5.2.1三角函数的概念-教学设计-2023-2024学年人教版高一上

.2.1三角函数的概念1.教学内容【引入】师：请大家观察以下三张图片（地球自转，月亮圆缺，摩天轮）并说说它们有什么共性？生：都在做圆周运动。师：圆周运动具有什么特点？具有循环往复、周而复始的规律，这种变化规律称为周期性。那我们今天这节课就来一起试试能不能建立一种函数模型来刻画周期性呢？师：我们以摩天轮作为代表模型来研究圆周运动，这是我暑假去游乐场坐摩天轮的照片，请问如何确定我在摩天轮的位置？生：坐标师：要有坐标就需要建立直角坐标系，如何建系呢？生：以o为原点建立直角坐标系。师：除了坐标还有没有别的变量能确定我的位置？为了方便计算，我不妨设摩天轮半径为1.生：角度教师需做出引导:要点出利用初中解直角三角形解题;引导学生在长度上添加符号获得坐标;借助Geogebra画板展示，任意角α，观察它的终边OP与单位圆交点为P（x,y),无论是横坐标，还是纵坐标y,都是唯一确定的。教师小结:综合以上大家的回答,得到比较清晰的两个函数关系,在弧度制下任意角为自变量,分别以横、纵坐标为函数值的两个函数了,不妨记为f和g(板书如下)根据上述分析，f:R[-1,1]和g:R[-1,1]都是从集合R到集合[-1,1]的函数。明确要素、理解概念教师给出三角函数的定义并黑板板书:给出三角函数的常用记法:(1)正弦函数:y=sinx(x∈R)(2)余弦函数:y=cosx(x∈R)(3)正切函数:y=tanx,（x≠kπ教师要给学生特别指出此处的x、y,与初始定义中的x、y是不一样的!【设计意图】(1)在建构三角函数概念过程中,通过再次明确函数三要素,较为准确地理解三角函数定义.(2)给出三角函数的常用记号,为后续章节的学习做好知识和符号铺垫.三角函数的初步应用例1:求5π/3的正弦、余弦和正切值。变式1：已知角α的终边过点P（-12，3变式2：已知角α的终边过点P（3，−3），求角α的正弦、余弦和正切值。变式3：已知角α的终边过点P（x，y），求角α的正弦、余弦和正切值。教师注意引导:1.当r=1时,则为初始定义形式,体现了数学简洁和形式美;2.当α是锐角时,则函数值则等价于边长比,再次认识初高中定义的联系.设角α的终边上任意一点的坐标为(x,y),它与原点的距离为r,则sinα=y【设计意图】1.通过进阶和变式训练巩固所学定义,也通过练习层层递进,为三角函数的“坐标比”定义证明做了铺垫.最终使学生认识到:只要终边上任意一点,便可以求得相应的三角函数值,得到三角函数的“坐标比”定义.2.使学生同时对单位圆这一数学模型的再认识:单位圆对三角函数定义起到更易理解、运算的便捷性.关联探究,深化认识课堂小结1.知识小结:三角函数定义,以及如何求三角函数值2.思想归纳:(1)从引入坐标表示感受数形结合的思想和方法,从如何建系及在单位圆中探究体会数学化繁为简的方法;从具体问题—定义—例题—新结论的学习路径,体会数学中特殊与一般不断转化的研究方法.(2)经历从认识任意角三角函数新概念统一兼容初中三角函数概念;从三角函数历史中,看到数学发展的曲折和严谨追求.

1.温故知新，复习巩固（1）复习:任意角的三角函数定义:角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合。设点P(x,y)为α终边上不同于原点的任一点，|OP|=r,则三角函数的定义三角函数定义域值域y=sinαR[-1,1]y=cosαR[-1,1]y=tanαR创设情景，兴趣导入根据任意角的三角函数定义，将正弦、余弦、正切函数的值在各个象限的符号填入图中的括号xyoxyoxyoxyo（）（）()()()()（）（）()()()()y=tanαy=cosy=tanαy=cosαy=sinα3.动脑思考，探索新知(1)根据三角函数的定义得出其他三个函数的符号(2)形成口诀：一正二正弦、三切四余弦4.学以致用，知行合一例1、判定下列各角的各三角函数符号：（1）4327º；（2）．分析关键是判定角所在的象限．解：（1）因为，所以，4327º角为第一象限角，故，，．（2）因为，所以，角为第三象限角，故，，．例2.根据条件且,确定是第几象限的角.解由可知,是第三或第四象限的角(或的终边在轴的负半轴上的界限角)；由,可知是第二或第四象限的角.由于同时要满足两个条件，所以是第四象限的角.5.运用知识达标测试练习1．判断下列角的各三角函数符号：（1）−235º；（2）480º；（3）；（4）．练习2．根据条件且,确定是第几象限的角.6.归纳小结强化思想本节的重点就是三角函数值在各个象限中的符号，要求牢记口诀。已知角会判断三角函数值的符号，已知三角函数值会确定角所在的象限。作业：课本第182页练习第3题第4题板书设计

三角函数在各象限的符号1.温故知新，复习巩固4.学以致用，知行合一2.创设情景，兴趣导入例13.动脑思考，探索新知例21.创设情景，表明意图（1）复习任意角三角函数定义：（2）计算并观察：2.新知探究（引导探索、演示归纳）（1）探究对同角三角函数基本关系根据学生探究出的结果，得出结论.引导学生注意“正弦的平方”的表示方法是“”，而不是：“”，进而得到符号表达式：；开方计算时，注意“分类”的思想在象限角正负号问题处理时的应用.（2）探究正弦、余弦和正切函数三者的关系：.以上的探究由学生自由完成，可以从图形角度，也可以从定义角度加以探究，让学生体会图形语言与符号语言之间的转换关系，体会两种语言的区别于联系.（3）探究上述两个关系式的等价变形式教师点明：由等价变形式已知余弦值可以求正弦值；由等价变形式已知余弦值可以求正弦值，学生可能得到:的结论，此时，应该向学生说明：、的符号受所在象限的限制，不是无条件的，不同于“由可以推出”这种情形，此情况类似于“”而不是“”.等价变形式可以将分式可以化为整式.3.例题讲解例1已知且是第三象限角，求，的值.解：由，得∵是第三象限角∴，即.∴变式已知，求，的值.解：∵，是第三象限角或者第四象限角由，得①若是第三象限角，则：∴，即.∴②若是第四象限角，则：∴，即.∴4.课堂练习练习1已知,求，的值.练习2已知求的值.5.课堂小结（1）.同角三角函数基本关系：平方关系和商数关系.（2）.数学思想：从特殊到一般，从具体到抽象，数形结合、分类讨论.6.作业布置同角三角函数的配套训练.教学评价(1)“评价不是为了证明，而是为了促进”，本节课在教学中，关注学生的认知心理过程