06圆综合大题综合原卷版+解析

06圆综合1．（2023·江苏宿迁·统考二模）如图，D是以为直径的上一点，过点D的切线交的延长线于点E过点B作交的延长线于点C，垂足为点F．(1)求证：；(2)若的直径为9，，求线段的长．2．（2023·江苏盐城·统考一模）如图，已知是的直径，点是弧的中点，点在的延长线上，连接．若．(1)求证：是的切线；(2)连接．若，，求的长．3．（2023·江苏常州·统考一模）如图，中，，D为上一点，以为直径的与相切于点E，交于点F，，垂足为G．(1)求证:是的切线；(2)若，，求的长．4．（2023·江苏苏州·统考一模）已知：为的直径，为圆心，点为圆上一点，过点作的切线交的延长线于点，点为上一点，且，连接交于点．(1)如图1，求证：；(2)如图2，点为内部点，连接，．若，的半径为，，求的长．5．（2023·江苏南京·统考一模）如图，在中，，是上一点，经过点，，，交于点．过点作，分别交于点，于点．(1)求证；(2)若，，，求的长．6．（2023·江苏扬州·模拟预测）如图，在中，，为上一点，作，与交于点，经过点、、的与相切于点，连接．(1)求证：平分；(2)若，，求的长．7．（2023·江苏扬州·统考一模）如图，是直径，点在上，垂直于过点的切线，垂足为，且，(1)求的度数；(2)若长为，求的半径长，8．（2023·江苏镇江·镇江市外国语学校校考一模）如图，内接于，平分交于，过点作分别交、延长线于、，连接．(1)求证：是的切线；(2)求证：；(3)若、的长是关于的方程的两实根，且，求的半径．9．（2023·江苏无锡·统考一模）如图，以为直径的经过的顶点，是的中点，连接、分别交于点、．(1)求证：；(2)若，，求的面积.10．（2023·江苏苏州·统考一模）已知：为的直径，为圆心，点为圆上一点，过点作的切线交的延长线于点，点为上一点，且，连接交于点．(1)如图1，求证：；(2)如图2，点为内部一点，连接．若的半径为，求的长．11．（2023·江苏徐州·统考一模）如图，是的直径，C为上一点，连接，过点O作于点D，延长交于点E，连接．(1)求证：；(2)若，，求的长度．12．（2023·江苏扬州·统考一模）如图，已知中，，，是的外接圆，点在的延长线上，于点，交于点，是的切线，交于点．(1)判断的形状，并说明理由；(2)若，求的长度．13．（2023·江苏常州·校考二模）如图，在中，，，．延长至点C，使，连接，以O为圆心，长为半径作，延长，与交于点E，作弦，连接，与的延长线交于点D．(1)求证：是的切线；(2)求的长．14．（2023·江苏徐州·校考一模）如图，是的弦，C是外一点，，交于点P，交于点D，且．(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)若，求图中阴影部分的面积．15．（2023·江苏宿迁·统考二模）如图，在中，，是角平分线，以D为圆心，为半径作，交于点E．(1)直线与相切吗？为什么？(2)若，，求的长．16．（2023·江苏无锡·校考一模）如图，为的直径，C，D为上的两点，，过点C作直线，交的延长线于点E，连接．(1)求证：是的切线．(2)若，，求阴影部分面积．17．（2023·江苏南通·校考一模）如图，A，B，C三点在上，直径平分，过点D作交弦于点E，在的延长线上取一点F，使得．(1)求证：是的切线；(2)连接交于点M，若，，求的值．18．（2023·江苏南京·统考一模）如图，在中，，直线l与的外接圆相切于点B，D是l上一点，．(1)求证：与的外接圆相切；(2)若，则的长是________．19．（2023·江苏苏州·校考一模）如图，在中，点D为边上的一个动点，以为直径的交于点E，过点C作，交于点F．连接、，若是的切线．(1)求证：；(2)若，，，求直径的长．20．（2023·江苏扬州·统考一模）如图，是⊙O的直径，过D作⊙O的切线，点C是的中点，四边形是平行四边形．(1)求证：是⊙O的切线；(2)已知⊙O的半径为1，求图中弧所围成的阴影部分的面积．21．（2023·江苏淮安·统考一模）问题背景：如图1，四边形是的内接四边形，连接、，，求证：．(1)方法感悟小颖认为可用截长法证明：如图1-1，在上截取，连接，只需证明______，可得______即可；小军认为可用补短法证明：如图1-2，延长至点，使得，连接，只需证明______，可得______即可；(2)类比探究如图2，四边形是的内接四边形，连接、，是的直径，，试用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明你的结论；(3)拓展提升如图3，四边形是的内接四边形，连接、，若是的直径，，，，则________．22．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，点在的边上，与相切于点，与相交于点，经过上的点，且．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的半径长；(3)在（2）的条件下，延长交于点，连接，求的值．23．（2023·江苏无锡·模拟预测）如图，内接于，AB是直径，的平分线交于点D，交于点E，连接，作，交的延长线于点F(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)若，，求的半径和的长．24．（2023·江苏无锡·校考一模）如图，在中，为直径，为弦，点D在的延长线上，线段交于点E，过点E作分别交、于点F、G，连接．(1)求证：；(2)当，，时，求的长．25．（2023·江苏苏州·统考一模）如图，已知是半圆的直径，点在半圆上，，点是上的动点，交于，连接．(1)问题解决：如图1，若为中点，则________．(2)问题探究：如图2，当时，若四边形的面积为54，求的长．(3)拓展延伸：如图3，作交于点，当为等腰三角形时，求的长．06圆综合1．（2023·江苏宿迁·统考二模）如图，D是以为直径的上一点，过点D的切线交的延长线于点E过点B作交的延长线于点C，垂足为点F．(1)求证：；(2)若的直径为9，，求线段的长．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接，根据切线的性质得出，再由平行线判定得出，利用其性质及等角对等边即可证明；（2）连接，根据圆周角定理得出，再由正弦函数得出，利用等边对等角及等量代换得出，再由相似三角形的判定和性质求解即可．【详解】（1）证明：连接，如图，∵是的切线，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴．∴．（2）连接，则，如图，在中，∵，，∴．∵，∴．∵，∴．∴．在中，∵，∴．由（1）知：，∴．∴．即：．解得：．【点睛】题目主要考查圆的切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．2．（2023·江苏盐城·统考一模）如图，已知是的直径，点是弧的中点，点在的延长线上，连接．若．(1)求证：是的切线；(2)连接．若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据垂径定理的推论可得，即，根据三角形内角和定理即可得出，进而证明是的切线；（2）连接．根据是的直径，得出，进而根据中位线的性质得出，勾股定理得出，根据（1）的结论证明，根据相似三角形的性质，即可求解．【详解】（1）证明：∵点是弧的中点，∴，∴，∵，，∴，∴，即是的切线；（2）如图所示，连接．∵是的直径，∴，∵，∴，∵，∴，∴，则，∵，∴，∴，∴，解得：．【点睛】本题考查了垂径定理的推论，切线的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．3．（2023·江苏常州·统考一模）如图，中，，D为上一点，以为直径的与相切于点E，交于点F，，垂足为G．(1)求证:是的切线；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）由等腰三角形的性质可证，可证，可得结论；（2）由切线的性质可证四边形是矩形，可得，由锐角三角函数可求解．【详解】（1）证明：如图，连接，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，又∵是半径，∴是的切线；（2）如图，连接，过点O作于H，∵，∴，∵与相切于点E，∴，又∵，∴四边形是矩形，∴，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查切线的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．4．（2023·江苏苏州·统考一模）已知：为的直径，为圆心，点为圆上一点，过点作的切线交的延长线于点，点为上一点，且，连接交于点．(1)如图1，求证：；(2)如图2，点为内部点，连接，．若，的半径为，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）由为的直径，得出，由是的切线，得出，则，根据，得出，根据等弧所对的圆周角得出，等量代换即可求解；（2）连接，证明，，根据相似三角形的性质得出，，进而根据勾股定理即可求解．【详解】（1）解：为的直径，，，是的切线，，，，，，，；（2）如图，连接，，，，，，，即，，，，，；，，，的半径为，，，．【点睛】本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．5．（2023·江苏南京·统考一模）如图，在中，，是上一点，经过点，，，交于点．过点作，分别交于点，于点．(1)求证；(2)若，，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，证明四边形是平行四边形，得出，进而即可得出结论；（2）连接，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求解．【详解】（1）证明：如图所示，连接，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴四边形是平行四边形，∴，∴，（2）解：如图所示，连接，∵四边形是圆内接四边形，∴，又，∴，又∵，∴，∴，∵,，，∴，∴，解得：【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形对角互补，相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．6．（2023·江苏扬州·模拟预测）如图，在中，，为上一点，作，与交于点，经过点、、的与相切于点，连接．(1)求证：平分；(2)若，，求的长．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接，与相切于点，推出，已知，得到，推出，进而得到，得证平分；（2）连接，已知，得到，结合，得到，已知，得到，可求得，得到，进一步证明，得到，即，已知，即可求得的长，进而可得的长．【详解】（1）证明：连接，与相切于点，，，，，，平分；（2）解：连接，，，又，，又，，，，，，，，又，，，，，，，，．【点睛】本题主要考查平行线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．7．（2023·江苏扬州·统考一模）如图，是直径，点在上，垂直于过点的切线，垂足为，且，(1)求的度数；(2)若长为，求的半径长，【答案】(1)(2)【分析】（1）如图所示，连接，可证，，且，根据等腰三角形，三角形的外角和性质即可求解；（2）如图所示，连接，根据题意，构成，根据含特殊角的直角三角形中边的关系即可求解．【详解】（1）解：如图所示，连接，∴，∵，∴，∴，∵是的外角，且，即是等腰三角形，∴，且，∴，∴，∴的度数为．（2）解：如图所示，连接，∵是直径，是的切线，∴，由（1）可知，，且，∴在中，，在中，，设，则，∴，即，解得，（负值舍去），即，∴，则的半径长为．【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握切线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角和性质等知识是解题的关键．8．（2023·江苏镇江·镇江市外国语学校校考一模）如图，内接于，平分交于，过点作分别交、延长线于、，连接．(1)求证：是的切线；(2)求证：；(3)若、的长是关于的方程的两实根，且，求的半径．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）欲证明是切线，只要证明即可；（2）连接，根据等腰三角形的判定得到，根据相似三角形的性质即可得到结论；（3）根据题意得到，得到，由（1）知是的切线，由切线的性质得到，根据平行线的性质得到，根据三角函数的定义得到，根据勾股定理得到，设，根据勾股定理即可得到结论．【详解】（1）解：证明：，，，，如图，连接，，交于，，则，，在中，，，，是半径，是的切线；（2）如图，连接，由（1）知是的切线，，，，∵四边形内接于，∴，，，，即，；（3）、的长是关于的方程的两实根，，由（2）得，，，由（1）知是的切线，，，，由（1）得，

，，，，，，设，，，，解得：，的半径．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，一元二次方程根与系数的关系，圆周角定理，平行线的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键，属于中考压轴题．9．（2023·江苏无锡·统考一模）如图，以为直径的经过的顶点，是的中点，连接、分别交于点、．(1)求证：；(2)若，，求的面积.【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据圆周角定理求出，根据等腰三角形性质求出，得出，根据，即可得出结论；（2）证明，得出，求出，根据勾股定理求出，根据圆的面积公式求出结果即可．【详解】（1）证明：∵是的中点，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，∴．（2）解：连接，如图所示：∵，∴，又，∴，∴，∵，，∴，∴，解得：，负值舍去，∴，∴．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，三角形相似的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，圆的面积公式，解题的关键是作出相应辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法．10．（2023·江苏苏州·统考一模）已知：为的直径，为圆心，点为圆上一点，过点作的切线交的延长线于点，点为上一点，且，连接交于点．(1)如图1，求证：；(2)如图2，点为内部一点，连接．若的半径为，求的长．【答案】(1)见解析；(2)．【分析】（1）由为的直径，得出，由是的切线，得出，则，根据，得出，根据等弧所对的圆周角得出，等量代换即可求解；（2）连接，证明，，根据相似三角形的性质得出，，进而根据勾股定理即可求解．【详解】（1）解：为的直径，，，是的切线，，，，，，，；（2）如图，连接，，，，，，，即，，，，，，的半径为，，，．【点睛】本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定和性质的运用，熟练掌握以上知识是解题的关键，解题的难点是添加辅助线找相似三角形．11．（2023·江苏徐州·统考一模）如图，是的直径，C为上一点，连接，过点O作于点D，延长交于点E，连接．(1)求证：；(2)若，，求的长度．【答案】(1)见解(2)【分析】（1）首先根据直径的性质得到，然后结合即可证明出；（2）连接，首先根据勾股定理求出，然后根据垂径定理得到，利用三角形中位线的性质得到，最后利用勾股定理求解即可．【详解】（1）证明：∵是的直径，∴．∴．∵．∴；（2）解：如图，连接，∵是的直径，∴，．∴在中，．∵，是的半径，∴．∴为的中位线．∴．∴．∴．∴；【点睛】此题考查了垂径定理的运用，勾股定理，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．12．（2023·江苏扬州·统考一模）如图，已知中，，，是的外接圆，点在的延长线上，于点，交于点，是的切线，交于点．(1)判断的形状，并说明理由；(2)若，求的长度．【答案】(1)等边三角形，见解析(2)【分析】（1）如图：连接，先说明是的直径，则，即；根据是的切线可得，即；再根据结合直角三角形的性质和对顶角的性质可得，进而得到即可；（2）根据直角三角形的性质可得，再根据勾股定理求得，根据是等边三角形和可得，然后解直角三角形可得，最后根据即可解答．【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下：如图：连接，∵，，是的外接圆，∴是的直径，∴,∴，∵是的切线，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴是等边三角形；（2）解：∵，，，∴，∴，∵是等边三角形，，∴，∴，∵，，∴，∴．【点睛】本题主要考查了圆的内接三角形、圆周角定理、切线的性质、等腰三角形的判定、解直角三角形等知识点，灵活运用相关性质、定理是解答本题的关键．13．（2023·江苏常州·校考二模）如图，在中，，，．延长至点C，使，连接，以O为圆心，长为半径作，延长，与交于点E，作弦，连接，与的延长线交于点D．(1)求证：是的切线；(2)求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据题意可得，，以此推出，根据相似三角形的性质可得，以此得到，即可证明；（2）过点O作于点G，根据题意可证明，以此得到平分，则，，再根据，以此即可求解．【详解】（1）证明：∵，，，∴，∵，∴，∴，；∴，∵，∴，即，∵为半径，∴是的切线；（2）解：如图，过点O作于点G，如图所示，∵，，弦，∴，∵，∴，∴，∵，即为等腰三角形，∴，，∵，，∴，在中，，在中，，∴，∴．【点睛】本题主要考查切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、垂径定理，熟练运用相关知识答题时解题关键．14．（2023·江苏徐州·校考一模）如图，是的弦，C是外一点，，交于点P，交于点D，且．(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)若，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)直线与的位置关系是相切，理由见解析(2)【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得出，求出，再根据切线的判定得出即可；（2）根据含角的直角三角形的性质求出，求出，求出，根据含角的直角三角形的性质求出，求出，再求出答案即可．【详解】（1）直线与的位置关系是相切，理由是：连接，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，∵过点O，∴直线与的位置关系是相切；（2）∵，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，由勾股定理得：，即，解得：，∴阴影部分的面积．【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，切线的判定，扇形的面积计算和三角形的面积等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．15．（2023·江苏宿迁·统考二模）如图，在中，，是角平分线，以D为圆心，为半径作，交于点E．(1)直线与相切吗？为什么？(2)若，，求的长．【答案】(1)直线与相切，理由见解析(2)【分析】（1）过点作，垂足为，根据角平分线性质求出，根据切线的判定得出即可；（2）由，，可得，，，由勾股定理可得，可得，由，可得，进而求得．【详解】（1）解：直线与相切，理由如下：过点作，垂足为，∵平分，，，∴，又∵为半径，∴点在上，又∵，∴直线与相切；（2）∵，，∴，，，∵，由勾股定理可得，∴，又∵，∴，∴．【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，角平分线的性质定理，解直角三角形等知识点，能得出是解此题的关键．16．（2023·江苏无锡·校考一模）如图，为的直径，C，D为上的两点，，过点C作直线，交的延长线于点E，连接．(1)求证：是的切线．(2)若，，求阴影部分面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，求得，推出，得到，于是得到结论；（2）根据圆周角定理求得，然后利用含直角三角形的性质求得，然后根据即可得到结论．【详解】（1）解：连接，，，，∴，，∵，，，是的切线；（2）解：过点C作于点G，如图所示：为的直径，，，，，，，∵，为等边三角形，∴，阴影部分面积．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，扇形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．17．（2023·江苏南通·校考一模）如图，A，B，C三点在上，直径平分，过点D作交弦于点E，在的延长线上取一点F，使得．(1)求证：是的切线；(2)连接交于点M，若，，求的值．【答案】(1)见解析；(2)2【分析】（1）先得出，进而得出，即可得出结论；（2）连接，利用全等三角形的判定得出，进而解答即可．【详解】（1）证明：平分，．，．．，．，．．是半径，是的切线．（2）连接，是的直径，．，，．，．，，．∴，∴．【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，关键是根据全等三角形的判定和性质解答．18．（2023·江苏南京·统考一模）如图，在中，，直线l与的外接圆相切于点B，D是l上一点，．(1)求证：与的外接圆相切；(2)若，则的长是________．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）设中点为O，连接，根据，可得O为的外接圆的圆心，再由切线的性质可得，然后结合，可得，即可；（2）连接，交于点E，根据切线长定理可得，再证明，即可求解．【详解】（1）证明：设中点为O，连接．∵，∴是的外接圆的直径．

∴O为的外接圆的圆心．∵直线l与相切于点B，∴．

∵，∴．∵，∴．∴，即．

又∵点C在上，

∴与相切，即与的外接圆相切．（2）解：如图，连接，交于点E，∵是的切线，∴，即，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，是的外接圆的直径，∴，，∴，∴，解得：．故答案为：【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，切线长定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定和性质，切线长定理，相似三角形的判定和性质是解题的关键．19．（2023·江苏苏州·校考一模）如图，在中，点D为边上的一个动点，以为直径的交于点E，过点C作，交于点F．连接、，若是的切线．(1)求证：；(2)若，，，求直径的长．【答案】(1)见解析(2)3【分析】（1）根据切线的性质，平行线的性质和圆周角定理即可证明；（2）连接并延长，交于点G，根据圆内接四边形的性质圆周角定理，平行线的性质切线的性质等先证明，在中，设，则，根据勾股定理求解即可．【详解】（1）解：∵是的切线，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵为直径，∴，∴；（2）如图，连接并延长，交于点G，∵，∴，∵四边形是圆内接四边形，∴，∵，∴，∵为直径，∴，∵，∴，∵是的切线，∴，∴，∵，，∴由勾股定理得，∵，∴，

∴，∴，在中，设，则，∵，∴，解得，即．【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的性质，圆周角定理圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键．20．（2023·江苏扬州·统考一模）如图，是⊙O的直径，过D作⊙O的切线，点C是的中点，四边形是平行四边形．(1)求证：是⊙O的切线；(2)已知⊙O的半径为1，求图中弧所围成的阴影部分的面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，由四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，再由与圆相切证明四边形是矩形即可；（2）可根据进行求解．【详解】（1）证明：连接，是⊙的直径，点O在上，，四边形是平行四边形，，，四边形是平行四边形，与⊙O相切于点D，，四边形是矩形，，是⊙O的半径，且，是⊙O的切线．（2）解：连接，则，，四边形是矩形，，四边形是正方形，，，，

，，，，阴影部分的面积为．【点睛】本题考查圆的切线的判定综合问题和求不规则图形的面积，解题的关键是证明直线与半径垂直，用割补法求不规则图形的面积，利用了平行四边形、矩形以及正方形的判定和性．21．（2023·江苏淮安·统考一模）问题背景：如图1，四边形是的内接四边形，连接、，，求证：．(1)方法感悟小颖认为可用截长法证明：如图1-1，在上截取，连接，只需证明______，可得______即可；小军认为可用补短法证明：如图1-2，延长至点，使得，连接，只需证明______，可得______即可；(2)类比探究如图2，四边形是的内接四边形，连接、，是的直径，，试用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明你的结论；(3)拓展提升如图3，四边形是的内接四边形，连接、，若是的直径，，，，则________．【答案】(1)，，，；(2)，证明见解析；(3)．【分析】（1）如图1-1，在上截取，连接，可得，证明是等边三角形，可证明，得出，则结论得证；如图1-2，延长至点，使得，连接，证明是等边三角形，则，，，证明，即可得到结论；（2）如图2，是的直径，得到，，由得到，，则是等腰直角三角形，则，证明，则，即可得到结论．（3）过点作交于点，证明，求出，再证明，得到，即可得到答案．【详解】（1）小颖认为可用截长法证明如下：，，如图1-1，在上截取，连接，，是等边三角形，，，，，，；小军认为可用补短法证明：如图1-2，延长至点，使得，连接，，，，∴，是等边三角形，，，∵，∴，∴；故答案为：，，，；（2），证明如下：如图2，过点A作交于点，是的直径，，，，，，是等腰直角三角形，

，，，∴，，

，．即；（3）如图3，过点作交于点，∵，∴，∵∴，∵，，∴，∵∴，在中，，设∴，，

∴，．故答案为：【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线，熟练运用图形的性质是解题的关键．22．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，点在的边上，与相切于点，与相交于点，经过上的点，且．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的半径长；(3)在（2）的条件下，延长交于点，连接，求的值．【答案】(1)见解析(2)3(3)【分析】（1）如图：连接交于，先说明；再根据平行线的性质可得，进而得到，再根据等量代换可得即可证明结论；（2）先根据题意可得、，设的半径为，，则；再根据勾股定理列方程组求解即可；（3）如图：设交于，连接，过M作，由勾股定理可得，进而得到；再证明，根据相似三角形的性质结合已知条件可得，进而得到；由等腰三角形的性质可得，然后再根据圆周角定理、切线的性质以及等量代换可得，最后根据正切的定义即可解答．【详解】（1）解：如图：连接交于，∵点在的边上，即是的直径，∴，∵，∴，∵，∴是的垂直平分线，，∴，∴，∵与相切于点∴∴∴是的切线．（2）解：∵，，∴,设的半径为，，则∵∴,即，解得：∴的半径长为3．（3）解：如图：设交于，连接，过M作∵∴∴∵,∴∴∴，即，解得：,∴∵∴∵是的直径∴，即∵∴∴∴∴．【点睛】本题主要考查了切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、正切的定义等知识点，掌握数形结合思想是解答本题的关键．23．（2023·江苏无锡·模拟预测）如图，内接于，AB是直径，的平分线交于点D，交于点E，连接，作，交的延长线于点F(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)若，，求的半径和的长．【答案】(1)相切，理由见解析(2)的半径为3.5，【分析】（1）如图：