2024-2025学年七年级数学上册 数轴上动点问题综合的三种考法（北师大版）

专题03数轴上动点问题综合的三种考法

【知识点精讲】

1.数轴上两点间的距离

数轴上A、B两点表示的数为分别为a、b,则A与B间的距离AB=|a—b|；

2.数轴上点移动规律

数轴上点向右移动则数变大（增加），向左移动数变小（减小）；

当数a表示的点向右移动b个单位长度后到达点表示的数为a+b；向左移动b个单位长度

后到达点表示的数为a-b.

类型一、求运动的时间

例.⑴在数轴上标出数-4.5,-2,1,3.5所对应的点AB,C,D；

-5-4-3-2-1012345

（2）C,。两点间距离=；2,C两点间距离=；

（3）数轴上有两点M,N,点"对应的数为。，点N对应的数为6,那么N两点之间的

距离=；

（4）若动点尸,。分别从点仇C同时出发，沿数轴负方向运动；已知点尸的速度是每秒1个单

位长度，点。的速度是每秒2个单位长度，设运动时间为乙问：

①，为何值时尸,。两点重合？

②t为何值时P，Q两点之间的距离为1?

【答案】（1）见解析；（2）2.5,3；（3）\a-b\（4）①3s；②2或4

【分析】（1）直接根据数轴上的点与有理数的对应关系即可得出答案；

（2）用数轴上右边的点对应的有理数减去左边点对应的有理数即可求出距离；

（3）根据距离等于两点表示的数之差的绝对值即可得出答案；

（4）①分别用含t的代数式表示出P,Q表示的有理数，通过题意建立方程，解方程即可；

②根据两点之间的距离为1，建立方程，解方程即可.

【详解】⑴如图，

A-4.55-2ClD3.5

l.lI|I].I1Tl

-5-4-3-2-1012345

⑵C,。之间的距离为3.5-1=25,B,C两点间距离为l-（-2）=3；

（3）M,N两点之间的距离为|a-4；

（4）①设点尸表示的数为-27,点。表示的数为1-2/,

令—2—t=l—2t解得t=3,

②尸,0间的为|(-2-)-(1-24="3],令|(-2T)-(1—24=1

解得r=2或r=4.

【点睛】本题主要考查数轴上的点与有理数，掌握数轴上两点之间的距离的求法是解题的关

键.

例2.小颖在一张纸上画一条数轴，并在数轴上标出A、B、C三个点，点A表示的数是-8,

点B在原点的右边且与点A相距20个单位长度.

(1)点B表示的数是.

(2)将这张纸对折，此时点8与表示T的点刚好重合，折痕与数轴交于点C,求点C表

示的数.

(3)若点。到点A和点8的距离之和为25,求点。所表示的数.

(4)点A和点B同时从初始位置沿数轴向左运动，它们的速度分别是每秒1个单位长度和

每秒2个单位长度，运动时间是f秒.是否存在/的值，使/秒后点A到原点的距离与点B到

原点的距离相等？若存在，请求出『的值；若不存在，请说明理由.

4

【答案】(1)12；(2)4；(3)-10.5或14.5；(4)t=§或20s

【分析】(1)根据数轴上两点间的距离公式，可求出点B表示的数；

(2)根据对称可知点C到-4和12的距离相等，可求点C表示的数为：(-4+12)+2=4；

(3)分两种情况讨论：①当。点在A点的左边，②当。点在B点的右边，然后利用数轴

上两点间的距离公式即可解答；

(4)由t秒后点B到原点的距离是点A到原点距离相等，列出一元一次方程即可.

【详解】解：(1)-8+20=12,所以点B表示的数为：12;

(2)(-4+12)+2=4,

则折痕与数轴有一个交点C表示的数为：4；

(3)EIAB=20,点。到点A和点B的距离之和为25,

回点。应在线段AB的外，

分两种情况：

①当。点在A点的左边，设。点表示数为X,

即DA|=|x-(-8)|=-x-8,

|DB|=|x-12|=12-x,

E(-x-8)+(12-x)=25,

解得：x=-10.5,

所以此时。点所表示的数为：-10.5,

②当。点在B点的右边，设。点表示数为X,

0|OA|=|x-(-8)|=x+8,

IDB|=|x-12|=x-12,

ffl(x+8)+(x-12)=25,

解得：x=14.5,

所以此时。点所表示的数为：14.5,

故若点。到点A和点B的距离之和为25,则点E所表示的数为：-10.5或14.5；

(4)存在.

由题意得：|-8-t|=|12-2t|

解之得：8+t=12-2t或8+t=2t-12

4

即t=g或t=20

故存在；t的值是|•或20.

4

所以当t=H或4s时，点B到原点的距离是点A到原点距离相等.

4

故答案为(1)12；(2)4；(3)-10.5或14.5；(4)t=1或20s

【点睛】此题考查了利用数轴的有关知识解决实际问题，解题的关键是：利用分类讨论思想

解决问题.

【变式训练1】定义：若线段A3上有一点P,当时，则称点尸为线段的中点.

已知数轴上A,8两点对应数分别为“和b,S+2『+|6-4|=0,尸为数轴上一动点，对应

数为x.

(1)若点尸为线段A3的中点，则尸点对应的数x为.若B为线段AP的中点时则尸点

对应的数x为.

(2)若点A、点8同时向左运动，它们的速度都为1个单位长度/秒，与此同时点尸从-16

处以2个单位长度/秒向右运动.

①设运动的时间为，秒，直接用含r的式子填空

；BP=.

②经过多长时间后，点A、点8、点尸三点中其中一点是另外两点的中点？

【答案】(1)1,10；(2)①AP=—31+14或14-3/(或者写|14—3r|),=20-3/或夕一20

(或者写|20-3f|),②|或g或三

【分析】(1)根据线段中点的定义得出规律，再利用规律解答即可.

⑵①根据题意得出A、B、P表示的数，从而得出结论；

②分三种情况讨论:若P为AB的中点，若A为BP的中点，若B为AP的中点，根据⑴所得结论

列方程求解即可.

【详解】⑴即为线段AB的中点，回AP=PB,

I3x-a=b-x,2x=a+b,

取=；(«+。)=g(-2+4)=1；

若B为线段AP的中点，则2b=a+x,解得:x=2b-a=8-(-2)=10.

故答案为：1,10.

⑵由题意得:A表示的数为-2-t,B表示的数为:4-t,P表示的数为:-16+2t.

①AP=|(-16+2t)-(-2-t)=114-3t|,BP=|(-16+2t)-(4-t)|=120-3t|,EIAP=-3t+14或14-3t;

BP=20-3t或3t-20.

故答案为：-3t+14或14-3t;20-3t或3t-20.

②分三种情况讨论：

17

若P为AB的中点，则:2(-16+2t)=(2t)+(4-t),解得:匕w；

Q

若A为BP的中点，则:212-t)=HL6+2t)+(4-t),解得:t=］；

若B为AP的中点，则:2(4-t)W2t)+(-16+2t),解得:.

o1776

综上所述:t的值为：:或］或三时，点A、点8、点P三点中其中一点是另外两点的中点.

【点睛】本题考查了非负数的性质，数轴，两点间的距离,一元一次方程的应用，运用方程思想、

分类讨论思想结合是解题关键.

【变式训练2】已知。是多项式尤3+4fy-5的常数项，6是项数.

(1)a=_；b=_；

⑵在数轴上，点A、B分别对应实数。和。，点P到点A和点B的距离分别为归山和|P3|,

>|PA|+|PB|=14,试求点尸对应的实数.

(3)动点M从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动；动点N从B点以

每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，到达A点后，立即改变方向往右运动到达B点后

停止运动；若M、N同时出发，在此过程中，经过多少秒时点N为MB或MA的中点.

【答案】⑴-5;3;(2)-8或6;(3)—>亍或了.

【分析】(1)根据多项式的性质得出a、b即可.

⑵根据绝对值的几何意义，分类讨论.

⑶根据数轴上点运动到不同的位置时，分类讨论.

【详解】(1)。=-56=3.

⑵由题意得:A表示-5,B表示3,则|AB|=8.

41B|R

•8-536

要使得一点P到A的距离和到B的距离为14,则除去AB之间的距离8还差6.

①P点需要距离A点3,距离B点11,则P为-8.

②P点需要距离B点3,距离A点11,则P为6.

故P为:-8或6.

⑶设经过的时间为f秒.N到达A点时/=|,N停止时若

当N未到达A点:M:t-5N:3-3f

①当N为MB的中点时

B—N=N-M

B+M=2N

8

3+r-5=2(3-3r)t=-

②当N为MA的中点时

M-N=N-A

M+A=2N

16

f-5+(-5)=2(3-3f)t^—

Q

当N到达A点时:M"-5N:3(t--)-5

③当N为MA中点时

M-N=N-A

M+A=2N

816

t=—

④当N为MB中点时

B-N=N-M

B+M=2N

Q2816

3+(/-5)=2[3(r--)-5]六行〉了(舍去)

综上所述，经过3、々或1秒时点N为MB或MA的中点.

【点睛】本题考查多项式性质、绝对值得几何意义和线段动点问题，关键在于结合数轴分类

讨论.

【变式训练3】已知〃、b为常数,且关于x、y的多项式(-20%2+〃％-y+12)-(Z?x2+12x+6y

-3)的值与字母无取值无关，其中。、b分别为点4点B在数轴上表示的数，如图所示.动

点£、尸分别从A、B同时开始运动，点E以每秒6个单位向左运动，点厂以每秒2个单位

向右运动，设运动时间为/秒.

(1)求a、b的值；

(2)请用含/的代数式表示点E在数轴上对应的数为：，点/在数轴上对应的数

为：•

(3)当E、B相遇后，点E继续保持向左运动，点厂在原地停留4秒后向左运动且速度变

为原来的5倍.在整个运动过程中，当E、尸之间的距离为2个单位时，求运动时间t的值

(不必写过程).

___________III.

BOA

15132729

【答案】(1)<2—12,b=-20；(2)12-63-20+2/；(3)1秒或1秒万•秒或方■秒

【分析】(1)由题意根据关于x、y的多项式(-20N+QX-尹12)-(Z?x2+12x+6y-3)的值

与字母工取值无关，即可求出。、b；

(2)由题意根据点从厂的运动方向和速度可得解；

(3)根据题意分相遇前和相遇后两种情况，然后正确列出方程进行分析计算即可.

【详解】解：(1)团关于x、y的多项式(-20/+依->[2)-(te2+12x+6y-3)的值与字

母x取值无关，

0(-20x2+or-J/+12)-(0/+i2x+6y-3)

=-20x2+ax-y+12-bx2-12x-6y+3)=(-20-/?)x2+(a-12)x-7y+15,

0-20-b=0或〃-12=0,

解得b=-20,〃=12；

(2)设运动时间为1秒.

由题意得：点石在数轴上对应的数为：12-63点/在数轴上对应的数为：-20+23

故答案为：12-63-20+2/；

(3)设当民产之间的距离为2个单位时，运动时间为/秒，

相遇前：12-6Z=-20+2/+2,解得：/="；

4

相遇后：E、尸相遇的时间为：(20+12)4-(2+6)—4(秒)，

相遇点为-20+2x4=-12,

13

点尸在原地停留4秒时，6(L4)=2,解得：

由题意得：当E、b相遇后，点E在数轴上对应的数为：12-63点/在数轴上对应的数为：

-12-2x5(Z-4-4)=68-10t.

当E在尸左侧时，68-10/-(12-6/)=2,解得：r=；

29

当E在歹右侧时，12-6f-(68-10f)—2,解得：/=万.

15132729

答：当E、尸之间的距离为2个单位时，运动时间为今秒或2秒0秒或?秒

【点睛】本题考查数轴和一元一次方程的应用，能根据题意列出代数式和方程是解答此题的

关键.

类型二、定值问题

例1.如图,在数轴上A点表示数一3,B点表示数b,C点表示数c,且b.c满足优+1)2+|c-4|=0

ill」>

ABOC

(1)b=_,c=_.

(2)若使C.B两点的距离是A.B两点的距离的2倍，则需将点C向左移动一个单位长度.

(3)点A.B.C开始在数轴上运动，若点A以每秒m个单位长度的速度向左运动，同时,

点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒;

①点A.B.C表示的数分别是用含m.t的代数式表示)；

②若点B与点C之间的距离表示为山，点A与点B之间的距离表示为d2,当m为何值时，

的值不会随着时间的变化而改变，并求出此时的值.

2di-d2t2ck—d2

【答案】(1)b=-l,c=4；

⑵1或9；

(3)①-3-mt；-l+2t；4+5t；②m=4；2由一ch的值为12.

【分析】(1)由(6+1)2+卜-4|=0,根据平方及绝对值的非负性可得b+l=0,c-4=0,据此可

求得b、c的值；

(2)先求出AB和BC的长度，结合数轴即可得出点C向左移动的距离，有两解；

(3)①结合路程=时间x速度写出答案；

②根据①先表示出山、ch,从而表示出2山书2,然后根据2dl—ch的值不会随着时间t的变

化而改变得出t的系数为0,即可求出m的值，继而求出2山一d2的值.

【详解】解：(1)0(fo+l)2+|c-4|=O

团b+l=0,c-4=0

回b=-l,c=4

⑵由数轴可知：AB=2,

0BC=4,

回点C向左移动后的数是3或-5

团需将点C向左移动1或9个单位；

故答案是：1或9；

(3)①点A表示的数是-3-mt；点B表示的数是-l+2t；点C所表示的数是4+5t.

故答案是：-3-mt；-l+2t；4+5t；

②回点A表示的数是-3-mt；点B表示的数是-l+2t；点C所表示的数是4+5,

13dl=4+5t-(-l+2t)=3t+5,d2=-l+2t-(-3-mt)=(m+2)t+2,

02di-d2=2(3t+5)-[(m+2)t+2]=(4-m)t+12,

02di-d2的值不会随着时间t的变化而改变

04-m=O,

13m=4,

故当m=4时，2di—d2的值不会随着时间t的变化而改变，此时2di-d2的值为12.

【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离及动点问题，掌握距离公式及平移规律是解决问题

的关键.本题体现了数形结合的数学思想.

例2.如图，在数轴上A点表示的数是-8,B点表示的数是2.动线段CD=4(点。在点C的

右侧)，从点C与点A重合的位置出发，以每秒2个单位的速度向右运动，运动时间为1秒.

ACDB

_____IiII»

-82

(1)①已知点C表示的数是-6,试求点。表示的数；

②用含有t的代数式表示点。表示的数；

(2)当AC=2B。时，求t的值.

(3)试问当线段8在什么位置时，AD+BC或的值始终保持不变？请求出它的

值并说明此时线段8的位置.

【答案】(1)①-2；②方-4；(2)6或2；(3)当线段8在线段A3上时或当点3在线段

内，AD+BC值保持不变，值为14,当线段8在点B的右侧时AD-BC的值保持不变，

值为14

【分析】(1)①已知点C表示的数是-6,CD=4(点。在点C的右侧)，即可得到点D的

坐标；②点C与点A重合的位置出发，以每秒2个单位的速度向右运动，运动时间为/秒.

AC=2t,AD=2t+4,即可表示点。表示的数；

(2)先求出AC=2f,再分当点。在点8左侧和当点。在点B右侧讨论，列方程求解即可；

(3)分当线段8在线段A3上时(图1)或当点B在线段8内时(图2)和当线段8在

点8的右侧时(图3)讨论，求出AD+3C或的值即可得出结论.

【详解】解：(1)①已知点C表示的数是-6,CD=4(点。在点C的右侧)，

团点。表示的数是-2；

②团点C从与点A重合的位置出发，以每秒2个单位的速度向右运动，运动时间为，秒，

回AC=2t,AD=2t+4,

回点。表示的数2t+4-8=2t-4;

（2）回f>0且线段CO移动的速度为每秒2个单位，

0AC=2?

①当点。在点B左侧（图1）

ACDB

______|_______L_______I_______I»

-8_________________2

图1

^\AC=2BD,

回2/=2[2-⑵-初

回/=2

②当点。在点B右侧（图2,3）

^\AC=2BD,

回2/=2[（2-4）-2]

回％=6

综上所述，％=6或%=2

（3）①当线段CO在线段上时（图1）或当点B在线段CO内时（图2）

ACDB

______IiII»

-82

图1

ACBD

____।।।।A

-82

图2

AQ+BC的值保持不变，S.AD+BC=AB+CD=14

②当线段8在点5的右侧时（图3）

___AI______________BICI______DI__

-82

图3

AD—3C的值保持不变，S.AD-BC=AC+CD-BC^AB+CD=14

【点睛】此题主要考查了数轴和一元一次方程的应用.正确的画出图形，进行分类讨论是解

决问题的关键.

【变式训练1】如图：在数轴上A点表示数点示数b,C点表示数Gb是最大的负整数，A

在8左边两个单位长度处，C在8右边5个单位处

⑴。=_；b=_；c=__.

(2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数—表示的点重合；

(3)点4B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B

和点C分别以每秒3个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与

点B之间的距离表示为A氏点A与点C之间的距离表示为AC,点8与点C之间的距离表示

为BC,贝UAB=_,AC=_,BC=—；(用含r的代数式表示)

(4)请问：53C-2AB的值是否随着时间，的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请

求其值.

ABC

【答案】(1)-3,-1,4；(2)2；(3)2+5t,7+7t,2t+5；(4)5BC-2AB的值不会随着

时间t的变化而改变，该值是21.

【分析】(1)根据b为最大的负整数可得出b的值，再根据A在8左边两个单位长度处，C

在8右边5个单位处即可得出a、c的值；

(2)根据折叠的性质结合a、b、c的值，即可找出与点B重合的数；

(3)根据运动的方向和速度结合a、b、c的值，即可找出t秒后点A、B、C分别表示的数，

利用数轴上两点间的距离即可求出AB、AC、BC的值；

(4))将(3)的结论代入5BC-2AB中，可得出5BC-2AB的值不会随着时间的变化而变

化，即为定值，此题得解.

【详解】(1)b是最大的负整数，.•〃=」

A在B左边两个单位长度处，C在5右边5个单位处

Q=-3,c=4

(2)将数轴折叠，使得A点与C点重合

a+c—b——3+4—(-1)=2

(3).•点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点8和点C分别以每秒3个单位长

度和5个单位长度的速度向右运动

，t秒钟过后,根据s=历得:sA=2t,sB=3t,sc=5f

又i«=—3,b=-l,c=4

・・•点A表示的数为-2/-3,点5表示的数为1-1,点C表示的数为57+4,

AB=2+5t,AC=7+7t,BC=22

(4)由(3)可知：

AB=2+5t,BC=2t+5

5BC-2yW=5x（2r+5）-2（2+5r）=10r+25-4-10r=21

53C-2AB的值为定值21.

故答案为：（1）-3,-1,4；（2）2；（3）2+5t,7+7t,2t+5；（4）5BC-2AB的值不会随

着时间t的变化而改变，该值是21.

【点睛】本题考查了数轴及两点间的距离，根据点运动的方向和速度找出点A、B、C运动

后代表的数是解题的关键.

【变式训练2】如图，记数轴上4、8两点之间线段长为AB,AB=2（单位长度），CD=1

（单位长度），在数轴上，点A在数轴上表示的数是-12,点。在数轴上表示的数是15.

AB6CD>

⑴点B在数轴上表示的数是,点C在数轴上表示的数是，线段BC的长=.

⑵若线段以1个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段8以2个单位长度/秒的

速度向左匀速运动，当点8与C重合时，点8与点C在数轴上表示的数是多少？

⑶若线段A2以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的

速度也向左匀速运动，设运动时间为f秒，当0<t<24时，用为AC中点，N为BD中点、.

①若数轴上两个数为。、b,则它们的中点可表示为?.则点M表示的数为，点N

表示的数为.（用代数式表示）

②线段的长是否为定值，如果是，请求出这个值；如果不是，请说明理由.

【答案】⑴-10,14,24

⑵当点8与C重合时，点8与点C在数轴上表示的数是-2

⑶①气二；丁；②MN的长是定值，MN=j

【分析】（1）数轴上点A右边的点2表示的数是点A表示的数加上这两个点的距离，数轴

上点。左边的点C表示的数是点。表示的数减去这两个点的距离，依此方法可求出点B和

点C表示的数，因为点C在点B的右边，所以用点C表示的数减去点2表示的数即得到线

段的长；

（2）设运动的时间为/秒，先确定点B表示的数为-10+f,点8与点C相距24个单位长

度，两个点相向运动，则点B与点C重合时，点B与点C运动的距离和为24,列方程求出

/的值再求出点8表示的数即可；

（3）①先用f的代数式表示出A、B、C、。四点对应的数，再根据中点公式即可求解；

②用两点间距离公式即可求解.

【详解】（1）解：因为点A表示的数是-12,点3在点A右侧，且筋=2,

所以一12+2=-10,

所以点8表示的数是-10；

因为点。表示的数是15,点C在点。的左侧，且CD=1,

所以15-1=14,

所以点C表示的数是14,

点8与点C的距离是14-(-10)=24(单位长度)，

所以线段BC的长为24个单位长度，

故答案为：-10,14,24.

(2)设运动的时间为r秒，则点B表示的数是-10+t,

根据题意得r+2/=24,

解得f=8,

所以—10+/=-10+8=-2,

答：当点B与C重合时，点8与点C在数轴上表示的数是-2.

(3)①根据题意得，f秒后点A对应的数为：-127,点C对应的数为：14-21,

13M为AC中点，

-12—f+14—2f2—3f

团点M对应的数为:

22

t秒后点2对应的数为：点D对应的数为：15-2t,

BIN为中点,

-io-r+15-2z5-3t

团点N对应的数为:

22

5-37

故答案为:

2

②线段的长为定值,

回点M对应的数为平，点N对应的数为六；

2—3，5—3,3

^\MN=

~~22~2

国线段"N的长为定值.

【点睛】此题考查数轴上两点的距离的求法、解一元一次方程、列一元一次方程解应用题等

知识与方法，解题的关键是正确理解行程问题中相遇问题和追及问题的数量关系并且用代数

式和等式表示这些关系.

类型三、点的位置

例.如图所示，在数轴上有AB,C三点，点P从数轴上表示4的点开始往左运动，速度为1

个单位/s,运动时间为然.

(1)当f=3s时，线段PC=；线段PB=；

(2)当r=6s时，PB+PC=；

(3)当/为何值时，P3+PC的值最小？

(4)当点尸运动到何处时，PA+PB+PC最小?

【答案】(1)1,2；(2)5；(3)2<t<5；(4)运动到点B处

【分析】(1)求出t=3s时点P表示的数，再求出PC和PB；

(2)求出t=6s时点P表示的数，再求出PC和PB,再相加；

(3)可知PB+PC的值最小时，点P在线段BC上，求出t的最值即可；

(4)由题意可得PA+PB+PC的值最小时，点P与点B重合.

【详解】解：(1)当t=3s时，

点P表示的数为4-3=1,

则PC=1,PB=2,

故答案为：1,2；

(2)当t=6s时，

点P表示的数为4-6=-2,

则PC=4,PB=1,

回PB+PC=5,

故答案为：5；

(3)当PB+PC的值最小时，

点P在线段BC上，

则t的最大值为：5,最小值为2,

回t的取值为2<t<5；

(4)若PA+PB+PC的值最小，

即点P到A、B、C三点的距离之和最小，

回此时点P与点B重合.

【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，解题的关键是理解题意，

结合图像解决问题.

【变式训练1】已知在纸面上有一数轴(如图所示).

-5-4-3-2-1012345

⑴操作一：折叠纸面，使表示数1的点与表示数-1的点重合，则此时表示数4的点与表示

数_的点重合；

(2)操作二：折叠纸面，使表示数6的点与表示数-2的点重合，回答下列问题：

①表示数9的点与表示数一的点重合；

②若这样折叠后，数轴上的4B两点也重合，且42两点之间的距离为10(点A在点B

的左侧），求A,B两点所表示的数分别是多少？

③在②的条件下，在数轴上找到一点尸，设点尸表示的数为x.当小+尸2=12时，直接写

出x的值.

【答案】①-4

（2）①-5；②A、8两点表示的数分别是-3,7；③龙的值为-4或8.

【分析】（1）先求出中心点，再求出对应的数即可；

（2）①求出中心点是表示2的点，再根据对称求出即可；②求出中心点是表示2的点，

求出A、B到表示2的点的距离是5,即可求出答案；③根据点P在数轴上的位置，分类讨

论，当点尸在点A的左侧时，当点尸在点A、3之间时，当点尸在点A的右侧时，根据各种

情形求解即可.

【详解】（1）解：回折叠纸面，使数字1表示的点与：表示的点重合，可确定中心点是表示

0的点，

E4表示的点与-4表示的点重合，

故答案为瓦4；

（2）解：①团折叠纸面，使表示数6的点与表示数-2的点重合，可确定中心点是表示2

的点，

国表示数9的点与表示数-5的点重合；

故答案为团-5；

②回折叠后，数轴上的42两点也重合，且42两点之间的距离为10（点A在点2的左

侧），

0A、8两点距离中心点的距离为10+2=5,

回中心点是表示2的点，

胡、8两点表示的数分别是-3,7；

③当点P在点A的左侧时，

^PA+PB=12,

0-3-x+7-x=12,

解得x=-4；

当点尸在点A、3之间时，此时科+尸8=12不成立，故不存在点尸在点A、2之间的情形；

当点P在点A的右侧时，

0/54+PB=12,

Ete-（-3）+x-7=12,

解得x=8,

综上x的值为-4或8.

【点睛】本题考查了数轴的应用，能求出折叠后的中心点的位置是解此题的关键.

【变式训练2］已知A,B两点在数轴上分别表示有理数a,b,A,B两点之间的距离表示

为AB,在数轴上A,B两点之间的距离AS=|a-4.已知数轴上42两点对应的数分别为

—1,3,P为数轴上一动点.

⑴若点尸到A,8两点之间的距离相等，则点尸对应的数为.

(2)若点尸到A,B两点的距离之和为6,则点P对应的数为.

⑶现在点A以2个单位长度/秒的速度运动，同时点B以0.5个单位长度/秒的速度运动，A

和8的运动方向不限，当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点B所对应的数是

多少？

【答案】⑴L

(2)4或-2；

⑶点B表示的数为g或或g或1.

【分析】(1)根据数轴上两点间的距离计算方法进行计算即可得出答案；

(2)设点尸对应的数为尤，根据题意可得|x+l|+|x-3|=6；分类讨论，当T<x<3时，

②当x>3时，③当x<-l时，计算即可得出答案；

(3)设经过f秒，分情况讨论①当点A点B相向而行时，经过f秒，点A表示的数为-1+27,

点B表示的数为3-0勺，即可得出|(-l+2r)-(3-0勺)|=3,②当点A点8同向向右运动时，

经过，秒，点A表示的数为一1+2人点B表示的数为3+0勺，贝1」|(-1+2。-(3+0.5/)|=3,③当

点A点3同向向左运动时，求出f的值，即可算出点8对应的数.

【详解】(1)解：根据题意可得，

=|-1-31-4,

因为点P到A,8两点之间的距离相等，所以点尸到点-1和点3的距离为2,

则点P对应的数为：1;

故答案为：工：

(2)解：设点P对应的数为x,

则Ix+11+1x-31=6；

①当-1〈尤<3时，最大值为4,不满足题意；

②当x>3时，解得：x=4；

③当x<-l时，解得：X--2,

点尸对应的数为4或-2；

故答案为：4或-2；

(3)解：设经过t秒，

①当点A点B相向而行时，

经过f秒，点人表示的数为-1+2乙点3表小的数为3-0.5f,

则|(_1+2。_(3_().53=3,

解得r弋14或通2，

点B对应的数为3-：1x弓|4=；?或3—31,29=言?0；

②当点A点3同向向右运动时，

经过f秒，点A表示的数为-1+2b点3表示的数为3+05,

则|(_l+2,)_(3+0.5f)|=3,

解得：」=方14或语2,

点8表示的数为3+gx弓或3+gxg=1；

③当点A点B同向向左运动时，

因为=4,点A的运动速度大于点8的运动速度，

不能满足题意.

综上：点8表示的数为1或T或4或1.

【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离的

计算方法进行求解.

课后训练

1.如图，数轴上有A,B两点,分别表示的数为。，b,5.(a+25)2+|Z?-35|=0.点尸从

A点出发以每秒13个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当它到达8点后立即以相同的

速度返回往A点运动，并持续在A,B两点间往返运动.在点尸出发的同时，点。从B点出

发以每秒2个单位长度向左匀速运动，当点。达到A点时，点P,。停止运动.

(1)填空：a=,b=；

(2)求运动了多长时间后，点尸，Q第一次相遇，以及相遇点所表示的数；

(3)求当点尸，Q停止运动时，点尸所在的位置表示的数；

(4)在整个运动过程中，点尸和点。一共相遇了几次.(直接写出答案)

P------Q

♦♦..

AOB

AOB，

备用图

【答案】(1)-25,35(2)运动时间为4秒，相遇点表示的数字为27；(3)5;⑷一共

相遇了7次.

【分析】（1）根据0+0式的定义即可解题；（2）设运动时间为X秒,表示出P,Q的运动路程，

利用路程和等于AB长即可解题；（3）根据点Q达到A点时，点P,Q停止运动求出运动时

间即可解题；（4）根据第三问点P运动了6个来回后，又运动了30个单位长度即可解题.

【详解】解：（1）-25,35

（2）设运动时间为x秒

13x+2x=25+35

解得x=4

35-2x4=27

答：运动时间为4秒，相遇点表示的数字为27

（3）运动总时间：60+2=30（:秒），13x30+60=6...30即点P运动了6个来回后，又运动了30

个单位长度，

0-25+30=5,

回点P所在的位置表示的数为5.

（4）由（3）得：点P运动了6个来回后，又运动了30个单位长度，

回点P和点Q一共相遇了6+1=7次.

【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，数轴的应用，难度较大，熟悉路程，时间，速度之

间的关系是解题关键.

2.如图，若点A在数轴上对应的数为。，点B在数轴上对应的数为b,且a,＞满足|。+2|

+（6-1）点A与点8之间的距离表示为A8=|a-勿.

（1）求4B的长；

Q

（2）若点C在数轴上对应的数为鼠在数轴上是否存在点P,使得PA+PB=PC?若存在，

求出点尸对应的数；若不存在，说明理由；

（3）在（1）、（2）的条件下，点A,B,C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度

的速度向左运动，同时，点8和C分别以每秒4单位长度和9个单位长度的速度向右运动，

经过f秒后，请问：A8-BC的值是否随着时间，的变化而改变？若变化，请说明理由；若

不变，请求其常数值.

~AO_B*

1114

【答案】（1）3；（2）存在，■或-§；（3）不变，值为］.

【分析】（1）先利用几个非负数的和为零，则每个数都为零，列式求出a,b的值，最后根

据已知的关系式即可求出AB；

（2）根据数轴上表示两点距离的方法设出P点代表的数字为x,再分别表示出对应的B4、

PB、PC,最后代入关系式即可解答；

(3)由于运动时间为f秒，A、B、C的运动方向和运动速度已知，利用路程=速度x时间可

表示出和BC,再计算出A2-BC的值，再与运动前的值比较即可得出结论，

进而求出这个常数值.

【详解】解：(1)即。+2|+(Z?-1)2=0,

又即a+2|N0,(6-1)2＞0,

回。+2=0,b-1=0.

回。=-2,b—1.

国点A与点2之间的距离表示为AB=\a-b\,

EL4B=|-2-1|=3

答：AB的长为3；

(2)存在点P,使得R1+P2=PC.

设点尸对应的数为x,

当点尸在点A的左侧时，即尤＜-2,

0fi4=|-2-A|=-2-x,

PB=11-x|=1-x,

PC=11-五|=g-x.

^PA+PB=PC,

8

团-2-x+1-x=----x.

3

解得：x---.

当点尸在点A的右侧，点5的左侧时，即-2＜冗＜1,

团B4=|-2-x|=x+2,

PB=\1-x\=1-x,

88

PC=|--x|=§-x.

।।8

取+2+1-％=--x.

3

解得：x=-g.

当点尸在点5的右侧时，PA+PB＞PC,不合题意.

综上，点P对应的数为或-1;

(3)AB-8C的值不随着时间/的变化而改变.

由(1)知：AB=3,

oc

由（2）知：BC=--1=—,

4

0AB-BC=一.

3

回点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，

同时，点2以每秒4单位长度的速度向右运动，

0AB=f+3+4f=5f+3.

回点8和C分别以每秒4单位长度和9个单位长度的速度向右运动，

85

0BC=(9-4)f+(--1)=5rH—.

33

54

EL4B_BC=(5/+3)-(St~\—)=—.

33

a4B-BC的值不随着时间t的变化而改变.

4

SAB-BC的值不会随着时间t的变化而改变且这个常数的值为.

【点睛】本题主要考查了数轴两点之间的距离公式的应用，掌握根据数字的大小去掉绝对值

符号，再结合已知条件列出方程并求解成为解答本题的关键.

3.如图，在数轴上点A表示的数为-6,点8表示的数为10,点M、N分别从原点。、点

8同时出发，都向左运动，点M的速度是每秒1个单位长度，点N的速度是每秒3个单位

长度，运动时间为f秒.

(1)求点加、点N分别所对应的数(用含/的式子表示)；

(2)若点A/、点N均位于点A右侧，且AN=2AAf,求运动时间/；

(3)若点尸为线段AM的中点，点Q为线段BN的中点，点M、N在整个运动过程中，当

PQ+AA/=17时，求运动时间

------•----•------•—>

AOB

【答案】(1)点M、点N分别所对应的数分别为T,10-3/；(2)?=4；(3)"1或18

【分析】(1)根据题意进行求解即可；

(2)由(1)所求，根据数轴上两点距离公式可得40=--(-6)=6-乙

/W=10-3r-(-6)=16-3r,再由AN=2AAf,得到16—3/=12-2才，由此即可得到答案；

(3)分当M、N均在A点右侧时，当N在A点左侧，M在A点右侧时，当M、N都在A点

左侧时，三种情况讨论求解即可.

【详解】解：(1)由题意得：点M、点N分别所对应的数分别为T,10-3人

(2)回点A表示的数为-6,点M、点N分别所对应的数分别为V,10-37,

团AM=—t—(-6)=6—t,AN=10—3,—(—6)=16—3,，

^\AN=2AMf

团16—3，=12—2,，

回1=4；

(3)如图1所示，当M、N均在A点右侧时,

由(1)(2)得点M、点N分别所对应的数分别为10-3r,AM=-t-(-6)=6-t

团点尸为线段AM的中点，点。为线段BN的中点,

.pr.士,_.,,业心八口［、r—6—t10—31+1020—3t

回点尸和点。表本的数分别为「一，---------二--一

20-3r-6-t26—21

团尸

Q=~~22~

团PQ+AM=17,

26—21

团------+6-=17,

回，二1

-•----•--•--•---•---•------•-

APMONQB

图1

如图2所示，当N在A点左侧，M在A点右侧时，

同图1可知点尸和点。表示的数分别为，—6—t，f20—3t

n八20-3/-6-t26-2t

回尸Q=-------------------=---------

2