2023年高考文科数学知识点总结

高中数学必修1知识点

第一章集合与函数概念

[1.1.1]集合的含义与表达

（1）集合的概念

集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.

（2）常用数集及其记法

N表达自然数集，N*或N+表达正整数集，Z表达整数集，。表达有理数集，R表达实数集.

（3）集合与元素间的关系

对象。与集合M的关系是ae",或者。史两者必居其一.

（4）集合的表达法

①自然语言法：用文字论述的形式来描述集合.

②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表达集合.

③描述法：｛xI%具有的性质｝,其中x为集合的代表元素.

④图示法：用数轴或韦恩图来表达集合.

（5）集合的分类

①具有有限个元素的集合叫做有限集.②具有无限个元素的集合叫做无限集.③不具有任何元素的集合叫做空集（0）.

[1.1.21集合间的基本关系

（6）子集、真子集、集合相等

名称记号意义性质示意图

AcB（l）AOA

©©

（或A中时任一元素都属（2）0OA

子集

于B（3）若Aq5且30C,则AqC

B?A）

（4）若Aq5且A,则A=5或

AUB（1）0<zA（A为非空子集）

A03,且B中至

真子集

少有一元素不属于A

(或BZ)A)（2）若AuB且3uC,则AuC

丰

A中时任一元素都属

集合(l)AOB

A=B于B,B中时任一元素

相等(2)BOA

都属于A

（7）已知集合A有21）个元素，则它有2"个子集，它有2"—1个真子集，它有2"—1个非空子集，它有2"—2非空真子集.

ri.i.3］集合的基本运算

（8）交集、并集、补集

名称i己号意义性质小意图

(1)A(}A=A

A且

(2)Ai0=0

交集

(3)A|B7A

x^B}

AB三Bc®

(1)AlA=A

{%|无£4或

A|JB(2)Al0=A

并集

(3)Al,B^A

x^B}

AB二BQD

1A|(^A)=02Al(跖A)=U

u

{x|尤£。，且xeA}瘠(A8)=(.A)&B)

补集2A

瘠(A8)=(“A)(?*)

【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法

（1）含绝对值的不等式的解法

不等式解集

Ix\<a(a>0){x\-a<x<a]

|x\>a(a>0)x|x<一〃或%>a}

把ax+b当作一种整体，化成|x|<a,

|ax+b\<c,|ov+Z?|>c(c>0)

|x|>a（a>0）型不等式来求解

（2）一元二次不等式的解法

鉴别式

A>0A=0A<0

△=Z72-4ac

11

二次函数

y=ax2+bx+c(a>0)

-寸4-0

的图象

一元二次方程-b±yjb2-4ac

%=2ab

2

ax+bx+c=0(a>0)X\=%2=一丁无实根

2a

的根

(其中当<x2)

ax2+bx+c>0(a>0)

{九1犬<玉或%>9}{%|%w--}R

2a

的解集

ax2+bx+c<0(a>0)

{x\xx<X<x2}00

时解集

□.2』函数及其表达

［1.2.1］函数的概念

(1)函数的概念

①设A、3是两个非空时数集，假如按照某种对应法则了,对于集合A中任何一种数x,在集合5中均有唯一确定的数

/(x)和它对应，那么这样的对应(包括集合A,3以及A到3的对应法则/)叫做集合A到5的一种函数，记作

②函数的三要素:定义域、值域和对应法则.

③只有定义域相似，且对应法则也相似的两个函数才是同一函数.

(2)区间的概念及表达法

①设a,6是两个实数，且a<Z?,满足aWxWb的实数x时集合叫做闭区间，记做［。/］；满足a<%<)的实数x的集

合叫做开区间，记做(。］)；满足或时实数》的集合叫做半开半闭区间，分别记做［a,6),(a,b］■,

满足<b的实数x的集合分别记做［a,+co),(a,+8),(TO,勿,(TO,Z?).

注意：对于集合｛兀|。<%</?｝与区间(。,6),前者a可以不小于或等于6,而后者必须

a<b.

(3)求函数的定义域时，一般遵照如下原则：

①/(X)是整式时，定义域是全体实数.

②/(x)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数.

③/(X)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.

④对数函数的真数不小于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须不小于零且不等于1.

⑤y=tanx中，x^+―eZ).

⑥零(负)指数器的底数不能为零.

⑦若/(x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集.

⑧对于求复合函数定义域问题，一般环节是：若已知/(X)的定义域为句，其复合函数/[g(x)]的定义域应由不等式

g(x)<b解出.

⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题详细状况需对字母参数进行分类讨论.

⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数故意义外，还要符合问题的实际意义.

(4)求函数的值域或最值

求函数最值的常用措施和求函数值域的措施基本上是相似的.实际上，假如在函数的值域中存在一种最小(大)数，这个数就

是函数欧I最小(大)值.因此求函数的最值与值域，其实质是相似的，只是提问的角度不一样.求函数值域与最值的常用措施:

①观测法：对于比较简朴的函数，我们可以通过观测直接得到值域或最值.

②配措施：将函数解析式化成具有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值.

③鉴别式法：若函数y=/(x)可以化成一种系数具有y欧I有关x的二次方程。(丁)犬+8(y)x+c(y)=0,则在

a(y)w0时，由于苍y为实数，故必须有A=/(y)—4a(y)-c(y)20,从而确定函数的值域或最值.

④不等式法：运用基本不等式确定函数的值域或最值.

⑤换元法：通过变量代换到达化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题.

⑥反函数法：运用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值.

⑦数形结合法：运用函数图象或几何措施确定函数的值域或最值.

⑧函数的单调性法.

[1.2.2]函数的表达法

(5)函数的表达措施

表达函数的措施，常用时有解析法、列表法、图象法三种.

解析法：就是用数学体现式表达两个变量之间的对应关系.列表法：就是列出表格来表达两个变量之间的对应关系.图象法：

就是用图象表达两个变量之间的对应关系.

(6)映射的概念

①设A、3是两个集合，假如按照某种对应法则了,对于集合A中任何一种元素，在集合3中均有唯一的元素和它对应，

那么这样的对应(包括集合A,3以及A到3的对应法则f)叫做集合A到B的映射，记作/:Af8.

②给定一种集合A到集合3的映射，且.假如元素a和元素)对应，那么我们把元素。叫做元素a的象，元

素。叫做元素人的原象.

n.33函数的基本性质

[1.3.1]单调性与最大(小)值

(1)函数的单调性

①定义及鉴定措施

函数於1

定义图象鉴定措施

性质

假如对于属于定义域I内某(1)运用定义

二)

个区间上的任意两个自变量>(2)运用已知函数时

的1值X1>X2,当X1<个时，均单调性

有f(Xi)<f(X2),那么就说(3)运用函数图象(在

f(X.)

f(x)在这个区间上是单明皴某个区间图

0

X.XX象上升为增)

:2

函数的(4)运用复合函数

单调性(1)运用定义

假如对于属于定义域I内某Jy=f(x)(2)运用已知函数时

个区间上的任意两个自变量f(x?单调性

的1值X1、X2,当个诲孕时，均(3)运用函数图象(在

一

有f(Xi)>f(x2),那么就说某个区间图

f(x)在这个区间上是诚明朗.D

X,X2X象下降为减)

(4)运用复合函数

②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一种减函数为增函数，减函数减去一

种增函数为减函数.

③对于复合函数y=/Tg(x)］，令M=g(x)，若y=/(«)为增，u=g(x)为增，则y=f［g(x)］为增；若y=/(«)

为减，〃=g(x)为减，则丁=/Tg(x)］为增；若了=/(〃)为增，〃=g(x)为减，则丁=/［g(x)］为减；若丫=f(u)

为减，〃=g(x)为增，则y=/［g(x)］为减.

(2)打“J”函数/(犬)=犬+3(。>0)的图象与性质加)…*5

x

/(%)分别在(YO,—G］、［G,+oo)上为增函数，分别在［-6,0)、(。，右］上为减函数.2a

_______________

(3)最大(小)值定义

-24a

①一般地，设函数y=/(x)的定义域为/,假如存在实数“满足：(1)对于任意的xe/,均有

(2)存在使得/(%)=".那么，我们称M是函数/(x)的最大值，记作

②一般地,设函数y=/(x)的定义域为/，假如存在实数加满足：(1)对于任意的xeI,均有f(x)>zn；(2)存在/eI,

使得/(%0)=加.那么，我们称加是函数/(X)的最小值，记作7max(X)=〃L

［1.3.2］奇偶性

(4)函数的奇偶性

①定义及鉴定措施

函数的

定义图象鉴定措施

性质

假如对于函数f(x)定义域内(1)运用定义(要先

任意一种X,均有f(—X)=—y

(a,f(a))判断定义域与否有关

那么函数f(x)叫做奇西原点对称)

-a厂.

教.JL/0ax(2)运用图象(图象

有关原点对称)

(_a,f(-a))

函数的

奇偶性假如对于函数f(x)定义域内(1)运用定义(要先

y

任意一种X,均有判断定义域与否有关

(-a,f(-a)).(a.f(a))

那么函数f(x)叫做假用塞.原点对称)

(2)运用图象(图象

-aoax

有关y轴对称)

②若函数/(x)为奇函数，且在x=0处有定义，则/(0)=0.

③奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相似，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反.

④在公共定义域内，两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数)，两个偶函数(或奇函数)的积(或商)

是偶函数，一种偶函数与一种奇函数欧I积(或商)是奇函数.

K补充知识］函数的图象

(1)作图

运用描点法作图：

①确定函数的定义域；②化解函数解析式；

③讨论函数的性质(奇偶性、单调性)；④画出函数的图象.

运用基本函数图象的变换作图：

要精确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、募函数、三角函数等多种基本初等函数的图象.

①平移变换

〃＞0,左移个单位尢＞0,上移上个单位

左

y=/(x)力＜0,右移㈤个单位,y=/(x+/Oy=/(%)上＜0,下移㈤个单位,y=/(x)+

②伸缩变换

O<G<1,伸

y-f(x)81,布4y=/(°x)

0<A<l,缩

y=/(x)>y=4f(x)

A>1,伸

③对称变换

y=/(x)*轴>丁=一/(%)丁=/(尤)渊>y=/(f)

y=/(x)y=-/(-x)y=/(x)直线1>y=广⑴

去掉y轴左边图象

y=/(x)〉y=/(IxI)

保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称图象

保留X轴上方图象

y=/(x)〉y="(x)l

将X轴下方图象翻折上去

(2)识图

对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶

性，注意图象与函数解析式中参数的关系.

(3)用图

函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题成果的重要工

具.要重视数形结合解题的思想措施.

第二章基本初等函数(I)

K2.12指数函数

[2.1.11指数与指数塞的运算

(1)根式的概念

①假如x"=a,aeR,xeR,n>l,且〃eN+，那么％叫做。的〃次方根.当〃是奇数时，。的“次方根用符号

表达；当九是偶数时，正数。的正时“次方根用符号%'表达，负的几次方根用符号一标表达；0的九次方根是0；负数。

没有〃次方根.

②式子后叫做根式，这里“叫做根指数，。叫做被开方数.当〃为奇数时，。为任意实数；当〃为偶数时，a>0.

③根式的I性质：(4£)”=〃；当〃为奇数时，=a；当”为偶数时，=\a\=<(.

-a(a<0)

(2)分数指数幕的概念

m___

①正数的正分数指数赛的意义是：Q=M^(a>0,m,〃eN+，且n>l).0时正分数指数幕等于0.

②正数的负分数指数幕的意义是：〃一^=(与7=《卜_!_广(〃>0,〃〃£乂，且〃>1).0时负分数指数幕没故意

a

义.注意口诀：底数取倒数，指数取相反数.

(3)分数指数幕的运算性质

①优=ar+s(a>0,r,5G7?)②("『=ars{a>0,r,5G/?)

③=arbr(a>0,b>0,re7?)

[2.1.2]指数函数及其性质

(4)指数函数

函数名称指数函数

定义函数y=>0且ow1)叫做指数函数

a>10<〃<1

J71

图象

(0,1)

一

X

定义域R

值域(0,+co)

过定点图象过定点(0,1),即当兄=0时，y=l.

奇偶性非奇非偶

单调性在R上是增函数在R上是减函数

ax>1(x>0)ax<1(x>0)

函数值的

ax=1(x=0)ax=1(x=0)

变化状况

ax<1(x<0)ax>1(x<0)

。变化对图象欧1影响在第一象限内，。越大图象越高；在第二象限内，〃越大图象越低.

K2.22对数函数

【2.2.1】对数与对数运算

(1)对数的定义

①若a*=N(a〉O,且awl),则x叫做认为。底N的对数，记作x=log°N,其中a叫做底数，N叫做真数.

②负数和零没有对数.

x

③对数式与指数式的互化：x=logoNoa=N(a>0,aw1,N>0).

(2)几种重要的对数恒等式

h

loga1=0,log"=1,log”a=b.

(3)常用对数与自然对数

常用对数：IgN,即logioN；自然对数：InN,即log«N(其中e=2.71828…).

(4)对数的运算性质假如a>0,aw1,河>0,N>0,那么

M

①加法：log。M+log.N=log。(2W)②减法：logflAf-loga?/=loga—

③数乘：nlogflM=logaM"(neR)④*g-N=N

⑤log〃Af"='log„⑥换底公式：log。N=°g""(6>0,且6丰1)

"blog’,a

[2.2.2】对数函数及其性质

(5)对数函数

函数

对数函数

名称

定义函数y=logflx(a>0且aw1)叫做对数函数

a>\0<a<l

xy\'<X1y=log.%

yt：J=iogax

M

图象

W，。),

7

o/(i，。)rTK

定义域(0,+co)

值域R

过定点图象过定点(1,0),即当x=l时，y=0.

奇偶性非奇非偶

单调性在(0,+8)上是增函数在(0,+s)上是减函数

logax>0(%>1)log“x<0(x>l)

函数值的

logax=Q(x=l)loga%=0(x=l)

变化状况

logflx<0(0<x<1)log°x>0(0<x<1)

4变化对图象欧1影响在第一象限内，。越大图象越靠低；在第四象限内，Q越大图象越靠高.

(6)反函数的概念

设函数y=/(x)的定义域为A,值域为C,从式子y=/(x)中解出了,得式子x=0(y).假如对于y在。中的任

何一种值，通过式子x=°(y),%在A中均有唯一确定时值和它对应，那么式子x=0(y)表达尤是y的函数，函数

X=。(丁)叫做函数);=/(x)的反函数，记作x=f~\y).习惯上改写成y=f~l(x).

(7)反函数的求法

①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式y=/(x)中反解出％=/"'(y)；

③将x=广'(y)改写成y=/t(%),并注明反函数的定义域.

(8)反函数的性质

①原函数y=/(x)与反函数y=/-1(x)的图象有关直线y=x对称.

②函数y=/(x)的定义域、值域分别是其反函数y=/T(x)的值域、定义域.

③若P（a,b）在原函数y=/（x）的图象上，则P（4a）在反函数＞=/"（x）的图象上.

④一般地，函数y=/（x）要有反函数则它必须为单调函数.

12.3R塞函数

（1）幕函数欧I定义

①图象分布：募函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象.募函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限（图象有关y轴

对称）；是奇函数时，图象分布在第一、三象限（图象有关原点对称）；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限.

②过定点：所有的幕函数在（0,+8）均有定义，并且图象都通过点（1,1）.

③单调性：假如。＞0,则嘉函数的图象过原点，并且在［0,+8）上为增函数.假如。＜0,则嘉函数的图象在（0,+8）上为减

函数，在第一象限内，图象无限靠近x轴与y轴.

a

④奇偶性：当a为奇数时，嘉函数为奇函数，当a为偶数时，幕函数为偶函数.当&=工（其中p,q互质，p和4eZ）,若

P

???

"为奇数4为奇数时，则y=x0是奇函数，若p为奇数q为偶数时，则y=x"是偶函数，若p为偶数4为奇数时，则y=x'

是非奇非偶函数.

⑤图象特性:募函数>=%°,%€(0,+<»),当1>1时，若0<尤<1,其图象在直线丁=%下方,若%>1,其图象在直线丁=%

上方，当tz<l时，若0<%<1,其图象在直线y=x上方，若x>1,其图象在直线y=x下方.

K补充知识』二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式

①一般式：/(x)=ax?+法+c(aw0)②顶点式：/(x)=a(x-/z)2+左(aw0)③两根式:

/(x)=a(x-x1)(x-x2)(«*0)(2)求二次函数解析式的措施

①已知三个点坐标时，宜用一般式.

②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式.

③若已知抛物线与X轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求/(X)更以便.

(3)二次函数图象欧I性质

①二次函数/(%)=奴2+法+(:(4/0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x=----，顶点坐标是(------,----------).

2a2a4a

②当〃>0时，抛物线开口向上，函数在(-00,---］上递减，在［-----,+8)上递增，当X=----时，力也(元)二

2a2a2a4a

当〃<0时，抛物线开口向下，函数在(-00,----］上递增，在［-----,+8)上递减，当％=------时，/max(X)=

2a2a2a4a

③二次函数/(x)=ax2+Z?x+c(awO)当A=Z?2-4ac>0时，图象与x轴有两个交点

州(七,0),外区0),1吊照|=|再F匕£•

⑷

(4)一元二次方程ax2+bx+c-0(。丰0)根的分布

一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所波及，但尚不够系统和完整，且处理

的措施偏重于二次方程根的鉴别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一

元二次方程实根的分布.

设一元二次方程。*2+6*+。=0(。/0)的两实根为了1，%2，且占＜%2・令/(%)+〃X+C,从如下四个方面来分

b

析此类问题：①开口方向：a②对称轴位置：％二——③鉴别式：A④端点函数值符号.

2a

①女<%W%2U>

④ki<xi&X2<k2。

⑤有且仅有一种根汨(或％2)满足怎<九1(或％2)<k2o<o,并同步考虑yU1)=o或/G)=o这两种状况

与否也符合

⑥V九1V左2WpiVx2V22o

此结论可直接由⑤推出.

(5)二次函数%)=4%2+法+0(4。0)在闭区间［〃,编上的最值

设/(%)在区间［p,0上的I最大值为M,最小值为加，令%)=((〃+.).

(I)当〃>0时(开口向上)

b

③若---->q,则根=f(q)

2a

hbbb

①若----<p,则M=/(p)②若p<------<q,则M=/(------)③若----->q,则A/=于(q)

la2alala

b

①若②---->％,则根=/(p).

la

第三章函数的应用

一、方程时根与函数的零点

1、函数零点欧I概念：对于函数y=/(x)(xeD),把使/(x)=0成立的实数x叫做函数y=/(x)(xe。)的零点。

2、函数零点的意义：函数y=/(x)的零点就是方程/(x)=0实数根，亦即函数丁=/(x)的图象与无轴交点的横坐

标。即:

方程/(x)=0有实数根o函数y=/(x)的图象与无轴有交点o函数y=/(x)有零点.

3、函数零点的求法:

求函数y=/(x)的零点:

①(代数法)求方程/(%)=0的实数根;

②(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数,=/(x)的图象联络起来，并运用函数的性质找出零点.

4、二次函数的零点:

二次函数y=ax1+bx+c(aw0).

i)△>o,方程a%2+人%+。=0有两不等实根，二次函数的图象与X轴有两个交点，二次函数有两个零点.

2)A=o,方程ax?+辰+。=0有两相等实根(二重根)，二次函数的图象与龙轴有一种交点，二次函数有一种二

重零点或二阶零点.

3)△<o,方程+Z?x+c=O无实根，二次函数的图象与X轴无交点，二次函数无零点.

高中数学必修2知识点

第一章空间几何体

1」柱、锥、台、球的构造特性

1.2空间几何体的三视图和直观图

1三视图：

正视图：从前去后侧视图：从左往右俯视图：从上往下

2画三视图的原则：

长对齐、高对齐、宽相等

3直观图：斜二测画法

4斜二测画法的环节：

(1).平行于坐标轴时线仍然平行于坐标轴；

(2).平行于y轴的线长度变半，平行于x,z轴的线长度不变；

(3).画法要写好。

5用斜二测画法画出长方体的环节：(1)画轴(2)画底面(3)画侧棱(4)成图

1.3空间几何体的表面积与体积

(-)空间几何体的表面积

1棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和

2圆柱欧|表面积S=2勿7+271r23圆锥欧I表面积S="/+""

4圆台的表面积S="/+"~+欣/+欣一5球的表面积S=4成〜

(二)空间几何体的体积

2锥体的体积丫=35底*/1

1柱体的体积V=S底X/2

V=g(S+7^?+S下)x〃43

3台体的体积±4球体的体积V=-7VR

3

第二章直线与平面的位置关系

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系

1平面含义：平面是无限延展的

2平面的画法及表达

(1)平面的画法：水平放置的平面一般画成一种平行四边形，锐角画成45°,且横边画成邻边的2倍长(如图)

(2)平面一般用希腊字母a、B、丫等表达，如平面a、平面B等，也可以用表达平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个

顶点的大写字母来表达，如平面AC、平面ABCD等。

3三个公理:

(1)公理L假如一条直线上的两点在一种平面内，那么这条直线在此平面内

符号表达为

AGL

BGL

AGa

BGa

公理1作用：判断直线与否在平面内

(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一种平面。