的规律探索，解题的关键是根据已知条件发现规律.4．（2019春·七年级课时练习）如图所示，数轴被折成，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3．先让圆周上数字2所对应的点与数轴上的数3所对应的点重合，数轴固定，圆紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动，那么数轴上的数2009将与圆周上的数字重合．【答案】0【分析】数轴上的数只能与2、1、0、3这4个数中的一个数重合，这4个数反复的在数轴上循环出现，由此可推出数轴上的数2009与圆周上的数字重合的数字.【详解】2与3重合，1与4重合，0与5重合，3月6重合，接着2与7重合，1与8重合，0与9重合，3与10重合，以此类推……发现：数轴上的数只能与2、1、0、3这4个数中的一个数重合，这4个数（2,1,0,3,2,1,0,3……..）反复的在数轴上循环出现，而3到2009间有：2009－3+1=2007个数，2007÷4=501余数为3，也就是说2、1、0、3这4个数循环了501次，还要多走3个.当余数为0，说明正好循环，对应数与3重合．余数为1则与2重合，余数为2则与1重合，余数为3则与0重合.本题与数字0重合.【点睛】此题主要考查规律探索，解题的关键是根据题设发现规律.5．（2020·安徽·九年级专题练习）杨辉是我国南宋时期杰出的数学家和教育家，如图是杨辉在公元1261年的著作《详解九章算法》里面的一张图，即“杨辉三角”，该图中有很多规律，请仔细观察，解答下列问题：（1）图中给出了七行数字，根据构成规律，第行中从左边数第个数是；（2）第行中从左边数第个数为；第行中所有数字之和为.【答案】（1）；（2）；第行数字之和为.【分析】（1）根据图示规律可列出式子求出第行中从左边数第个数；（2）设第行第2个数为（为正整数），观察，发现规律即可进行求解.【详解】（1）第行中从左边数第个数为20+15+21=56（2）设第行第2个数为（为正整数），观察，发现规律：∵，∴；∵第行数字之和，第行数字之和，第行数字之和，第行数字之和，∴第行数字之和为.【点睛】此题主要考查规律的探索，解题的关键是根据已知的数得出规律.类型四、算筹规律【解惑】算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如图：数字形式123456789纵式|||||||||||||||横式表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，示例如图：，则表示的数是（）A．5123 B．9167 C．9176 D．9163【答案】B【分析】根据题意理解算筹计数法即可选择．【详解】根据算筹计数法，表示的数是：9167．故选B【点睛】本题考查了算筹计数法，理解题意是解题的关键．【融会贯通】1．（2022·湖南长沙·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考二模）中国古代十进位制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造．据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年．1至9这9个数字的纵式和横式的表示数码如下图所示，算筹记数的方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式…，以此类推，就可以用算筹表示出任意大的自然数了．根据上述材料，的运算结果可用算筹表示为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先计算，然后结合题意，根据图示表示出625即可求解．【详解】解：，根据题意，6、2、5，表示如下：故选：D【点睛】本题考查了有理数的乘方运算，理解题意是解题的关键．2．（2020·浙江绍兴·统考二模）中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算的，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种，如图：当表示一个多位数时，像阿拉伯数字一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位数用横式表示，以此类推．例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹可表示为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题中的介绍，掌握0-9这十个数字的表达形式及数的表达方法，即可表示出5288这个数．【详解】由题意各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位数字用纵式表示，十位，千位数字用横式表示，则5288用算筹可表示为，故选：D．【点睛】本题是一道阅读理解题，解题中要注意读懂题意，掌握算筹表示数的方法，利用数形结合的思想进行分析是解题的关键．3．（2023秋·山东滨州·七年级统考期末）算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的跌献．在算筹计数法中，以“纵式和”“横式”两种方式来表示数字如图：表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．如“”表示的数是6728，“”表示的数是6708．若已知一个用这种方式者示的四位数中含有“”、“”和两个空位，则这个四位数是．【答案】9100或9001/9001或9100【分析】根据算筹计数法来计数即可．【详解】解：根据算筹计数法，从表中横式可得：代表数字为9，由于是4位数，∴9在千位上；从表中纵式可得：代表数字为1，∴可以在个位或者百位上，∴这个四位数是9001或者9100．故答案为：9001或者9100．【点睛】本题考查了算筹计数法，理解题意是解题的关键．4．（2020秋·山西晋城·七年级统考期中）成语“运筹帷幄”中“筹”的原意是指《孙子算经》中记载的算筹．算筹是中国古代进行计算的工具，它是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算的，算筹的摆放有纵、横两种形式(如图)，当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的算筹需要纵、横相间：个位，百位，万位数用纵式表示；十位，千位，十万位数用横式表示；“0”用空位来代替，以此类推．如：算筹“”表示的数是3306，则算筹“”表示的数为．【答案】6327【分析】根据题中的介绍，掌握0-9这十个数字的表达形式及数的表达方法，即可求出答案.【详解】解：由题意各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位数字用纵式表示，十位，千位数字用横式表示，则用算筹可表示为6327；故答案为：6327．【点睛】本题是一道阅读理解题，解题中要注意读懂题意，掌握算筹表示数的方法，利用数形结合的思想进行分析是解题的关键．5．（2022秋·浙江金华·七年级校考期中）我国在数的发展上有辉煌的历史，其中算筹计数法可追溯到公元前五世纪．算筹是竹制的小棍，摆法有横式和纵式两种（如图）．它计数的方法是：摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横……这样纵横依次交替，零以空格表示．如3123，表示为．（1）请用算筹表示数721（在答题卷的图1中画出）；（2）用三根算筹表示一个两位数（用完三根算筹，且十位不能为零），在答题卷图2的双方框中把所有可能的情况都画出来，并在下方的横线上填上所表示的数（注：图中的双方框仅供选用，不一定用完）．【答案】（1）；（2）共有6种可能，如图所示，见解析．【分析】根据图形的表示方法，对（1）、（2）进行解答即可．【详解】解：（1）依题意得：；（2）依题意，共有6种可能，如下图所示：【点睛】此题考查图形类的规律，仔细观察题干给出的规律即可类型五、图形规律【解惑】利用如图①的二维码可以进行身份识别．某校建立了一个身份识别系统，图②是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行小正方形表示的数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为，如图②第一行小正方形表示的数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班学生．表示3班学生的识别图案是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分别找出四个选项中图案表示的班级序号，取其班级序号为3的选项即可得出结论．【详解】A．；B．；C．；D．．故选：D．【点睛】本题考查了数字表示事件以及规律型：图形的变化类，根据图案转换班级序号的方法，将四个选项中的图案转换为班级序号．【融会贯通】1．（2023春·河北唐山·八年级统考期末）如图是一组密码的一部分，为了保密，不同的情况下可以采用不同的密码．若输入数字密码，，对应中转口令是“数学”，最后输出口令为“文化”；按此方法，若输入数字密码，，则最后输出口令为（

）A．垂直 B．平行 C．素养 D．相交【答案】D【分析】根据输入数字密码，，对应中转口令是“数学”，最后输出口令为“文化”，得出平移规律进而解答即可．【详解】输入数字密码，，对应中转口令是“数学”，最后输出口令为“文化”，可得平移规律为：向左平移1个单位，向下平移2个单位，所以输入数字密码，，则最后输出口令为“相交”．故选D．【点睛】本题考查了点的坐标得平移，熟记左加右减是解题的关键．2．（2023·重庆·九年级专题练习）某班举行拼汉字比赛，小梅用●排列成数字“上”，图①共用10个●，图②共用13个●，图③共用16个●，……按此规律排列下去，则第⑥个图共用●的个数是（）A．22 B．25 C．28 D．32【答案】B【分析】根据题意可得图①共用10个●，图②共用13=（10+3）个●，图③共用16=（10+3×2）个●，……，由此发现规律，即可求解．【详解】解：根据题意得：图①共用10个●，图②共用13=（10+3）个●，图③共用16=（10+3×2）个●，……，由此发现，第n个图共用●的个数是10+3（n-1），∴第⑥个图共用●的个数是10+3×5=25．故选B【点睛】本题主要考查了图形类规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键．3．（2022秋·河南郑州·七年级郑州一中经开区实验学校校考阶段练习）有一个正六面体骰子放在桌面上，将骰子按如图所示顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2021次后，骰子朝下一面的数字是（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【分析】观察图形知道点3和点4相对，点2和点5相对且四次一循环，从而确定答案．【详解】解：观察图形知道点3和点4相对，点2和点5相对且四次一循环，从而确定答案，∵2021÷4=505…1，∴滚动第2021次后与第1次相同，∴朝下的数字是5的对面2，故选：D．【点睛】本题考查了正方体相对两个面上的数字和图形的变化类问题，解题的关键是发现规律．4．（2023秋·山东济南·七年级校考期末）如图，给正五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5，若从某一个顶点开始，沿正五边形的边顺时针方向行起，顶点编号的数字是几，就走几个边长，则称这利走法为一次“移位”，如：小明在编号为2的顶点比时，那么他应走2个边长，即从为第一次“移位“，这时他到达编号为4的顶点，接下来他应走4个边长后从4→5→1→2→3为第二次移位”若小明从编号1的顶点开始，第2022次“移位”后，则他所处顶点的编号为．

【答案】4【分析】根据“移位”的特点确定出前几次的移位情况，从而找出规律，然后根据规律解答即可．【详解】解：根据题意，小明从编号为1的顶点开始，第1次移位到达点2，第2次移位到达点4，第3次移位到达点3，第4次移位到达点1，第5次移位到达点2，…，依此类推，4次移位后回到出发点，∵，∴第2022次“移位“后，它所处顶点的编号与第2次移位到的编号相同，为4．故答案为4．【点睛】本题主要考查图形的变化规律，根据“移位”的定义，找出每4次移位为一个循环组进行循环是解题的关键．5．（2022秋·江苏淮安·七年级统考期中）八一中学利用二维码进行学生学号统一编排．黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将每一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么利用公式计算出每一行的数据．第一行表示年级，第二行表示班级，如图1所示，第一行数字从左往右依次是1，0，0，1，则表示的数据为，计作09，第二行数字从左往右依次是1，0，1，0，则表示的数据为，计作10，以此类推，图1代表的统一学号为091034，表示9年级10班34号．小明所对应的二维码如图2所示，则他的编号是．【答案】【分析】根据图形的变化寻找规律，利用二维码的计算公式进行计算即可求解．【详解】解：如图所示：第一行数字从左往右依次是：0，1，1，1；表示，计为；第二行数字从左往右依次是：0，1，1，0；表示，计为；第三行数字从左往右依次是：0，0，1，0；表示，计为；第四行数字从左往右依次是：0，1，0，1；表示，计为；小明所对应的二维码（图2）表示的编号是，故答案为：．【点睛】本题考查图形的变化类规律，读懂题意，理解二维码的计算公式，准确将图转化为数字并按公式计算是解决问题的关键．类型六、算法程序【解惑】如图所示的运算程序中，如果开始输入的x值为，我们发现第1次输出的结果为，第2次输出的结果为，……，第2023次输出的结果为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意分别算出输出结果，观察得到一般规律，即可确定第2023次输出的结果．【详解】解：由题意可知，第一次输出结果为：，第二次输出结果为：，第三次输出结果为：，第四次输出结果为：，第五次输出结果为：，第六次输出结果为：，第七次输出结果为：，……观察可知，从第三次开始，输出结果按和依次循环，，第2023次输出的结果为，故选：B．【点睛】本题考查了数字类规律探索，代数式求值，通过观察归纳出一般规律是解题关键．【融会贯通】1．（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考一模）根据如图所示的程序计算y的值，若输入x的值为3时，输出y的值为4，则输入x的值为6时，输出y的值为（

）

A．14 B．11 C．10 D．8【答案】A【分析】直接利用已知运算公式公式得出m的值，进而代入求出时对应的值．【详解】解：∵输入x的值是3时，输出的y的值为4，∴，解得：，若输入x的值是6，则输出的y的值是：．故选：A．【点睛】此题主要考查了函数值，正确得出m的值是解题关键．2．（2023秋·广西桂林·八年级统考期末）《九章算术》是中国古代数学专著，它的出现标志着中国古代数学体系的形成．程序框图的算法思路源于《九章算术》，它在计算机编程中应用广泛．如图所示为一个循环编程部分的程序框图，当输入的值是时，根据程序循环计算，第次计算输出的结果是，第次计算输出的结果是，，那么第次计算输出的结果是．

【答案】【分析】首先计算出前几次的输出结果，然后找出规律得到为奇数时，输出的结果为，将代入即可求解．【详解】解：当时，，故第次计算输出的结果为，，故第次计算输出的结果为，，故第次计算输出的结果为，，故第次计算输出的结果为，，故第次计算输出的结果为，由以上可知当为奇数时，输出的结果为，，当时，输出的结果为，．【点睛】本题考查数字的变化规律，通过计算探索输出结果的规律是解答本题的关键．3．（2022秋·江苏淮安·七年级洪泽外国语中学校考期中）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，……第2017次输出的结果为．

【答案】6【分析】根据程序框图计算出前6次的输出结果，可以发现规律从第3次输出开始，输出的结果为6，据此规律求解即可．【详解】解：∵第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，第3次输出的结果为6，第4次输出的结果为3，第5次输出的结果为6，第6次输出的结果为3，……，以此类推可知，从第3次输出开始，输出的结果为6，3循环出现，∵，∴第2017次输出的结果为6，故答案为：6．4．（2022秋·陕西咸阳·七年级统考期中）如图是一个运算程序的示意图，若开始输入的值为125，第1次输出的结果为25，再将25继续输入，……，则第2022次输出的结果为．

【答案】5【分析】根据题意可以先求出前几次输出结果，发现规律：从第2次开始，5,1,5,1，…，每2次为一个循环，进而可得第2022次输出的结果与第2次输出的结果一样．【详解】解：根据题意可知，开始输入x的值是125，第1次输出的结果是25，第2次输出的结果是5，第3次输出的结果是1，第4次输出的结果是5，第5次输出的结果是1，第6次输出的结果是5，依次继续下去，…，发现规律，从第2次开始，5,1,5,1，…，每2次为一个循环，∵，∴第2022次输出的结果与第2次输出的结果一样是5．故答案为：5．【点睛】本题考查了求代数式的值，探索数字变化规律，关键能根据程序图求出结果，得出规律是解此题的关键．5．（2022秋·陕西榆林·七年级校考期中）如图所示是王老师设计的一个运算程序．(1)这个运算程序所表示的式子为______（用含、的代数式表示）；(2)当，时，求这个程序输出的结果．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据程序写出代数式即可．（2）代入求值即可．【详解】（1）根据程序图可知，这个运算程序所表示的式子为故答案为：（2）当，时，．【点睛】本题考查列代数式和代数式求值，解题关键是看懂程序图并准确写出代数式．类型七、代数规律【解惑】一列单项式按以下规律排列：，，，，，，，，则第个单项式是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据规律，系数是从1开始的连续奇数且第偶数个是负数，第奇数个是正数，x的指数是3个循还一次，且分别是1，2，2，然后求解即可．【详解】解：根据，，，，，，，，所以系数是从1开始的连续奇数且第偶数个是负数，第奇数个是正数，那么第n个单项式的系数是，则第个单项式的系数是，因为x的指数是3个循还一次，且分别是1，2，2，则，所以第个是指第个循环里的第一个数，那么第个单项式是，故选：A．【点睛】本题考查了单项式，此类题目难点在于根据单项式的系数、指数等多个方面分别分析得出规律．【融会贯通】1．（2023春·云南楚雄·七年级统考期末）按一定规律排列的单项式：，第（为正整数）个单项式是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】观察题目所给单项式可得，系数依次增加1，次数为连续奇数，即可进行解答．【详解】解：根据题意可得：系数依次增加1，第n个单项式次数为，次数为连续奇数，第n个单项式次数为，∴第n个单项式为：，故选：C．【点睛】本题主要考查了单项式规律题，通过观察单项式的系数和指数，找到它们的规律是解题的关键．2．（2022秋·广东汕头·七年级汕头市龙湖实验中学校考期中）按一定规律排列的单项式：，，，，，……，第n个单项式是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】观察指数规律与符号规律，进行解答便可．【详解】解：，，，，，由上可知，第个单项式是：．故选：D．【点睛】本题主要考查了规律题——数字的变化类，关键是分别找出符号与指数的变化规律．3．（2023秋·全国·七年级专题练习）观察这一系列单项式的特点：，，，，…那么第8个单项式为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由，，，，…可推导一般性规律为：第个单项式为：，进而可得答案．【详解】解：由，，，，…可推导一般性规律为：第个单项式为，∴第8个单项式为．故选：A．【点睛】本题考查了单项式的规律探究．解题的关键在于根据题意推导一般性规律．4．（2023·云南楚雄·统考二模）按一定规律排列的单项式：，，，，…，第n个单项式是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据所给的式子，分别找出分式的分母和分子的规律，从而求出第n个单项式.【详解】解：，，，，第n个单项式是.故选：C.【点睛】本题考查的是探索数字规律，解题的关键要利用已知式子找出所存在的规律.5．（2023春·云南昭通·八年级校联考期中）观察下列式子：，，，，…请你找出其中规律，并将第个式子写出来：．【答案】【分析】分别找到各项的规律，继而得出第n个式子．【详解】解：，，，，…，可发现含x的项次数为从1开始的自然数，常数项为从1开始的自然数的平方，奇数项系数为负，偶数项系数为正，∴第个式子为，故答案为：．【点睛】本题考查了多项式的规律，解题的关键是从式子的各个部分出发寻找规律．类型八、浓度问题【解惑】把浓度为的酒精150升加水升稀释为的酒精，下列所列方程中，不正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据不同的等量关系逐一分析即可得出结论．【详解】解：若根据稀释前后酒精溶液中纯酒精列等量关系式可得：，故A正确；若根据稀释前后酒精溶液中的水列等量关系式可得：即，故C正确；若根据浓度公式列等量关系式可得：，故D正确故B不正确故选：B．【点睛】此题考查的是一元一次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键．【融会贯通】1．（2018秋·七年级单元测试）两瓶酒精，甲瓶有升，浓度未知；乙瓶有升，浓度，从甲瓶中倒入乙瓶升酒精，摇匀后倒回一部分给甲瓶，此时甲瓶浓度为，乙瓶浓度为，此时乙瓶中有酒精（）升．A．5 B．6.3 C．5.25 D．5.6【答案】C【分析】设甲瓶酒精浓度为x%，根据从甲瓶中倒入乙瓶10升酒精，乙瓶浓度为35%，可得方程求出甲瓶酒精浓度；设倒入甲瓶的酒精为y升，根据甲瓶混合后浓度为37.5%，可得方程求出倒入甲瓶的酒精的升数，从而求出乙瓶中有酒精的升数．【详解】设甲瓶酒精浓度为x%，则倒入乙瓶的酒精为10x%，混合后乙瓶的浓度为：%=35%，解得：x=40，设倒入甲瓶的酒精为y升：混合后浓度为37.5%，5×40%+35%y=37.5%（5+y），解得y=5，则乙瓶剩下15升酒精，纯酒精为：15×35%=5.25升，此时乙瓶有纯酒精5.25升，故选C．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是求出甲瓶原来酒精浓度和乙瓶摇匀后倒回甲瓶的酒精的升数，有一定的难度．2．（2022秋·上海·七年级校联考期末）在装有150克盐的容器中加入一些水后可以得到浓度为30%的盐水，那么所加入的水有克．【答案】350【分析】浓度溶液溶质，溶液溶质水，设未知数，列方程求解即可．【详解】解：设加入的水有x克，依题意得，解得，即加入的水有350克，故答案为：350．【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据“浓度溶液溶质”得出方程是解答此题的关键．3．（2019秋·上海·七年级上外附中校考期末）有的盐水克，若要使盐水浓度变为，则需要再加入盐克．【答案】5【分析】设需要加盐x克，则依据题意即可列方程求解．【详解】解：设需加盐x克，根据题意可得：40×10%+x=(40+x)×20%，解得：x=5．故答案为5．【点睛】本题主要考查了对于浓度问题的理解和灵活应用，解答此题的关键是明白，盐和盐水的重量都发生了变化.4.（2019春·浙江杭州·九年级期末）今有浓度分别为3%、8%、11%的甲、乙、丙三种盐水50千克、70千克、60千克，现要用甲、乙、丙这三种盐水配制浓度为7%的盐水100千克，则丙种盐水最多可用千克．【答案】50【分析】可设乙、丙三种盐水各用了x，y千克，则甲用了千克，盐的浓度=盐的质量与盐水总质量之比，根据题意可得，化简即可确定y的最大值.【详解】解：设乙、丙三种盐水各用了x，y千克，则甲用了千克，根据题意可得，化简得，即，所以y的最大值为50，丙种盐水最多可用50千克.故答案为50【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，正确理解题意列出方程是解题的关键.类型九、绝对值数轴化简【解惑】已知a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则代数式化简后的结果为．【答案】【分析】根据点在数轴上的位置，判断出式子的符号，进行化简即可．【详解】解：由图可知：，∴；故答案为：．【点睛】本题考查化简绝对值．解题的关键是根据点在数轴上的位置判断式子的符号．【融会贯通】1．（2023秋·广西河池·七年级统考期末）有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简.【答案】【分析】结合数轴，确定，，的符号是正或负，再结合绝对值的非负性，去掉绝对值符号，最后去括号合并同类项即可完成．【详解】由数轴可知：，，，∴故答案为：．【点睛】本题考查数轴以及绝对值的化简，难度适中，属于易错题，熟练掌握绝对值的非负性以及整式加减法的运算法则是解题关键．2．（2023秋·河南濮阳·七年级统考期末）人教版《七年级上册》教材，第11页，我们本学期学习了绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．【定义应用】计算：________；________；________．【学习总结】当时，________；当________时，．【学以致用】在数轴上的位置如图所示，化简下列各式：①________；②________；③计算：．

【答案】【定义应用】，0，5；【学习总结】，；【学以致用】①；②；③【分析】定义应用：根据绝对值的含义直接作答即可；学习总结：由非负数的绝对值是其本身，非正数的绝对值是其相反数可得答案；学以致用：①先判断，则，再化简绝对值即可；②先判断，则，再化简绝对值即可；③由，，可得，，再化简绝对值即可．【详解】解：定义应用：；；．学习总结：当时，；当时，．学以致用：①∵，则，∴；②∵，则，∴；③∵，，∴，，∴．【点睛】本题考查的是绝对值的含义，化简绝对值，利用数轴比较有理数的大小，整式的加减运算，熟记化简绝对值的方法是解本题的关键．3．（2023秋·江西吉安·七年级统考期末）已知有理数，，在数轴上对应点的位置如图；

(1)______0，______，______．（填“”或“”）(2)化简：【答案】(1)，，(2)【分析】（1）根据数轴上点的位置可得，，进而根据有理数的加减运算法则，判断式子的符号即可求解；（2）根据（1）的结论，化简绝对值，然后根据整式的加减进行计算即可求解．【详解】（1）解：根据数轴上点的位置可得，，∴，，，故答案为：，，．（2）解：∵，，，∴．【点睛】本题考查了根据数轴上的点位置判断式子的符号，整式的加减，数形结合是解题的关键．4．（2022秋·陕西西安·七年级统考期末）如图，数轴上有a，b，c三点，化简：．【答案】【分析】根据数轴先判断出，，，，再由绝对值的代数意义计算即可求．【详解】解：根据题意，得，∴，，，∴原式．【点睛】本题主要考查了数轴，绝对值的性质，整式的加减等知识，关键在于确定绝对值内代数式的正负．5．（2022秋·贵州黔南·七年级统考期中）如图，数轴上的三点A，B，C分别表示有理数a，b，c．(1)___________0，___________0，___________0．（用“>”，“<”或“=”填空）(2)化简：．【答案】(1)<，>，<(2)【分析】（1）利用点A，B，C在数轴上的位置以及有理数的加法和减法判断即可；（2）先根据绝对值的意义化简绝对值，再去括号合并同类项．【详解】（1）∵，，∴，，．故答案为：<，>，<；（2）由（1）得原式．【点睛】本题考查了利用数轴判断式子的正负，化简绝对值，以及整式的加减，正确化简绝对值是解答本题的关键．类型十、初识完全平方、平方差【解惑】图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均裁成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形．(1)图2中的阴影部分正方形的边长是（用含a，b的代数式表示）；(2)观察图1，图2，能验证的等式是：（请选择正确的一个）；A．B．C．(3)如图3，C是线段上的一点，以为边向上分别作正方形和正方形，连结．若，求的面积．【答案】(1)(2)C(3)【分析】（1）根据图2中的信息即可得出阴影部分正方形的边长；（2）根据大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个长方形的面积，进行求解即可；（3）设正方形的边长为x，正方形的边长为y，根据图形中的关系得出，再求解，最后利用三角形面积公式即可得出答案；另解：设正方形的边长为x，正方形的边长为y，根据图形中的关系得出，利用（2）的结论直接代入即可，最后根据三角形面积公式即可得出答案．【详解】（1）图2中的阴影部分正方形的边长是；故答案为：（2）之间的等量关系是：，故选：C.（3）设正方形的边长为x，正方形的边长为y∴，解得，；

另解：设正方形的边长为x，正方形的边长为y，∴，

∴，∴，∴，

∴．【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．【融会贯通】1．（2022秋·河南新乡·七年级统考期中）探索发现：①当、取不同数值时，计算代数式与代数式的值，请同学们将正确结果填入下表：、的取值当，时当，时当，时②根据上表计算，对于任意给、各取一个数值计算，与代数式的值时，蕴含着一个规律，写出你的发现：．③用你发现的规律计算：【答案】①见解析；②；③．【分析】①分别代入求值即可；②根据前边的计算，总结出与的大小关系即可；③利用②中的关系，计算即可．【详解】①填表为：、的取值当，时当，时当，时5

24

-21

5

24

-21②蕴含着一个规律，写出你的发现：③．【点睛】考查了代数式求值，代数式，本题主要是通过实例探究了平方差公式，正确理解题目每部提出的要求是解决本题的关键．2．（2023春·安徽亳州·七年级统考期末）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们进行推理，获得结论．初中数学里的一些代数恒等式，很多都可以借助几何图形进行直观推导和解释．请结合相关知识，解答下列问题：

(1)如图1是由4个大小相同，长为a、宽为b的长方形围成的边长为的正方形，用含字母a，b的代数式表示出阴影部分的面积．①通过计算阴影部分正方形的边长，求阴影部分的面积，可列代数式：________；②通过用较大正方形的面积减去4个小长方形的面积，求阴影部分的面积，可列代数式：________________；(2)根据图1中的阴影部分的面积关系写出一个代数恒等式：________________；(3)若，，求图2中阴影部分的面积．【答案】(1)①；②；(2)；(3)．【分析】（1）①根据题意，求得阴影部分正方形的边长，即可求解；②求得大正方形的面积和四个小长方形的面积，即可求解；（2）由（1）即可得出恒等式；（3）利用正方形的面积减去三个直角三角形的面积得到阴影部分的面积，将，代入，即可求解．【详解】（1）解：①由题意可得，阴影部分正方形的边长为，则面积为，故答案为：②大正方形的面积为，四个长方形的面积为：，则阴影部分的面积为；故答案为：；（2）由（1）可得：，故答案为：（3）阴影部分的面积为：将，代入可得：原式．【点睛】此题考查了列代数式，代数式求值，解题的关键是通过不同方式求解出阴影部分的面积．3．（2021春·山东青岛·七年级校考期中）问题再现：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助