2023年二轮复习解答题专题二十五：抛物线上面积类综合问题(原卷版+解析)

2023年二轮复习解答题专题二十五：抛物线上面积类综合问题方法点睛在处理相应二次函数有关的面积类综合问题时，结合相应的图形特征，学会灵活转化和计算，注意运用全等，勾股及相似等相关知识，体现数形结合及代数式的运算计巧，对于相应交点，学会联立方程组来求取点坐标典例分析类型一：由已知面积来定未知面积类问题例1：（2022青海中考）如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C.图1图2（1）求该抛物线的解析式；（2）若点E是抛物线的对称轴与直线BC的交点，点F是抛物线的顶点，求EF的长；（3）设点P是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足的点P？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.（请在图2中探讨）类型二：图形面积的最大值问题例2：（2022广安中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2，0）．

（1）求此抛物线的函数解析式．（2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标．类型三：与面积倍分有关的综合题例3：（2022内江中考）（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．（1）求这条抛物线所对应的函数的表达式；（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的最大值及此时点D的坐标；（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，求点P的坐标．专题过关1.（2022枣庄中考）（12分）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的关系式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；（3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；（4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．2.（2022沈阳中考）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线经过点和点与x轴另一个交点A．抛物线与y轴交于点C，作直线AD．（1）①求抛物线的函数表达式②并直接写出直线AD的函数表达式．（2）点E是直线AD下方抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE，面积记为，的面积记为，当时，求点E的坐标；（3）点G为抛物线的顶点，将抛物线图象中x轴下方部分沿x轴向上翻折，与抛物线剩下部分组成新的曲线为，点C的对应点，点G的对应点，将曲线，沿y轴向下平移n个单位长度（）．曲线与直线BC的公共点中，选两个公共点作点P和点Q，若四边形是平行四边形，直接写出P的坐标．3．（2022日照中考）（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+2mx+3m，点A（3，0）．（1）当抛物线过点A时，求抛物线的解析式；（2）证明：无论m为何值，抛物线必过定点D，并求出点D的坐标；（3）在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD交于点M，PD与y轴交于点N．设S＝S△PAM﹣S△BMN，问是否存在这样的点P，使得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值；若不存在，请说明理由．4.（2022泸州中考）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，两点，直线与轴交于点．（1）求，的值；（2）经过点的直线分别与线段，直线交于点，，且与的面积相等，求直线的解析式；（3）是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段和直线上是否分别存在点，，使，，，为顶点的四边形是以为一边的矩形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．5.（2022乐山中考）如图1，已知二次函数的图象与x轴交于点、，与y轴交于点C，且．（1）求二次函数的解析式；（2）如图2，过点C作轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上异于点D的一个动点，连接PB、PC，若，求点P的坐标；（3）如图3，若点P是二次函数图象上位于BC下方的一个动点，连接OP交BC于点Q．设点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示的值，并求的最大值．6.（2022成都中考）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧），点关于轴的对称点为．（1）当时，求，两点的坐标；（2）连接，，，，若的面积与的面积相等，求的值；（3）试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．7．（2022烟台中考）（14分）如图，已知直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．（1）求抛物线的表达式；（2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；（3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．8.（2022泰安中考）如图，抛物线的图象经过点C，交x轴于点（点A在点B左侧），且连接，D是上方的抛物线一点．

（1）求抛物线的解析式；（2）连接，，是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）第二象限内抛物线上是否存在一点D，垂直于点F，使得中有一个锐角等于与的两倍？若存在，求点D得横坐标，若不存在，请说明理由．9.（2022通辽中考）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线方程为．（1）求抛物线的解析式；（2）点为抛物线上一点，若，请直接写出点的坐标；（3）点是抛物线上一点，若，求点的坐标．10.（2022包头中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，点B的坐标是，顶点C的坐标是，M是抛物线上一动点，且位于第一象限，直线与y轴交于点G．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图1，N是抛物线上一点，且位于第二象限，连接，记的面积分别为．当，且直线时，求证：点N与点M关于y轴对称；（3）如图2，直线与y轴交于点H，是否存在点M，使得．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．11.（2022营口中考）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与y轴交于点C，点P为抛物线上一动点．

（1）求抛物线和直线的解析式；（2）如图，点P为第一象限内抛物线上的点，过点P作，垂足为D，作轴，垂足为E，交于点F，设的面积为，的面积为，当时，求点P坐标；（3）点N为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N，使得直线垂直平分线段？若存在，请直接写出点N坐标，若不存在，请说明理由．12.（2022盘锦中考）如图，抛物线与x轴交于两点（A在B的左侧），与y轴交于点，点P在抛物线上，连接．

（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P在第四象限，点D在线段上，连接并延长交x轴于点E，连接，记的面积为，的面积为，当时，求点P的坐标；（3）如图2，若点P在第二象限，点F为抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与线段交于点G，当时，求点P的横坐标．13.（2022泰州中考）如图，二次函数的图像与轴相交于点，与反比例函数的图像相交于点B(3，1).

（1）求这两个函数的表达式；（2）当随的增大而增大且时，直接写出的取值范围；（3）平行于轴的直线l与函数的图像相交于点C、D（点C在点D的左边），与函数的图像相交于点E.若△ACE与△BDE的面积相等，求点E的坐标.14.（2022连云港中考）已知二次函数，其中．

（1）当该函数的图像经过原点，求此时函数图像的顶点的坐标；（2）求证：二次函数的顶点在第三象限；（3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线上运动，平移后所得函数的图像与轴的负半轴的交点为，求面积的最大值．15.（2022岳阳中考）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线F1：y=x2+bx+c经过点A(−3,0)和点B(1,0)．

(1)求抛物线F1的解析式；

(2)如图2，作抛物线F2，使它与抛物线F1关于原点O成中心对称，请直接写出抛物线F2的解析式；

(3)如图3，将(2)中抛物线F2向上平移2个单位，得到抛物线F3，抛物线F1与抛物线F3相交于C，D两点(点C在点D的左侧)．

①求点C和点D的坐标；

②若点M，N分别为抛物线F1和抛物线F3上C，D之间的动点(16.（2022娄底中考）如图，抛物线与轴相交于点、点，与轴相交于点．

（1）请直接写出点，，的坐标；（2）点在抛物线上，当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值．（3）点是抛物线上的动点，作//交轴于点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．17.（2022常德中考）如图，已经抛物线经过点，，且它的对称轴为．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限，当的面积为15时，求的坐标；（3）在（2）的条件下，是抛物线上的动点，当的值最大时，求的坐标以及的最大值18.（2022随州中考）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴分则点A和点，与y轴交于点C，对称轴为直线，且，P为抛物线上一动点．

（1）直接写出抛物线的解析式；（2）如图2，连接AC，当点P在直线AC上方时，求四边形PABC面积的最大值，并求出此时P点的坐标；（3）设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由．19.（2022黄冈中考）抛物线y＝x2－4x与直线y＝x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D．（1）直接写出点B和点D的坐标；（2）如图1，连接OD，P为x轴上的动点，当tan∠PDO＝时，求点P的坐标；（3）如图2，M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为m（0＜m＜5），连接MQ，BQ，MQ与直线OB交于点E．设△BEQ和△BEM的面积分别为S1和S2，求的最大值．20.（2022龙东中考）如图，抛物线经过点，点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点P，使的面积是面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由．21.（2022哈尔滨中考）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线经过点，点，与y轴交于点C．（1）求a，b的值；（2）如图1，点D在该抛物线上，点D的横坐标为，过点D向y轴作垂线，垂足为点E．点P为y轴负半轴上的一个动点，连接、设点P的纵坐标为t，的面积为S，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）如图2，在（2）的条件下，连接，点F在上，过点F向y轴作垂线，垂足为点H，连接交y轴于点G，点G为的中点，过点A作y轴的平行线与过点P所作的x轴的平行线相交于点N，连接，，延长交于点M，点R在上，连接，若，，求直线的解析式．22.（2022贺州中考）如图，抛物线过点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线对称轴上一动点，当是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）在（2）条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．23.（2022广东中考）如图，抛物线（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，，，点P为线段上的动点，过P作交于点Q．

（1）求该抛物线的解析式；（2）求面积的最大值，并求此时P点坐标．24.（2022福建中考）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．（1）求抛物线的解析式；（2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；（3）如图，OP交AB于点C，交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．25.（2022南阳卧龙一模）如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为该抛物线对称轴上一点，当最小时，求点M的坐标；（3）若点P在抛物线第一象限的图象上，则面积的最大值为________．26.（2022西工大附中三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线W1与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣6），顶点为D（﹣2，2）．

（1）求抛物线W1表达式；（2）将抛物线W1绕原点O旋转180°得到抛物线W2，抛物线W2的顶点为D'，在抛物线W2上是否存在点M，使S△D′AD＝S△D′DM？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．27.（2022山西百校联考）如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．连接，．（1）求抛物线的表达式，并直接写出所在直线的表达式．（2）点为第四象限内抛物线上一点，连接，，求四边形面积的最大值及此时点的坐标．（3）设点是所在直线上一点，且点的横坐标为．是否存在点，使为等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．28.（2022山西一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与坐标轴相交于A，B，C三点，其中A点坐标为，B点坐标为，连接，．动点P从A点出发，在线段上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从B点出发，在段上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒．（1）________，________；（2）在P，Q运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？（3）在线段上方的抛物线上是否存在点M，使是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．29.（2022山西三模）综合与探究如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线过点B，C，且与x轴交于另一点A，点D为抛物线上一动点，其横坐标为m．

（1）求k，b的值和点A的坐标．（2）若点D在第一象限，连接交于点E，连接，，当的面积是的面积的一半时，求m的值．（3）连接，是否存在点D，使得，若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．30.（2022临汾二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，，三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点为第三象限内抛物线上一动点，点的横坐标为，的面积为，求关于的函数关系式，并求出的最大值．（3）若点是抛物线上的动点，点是直线上的动点，若以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点的坐标．2023年二轮复习解答题专题二十五：抛物线上面积类综合问题方法点睛在处理相应二次函数有关的面积类综合问题时，结合相应的图形特征，学会灵活转化和计算，注意运用全等，勾股及相似等相关知识，体现数形结合及代数式的运算计巧，对于相应交点，学会联立方程组来求取点坐标典例分析类型一：由已知面积来定未知面积类问题例1：（2022青海中考）如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C.图1图2（1）求该抛物线的解析式；（2）若点E是抛物线的对称轴与直线BC的交点，点F是抛物线的顶点，求EF的长；（3）设点P是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足的点P？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.（请在图2中探讨）【答案】（1）（2）2（3）当点的坐标分别为，，，时，，理由见解析．【解析】【分析】（1）把点A、B的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数b、c的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；（2）结合抛物线的解析式得到点C、F的坐标，利用B、C的坐标可以求得直线BC的解析式，由一次函数图像上点的坐标特征和点的坐标与图形的性质进行解答即可；（3）根据P点在抛物线上设出P点，然后再由S△PAB=8，从而求出P点坐标．【小问1详解】解：∵抛物线与轴的两个交点分别为，，∴，解得．∴所求抛物线的解析式为．【小问2详解】解：由（1）知，抛物线的解析式为，则，又，∴．设直线的解析式为，把代入，得，解得，则该直线的解析式为．故当时，，即，∴，即．【小问3详解】解：设点，由题意，得，∴，∴，当时，，∴，，当时，，∴，，∴当点的坐标分别为，，，时，．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和待定系数法求一次函数以及一次函数图像上点的坐标特征，抛物线解析式的三种形式之间的转化，熟练掌握函数的性质是解答此题的关键．类型二：图形面积的最大值问题例2：（2022广安中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2，0）．

（1）求此抛物线的函数解析式．（2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标．【答案】（1）（2）（-2，-4）（3）P点坐标为：（-1，3），（-1，-5），，【解析】【分析】（1）直接将B（0，-4），C（2，0）代入，即可求出解析式；（2）先求出直线AB关系式为：，直线AB平移后的关系式为：，当其与抛物线只有一个交点时，此时点D距AB最大，此时△ABD的面积最大，由此即可求得D点坐标；（3）分三种情况讨论，①当∠PAB=90°时，即PA⊥AB，则设PA所在直线解析式为：，将A（-4,0）代入得，解得：，此时P点坐标为：（-1,3）；②当∠PBA=90°时，即PB⊥AB，则设PB所在直线解析式为：，将B（0，-4）代入得，，此时P点坐标为：（-1,-5）；③当∠APB=90°时，设P点坐标为：，由于PA所在直线斜率为：，PB在直线斜率为：，=-1，则此时P点坐标为：，．【小问1详解】解：将B（0，-4），C（2，0）代入，得：，解得：，∴抛物线的函数解析式为：．【小问2详解】向下平移直线AB，使平移后的直线与抛物线只有唯一公共点D时，此时点D到直线AB的距离最大，此时△ABD的面积最大，∵时，，，∴A点坐标为：（-4,0），设直线AB关系式为：，将A（-4,0），B（0，-4），代入，得：，解得：，∴直线AB关系式为：，设直线AB平移后的关系式为：，则方程有两个相等的实数根，即有两个相等的实数根，∴，即的解为：x=-2，将x=-2代入抛物线解析式得，，∴点D的坐标为：（-2，-4）时，△ABD的面积最大；【小问3详解】①当∠PAB=90°时，即PA⊥AB，则设PA所在直线解析式为：，将A（-4,0）代入得，，解得：，∴PA所在直线解析式为：，∵抛物线对称轴为：x=-1，∴当x=-1时，，∴P点坐标：（-1，3）；②当∠PBA=90°时，即PB⊥AB，则设PB所在直线解析式为：，将B（0，-4）代入得，，∴PA所在直线解析式为：，∴当x=-1时，，∴P点坐标为：（-1，-5）；③当∠APB=90°时，设P点坐标为：，∴PA所在直线斜率为：，PB在直线斜率为：，∵PA⊥PB，∴=-1，解得：，，∴P点坐标为：，综上所述，P点坐标为：（-1，3），（-1，-5），，时，△PAB为直角三角形．【点睛】本题主要考查的是二次函数图象与一次函数、三角形的综合，灵活运用所学知识是解题的关键．类型三：与面积倍分有关的综合题例3：（2022内江中考）（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．（1）求这条抛物线所对应的函数的表达式；（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的最大值及此时点D的坐标；（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，求点P的坐标．【分析】（1）运用待定系数法即可解决问题；（2）过点D作DH⊥AB于H，交直线AC于点G，过点D作DE⊥AC于E，可用待定系数法求出直线AC的解析式，设点D的横坐标为m，则点G的横坐标也为m，从而可以用m的代数式表示出DG，然后利用cos∠EDG＝cos∠CAO得到DE＝DG，可得出关于m的二次函数，运用二次函数的最值即可解决问题；（3）根据S△PCB：S△PCA＝EB×（yC﹣yP）：AE×（yC﹣yP）＝BE：AE，即可求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2；（2）过点D作DH⊥AB于H，交直线AC于点G，过点D作DE⊥AC于E，如图．设直线AC的解析式为y＝kx+t，则，解得：，∴直线AC的解析式为y＝x+2．设点D的横坐标为m，则点G的横坐标也为m，∴DH＝﹣m2﹣m+2，GH＝m+2∴DG＝﹣m2﹣m+2﹣m﹣2＝﹣m2﹣m，∵DE⊥AC，DH⊥AB，∴∠EDG+DGE＝AGH+∠CAO＝90°，∵∠DGE＝∠AGH，∴∠EDG＝∠CAO，∴cos∠EDG＝cos∠CAO＝＝，∴，∴DE＝DG＝（﹣m2﹣m）＝﹣（m2+4m）＝﹣（m+2）2+，∴当m＝﹣2时，点D到直线AC的距离取得最大值．此时yD＝﹣×（﹣2）2﹣×（﹣2）+2＝2，即点D的坐标为（﹣2，2）；（3）如图，设直线CP交x轴于点E，直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，又∵S△PCB：S△PCA＝EB×（yC﹣yP）：AE×（yC﹣yP）＝BE：AE，则BE：AE＝1：5或5：1则AE＝5或1，即点E的坐标为（1，0）或（﹣3，0），将点E的坐标代入直线CP的表达式：y＝nx+2，解得：n＝﹣2或，故直线CP的表达式为：y＝﹣2x+2或y＝x+2，联立方程组或，解得：x＝6或﹣（不合题意值已舍去），故点P的坐标为（6，﹣10）或（﹣，﹣）．【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，锐角三角函数、图象面积计算等，解决问题的关键是将面积比转化为线段比．专题过关1.（2022枣庄中考）（12分）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的关系式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；（3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；（4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法可得抛物线的解析式；（2）过P作PG∥y轴，交OE于点G，设P（m，m2﹣4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得△OPE的面积，利用二次函数的最值可得其最大值；（3）求出原抛物线的对称轴和顶点坐标以及对称轴与OE的交点坐标、与AE的交点坐标，用含h的代数式表示平移后的抛物线的顶点坐标，列出不等式组求出h的取值范围；（4）存在四种情况：作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据|OM|＝|PN|，列方程可得点P的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；（2）如图，过P作PG∥y轴，交OE于点G，设P（m，m2﹣4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，∴∠AOE＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE＝OA＝3，∴E（3，3），∴直线OE的解析式为：y＝x，∴G（m，m），∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3，∴S△OPE＝S△OPG+S△EPG＝PG•AE＝×3×（﹣m2+5m﹣3）＝﹣（m2﹣5m+3）＝﹣（m﹣）2+，∵﹣＜0，∴当m＝时，△OPE面积最大，此时，P点坐标为（，﹣）；（3）由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得抛物线l的对称轴为直线x＝2，顶点为（2，﹣1），抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为F（2，﹣1+h）．设直线x＝2交OE于点DM，交AE于点N，则E（2，3），∵直线OE的解析式为：y＝x，∴M（2，2），∵点F在△OAE内（包括△OAE的边界），∴2≤﹣1+h≤3，解得3≤h≤4；（4）设P（m，m2﹣4m+3），分四种情况：①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，∴∠OMP＝∠PNF＝90°，∵△OPF是等腰直角三角形，∴OP＝PF，∠OPF＝90°，∴∠OPM+∠NPF＝∠PFN+∠NPF＝90°，∴∠OPM＝∠PFN，∴△OMP≌△PNF（AAS），∴OM＝PN，∵P（m，m2﹣4m+3），则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，解得：m＝（舍）或，∴P的坐标为（，）；②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3，解得：m1＝（舍）或m2＝，∴P的坐标为（，）；③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，如图，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，同理得△ONP≌△PMF，∴PN＝FM，则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，解得：m＝或m2＝（舍）；P的坐标为（，）；④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，如图，同理得m2﹣4m+3＝m﹣2，解得：m＝或（舍），P的坐标为：（，）；综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的图象与性质及图形的平移，全等三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，运用分类讨论思想和方程的思想解决问题的关键．2.（2022沈阳中考）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线经过点和点与x轴另一个交点A．抛物线与y轴交于点C，作直线AD．（1）①求抛物线的函数表达式②并直接写出直线AD的函数表达式．（2）点E是直线AD下方抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE，面积记为，的面积记为，当时，求点E的坐标；（3）点G为抛物线的顶点，将抛物线图象中x轴下方部分沿x轴向上翻折，与抛物线剩下部分组成新的曲线为，点C的对应点，点G的对应点，将曲线，沿y轴向下平移n个单位长度（）．曲线与直线BC的公共点中，选两个公共点作点P和点Q，若四边形是平行四边形，直接写出P的坐标．【答案】（1）①；②（2）（2，-4）（3）【解析】【分析】（1）①利用待定系数解答，即可求解；②利用待定系数解答，即可求解；（2）过点E作EG⊥x轴交AD于点G，过点B作BH⊥x轴交AD于点H，设点，则点，可得，然后根据△EFG∽△BFH，即可求解；（3）先求出向上翻折部分的图象解析式为，可得向上翻折部分平移后的函数解析式为，平移后抛物线剩下部分的解析式为，分别求出直线BC和直线的解析式为，可得BC∥C′G′，再根据平行四边形的性质可得点，然后分三种情况讨论：当点P，Q均在向上翻折部分平移后的图象上时；当点P在向上翻折部分平移后的图象上，点Q在平移后抛物线剩下部分的图象上时；当点P在平移后抛物线剩下部分的图象上，点Q在向上翻折部分平移后的图象上时，即可求解．【小问1详解】解：①把点和点代入得：，解得：，∴抛物线解析式为；②令y=0，则，解得：，∴点A（-2，0），设直线AD的解析式为，∴把点和点A（-2，0）代入得：，解得：，∴直线AD的解析式为；【小问2详解】解：如图，过点E作EG⊥x轴交AD于点G，过点B作BH⊥x轴交AD于点H，当x=6时，，∴点H（6，-4），即BH=4，设点，则点，∴，∵的面积记为，的面积记为，且，∴BF=2EF，∵EG⊥x，BH⊥x轴，∴△EFG∽△BFH，∴，∴，解得：或0（舍去），∴点E的坐标为（2，-4）；【小问3详解】解：，∴点G的坐标为（2，-4），当x=0时，y=-3，即点C（0，-3），∴点，∴向上翻折部分的图象解析式为，∴向上翻折部分平移后的函数解析式为，平移后抛物线剩下部分的解析式为，设直线BC的解析式为，把点B（6，0），C（0，-3）代入得：，解得：，∴直线BC的解析式为，同理直线的解析式为，∴BC∥C′G′，设点P的坐标为，∵点，∴点C′向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点G′，∵四边形是平行四边形，∴点，当点P，Q均在向上翻折部分平移后的图象上时，，解得：（不合题意，舍去），当点P在向上翻折部分平移后的图象上，点Q在平移后抛物线剩下部分的图象上时，，解得：或（不合题意，舍去），当点P在平移后抛物线剩下部分的图象上，点Q在向上翻折部分平移后的图象上时，，解得：或（不合题意，舍去），综上所述，点P的坐标为．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键．3．（2022日照中考）（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+2mx+3m，点A（3，0）．（1）当抛物线过点A时，求抛物线的解析式；（2）证明：无论m为何值，抛物线必过定点D，并求出点D的坐标；（3）在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD交于点M，PD与y轴交于点N．设S＝S△PAM﹣S△BMN，问是否存在这样的点P，使得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）把x＝3，y＝0代入y＝﹣x2+2mx+3，从而求得m，进而求得抛物线的解析式；（2）将抛物线的解析式变形为：y＝﹣x2+m（2x+3），进而根据2x+3＝0，求得x的值，进而求得结果；（3）将S变形为：S＝（S△PAM﹣+S四边形AONM）﹣（S四边形AONM+S△BMN）＝S四边形AONP﹣S△AOB，设P（m，﹣m2+2m+3），设PD的解析式为：y＝kx+b，将点P和点D坐标代入，从而求得PD的解析式，进而求得点N的坐标，进而求得S关于m的解析式，进一步求得结果．【解答】（1）解：把x＝3，y＝0代入y＝﹣x2+2mx+3得，﹣9+6m+3m＝0，∴m＝1，∴y＝﹣x2+2x+3；（2）证明：∵y＝﹣x2+m（2x+3），∴当2x+3＝0时，即x＝﹣时，y＝﹣，∴D（﹣，﹣）；（3）如图，连接OP，设P（m，﹣m2+2m+3），设PD的解析式为：y＝kx+b，∴，∴，∴ON＝﹣，∵S＝S△PAM﹣S△BMN，∴S＝（S△PAM﹣+S四边形AONM）﹣（S四边形AONM+S△BMN）＝S四边形AONP﹣S△AOB，∵S四边形AONP＝S△AOP+S△PON＝+＝+＝﹣++，S△AOB＝＝，∴S＝﹣+m＝﹣（m﹣）2+，∴当m＝时，S最大＝，当m＝时，y＝﹣（）2+2×+3＝，∴P（，）．【点评】本题考查了求一次函数的解析式，二次函数及其图象性质等知识，解决问题的关键是变形S，转化为常见的面积计算．4.（2022泸州中考）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，两点，直线与轴交于点．（1）求，的值；（2）经过点的直线分别与线段，直线交于点，，且与的面积相等，求直线的解析式；（3）是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段和直线上是否分别存在点，，使，，，为顶点的四边形是以为一边的矩形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1），（2）（3）存在点，F的坐标为【解析】【分析】（1）将点A，B的坐标带入抛物线方程即可的到关于、的方程，即可计算出、的值；（2）设点E的坐标为，D的坐标为，直线DE的解析式为，结合题意，根据一次函数、一元二次方程的性质分析，得到最终的答案；（3）设P点存在且坐标为，过点P作，交BO于点M，延长MP交直线于点N，根据二次函数、相似三角形的性质计算出、值，即可得到答案．【小问1详解】∵抛物线经过，两点∴∴∴∴；【小问2详解】过点D作，交于点M，过点D作，交于点N∵直线DE经过点O∴设直线DE为设点E为∵点E为直线和直线的交点∴∴∵点C为，点E为∴，∵∴设点D的坐标为∵，∴,∵点B的坐标为∴∵∴∵点A的坐标为∴∵∴∵∴∵与的面积相等，∴∵点D在直线DE上∴∴∴∴∴∴，或∵直线DE过二、四象限∴∴∴直线的解析式为；【小问3详解】设P存在且坐标为，过点P作，交BO于点M，延长MP交直线于点N∵点B的坐标为，点P的坐标为∴，∵∴∵∴∴∵四边形BFGP为矩形∴∴∵∴∴∵∴∴∵四边形BFGP为矩形∴，∴∵∴∴∵∴∴∵∴∵∴∴∵点在抛物线上，且抛物线为∴∴∴，或∵当时，点P与点B重合∴舍去∴∵∴∵F在线段OC上∴点F的坐标为．【点睛】本题考查了矩形、一次函数、二次函数、一元二次方程、直角三角形、相似三角形的相关知识；解题的关键是熟练掌握矩形、一次函数、二次函数、相似三角形的性质，从而完成求解．5.（2022乐山中考）如图1，已知二次函数的图象与x轴交于点、，与y轴交于点C，且．（1）求二次函数的解析式；（2）如图2，过点C作轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上异于点D的一个动点，连接PB、PC，若，求点P的坐标；（3）如图3，若点P是二次函数图象上位于BC下方的一个动点，连接OP交BC于点Q．设点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示的值，并求的最大值．【答案】（1）；（2）P（1+）或（1-）；（3）【解析】【分析】（1）在Rt△AOC中求出OC的长，从而确定点C的坐标，将二次函数设为交点式，将点C的坐标代入，进一步求得结果；（2）可分为点P在第三象限和第一象限两种情况：当点P在第三象限时，设点P（a，），可表示出△BCD的面积，作PE∥AB交BC于E，先求出直线BC，从而得到E点坐标，从而表示出△PBC的面积，根据S△PBC=S△BCD，列出方程，进一步求得结果，当P在第一象限，同样的方法求得结果；（3）作PN⊥AB于N，交BC于M，根据P（t，），M（t，），表示出PM的长，根据PN∥OC，得出△PQM∽△OQC，从而得出，从而得出的函数表达式，进一步求得结果．【小问1详解】∵A（-1，0），∴OA=1，又∵∠AOC=90°，tan∠OAC=，∴OC=2OA=2即点C的坐标为（0，-2），设二次函数的解析式为y=a（x+1）（x-2），将C点坐标代入得：a=1，∴y=（x+1）（x-2）=；【小问2详解】设点P（a，），如图所示，当点P在第三象限时，作PE∥AB交BC于E，∵B（2，0），C（0，-2），∴直线BC的解析式为：y=x-2，∴当时，x=y+2=，∴PE==，∴S△PBC=PE·OC，∵抛物线的对称轴为y=，CD∥x轴，C（0，-2），∴点D（1，-2），∴CD=1，∴S△BCD=CD·OC，∴PE·OC=CD·OC，∴a2-2a=1，解得a1=1+（舍去），a2=1-；当x=1-时，y==a-1=-，∴P（1-，-），如图，当点P在第一象限时，作PE⊥x轴于点E，交直线BC于F，∴F（a，a-2），∴PF=（）-（a-2）=，∴S△PBC=PF·OB=CD·OC，∴=1，解得a1=1+，a2=1-（舍去）；当a=1+时，y==，∴P（1+，），综上所述，P点坐标为（1+）或（1-）；【小问3详解】如图，作PN⊥AB于N，交BC于M，由题意可知，P（t，），M（t，t-2），∴PM=（t-2）-（）=-，又∵PN∥OC，∴△PQM∽△OQC，∴+，∴当t=1时，()最大=．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，三角函数的应用、二次函数的解析式、相似三角形的综合和配方法求最值等，熟练掌握二次函数的图象与性质是解决此类问题的关键．6.（2022成都中考）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧），点关于轴的对称点为．（1）当时，求，两点的坐标；（2）连接，，，，若的面积与的面积相等，求的值；（3）试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．【答案】（1）点的坐标为，点的坐标为（2）或（3）是，【解析】【分析】(1)解方程组，整理得到，解方程即可得到答案．(2)分k＜0和k＞0，两种情形求解．(3)设直线A的解析式为y=px+q，根据题意求得p，q的值，结合方程组的意义，确定与y轴的交点即可．【小问1详解】根据题意，得，整理得到，解方程，得，当x=-3时，y=-9；当x=1时，y=-1；∵点在点的左侧，∴点的坐标为（-3，-9），点的坐标为（1，-1）．【小问2详解】∵A，B是抛物线图像上的点，设A（m，），B（n，），则（-n，），当k＞0时，根据题意，得，整理得到，∴m，n是两个根，∴，设直线y=kx-3与y轴的交点为D，则点D（0，-3）∴，，∴==，∴3==，∴，∵n≠0，∴，，∴，解得k=或k=-(舍去)，故k=；当k＜0时，根据题意，得，整理得到，∴m，n是的两个根，∴，设直线y=kx-3与y轴的交点为D，则点D（0，-3）∴，，∴==，∴3==-，∴-，∵n≠0，∴，，∴，解得k=-或k=(舍去)，故k=-；综上所述，k的值为或．【小问3详解】直线A一定过定点（0，3）．理由如下：∵A，B是抛物线图像上的点，∴设A（m，），B（n，），则（-n，），根据题意，得，整理得到，∴m，n是的两个根，∴，设直线A的解析式为y=px+q，根据题意，得，解得，∴直线A的解析式为y=（n-m）x-mn，∵mn=-3，∴-mn=3，∴直线A的解析式为y=（n-m）x+3，故直线A一定过定点（0，3）．【点睛】本题考查了抛物线与一次函数的交点问题，待定系数法，一元二次方程根与系数关系定理，对称性，熟练掌握抛物线与一次函数的交点，及其根与系数关系定理是解题的关键．7．（2022烟台中考）（14分）如图，已知直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．（1）求抛物线的表达式；（2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；（3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先求得A，C，B三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果；（2）作DF⊥AB于F，交AC于E，根据点D和点E坐标可表示出DE的长，进而表示出三角形ADC的面积，进而表示出S的函数关系式，进一步求得结果；（3）根据菱形性质可得PA＝PC，进而求得点P的坐标，根据菱形性质，进一步求得点Q坐标．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝4，∴C（0，4），当y＝0时，x+4＝0，∴x＝﹣3，∴A（﹣3，0），∵对称轴为直线x＝﹣1，∴B（1，0），∴设抛物线的表达式：y＝a（x﹣1）•（x+3），∴4＝﹣3a，∴a＝﹣，∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）•（x+3）＝﹣x2﹣x+4；（2）如图1，作DF⊥AB于F，交AC于E，∴D（m，﹣﹣m+4），E（m，﹣m+4），∴DE＝﹣﹣m+4﹣（m+4）＝﹣m2﹣4m，∴S△ADC＝OA＝•（﹣m2﹣4m）＝﹣2m2﹣6m，∵S△ABC＝＝＝6，∴S＝﹣2m2﹣6m+6＝﹣2（m+）2+，∴当m＝﹣时，S最大＝，当m＝﹣时，y＝﹣＝5，∴D（﹣，5）；（3）设P（﹣1，n），∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，∴PA＝PC，即：PA2＝PC2，∴（﹣1+3）2+n2＝1+（n﹣4）2，∴n＝，∴P（﹣1，），∵xP+xQ＝xA+xC，yP+yQ＝yA+yC∴xQ＝﹣3﹣（﹣1）＝﹣2，yQ＝4﹣＝，∴Q（﹣2，）．【点评】本题考查了二次函数及其图象性质，勾股定理，菱形性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握相关二次函数和菱形性质．8.（2022泰安中考）如图，抛物线的图象经过点C，交x轴于点（点A在点B左侧），且连接，D是上方的抛物线一点．

（1）求抛物线的解析式；（2）连接，，是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）第二象限内抛物线上是否存在一点D，垂直于点F，使得中有一个锐角等于与的两倍？若存在，求点D得横坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）存在，的最大值是，（3）存在，点D的横坐标为或【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系求得的值进而即可求解；（2）令y=0，解方程得到x1=-4，x2=1，求得,，进而求得直线解析式，，过D作DM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴交于AC于N，根据相似三角形的性质即可得到结论；（3）根据勾股定理的逆定理得到△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P，求得P（-，0），得到PA=PC=PB=，过D作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延线于G，情况一：如图2，∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，情况二，∠FDC=2∠BAC，解直角三角形即可得到结论．【小问1详解】由，令，即则交x轴于点（点A在点B左侧），且即解得抛物线的函数表达式为；【小问2详解】由，令，则解得则,令，则即设直线的解析式为则解得直线的解析式为

过D作DM⊥x轴交AC于M，过B作BN⊥x轴交AC于N，∴DM∥BN，∴△DME∽△BNE，∴=DE：BE=DM：BN，设D（a，），∴M（a，a+2），∵B（1.0），∴N（1，），∴=DM：BN=（-a2-2a）：=-（a+2）2+；∴当a=-2时，S1：S2的最大值是；，则；【小问3详解】∵A（-4，0），B（1，0），C（0，2），∴AC=2，BC=，AB=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P，∴P（-，0），∴PA=PC=PB=，∴∠CPO=2∠BAC，∴tan∠CPO=tan（2∠BAC）=，过作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延长线于G，

情况一：如图2，∴∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，∴∠CDG=∠BAC，∴tan∠CDG=tan∠BAC=，即RC：DR=，令D（a，-a2-a+2），∴DR=-a，RC=-a2-a，∴（-a2-a）：（-a）=1：2，∴a1=0（舍去），a2=-2，∴xD=-2，情况二：∴∠FDC=2∠BAC，∴tan∠FDC=，设FC=4k，∴DF=3k，DC=5k，∵tan∠DGC=3k：FG=1：2，∴FG=6k，∴CG=2k，DG=3k∴，，∴，解得a1=0（舍去），a2=-，综上所述：点D横坐标为-2或-．【点睛】本题考查了二次函数综合题，一元二次方程根与系数的关系，待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，直角三角形的性质等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键．9.（2022通辽中考）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线方程为．（1）求抛物线的解析式；（2）点为抛物线上一点，若，请直接写出点的坐标；（3）点是抛物线上一点，若，求点的坐标．【答案】（1）y=-x2+4x-3（2）(,)或(,)或（,）或(,)（3）(,)【解析】【分析】（1）先根据一次函数解析式求出点B、C坐标；再代入，求出b、c即可求解；（2）过点A作AN⊥BC于N，过点P作PM⊥BC于M，过点P作PEBC，交y轴于E,交抛物线于p1,p2，过点E作EF⊥BC于F，先求出AN=，再根据两三角形面积关系，求得PM=，从而求得CE=1，则点P是将直线BC向上或向下平移1个单位与抛物线的交点，联立解析式即可求出交点坐标；（3）过点Q作AD⊥CQ于D，过点D作DF⊥x轴于F财富点C作CE⊥DF于E，证△CDE≌△DAD（AAS），得DE=AF，CE=DF，再证四边形OCEF是矩形，得OF=CE，EF=OC=3，然后设DE=AF=n，则CE=DF=OF=n+1，DF=3-n，则n+1=3-n，解得：n=1，即可求出D(2,-2),用待定系数法求直线CQ解析式为y=x-3，最后联立直线与抛物线解析式，求出交点坐标即可求解．【小问1详解】解：对于直线BC解析式y=x-3，令x=0时，y=-3，则C(0,-3)，令y=0时，x=3，则B(3,0)，把B(3,0)，C(0,-3)，分别代入，得，解得：，∴求抛物线的解析式为：y=-x2+4x-3；【小问2详解】解：对于抛物线y=-x2+4x-3，令y=0，则-x2+4x-3=0，解得：x1=1,x2=3,∴A(1,0)，B(3,0)，∴OA=1，OB=3，AB=2，过点A作AN⊥BC于N，过点P作PM⊥BC于M，如图，∵A(1,0)，B(3,0)，C(0,-3)，∴OB=OC=3，AB=2，∴∠ABC=∠OCB=45°，∴AN=，∵，∴PM=，过点P作PEBC，交y轴于E，过点E作EF⊥BC于F，则EF=PM=，∴CE=1∴点P是将直线BC向上或向下平移1个单位，与抛物线的交点，如图P1，P2，P3，P4，∵B(3,0)，C(0,-3)，∴直线BC解析式为：y=x-3，∴平移后的解析式为y=x-2或y=x-4,联立直线与抛物线解析式，得或，解得：，，，，∴P点的坐标为(,)或(,)或（,）或(,)．【小问3详解】解：如图，点Q在抛物线上，且∠ACQ=45°，过点Q作AD⊥CQ于D，过点D作DF⊥x轴于F，过点C作CE⊥DF于E，∵∠ADC=90°，∴∠ACD=∠CAD=45°，∴CD=AD，∵∠E=∠AFD=90°，∴∠ADF=90°-∠CDE=∠DCE，∴△CDE≌△DAD（AAS），∴DE=AF，CE=DF，∵∠COF=∠E=∠AFD=90°，∴四边形OCEF是矩形，∴OF=CE，EF=OC=3，设DE=AF=n，∵OA=1，∴CE=DF=OF=n+1∴DF=3-n，∴n+1=3-n解得：n=1，∴DE=AF=1，∴CE=DF=OF=2，∴D(2,-2),设直线CQ解析式为y=px-3，把D(2-2)代入，得p=,∴直线CQ解析式为y=x-3，联立直线与抛物线解析式，得解得：，（不符合题意，舍去），∴点Q坐标为(,).【点睛】本题属二次函数与一次函数综合题目，考查了用待定系数法求函数解析式，一次函数图象平行，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握一次函数与二次函数的图象性质是解题的关键．10.（2022包头中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，点B的坐标是，顶点C的坐标是，M是抛物线上一动点，且位于第一象限，直线与y轴交于点G．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图1，N是抛物线上一点，且位于第二象限，连接，记的面积分别为．当，且直线时，求证：点N与点M关于y轴对称；（3）如图2，直线与y轴交于点H，是否存在点M，使得．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）见解析（3）存在，【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；（2）如图．过点M作轴，垂足为D．当与都以为底时，可得．再求解，，直线解析式为．直线的解析式为，可得．从而可得答案；（3）过点M作轴，垂足为E．设，则．由，可得．同理可得．再利用，建立方程方程即可．【小问1详解】解：∵抛物线与x轴交于点，顶点为，∴解得∴该抛物线的解析式为．【小问2详解】证明：如图．过点M作轴，垂足为D．当与都以为底时，∵，∴．当时，则，解得．∵，∴，∴．设点M的坐标为，∵点M在第一象限，∴，∴，∴．设直线的解析式为，∴解得∴直线的解析式为．设直线的解析式为，∵直线，∴，∴，∵，∴．∴直线的解析式为，将其代入中，得，∴，解得．∵点N在第二象限，∴点N的横坐标为，∴，∴．∵，∴点N与点M关于y轴对称．【小问3详解】如图．存在点M，使得．理由如下：过点M作轴，垂足为E．∵，∴．∵，∴，∴．在和中，∵，∴，∴．∵，∴，在和中，∵，∴，∴．∵，∴，∴．当时，，∴．∴存在点，使得．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，一次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数与一次函数的交点坐标问题，锐角三角函数的应用，作出适当的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．11.（2022营口中考）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与y轴交于点C，点P为抛物线上一动点．

（1）求抛物线和直线的解析式；（2）如图，点P为第一象限内抛物线上的点，过点P作，垂足为D，作轴，垂足为E，交于点F，设的面积为，的面积为，当时，求点P坐标；（3）点N为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N，使得直线垂直平分线段？若存在，请直接写出点N坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为，直线的解析式为，（2）（3）存在【解析】【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）设，则，中，，证明，根据相似三角形的性质以及建立方程，解方程即可求解；（3）设直线交轴于点，设交于点，连接，，，证明是等腰直角三角形，则设，则，，根据列出方程，即可求解．【小问1详解】解：抛物线经过点和点，，解得，抛物线解析式为，设直线的解析式为，，解得，直线的解析式为，【小问2详解】如图，设直线与轴交于点，由，令,得，则，

，，设，则，，，，，，，中，，设的面积为，的面积为，，，，即，设，则，，解得或（舍），当时，，【小问3详解】设直线交轴于点，设交于点，连接，，，如图，

由，令，得，则设过直线解析式为，解得过直线的解析式为，是等腰直角三角形是等腰直角三角形直线垂直平分线段是等腰直角三角形，，设，则，，解得（舍）即【点睛】本题考查了二次函数综合，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，二次函数线段问题，掌握以上知识是解题的关键．12.（2022盘锦中考）如图，抛物线与x轴交于两点（A在B的左侧），与y轴交于点，点P在抛物线上，连接．

（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P在第四象限，点D在线段上，连接并延长交x轴于点E，连接，记的面积为，的面积为，当时，求点P的坐标；（3）如图2，若点P在第二象限，点F为抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与线段交于点G，当时，求点P的横坐标．【答案】（1）（2）（3）点P的横坐标为【解析】【分析】（1）将将、两点代入即可求解；（2）设点，由，可得即可求解；（3）作CE⊥l，PQ⊥BC，PN⊥x轴，连接PC交x轴于点H，设，PC的表达式为：，由P，C代入得，PC的表达式，由可表示PQ、PB，分别求EF、CF，由，PQ⊥BC，CE⊥l，证即可求解；【小问1详解】解：将、两点代入得，，解得：∴抛物线的解析式为：【小问2详解】由可得，设点则∵，∴∴解得：（舍去）∴【小问3详解】如图，作CE⊥l，PQ⊥BC，PN⊥x轴，连接PC交x轴于点H，

设，PC的表达式为：，将P，C代入得，解得：PC的表达式为：，将y=0代入得，，即，∴∵∴∵∴∵由题可知，∴将代入得，，∴∴∵，PQ⊥BC，CE⊥l，∴∴∴解得：（舍去）．【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，一次函数的应用，三角形的相似，勾股定理，掌握相关知识正确构造辅助线是解题的关键．13.（2022泰州中考）如图，二次函数的图像与轴相交于点，与反比例函数的图像相交于点B(3，1).

（1）求这两个函数的表达式；（2）当随的增大而增大且时，直接写出的取值范围；（3）平行于轴的直线l与函数的图像相交于点C、D（点C在点D的左边），与函数的图像相交于点E.若△ACE与△BDE的面积相等，求点E的坐标.【答案】（1）；（2）（3）【解析】【分析】（1）用待定系数法求出解析式即可；（2）由图像直接得出结论即可；（3）根据点和点的坐标得出两三角形等高，再根据面积相等得出，进而确定点是抛物线对称轴和反比例函数的交点，求出点的坐标即可．【小问1详解】解：二次函数的图像与轴相交于点，与反比例函数的图像相交于点，，，解得，，二次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；【小问2详解】解：二次函数的解析式为，对称轴为直线，由图像知，当随的增大而增大且时，；【小问3详解】解：由题意作图如下：

当时，，，，的边上的高与的边上的高相等，与的面积相等，，即点是二次函数的对称轴与反比例函数的交点，当时，，．【点睛】本题主要考查二次函数和反比例函数的综合题，熟练掌握二次函数和反比例函数的图像及性质，三角形的面积，待定系数法求解析式等知识是解题的关键．14.（2022连云港中考）已知二次函数，其中．

（1）当该函数的图像经过原点，求此时函数图像的顶点的坐标；（2）求证：二次函数的顶点在第三象限；（3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线上运动，平移后所得函数的图像与轴的负半轴的交点为，求面积的最大值．【答案】（1）（2）见解析（3）最大值为【解析】【分析】（1）先利用待定系数法求出二次函数解析式，再将二次函数解析式化为顶点式即可得到答案；（2）先根据顶点坐标公式求出顶点坐标为，然后分别证明顶点坐标的横纵坐标都小于0即可；（3）设平移后图像对应的二次函数表达式为，则其顶点坐标为，然后求出点B的坐标，根据平移后的二次函数顶点在直线上推出，过点作，垂足为，可以推出,由此即可求解．【小问1详解】解：将代入，解得．由，则符合题意，∴，∴．【小问2详解】解：由抛物线顶点坐标公式得顶点坐标为．∵，∴，∴，∴．∵，∴二次函数的顶点在第三象限．【小问3详解】解：设平移后图像对应的二次函数表达式为，则其顶点坐标为当时，，∴．将代入，解得．∵在轴的负半轴上，∴．∴．过点作，垂足为，∵，∴．在中，,∴当时，此时，面积有最大值，最大值为．【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数的平移，二次函数的最值问题，正确理解题意，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．15.（2022岳阳中考）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线F1：y=x2+bx+c经过点A(−3,0)和点B(1,0)．

(1)求抛物线F1的解析式；

(2)如图2，作抛物线F2，使它与抛物线F1关于原点O成中心对称，请直接写出抛物线F2的解析式；

(3)如图3，将(2)中抛物线F2向上平移2个单位，得到抛物线F3，抛物线F1与抛物线F3相交于C，D两点(点C在点D的左侧)．

①求点C和点D的坐标；

②若点M，N分别为抛物线F1和抛物线F3上C，D之间的动点24.【答案】解：(1)将点A(−3,0)和点B(1,0)代入y=x2+bx+c，

∴9−3b+c=01+b+c=0，

解得b=2c=−3，

∴y=x2+2x−3；

(2)∵y=x2+2x−3=(x+1)2−4，

∴抛物线的顶点(−1,−4)，

∵顶点(−1,−4)关于原点的对称点为(1,4)，

∴抛物线F2的解析式为y=−(x−1)2+4，

∴y=−x2+2x+3；

(3)由题意可得，抛物线F3的解析式为y=−(x−1)2+6=−x2+2x+5，

①联立方程组y=−x2+2x+5y=x2+2x−3，

解得x=2或x=−2，

∴C(−2,−3)或D(2,5)；

②设直线CD的解析式为y=kx+b，

∴−2k+b=−32k+b=5，

解得k=2b=1，

∴y=2x+1，

过点M作MF//y轴交CD于点F，过点N作NE//y轴交于点E，

设M(m,m2+2m−3)，N(n,−n2+2n+3)，

则【解析】(1)将点A(−3,0)和点B(1,0)代入y=x2+bx+c，即可求解；

(2)利用对称性求出函数F1顶点(−1,−4)关于原点的对称点为(1,4)，即可求函数F2的解析式；

(3)①通过联立方程组y=−x2+2x+7y=x2+2x−3，求出C点和D点坐标即可；

②求出直线CD的解析式，过点M作MF//y轴交CD于点F，过点N作NE//y轴交于点E，设M(m,m2+2m−3)，N(n,−n2+2n+3)，则F(m,2m+2)，N(n,2n+1)，可求MF=−m2+4，NE=−n2+2，由S四边形CMDN=S△CDN+

（1）请直接写出点，，的坐标；（2）点在抛物线上，当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值．（3）点是抛物线上的动点，作//交轴于点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1），，；（2），面积的最大值；（3）存在，或或．【解析】【分析】（1）令得到，求出x即可求得点A和点B的坐标，令，则即可求点C的坐标；（2）过P作轴交BC于Q，先求出直线BC的解析式，根据三角形的面积，当平行于直线BC直线与抛物线只有一个交点时，点P到BC的距离最大，此时，的面积最大，利用三角形面积公式求解；（3）根据点是抛物线上的动点，作//交轴于点得到，设，当点F在x轴下方时，当点F在x轴的上方时，结合点，利用平行四边形的性质来列出方程求解．【小问1详解】解：令，则，解得，，∴，，令，则，∴；【小问2详解】解：过P作轴交BC于Q，如下图．

设直线BC为，将、代入得，解得，∴直线BC为，根据三角形的面积，当平行于直线BC直线与抛物线只有一个交点时，点P到BC的距离最大，此时，的面积最大，∵，∴，，∴，∵，∴时，PQ最大为，而，∴的面积最大为；【小问3详解】解：存在．∵点是抛物线上的动点，作//交轴于点，如下图．

∴，设．当点F在x轴下方时，∵，即，∴，解得（舍去），，∴．当点F在x轴的上方时，令，则，解得，，∴或．综上所述，满足条件的点F的坐标为或或．【点睛】本题是二次函数与平行四边形、二次函数与面积等问题的综合题，主要考查求点的坐标，平行四边形的性质，面积的表示，涉及方程思想，分类思想等．17.（2022常德中考）如图，已经抛物线经过点，，且它的对称轴为．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限，当的面积为15时，求的坐标；（3）在（2）的条件下，是抛物线上的动点，当的值最大时，求的坐标以及的最大值【答案】（1）（2）（3）的最大值为【解析】【分析】（1）根据题意可设抛物线为再利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；（2）设且记OA与对称轴的交点为Q，设直线为：解得：可得直线为：则利用列方程，再解方程即可；（3）如图，连接AB，延长AB交抛物线于P，则此时最大，由勾股定理可得最小值，再利用待定系数法求解AB的解析式，联立一次函数与二次函数的解析式，解方程组可得P的坐标．【小问1详解】解：抛物线经过点，∴设抛物线为：抛物线过，且它的对称轴为．解得：∴抛物线为：【小问2详解】解：如图，点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限，设且记OA与对称轴的交点为Q，设直线为：解得：直线为：解得：或∵则【小问3详解】如图，连接AB，延长AB交抛物线于P，则此时最大，设AB为：代入A、B两点坐标，解得：∴AB为：解得：【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，坐标与图形面积，三角形三边关系的应用，勾股定理的应用，确定最大时P的位置是解本题的关键．18.（2022随州中考）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴分则点A和点，与y轴交于点C，对称轴为直线，且，P为抛物线上一动点．

（1）直接写出抛物线的解析式；（2）如图2，连接AC，当点P在直线AC上方时，求四边形PABC面积的最大值，并求出此时P点的坐标；（3）设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2），P点的坐标为（3）存在，，；，；，【解析】【分析】（1）根据已知条件，列出方程组求出a，b，c的值即可；（2）方法一：设，四边形PABC的面积，用m表示出S，并求出S的最大值与此时P点的坐标；方法二：易知，，故直线AC的方程为，设，表示出PQ，并用x表示出△APC的面积，再表示出S，并求出S的最大值与此时P点的坐标；（3）根据题目要求，分类讨论当当N在y轴上时；当N在x轴负半轴上时，设，用t表示出点P的坐标，解出t，写出点P及其对应点N的坐标．【小问1详解】解：∵，∴，，∵，对称轴为直线，，∴，解得，∴抛物线的解析式为：．【小问2详解】解：方法一：连接OP，

设，易知，，∵，，∴四边形PABC的面积，∴又∵，∴∴当时，，∴此时P点的坐标为；方法二：易知，，故直线AC的方程为

设，∵过点P作PQ⊥x轴，交AC于点Q，∴，∵点P在AC上方，∴，∴，∴四边形PABC面积，∴当时，S有最大值，∴此时P点的坐标为．【小问3详解】存在点N．①当N在y轴上时，

∵四边形PMCN为矩形，此时，，；②当N在x轴负半轴上时，如图所示，四边形PMCN为矩形，过M作y轴的垂线，垂足为D，过P作x轴的垂线，垂足为E，设，则，

∴，∵四边形PMCN为矩形，∴，，∵，，∴，又∵，∴，∴，又∵点M在对称轴上，，∴，∴，即，∵，，∴，∴，∴，，∴，∴P点的坐标为，∵P点在抛物线上，∴解得，（舍），∴，；③当N在x轴正半轴上时，如图所示，四边形PMCN为矩形，过M作y轴的垂线，垂足为D，过P作x轴的垂线，垂足为E，设，则，

∴，∵四边形PMCN为矩形时，∴，，∵，，∴，又∵，∴，∴，又∵点M在对称轴上，，∴，∴，即，∵，，∴，∴，∴，，∴，∴P点的坐标为，∵P点在抛物线上，∴解得（舍），，∴，，综上：，；，；，【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数、二次函数综合问题，矩形的性质与判定，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．19.（2022黄冈中考）抛物线y＝x2－4x与直线y＝x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D．（1）直接写出点B和点D的坐标；（2）如图1，连接OD，P为x轴上的动点，当tan∠PDO＝时，求点P的坐标；（3）如图2，M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为m（0＜m＜5），连接MQ，BQ，MQ与直线OB交于点E．设△BEQ和△BEM的面积分别为S1和S2，求的最大值．【答案】（1）B（5,5），D（2,-4）；（2），；（3）；【解析】【分析】（1）将两函数解析式联立可求得B点坐标，将一般式转换为顶点式可求出D点坐标；（2）如图所示，过D作DE⊥x轴与点E，则E（2,0），则tan∠EDO=，当P在E上时，则满足tan∠PDO＝，则，如图所示，当时，过D作于点G，由，可得OG=OE=2，DG=DE=4，设，则，，解出可得n的值进而可求出P的坐标；（3）由题易得：M（-1,5），，直线MQ的解析式为：，令，解得，则，由BM=6，可知，，，则，求出此二次函数的最值即可．【小问1详解】解：将y＝x2－4x与y＝x联立得：x＝x2－4x，解得：x=5或x=0（舍去），将x=5代入y＝x得y=5，故B点坐标为（5,5），将函数y＝x2－4x转换为顶点式得，故顶点D为（2,-4），故B（5,5），D为（2,-4）；【小问2详解】如图所示，过D作DE⊥x轴与点E，则E（2,0），则tan∠EDO=，当P在E上时，则满足tan∠PDO＝，则，如图所示，当时，过O作于点G，∵，∴OG=OE=2，DG=DE=4，设，则，则，则或n=0（舍去），则，则综上所述，；【小问3详解】解：由题易得：M（-1,5），，则直线MQ的解析式为：，令，解得，∴，∵BM=6，∴，且，，∴，∵，函数开口向下，当时，取最大值为．【点睛】本题考查二次函数的综合，三角函数，数形结合思想，能够根据需要构造适合的辅助线是解决本题的关键．20.（2022龙东中考）如图，抛物线经过点，点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点P，使的面积是面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）存在，，【解析】【分析】（1）将点，点，代入抛物线得，求出的值，进而可得抛物线的解析式．（2）将解析式化成顶点式得，可