2023年二轮复习解答题专题十六：与圆阴影面积计算(原卷版+解析)

2023年二轮复习解答题专题十六：与圆有关的阴影面积计算典例分析例1（2022眉山中考）如图，为的直径，点是上一点，与相切于点，过点作，连接，．（1）求证：是的角平分线；（2）若，，求的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．专题过关1．（2022日照中考）（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D为边AB的中点，点O在边BC上，以点O为圆心的圆过顶点C，与边AB交于点D．（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）若AC＝，求图中阴影部分的面积．2．（2022益阳中考）（10分）如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P，连接CA，CO，CB．（1）求证：∠ACO＝∠BCP；（2）若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数；（3）在（2）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．3．（2022荆门中考）（8分）如图，已知扇形AOB中，∠AOB＝60°，半径R＝3．（1）求扇形AOB的面积S及图中阴影部分的面积S阴；（2）在扇形AOB的内部，⊙O1与OA，OB都相切，且与只有一个交点C，此时我们称⊙O1为扇形AOB的内切圆，试求⊙O1的面积S1．4.（2022通辽中考）如图，在中，，以为圆心，的长为半径的圆交边于点，点在边上且，延长交的延长线于点．（1）求证：是圆的切线；（2）已知，，求长度及阴影部分面积．5.（2022贵阳中考）如图，为的直径，是的切线，为切点，连接．垂直平分，垂足为，且交于点，交于点，连接，．（1）求证：；（2）当平分时，求证：；（3）在（2）的条件下，，求阴影部分的面积．6.（2022宿迁中考）如图，在中，∠=45°，，以为直径的⊙与边交于点．（1）判断直线与⊙的位置关系，并说明理由；（2）若，求图中阴影部分的面积．7.（2022齐齐哈尔中考）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，AC与⊙O交于点D，BC与⊙O交于点E，过点C作，且CF=CD，连接BF．

（1）求证：BF是⊙O的切线；（2）若∠BAC=45°，AD=4，求图中阴影部分的面积．8.（2022驻马店六校联考二模）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径与母线长之比为．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中，．将扇形围成圆锥时，，恰好重合．（1）求这种加工材料的顶角的大小（2）若圆锥底面圆的直径为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留）

9.（2022驻马店二模）如图，AB是的直径，点C是上一点（与点A，B不重合），过点C作直线PQ，使得∠ACQ＝∠ABC．（1）求证：直线PQ是的切线．（2）过点A作AD⊥PQ于点D，交于点E，若的半径为4，，求图中阴影部分的面积．10.（2022河南镇平一模）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，点C作CE⊥AB于点E，连接AC．（1）求证：∠CAD＝∠ECB；（2）若CE是⊙O切线，∠CAD＝30°，连接OC，如图2．

①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；

②当AB＝2时，求AD，AC与围成阴影部分的面积．11.（2022信阳一模）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC于点F，交AB的延长线于点G.（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若CF=1，∠ACB=60°，求图中阴影部分的面积.

12.（2022濮阳二模）如图，点C为外一点，切于点B，弦//，交于D．

（1）如图1，连接，当=度时，四边形是菱形；（2）在（1）的条件下，①试探究与的数量关系，并说明理由；②如图2，连接，若的半径为2，阴影部分的面积为（结果保留π）；13.（2022南阳方城二模）如图1，四边形ABCD内接于，AD为直径，过点C作于点E，连接AC．（1）求证：；（2）若CE是的切线，，连接OC，如图2．①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；②当AB＝2时，请直接写出AD，AC与围成阴影部分的面积为______．14.（2022河南兰考二模）在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“杠杆”，推动“杠杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎．如图，AB为圆O的直径，AC是的一条弦，D为弧BC的中点，作于点E，交AB的延长线于点F，连接DA．（1）若，则圆心O到“杠杆EF”的距离是多少？说明你的理由；（2）若，求阴影部分的面积．（结果保留）15．（2021达州中考）（8分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点（C不与点A，B重合）连接AC，BC，过点C作CD⊥AB，垂足为点D．将△ACD沿AC翻折，点D落在点E处得△ACE，AE交⊙O于点F．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若∠BAC＝15°，OA＝2，求阴影部分面积．16.（2021巴中中考）如图、△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，其外角平分线AD与CO的延长线交于点D．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若AD＝2，BC＝6，求图中阴影部分面积．17．（2021江西中考）（9分）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，点C作CE⊥AB于点E，连接AC．（1）求证：∠CAD＝∠ECB；（2）若CE是⊙O的切线，∠CAD＝30°，连接OC，如图2．①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；②当AB＝2时，求AD，AC与围成阴影部分的面积．18.（2021扬州中考）如图，四边形中，，，，连接，以点B为圆心，长为半径作，交于点E．（1）试判断与的位置关系，并说明理由；（2）若，，求图中阴影部分的面积．19．(2021襄阳中考)（8分）如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线BO与⊙O交于点F和点D，OA与⊙O交于点E，与DC交于点G，OA＝OB，CA＝CB．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若FC∥OA，CD＝6，求图中阴影部分面积．20．（2021黄冈中考）（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC分别相切于点E，F，BO平分∠ABC（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若BE＝AC＝3，⊙O的半径是1，求图中阴影部分的面积．21．（2021遵义中考）在复习菱形的判定方法时，某同学进行了画图探究，其作法和图形如下：①画线段AB；②分别以点A，B为圆心，大于AB长的一半为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN交AB于点O；③在直线MN上取一点C（不与点O重合），连接AC、BC；④过点A作平行于BC的直线AD，交直线MN于点D，连接BD．（1）根据以上作法，证明四边形ADBC是菱形；（2）该同学在图形上继续探究，他以点O为圆心作四边形ADBC的内切圆，构成如图所示的阴影部分，若AB＝2，∠BAD＝30°，求图中阴影部分的面积．22．（2021贵阳中考）（12分）如图，在⊙O中，AC为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，点E是的中点，过点E作AB的垂线，交AB于点M，交⊙O于点N，分别连接EB，CN．（1）EM与BE的数量关系是；（2）求证：＝；（3）若AM＝，MB＝1，求阴影部分图形的面积．23.（2021桂林中考）如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E为BC中点，AE⊥DE于点E．点O是线段AE上的点，以点O为圆心，OE为半径的⊙O与AB相切于点G，交BC于点F，连接OG．（1）求证：△ECD∽△ABE；（2）求证：⊙O与AD相切；（3）若BC＝6，AB＝3，求⊙O的半径和阴影部分的面积．24．（2021黄石中考）（10分）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，AC是⊙O的直径，连接OP，交⊙O于点D，交AB于点E．（1）求证：BC∥OP；（2）若E恰好是OD的中点，且四边形OAPB的面积是16，求阴影部分的面积；（3）若sin∠BAC＝，且AD＝2，求切线PA的长．2023年二轮复习解答题专题十六：与圆有关的阴影面积计算典例分析例1（2022眉山中考）如图，为的直径，点是上一点，与相切于点，过点作，连接，．（1）求证：是的角平分线；（2）若，，求的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．【答案】（1）见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）连接，先证明，然后由平行线的性质和等腰三角形的性质，即可证明结论成立；（2）证明△ABC∽△CBD即可，根据题目中的条件，可以得到∠ABC=∠CBD，∠ACB=∠D，从而可以得到△ABC∽△CBD，即可求出BC的长度；．（3）先证明△AOC是等边三角形，然后求出扇形AOC和△AOC的面积，即可得到答案【小问1详解】证明：连接，如图∵与相切于点，∴∵，∴∴．又∵，∴，∴，∴平分．【小问2详解】解：根据题意，∵线段AB是直径，∴，∵平分，∴∠ABC=∠CBD，∴△ABC∽△CBD，∴，∵，，∴，∴；【小问3详解】解：作CE⊥AO于E，如图：在直角△ABC中，，∴，∴△AOC是等边三角形，∴，，∴，∴阴影部分的面积为：．【点睛】本题考查了扇形的面积公式，等边三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，角平分线的判定，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行证明．专题过关1．（2022日照中考）（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D为边AB的中点，点O在边BC上，以点O为圆心的圆过顶点C，与边AB交于点D．（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）若AC＝，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接OD，CD，根据含30度角的直角三角形的性质得出AC＝AB，求出∠A＝90°﹣∠B＝60°，根据直角三角形的性质得出BD＝AD＝AB，求出AD＝AC，根据等边三角形的判定得出△ADC是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠ADC＝∠ACD＝60°，求出∠ODC＝∠DCO＝30°，求出OD⊥AB，再根据切线的判定得出即可；（2）求出BD＝AC＝，BO＝2DO，根据勾股定理得出BO2＝OD2+BD2，求出OD，再分别求出△BDO和扇形DOE的面积即可．【解答】（1）证明：连接OD，CD，∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴AC＝AB，∠A＝90°﹣∠B＝60°，∵D为AB的中点，∴BD＝AD＝AB，∴AD＝AC，∴△ADC是等边三角形，∴∠ADC＝∠ACD＝60°，∵∠ACB＝90°，∴∠DCO＝90°﹣60°＝30°，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠DCO＝30°，∴∠ADO＝∠ADC+∠ODC＝60°+30°＝90°，即OD⊥AB，∵OD过圆心O，∴直线AB是⊙O的切线；（2）解：由（1）可知：AC＝AD＝BD＝AB，又∵AC＝，∴BD＝AC＝，∵∠B＝30°，∠BDO＝∠ADO＝90°，∴∠BOD＝60°，BO＝2DO，由勾股定理得：BO2＝OD2+BD2，即（2OD）2＝OD2+（）2，解得：OD＝1（负数舍去），所以阴影部分的面积S＝S△BDO﹣S扇形DOE＝﹣＝﹣．【点评】本题考查了切线的判定，直角三角形的性质，圆周角定理，扇形的面积计算等知识点，能熟记直角三角形的性质、切线的判定和扇形的面积公式是解此题的关键．2．（2022益阳中考）（10分）如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P，连接CA，CO，CB．（1）求证：∠ACO＝∠BCP；（2）若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数；（3）在（2）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．【分析】（1）由AB是半圆O的直径，CP是半圆O的切线，可得∠ACB＝∠OCP，即得∠ACO＝∠BCP；（2）由∠ABC＝2∠BCP，可得∠ABC＝2∠A，从而∠A＝30°，∠ABC＝60°，可得∠P的度数是30°；（3）∠A＝30°，可得BC＝AB＝2，AC＝BC＝2，即得S△ABC＝BC•AC＝2，故阴影部分的面积是π×（）2﹣2＝2π﹣2．【解答】（1）证明：∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CP是半圆O的切线，∴∠OCP＝90°，∴∠ACB＝∠OCP，∴∠ACO＝∠BCP；（2）解：由（1）知∠ACO＝∠BCP，∵∠ABC＝2∠BCP，∴∠ABC＝2∠ACO，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A，∴∠ABC＝2∠A，∵∠ABC+∠A＝90°，∴∠A＝30°，∠ABC＝60°，∴∠ACO＝∠BCP＝30°，∴∠P＝∠ABC﹣∠BCP＝60°﹣30°＝30°，答：∠P的度数是30°；（3）解：由（2）知∠A＝30°，∵∠ACB＝90°，∴BC＝AB＝2，AC＝BC＝2，∴S△ABC＝BC•AC＝×2×2＝2，∴阴影部分的面积是π×（）2﹣2＝2π﹣2，答：阴影部分的面积是2π﹣2．【点评】本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线性质，直角三角形性质及应用等知识，题目难度不大．3．（2022荆门中考）（8分）如图，已知扇形AOB中，∠AOB＝60°，半径R＝3．（1）求扇形AOB的面积S及图中阴影部分的面积S阴；（2）在扇形AOB的内部，⊙O1与OA，OB都相切，且与只有一个交点C，此时我们称⊙O1为扇形AOB的内切圆，试求⊙O1的面积S1．【分析】（1）根据扇形的面积公式就可以求出，阴影的面积用扇形的面积减去三角形的面积；（2）先求出⊙P的半径，再利用阴影部分面积＝扇形的面积﹣圆的面积进行计算．【解答】解：（1）∵∠AOB＝60°，半径R＝3，∴S＝＝，∵OA＝OB，∠AOB＝60°，∴△OAB是等边三角形，∴S△OAB＝，∴阴影部分的面积S阴＝﹣．（2）设⊙O1与OA相切于点E，连接O1O，O1E，∴∠EOO1＝∠AOB＝30°，∠OEO1＝90°，在Rt△OO1E中，∵∠EOO1＝30°，∴OO1＝2O1E，∴O1E＝1，∴⊙O1的半径O1E＝1．∴S1＝πr2＝π．【点评】本题考查了相切两圆的性质．构造直角三角形是常用的方法，本题的关键是求得圆的半径．4.（2022通辽中考）如图，在中，，以为圆心，的长为半径的圆交边于点，点在边上且，延长交的延长线于点．（1）求证：是圆的切线；（2）已知，，求长度及阴影部分面积．【答案】（1）证明见详解；（2）AC=3，阴影部分面积为．【解析】【分析】（1）连接OD，证明∠ODE=90°即可；（2）在Rt△OCD中，由勾股定理求出OC、OD、CD，在Rt△OCE中，由勾股定理求出OE，用△OCE的面积减扇形面积即可得出阴影部分面积．【小问1详解】证明：连接OD∵OD=OB∴∠OBD=∠ODB∵AC=CD∴∠A=∠ADC∵∠ADC=∠BDE∴∠A=∠EDB∵∠AOB=90°∴∠A+∠ABO=90°∴∠ODB+∠BDE=90°即OD⊥CE，又D在上∴是圆的切线；【小问2详解】解：由（1）可知，∠ODC=90°在Rt△OCD中，∴设OD=OB=4x，则OC=5x，∴∴AC=3x∴OA=OC+AC=8x在Rt△OAB中：即：解得，（-1舍去）∴AC=3，OC=5，OB=OD=4在在Rt△OCE中，∴设OE=4y，则CE=5y，∵解得，（舍去）∴∴阴影部分面积为．【点睛】本题考查切线的判断和性质、勾股定理、三角函数、阴影部分面积的求法，解题的关键在于灵活运用勾股定理和三角函数求出相应的边长，并能将阴影部分面积转化为三角形与扇形面积的差．5.（2022贵阳中考）如图，为的直径，是的切线，为切点，连接．垂直平分，垂足为，且交于点，交于点，连接，．（1）求证：；（2）当平分时，求证：；（3）在（2）的条件下，，求阴影部分的面积．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）如图，连接证明再利用等角的余角相等可得结论；（2）如图，连接OF，垂直平分证明为等边三角形，再证明从而可得结论；（3）先证明为等边三角形，可得再利用进行计算即可．【小问1详解】解：如图，连接为的切线，【小问2详解】如图，连接OF，垂直平分而为等边三角形，平分【小问3详解】为等边三角形，为等边三角形，【点睛】本题考查的是圆的切线的性质，圆周角定理的应用，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，熟练的运用圆的基本性质解决问题是关键．6.（2022宿迁中考）如图，在中，∠=45°，，以为直径的⊙与边交于点．（1）判断直线与⊙的位置关系，并说明理由；（2）若，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质与三角形的内角和定理证明从而可得结论；（2）如图，记BC与的交点为M，连接OM，先证明再利用阴影部分的面积等于三角形ABC的面积减去三角形BOM的面积，减去扇形AOM的面积即可．【小问1详解】证明：∠=45°，，即在上，为的切线．【小问2详解】如图，记BC与的交点为M，连接OM，，，，，，，．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，切线的判定，扇形面积的计算，掌握“切线的判定方法与割补法求解不规则图形面积的方法”是解本题的关键．7.（2022齐齐哈尔中考）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，AC与⊙O交于点D，BC与⊙O交于点E，过点C作，且CF=CD，连接BF．

（1）求证：BF是⊙O的切线；（2）若∠BAC=45°，AD=4，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）连接BD，得；利用AB=AC得到，由得到，故；利用SAS证明，得到，最后同旁内角互补，即可得（2）连接OE，与BD相交于M点，根据∠BAC=45°，得是等腰直角三角形，由AD=4，得AB，OB，OE长度；和是共一底角的等腰三角形，故，，，是等腰直角三角形，即可算出阴影部分面积【小问1详解】连接BD

∵AB是的直径∴∴∵∴∵∴，∴∵，∴∴又∵∴∴BF是的切线【小问2详解】连接OE，与BD相交于M点

∵，，∴为等腰直角三角形∴，，∴∴∴∵，∴∴∴∴为等腰直角三角形∴∴【点睛】本题考查圆，全等三角形，等腰直角三角形，等腰三角形；熟练运用各种几何知识本题关键8.（2022驻马店六校联考二模）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径与母线长之比为．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中，．将扇形围成圆锥时，，恰好重合．（1）求这种加工材料的顶角的大小（2）若圆锥底面圆的直径为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留）

【答案】（1）=90°；（2）S阴影=（100-）cm2．【解析】【分析】（1）设ED=x，则AD=2x，根据圆的周长求弧长，利用弧长公式求即可；（2）由，=90°，可得△ABC为等腰直角三角形，由可求BD=CD=AD=10cm，利用三角形面积公式求S△BAC=，利用扇形面积公式求，利用面积差求S阴影即可．【详解】解：（1）设ED=x，则AD=2x，∴弧长，∴，∴=90°；（2）∵ED=5cm，∴AD=2ED=10cm，∵，=90°，∴△ABC为等腰直角三角形，∵，∴BD=CD=AD=10cm，∴BC=BD+CD=20cm，∴S△BAC=cm2，∴，∴S阴影=S△BAC-=（100-）cm2．【点睛】本题考查圆锥，侧面展开图，扇形面积公式，等腰直角三角形判定与性质，利用割补法求阴影面积，掌握圆锥，侧面展开图，扇形面积公式，等腰直角三角形判定与性质，利用割补法求阴影面积是解题关键．9.（2022驻马店二模）如图，AB是的直径，点C是上一点（与点A，B不重合），过点C作直线PQ，使得∠ACQ＝∠ABC．（1）求证：直线PQ是的切线．（2）过点A作AD⊥PQ于点D，交于点E，若的半径为4，，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接OC，由∠ACQ＝∠ABC，得到∠CAB+∠ABC=∠ACO+∠ACQ=∠OCQ=90°，即OC⊥PQ，由此得到结论；（2）连接OE，由，AD⊥PQ，可得∠DAC=30°，从而得到∠ACD=60°，进而判定△AEO为等边三角形，得到∠AOE=60°，利用可求得答案．【小问1详解】解：连接OC，∵AB是的直径，∴∠ACB=90°，∵OA=OC，∴∠CAB=∠ACO，∵∠ACQ＝∠ABC，∴∠CAB+∠ABC=∠ACO+∠ACQ=∠OCQ=90°，即OC⊥PQ，∴直线PQ是的切线．【小问2详解】连接OE，∵，AD⊥PQ，∴∠DAC=30°，∠ACD=60°，∴∠ABC=60°，∴∠CAB=30°，∴∠EAO=60°，又∵OA=OE，∴△AEO为等边三角形，∴∠AOE=60°，∴==．【点睛】此题考查了求不规则图形面积的基础思想：将不规则图形的面积转化为规则的图形面积的和或差来解，另外还考查了证明圆的切线的过程．10.（2022河南镇平一模）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，点C作CE⊥AB于点E，连接AC．（1）求证：∠CAD＝∠ECB；（2）若CE是⊙O切线，∠CAD＝30°，连接OC，如图2．

①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；

②当AB＝2时，求AD，AC与围成阴影部分的面积．【25题答案】【答案】（1）见解析（2）①四边形ABCO是菱形，理由见解析；②+π．【解析】【分析】（1）先判断出∠CBE=∠D，再用等角的余角相等，即可得出结论；（2）①先判断出OC∥AB，再判断出BC∥OA，进而得出四边形ABCO是平行四边形，即可得出结论；②先求出AC，BC，再用面积的和，即可得出结论．【小问1详解】证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠CBE+∠CBA=180°，∠D+∠CBA=180°，∴∠CBE=∠D，∵AD为⊙O直径，∴∠ACD=90°，∴∠D+∠CAD=90°，∴∠CBE+∠CAD=90°，∵CE⊥AB，∴∠CBE+∠BCE=90°，∴∠CAD=∠BCE；【小问2详解】解：①四边形ABCO是菱形，理由：∵∠CAD=30°，∴∠COD=2∠CAD=60°，∵CE是⊙O的切线，∴OC⊥CE，∵CE⊥AB，∴OC∥AB，∴∠DAB=∠COD=60°，由（1）知，∠CBE+∠CAD=90°，∴∠CBE=90°-∠CAD=60°=∠DAB，∴BC∥OA，∴四边形ABCO是平行四边形，∵OA=OC，∴▱ABCO是菱形；②由①知，四边形ABCO是菱形，∴OA=OC=AB=2，∴AD=2OA=4，由①知，∠COD=60°，在Rt△ACD中，∠CAD=30°，∴CD=2，AC=2，∴AD，AC与围成阴影部分的面积为S△AOC+S扇形COD=S△ACD+S扇形COD=××2×2+=+π．【点睛】本题主要考查了同角的余角相等，切线的性质，菱形的判定，扇形的面积公式，判断出BC∥OA是解本题的关键．11.（2022信阳一模）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC于点F，交AB的延长线于点G.（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若CF=1，∠ACB=60°，求图中阴影部分的面积.

【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）如图，连接，，由题意知，是线段的中点，是的中位线，根据平行线的性质可知，进而可证结论；（2）由题意知，是等边三角形，，，，，，证明，有，求解的长，根据，计算求解即可．【小问1详解】证明：如图，连接，

由题意知，∵∴是线段的中点∴是的中位线∴∵∴∴又∵是半径∴DF是⊙O的切线．【小问2详解】解：∵，∴，∴，是等边三角形∵∴∵∴，∴，∴∵，∴∴，即解得∵∴阴影部分的面积为．【点睛】本题考查了切线的判定，直角所对的圆周角为90°，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，含30°的直角三角形等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用．12.（2022濮阳二模）如图，点C为外一点，切于点B，弦//，交于D．

（1）如图1，连接，当=度时，四边形是菱形；（2）在（1）的条件下，①试探究与的数量关系，并说明理由；②如图2，连接，若的半径为2，阴影部分的面积为（结果保留π）；【答案】（1）60（2）①，证明见解析；②【解析】【分析】（1）证明是等边三角形即可求解；（2）根据切线的性质，以及含30度角的直角三角形的性质，可得，据此求解即可；②根据菱形的性质，可得，，根据阴影部分面积求解即可．【小问1详解】如图，连接，

四边形是菱形，，，，是等边三角形，，故答案为：60；【小问2详解】①四边形是菱形，，又，是等边三角形，，是的切线，，，，；②，，阴影部分面积．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，正切函数，扇形面积公式，掌握以上知识是解题的关键．13.（2022南阳方城二模）如图1，四边形ABCD内接于，AD为直径，过点C作于点E，连接AC．（1）求证：；（2）若CE是的切线，，连接OC，如图2．①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；②当AB＝2时，请直接写出AD，AC与围成阴影部分的面积为______．【答案】（1）见解析（2）①四边形ABCO是菱形．理由见解析；②【解析】【分析】（1）先判断出∠CBE=∠D，再用等角的余角相等，即可得出结论；（2）①先判断出OC∥AB，再判断出BC∥OA，进而得出四边形ABCO是平行四边形，即可得出结论；②先求出AC，BC，再求△AOC和扇形OCD的面积和，即可得出结论．【小问1详解】证明：∵四边形ABCD内接于∴∠D＋∠ABC＝180°∵∠CBE＋∠ABC＝180°∴∠CBE＝∠D∵AD为☉O的直径∴∠ACD＝90°∴∠CAD＋∠D＝90°∵CE⊥AB在Rt△BCE中，∠CBE＋∠ECB＝90°∴∠CAD＝∠ECB【小问2详解】①四边形ABCO是菱形理由：∵CE切☉O于点C∴CE⊥OC∵CE⊥AB∴AB∥OC∵∠CAD＝30°∴∠COD＝60°.∴∠BAO＝∠COD＝60°由（1）知∠CAD＝∠ECB＝30°∴∠CBE＝60°∴∠CBE＝∠BAO＝60°∴BC∥AO又AB∥OC∴四边形ABCO是平行四边形∵OA＝OC四边形ABCO是菱形.②由①知，四边形ABCO是菱形，∴OA=OC=AB=2，∴AD=2OA=4，由①知，∠COD=60°，在Rt△ACD中，∠CAD=30°，∴CD=2，AC=2，∴AD，AC与围成阴影部分的面积为：S△AOC+S扇形COD=S△ACD+S扇形COD=．．故答案为：．【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了同角的余角相等，切线的性质，菱形的判定，扇形的面积公式，判断出BC∥OA是解本题的关键．14.（2022河南兰考二模）在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“杠杆”，推动“杠杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎．如图，AB为圆O的直径，AC是的一条弦，D为弧BC的中点，作于点E，交AB的延长线于点F，连接DA．（1）若，则圆心O到“杠杆EF”的距离是多少？说明你的理由；（2）若，求阴影部分的面积．（结果保留）【答案】（1）45cm；（2）．【解析】【分析】（1）连接AD，证明，即圆心O到EF的距离为OD，再求出OD即可；（2）设，求出，作交AB于点H，求出，，即可求出阴影面积．【小问1详解】解：连接AD，∵D为弧BC的中点，∴，∵，∴，∴，∵，∴，即圆心O到EF的距离为OD，∵，∴；【小问2详解】解：设，则，∵，∴，∴，∵，∴，即，∴，作交AB于点H，∴，∵，∴，∴S阴影．【点睛】本题考查平行线的判定及性质，等弧所对的圆周角相等，解直角三角形，分割法求阴影部分的面积，（1）的关键是证明；（2）的关键是求出DH，OA的长度，理解阴影部分的面积包括扇形和三角形两部分．15．（2021达州中考）（8分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点（C不与点A，B重合）连接AC，BC，过点C作CD⊥AB，垂足为点D．将△ACD沿AC翻折，点D落在点E处得△ACE，AE交⊙O于点F．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若∠BAC＝15°，OA＝2，求阴影部分面积．【解答】（1）证明：连接OC，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∵△ACD沿AC翻折得到△ACE，∴∠EAC＝∠BAC，∠E＝∠ADC＝90°，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠BAC，∴∠ACO＝∠EAC，∴OC∥AE，∴∠AEC+∠ECO＝180°，∴∠ECO＝90°，即OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线；（2）连解：接OF，过点O作OG⊥AE于点G，∵∠BAC＝15°，∴∠BAE＝2∠OAC＝30°，∵OA＝2，∴OG＝OA＝1，AG＝，∵OA＝OF，∴AF＝2AG＝2，∵∠BOC＝2∠BAC＝30°，CD⊥AB，OC＝OA＝2，∴CD＝OC＝1，OD＝，∴AE＝AD＝AO+OD＝2+，∴EF＝AE﹣AF＝2﹣，CE＝CD＝1，∴S阴影＝S梯形OCEF﹣S扇形OCF＝×（2﹣+2）×1﹣×π×22＝2﹣﹣π．16.（2021巴中中考）如图、△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，其外角平分线AD与CO的延长线交于点D．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若AD＝2，BC＝6，求图中阴影部分面积．【考点】角平分线的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；切线的判定与性质；扇形面积的计算．【专题】证明题；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．【答案】（1）详见解答；（2）6π﹣9．【分析】（1）连接OA，证明OA⊥AD即可，利用角平分线的意义以及等腰三角形的性质得以证明；（2）求出圆的半径和阴影部分所对应的圆心角度数即可，利用相似三角形求出半径，再根据特殊锐角三角函数求出∠BOC．【解答】解：（1）如图，连接OA并延长交BC于E，∵AB＝AC，△ABC内接于⊙O，∴AE所在的直线是△ABC的对称轴，也是⊙O的对称轴，∴∠BAE＝∠CAE，又∵∠MAD＝∠BAD，∠MAD+∠BAD+∠BAE+∠CAE＝180°，∴∠BAD+∠BAE＝×180°＝90°，即AD⊥OA，∴AD是⊙O的切线；（2）连接OB，∵∠OAD＝∠OEC＝90°，∠AOD＝∠EOC，∴△AOD∽△EOC，∴＝设半径为r，在Rt△EOC中，有勾股定理得，OE＝＝，∴＝，解得r＝6（取正值），经检验r＝6是原方程的解，即OB＝OC＝OA＝6，又∵BC＝6，∴△OBC是等边三角形，∴∠BOC＝60°，OE＝OC＝3，∴S阴影部分＝S扇形BOC﹣S△BOC＝﹣×6×3＝6π﹣9．17．（2021江西中考）（9分）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，点C作CE⊥AB于点E，连接AC．（1）求证：∠CAD＝∠ECB；（2）若CE是⊙O的切线，∠CAD＝30°，连接OC，如图2．①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；②当AB＝2时，求AD，AC与围成阴影部分的面积．【分析】（1）先判断出∠CBE＝∠D,再用等角的余角相等，即可得出结论；（2）①先判断出OC∥AB，再判断出BC∥OA，进而得出四边形ABCO是平行四边形，即可得出结论；②先求出AC，BC，再用面积的和，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠CBE＝∠D，∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠D+∠CAD＝90°，∴∠CBE+∠CAD＝90°，∵CE⊥AB，∴∠CBE+∠BCE＝90°，∴∠CAD＝∠BCE；(2)①四边形ABCO是菱形，理由：∵∠CAD＝30°，∴∠COD＝2∠CAD＝60°，∠D＝90°﹣∠CAD＝60°，∵CE是⊙O的切线，∴OC⊥CE，∴CE⊥AB，∴OC∥AB，∴∠DAB＝∠COD＝60°，由（1）知，∠CBE+∠CAD＝90°，∴∠CBE＝90°﹣∠CAD＝60°＝∠DAB，∴BC∥OA，∴四边形ABCO是平行四边形，∵OA＝OC，∴▱ABCO是菱形；②由①知，四边形ABCO是菱形，∴OA＝OC＝AB＝2，∴AD＝2OA＝4，由①知，∠COD＝60°，在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，∴CD＝2，AC＝2，∴AD，AC与围成阴影部分的面积为S△AOC+S扇形COD＝S△ACD+S扇形COD＝××2×2+＝+π．18.（2021扬州中考）如图，四边形中，，，，连接，以点B为圆心，长为半径作，交于点E．（1）试判断与的位置关系，并说明理由；（2）若，，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）相切，理由见解析；（2）【解析】【分析】（1）过点B作BF⊥CD，证明△ABD≌△FBD，得到BF=BA，即可证明CD与圆B相切；（2）先证明△BCD是等边三角形，根据三线合一得到∠ABD=30°，求出AD，再利用S△ABD-S扇形ABE求出阴影部分面积．【详解】解：（1）过点B作BF⊥CD，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∵CB=CD，∴∠CBD=∠CDB，∴∠ADB=∠CDB，又BD=BD，∠BAD=∠BFD=90°，∴△ABD≌△FBD（AAS），∴BF=BA，则点F在圆B上，∴CD与圆B相切；（2）∵∠BCD=60°，CB=CD，∴△BCD是等边三角形，∴∠CBD=60°∵BF⊥CD，∴∠ABD=∠DBF=∠CBF=30°，∴∠ABF=60°，∵AB=BF=，∴AD=DF==2，∴阴影部分的面积=S△ABD-S扇形ABE==．【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积，三角函数的定义，题目的综合性较强，难度不小，解题的关键是正确做出辅助线．19．(2021襄阳中考)（8分）如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线BO与⊙O交于点F和点D，OA与⊙O交于点E，与DC交于点G，OA＝OB，CA＝CB．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若FC∥OA，CD＝6，求图中阴影部分面积．【分析】（1）连接OC，由等腰三角形的性质证得OC⊥AB，根据切线的判定得到AB是⊙O的切线；（2）由圆周角定理结合平行线的性质得到∠DGO＝90°，由垂径定理求得DG＝3，根据等腰三角形的性质结合平角的定义求得∠DOE＝60°，在Rt△ODG中，根据三角函数的定义求得OG＝2，OG＝，根据S阴影＝S扇形ODE﹣S△DOG即可求出阴影部分面积．【解答】（1）证明：连接OC，∵OA＝OB，CA＝CB，∴OC⊥AB，∵OC是⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线；（2）解：∵OF是⊙O的直径，∴∠DCF＝90°，∵FC∥OA，∴∠DGO＝∠DCF＝90°，∴DG⊥CD，∴DG＝CD＝×6＝3，∵OD＝OC，∴∠DOG＝∠COG，∵OA＝OB，AC＝CB，∴∠AOC＝∠BOC，∴∠DOE＝∠AOC＝∠BOC＝×180°＝60°，在Rt△ODG中，∵sin∠DOG＝，cos∠ODG＝，∴OD＝＝＝2，OG＝OD•cos∠DOG＝2×＝，∴S阴影＝S扇形ODE﹣S△DOG＝﹣××3＝2π﹣．20．（2021黄冈中考）（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC分别相切于点E，F，BO平分∠ABC（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若BE＝AC＝3，⊙O的半径是1，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）有切点则连圆心，证明垂直关系；无切点则作垂线，证明等于半径；（2）将不规则图形转化为规则图形间的换算．【解答】（1）证明：连接OE，OF，∵BO是∠ABC的平分线，∴OD═OE，OE是圆的一条半径，∴AB是⊙O的切线，故：AB是⊙O的切线．（2）∵BC、AC与圆分别相切于点E，∴OE⊥BC，OF⊥AC，∴四边形OECF是正方形，∴OE═OF═EC═FC═1，∴BC═BE+EC═4，又AC═3，∴S阴影═（S△ABC﹣S正方形OECF﹣优弧所对的S扇形EOF）═×（）═﹣．故图中阴影部分的面积是：﹣．21．（2021遵义中考）在复习菱形的判定方法时，某同学进行了画图探究，其作法和图形如下：①画线段AB；②分别以点A，B为圆心，大于AB长的一半为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN交AB于点O；③在直线MN上取一点C（不与点O重合），连接AC、BC；④过点A作平行于BC的直线AD，交直线MN于点D，连接BD．（1）根据以上作法，证明四边形ADBC是菱形；（2）该同学在图形上继续探究，他以点O为圆心作四边形ADBC的内切圆，构成如图所示的阴影部分，若AB＝2，∠BAD＝30°，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）根据作法可得AC＝BC，证明△ADO≌△BCO，根据对角线垂直平分的四边形ADBC是菱形即可证明结论；（2）结合（1）四边形ADBC是菱形，根据AB＝2，∠BAD＝30°，先求出圆O的半径，进而可以求图中阴影部分的面积．【解答】（1）证明：根据作法可知：直线MN是AB的垂直平分线，∴AC＝BC，OA＝OB，MN⊥AB，∵AD∥BC，∴∠ADO＝∠BCO，在△ADO和△BCO中，，∴△ADO≌△BCO（AAS），∴OD＝OC，∵OA＝OB，MN⊥AB，∴四边形ADBC是菱形；（2）∵四边形ADBC是菱形，∴OA＝AB＝2＝，∵∠BAD＝30°，设圆O切AD于点H，连接OH，则OH⊥AD，∴OH＝OA＝，∴S圆O＝OH2×π＝π，在Rt△AOD中，∠DOA＝30°，OA＝，∴OD＝OA×tan30°＝×＝1，∴CD＝2OD＝2，∴S菱形ADBC＝AB•CD＝2×2＝2，∴图中阴影部分的面积＝S菱形ADBC﹣S圆O＝2﹣π．22．（2021贵阳中考）（12分）如图，在⊙O中，AC为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，点E是的中点，过点E作AB的垂线，交AB于点M，交⊙O于点N，分别连接EB，CN．（1）EM与BE的数量关系是；（2）求证：＝；（3）若AM＝，MB＝1，求阴影部分图形的面积．【分析】（1）证得△BME是等腰直角三角形即可得到结论；（2）根据垂径定理得到∠EMB＝90°，进而证得∠ABE＝∠BEN＝45°，得到＝，根据题意得到＝，进一步得到＝；（3）先解直角三角形得到∠EAB＝30°，从而得到∠EOB＝60°，证得△EOB是等边三角形，则OE＝BE＝，然后证得△OEB≌△OCN，然后根据扇形的面积公式和三角形面积公式求得即可．【解答】解：（1）∵AC为⊙O的直径，点E是的中点，∴∠ABE＝45°，∵AB⊥EN，∴△BME是等腰直角三角形，∴BE＝EM，故答案为BE＝EM；（2）连接EO，AC是⊙O的直径，E是的中点，∴∠AOE＝90°，∴∠ABE＝∠AOE＝45°，∵EN⊥AB，垂足为点M，∴∠EMB＝90°∴∠ABE＝∠BEN＝45°，∴＝，∵点E是的中点，∴＝，∴＝，∴﹣＝﹣，∴＝；（3）连接AE，OB，ON，∵EN⊥AB，垂足为点M，∴∠AME＝∠EMB＝90°，∵BM＝1，由（2）得∠ABE＝∠BEN＝45°，∴EM＝BM＝1，又∵BE＝EM，∴BE＝，∵在Rt△AEM中，EM＝1，AM＝，∴tan∠EAB＝＝，∴∠EAB＝30°，∵∠EAB＝∠EOB，∴∠EOB＝60°，又∵OE＝OB，∴△EOB是等边三角形，∴OE＝BE＝，又∵＝，∴BE＝CN，∴△