2022-2024年中考数学试题分类汇编：规律探索及新定义问题（4大考点）

专题03规律探索及新定义问题

【考点归纳】

一、考点01数式类规律..........................................................................I

二、考点02图形类规律..........................................................................6

三、考点03点的坐标规律.......................................................................11

四、考点04新定义问题.........................................................................14

考点01数式类规律

一、考点01数式类规律

1,2,3,5,……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和.则在这一列数

的前2024个数中，奇数的个数为（）

A.676B.674C.1348D.1350

2.（2024.重庆・中考真题）烷煌是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前四种化合物的

分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子.第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6

个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个

数是（）

X/内部•

①②③④

A.20B.22C.24D.26

3.（2024.重庆•中考真题）已知整式“：a"x"+a“_F"T+-+alx+a0,其中为自然数,。,为正整

数，且“+%+。―++4+%=5.下列说法：

①满足条件的整式M中有5个单项式；

②不存在任何一个,，使得满足条件的整式/有且只有3个；

③满足条件的整式M共有16个.

其中正确的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

4.（2022•西藏・中考真题）按一定规律排列的一组数据：-1,4，卷，....则按此规

律排列的第10个数是（）

19「2119-21

A.------B.----C.-----D.—

1011018282

5.（2022•内蒙古・中考真题）观察下列等式：7°=1,71=7,7?=49,73=343,74=2401,75=16807,...

根据其中的规律可得70+71+L+72°22的结果的个位数字是（）

A.0B.1C.7D.8

6.（2023・四川巴中・中考真题）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图

表给出了（。+4展开式的系数规律.

1(a+b)°=]

11(a+b)1=a+b

121(a+b)2=a1+2ab+b2

1331(a+b)3=a3+3a?+3ab2+b3

当代数式12尤3+54f—108x+81的值为1时，则x的值为（）

A.2B.-4C.2或4D.2或-4

1+1+%

7.(2023•山东・中考真题)已知一■列均不为1的数如a3''“〃满足如下关系："2=V

1+41+Cl

«4=-----an+l=--S若q=2,贝1」。2023的值是()

A.—B.-C.—3D.2

23

8.（2024•云南・中考真题）按一定规律排列的代数式：2x,3尤2,4x3,5/,6心第”个代数式是（）

n+1

A.2x"B.（〃-1）尤"C.mD.+

9.（2023・云南・中考真题）按一定规律排列的单项式：&\耳3,、&-&,第〃个单项式是（）

A.GB.sjn—la"-1C.y/na"D.

10.（2023・西藏・中考真题）按一定规律排列的单项式：5a,8a2,Ila3,14a4,则按此规律排列的第〃

个单项式为.（用含有w的代数式表示）

11.（2023•黑龙江大庆•中考真题）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图

所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”.

1（a+b）i=a+b

1121]（a+b）2=a2+2ab+b2

1331（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3

14641

（。+6）4=/+4标6+6。262+4»+"

观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，（“+力7展开的多项式中各项系数之和为_.

12.（2023•内蒙古・中考真题）观察下列各式：

7+1+>1+总邑=卜》1+/士'...

请利用你所发现的规律，计算：

S1+S2+-+S50=.

13.（2024・四川成都・中考真题）在综合实践活动中，数学兴趣小组对1〃这“个自然数中，任取两数之和

大于”的取法种数上进行了探究.发现：当"=2时，只有｛1,2｝一种取法，即k=1；当〃=3时，有｛1,3｝和｛2,3｝

两种取法，即左=2；当”=4时，可得左=4；若〃=6,则%的值为；若附=24,则左的值为.

14.（2023•山东聊城•中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵.从3开始，把位

于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：（3,5）；（7,10）；（13,17）；（21,26）；（31,37）…如

果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律.请写出第〃个数

对：.

•••37

212019181736

227651635

238141534

249231433

251011121332

262728293031

15.（2024•江西・中考真题）观察a,a2,a3a",…，根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为

2〃+1、［

16.⑵22・湖南・中考真题）有一组数据：4=工‘出=万='生=39+1)5+2)•记

Sn=%+%+〃3+.••+，贝(JS12=

17.(2023•浙江•中考真题)观察下面的等式：32-l2=8xl,52-32=8X2,72-52=8X3,92-72=8x4,....

(1)尝试：132-1F=8X

⑵归纳：（2〃+1）2-（2〃-1）2=8X（用含w的代数式表示，w为正整数）.

（3）推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的.

18.（2022•安徽•中考真题）观察以下等式：

第1个等式：（2xl+l）2=（2x2+l）2-（2x2）2,

第2个等式：（2x2+1）?=（3x4+l）2-（3x4『，

第3个等式：（2X3+1）2=（4X6+1）2-（4X6）2,

第4个等式：（2X4+1）2=（5X8+1）2-（5X8）2,

按照以上规律.解决下列问题:

⑴写出第5个等式：

（2）写出你猜想的第〃个等式（用含"的式子表示），并证明.

,,111111111

19.（2022•浙江舟山•中考真题）观察下面的等式：-=-=-+……

（1）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含"的等式表示，〃为正整数）

（2）请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的.

20.（2024•内蒙古包头•中考真题）图是1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图，碗的规格都是相同的.小

亮尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度V（单位：cm）随着碗的数量x

（单位：个）的变化规律.下表是小亮经过测量得到的>与x之间的对应数据：

（1）依据小亮测量的数据，写出y与龙之间的函数表达式，并说明理由；

（2）若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过28.8cm,求此时碗的数量最多为多少个？

21.（2024.安徽・中考真题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为/-产（覆y均为自

然数)”的问题.

(1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下("为正整数):

N奇数4的倍数

1=12-024=22-02

3=22-128=32-12

5=32-2212=42-22

表示结果

7=42-3216=52-32

9=52-4220=62-42

LL

一般结论2n-1=n2-(n-1)24n=______

按上表规律，完成下列问题：

⑴24=()2_()2；

(ii)471=；

(2)兴趣小组还猜测：像2,6,10,14,这些形如4”-2(，为正整数)的正整数N不能表示为炉-V(刘、均

为自然数).师生一起研讨，分析过程如下：

假设4〃-2=/-丁，其中％,y均为自然数.

分下列三种情形分析：

①若刘V均为偶数，设x=2鼠y=2m,其中％，能均为自然数，

则炉一y2=(2%)2一(2")2=4(F2)为4的倍数.

而4〃-2不是4的倍数，矛盾.故％V不可能均为偶数.

②若刘V均为奇数，设x=2%+l,y^2m+\,其中左,粗均为自然数，

则x2-y2=(2k+1)2~(2m+l)2=为4的倍数.

而4〃-2不是4的倍数，矛盾.故％V不可能均为奇数.

③若X，y一个是奇数一个是偶数，则/-9为奇数.

而4〃-2是偶数，矛盾.故尤，y不可能一个是奇数一个是偶数.

由①②③可知，猜测正确.

阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容.

考点02图形类规律

二、考点02图形类规律

22.（2024・山东济宁・中考真题）如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形.第一幅图有1个正

方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为（）

第一幅图第二幅图第三幅图第四幅图

A.90B.91C.92D.93

23.（2024・重庆・中考真题）用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案

中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中,

24.（2024•黑龙江牡丹江•中考真题）如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个

图有4个三角形.第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形……按照此规律排列下去，第674个图

中三角形的个数是（）

△

△△

△△△

△△△△△△

△△△△△△

第I个第2个第3个

A.2022B.2023C.2024D.2025

25.（2023・重庆・中考真题）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案

中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个

图案中圆圈的个数为（）

OOOOOO

OOOOOOOOOOOOOO...

OOOOOO

⑴（2）（3）（4）

A.14B.20C.23D.26

26.（2023・重庆・中考真题）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，

第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……，按此规律排列

下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（）

Qg^00

①②③④

A.39B.44C.49D.54

27.（2022•江西・中考真题）将字母“。，“厅，按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母"/T

的个数是（）

HHHHHH

—

—

—

I—I

CCCHHCCC

H-----

—

—

—

I—I—H

HHHHHH

①②③

A.9B.10C.11D.12

28.（2023•黑龙江绥化•中考真题）在求1+2+3+-+100的值时，发现：1+100=101,2+99=101

从而得到1+2+3++100=101x50=5050.按此方法可解决下面问题.图（1）有1个三角形，记作％=1；

分别连接这个三角形三边中点得到图（2）,有5个三角形，记作％=5；再分别连接图（2）中间的小三角

形三边中点得到图（3）,有9个三角形，记作％=9；按此方法继续下去，则%+%+/++«„=.（结

果用含〃的代数式表示）

29.（2024.黑龙江齐齐哈尔•中考真题）如图，数学活动小组在用几何画板绘制几何图形时，发现了如“花朵”

形的美丽图案，他们将等腰三角形08c置于平面直角坐标系中，点O的坐标为（0,0），点B的坐标为（1,0）,

点C在第一象限，ZOBC=120°.将△O3C沿无轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与无轴重合，第

一次滚动后，点。的对应点为。，点c的对应点为C',0c与。c的交点为A，称点4为第一个“花朵”

的花心，点4为第二个“花朵”的花心；……；按此规律，△O3C滚动2024次后停止滚动，则最后一个“花

30.（2023•山西•中考真题）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成.第1个图案中有4

个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆

片，…依此规律，第九个图案中有个白色圆片（用含”的代数式表示）

第1个第2个第3个第4个

31.（2023・湖北十堰•中考真题）用火柴棍拼成如下图案，其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小

菱形，第②个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形，……，若按此规律拼下去，则第〃个图案需要火

柴棍的根数为________（用含n的式子表示）.

①②③

32.（2024•青海・中考真题）如图是由火柴棒摆成的图案，按此规律摆放，第（7）个图案中有个火柴

33.（2022•山东聊城・中考真题）如图，线段AB=2,以A3为直径画半圆，圆心为A，以AA为直径画半圆

①；取AB的中点4，以A4为直径画半圆②；取的中点4，以44为直径画半圆③…按照这样的规

律画下去，大半圆内部依次画出的8个小半圆的弧长之和为.

①

②③

AAiA3A4B

34.(2024•山东泰安・中考真题)如图所示，是用图形“。”和“•”按一定规律摆成的“小屋子”.按照此规律继续

摆下去，第个“小屋子”中图形“。”个数是图形“•”个数的3倍.

O

OOO

CDOOOOOO

OoOOOOOOOOO……

OOOOOOOO

OOOooooo

OOOOOOOO00000

O

OOOOOOO00

OOOOOOOOooooo

⑴)

(2(3)(4)(5)……

35.(2024・四川凉山•中考真题)阅读下面材料，并解决相关问题:

下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第"行有”个

点

容易发现，二角点阵中前4行的点数之和为10.

(1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为,前15行的点数之和为,那么，前〃行的点数之和

为______

(2)体验：三角点阵中前〃行的点数之和(填“能”或“不能”)为500.

(3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第

二排4盆，第三排6盆……第〃排2”盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？

36.(2024•江苏盐城•中考真题)发现问题

小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽.

提出问题

销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？

图1

分析问题

某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成

点，每个点表示不同的籽.该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有〃个籽，每列有左个籽，行

上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d",左均为正整数，〃>%23,6/>0）,如图1所示.

小明设计了如下三种铲籽方案.

方案1：图2是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为,共铲行，则铲除全部籽的路径总长

为;

方案2：图3是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为；

方案3：图4是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长.

解决问题

在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价.

壬三由川由】…

行三号［牛］牛…

图1图2图3

37.（2023・安徽•中考真题）【观察思考】

◎

◎

◎◎*◎◎**◎

◎◎**◎©***◎

◎*◎◎*◎*◎◎*◎*◎*◎◎*◎*◎*◎*◎

第1个图案第2个图案第3个图案第4个图案

【规律发现】

请用含〃的式子填空:

⑴第〃个图案中“◎”的个数为二

⑵第1个图案中“★”的个数可表示为言，第2个图案中“★”的个数可表示为一，第3个图案中“★”的个

3x44x5

数可表示为寸，第4个图案中“★”的个数可表示为好，……，第〃个图案中“★”的个数可表示为

【规律应用】

（3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数”，使得连续的正整数之和1+2+3++〃等于第〃个

图案中“◎”的个数的2倍.

考点03点的坐标规律

三、考点03点的坐标规律

38.（2024•河北・中考真题）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于。的

点称为“和点”.将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为

0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度.

例：“和点”尸（2,1）按上述规则连续平移3次后，到达点与（2,2）,其平移过程如下：

右上左

P（2.1）-----►4（3,1）一►右（3.2）—>P,（2.2）

余0余1余2

若“和点”。按上述规则连续平移16次后，到达点Qi6（T，9）,则点。的坐标为（）

A.（6,1）或（7,1）B.（15,-7）或（8,0）C.（6,0）或（8,0）D.（5,1）或（7,1）

39.（2024・湖北武汉•中考真题）如图，小好同学用计算机软件绘制函数y=/_3x2+3x-l的图象，发现它

关于点（1,0）中心对称.若点4（0.1,%）,4（02%）,4（0.3,%），……，&（1.9,%），&（2,%0）都在函

数图象上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1,则%+%+%++W+%。的值是（）

40.（2023・辽宁阜新•中考真题）如图，四边形。4BC是正方形，曲线2c3c4c$叫作“正方形的渐开线”,

其中GG，C2c3，c3c4，c4c5,…的圆心依次按O,A,B,G循环.当Q4=l时，点C2023的坐标是（）

A.（-1,-2022）B.（-2023,1）C.（-1,-2023）D.（2022,0）

41.（2024・山东•中考真题）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以

2.反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈这就是“冰雹猜想”.在平面直

角坐标系宜万中，将点（％y）中的x,y分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中x,

y均为正整数.例如，点（6,3）经过第1次运算得到点（3,10）,经过第2次运算得到点（10,5）,以此类推.则

点（1,4）经过2024次运算后得到点.

42.（2024•黑龙江绥化•中考真题）如图，已知A（1,-百），4（3,-V3）,4（4,0）,4（6,0）,A（7,月），&（9,道-

4（10,0）,4（11,-石）…，依此规律，则点&。24的坐标为.

43.（2024•黑龙江大兴安岭地•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形。跖VP顶点M的坐标为（3,0）,

是等边三角形，点8坐标是（1,0）,Q4B在正方形0MM3内部紧靠正方形OMNP的边（方向为

OTMTNTPTOTMT）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A的对应点记为4,4的坐标是（2,0）；

第二次滚动后，4的对应点记为4，4的坐标是（2,0）；第三次滚动后，4的对应点记为A，A的坐标是

3、,3；如此下去，......，则义必的坐标是

44.（2024・四川广安・中考真题）已知，直线/：>=立x-且与*轴相交于点4,以。A为边作等边三角形。4旦，

33

点与在第一象限内，过点用作X轴的平行线与直线/交于点4,与y轴交于点q,以C4为边作等边三角形

G4&（点2在点区的上方），以同样的方式依次作等边三角形。2&鸟，等边三角形C3A4B4,则点4.的

横坐标为.

45.（2023•辽宁锦州•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形A片与G，42283c2，48334c3,

4耳风c……都是平行四边形，顶点4，B3,鸟，用，…都在x轴上，顶点G，G，c,C4,…都

B2,3

在正比例函数y=（x>0）的图象上，且•BzGnZAG，B3C2=2A；C2,B4C3=2A4C3,连接4星，

4A4，4…，Ga，2，Q，4,…，

鸟，生，分别交射线。于点。。连接。O2A3,O3A4,得

到AO出生,AO2A,B3,AO3A4B4，….若4（2,0）,与（3,。），4（3,1），则△2侬人孙当期的面积为.

46.(2022•江苏南京・中考真题)如图，在平面直角坐标系，横、纵坐标均为整数的点按如下规律依序排列：

(0,0),(1,0),(0,1),(2,0),(1,1),(0,2),(3,0),(2,1),(1,2),(0,3),(4,0),(3,1),(2,2),(1,3),…按

这个规律，则67)是第个点.

考点04新定义问题

四、考点04新定义问题

47.(2024・河北・中考真题)“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法

和简单的加法运算.淇淇受其启发,设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示132x23,运算结果为3036.图

2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的

3O36

图2

ffll

A.“20”左边的数是16B.“20”右边的“口”表示5

C.运算结果小于6000D.运算结果可以表示为4100a+1025

48.(2023•内蒙古•中考真题)定义新运算“8”，规定：a®b=a2-\b\,则(-2)0(-1)的运算结果为()

A.-5B.-3C.5D.3

49.(2022・四川巴中•中考真题)对于实数。，b定义新运算：a^b=ab2-b,若关于了的方程保％=上有两

个不相等的实数根，则％的取值范围()

1111

A.k>——B.k<——C.k>——且左wOD.k>——且上wO

4444

50.（2024.四川眉山・中考真题）定义运算：a0b=（a+2b）（a-b）,例如4<8>3=（4+2x3）（4—3）,则函数

y=（x+l）02的最小值为（）

A.-21B.-9C.-7D.-5

51.（2024•甘肃•中考真题）定义一■种新运算*,规定运算法则为：m*n=m"—mn（m,n均为整数，且〃7K0）.例：

2*3=23-2x3=2,则（-2）*2=.

a2—b（a<0）,

52.（2024・广东广州•中考真题）定义新运算：a0b=\:<例如：-2区4=（-2y-4=。，

-a+b^a>0）

3

203=-2+3=l.若x«）l=,则x的值为

4

53.（2023.湖南怀化・中考真题）定义新运算：（a,b）-（c,d）=ac+bd,其中b,c,d为实数.例如:

（1,2）.（3,4）=lx3+2x4=ll.如果（2x,3>（3,-L）=3,那么尤=.

54.（2022.湖南长沙.中考真题）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大.保密性强、追踪性高等特点，它

已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力.看

似“码码相同”，实则“码码不同”.通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格

专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码.根据相关数学知识，

这200个方格可以生成2200个不同的数据二维码，现有四名网友对2200的理解如下：

1TOS（永远的神）：22°°就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；

DDDD（懂的都懂）：22°°等于2002;

JMVD（觉醒年代）：2迎的个位数字是6；

QGKW（强国有我）：我知道21°=1024,103=1000,所以我估计22°0比1（）6。大.

其中对22。。的理解错误的网友是（填写网名字母代号）.

55.（2022•浙江宁波・中考真题）定义一种新运算：对于任意的非零实数a,b,a®b=-+^~.若

ab

2r+l

（尤+1）区彳=幺上，则X的值为.

X

56.（2024•内蒙古呼伦贝尔•中考真题）对于实数。，2定义运算“※”为蟀6=°+3人例如5X2=5+3x2=11,

则关于x的不等式冰机<2有且只有一个正整数解时，加的取值范围是—.

57.（2023・四川成都・中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数加，”的平方差，且

则称这个正整数为“智慧优数例如，16=52-32,16就是一个智慧优数，可以利用毋_”2=（,〃+〃）（〃­〃）

进行研究.若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是；第23个智慧优数是.

58.（2020.青海・中考真题）对于任意两个不相等的实数a、b,定义一种新运算“㊉”如下：=如：

y/a-b

==逐.那么12㊉4=

V3-2

59.（2024・上海•中考真题）对于一个二次函数y=a（x-%）2+左（。/。）中存在一点P（『y）,使得

x'-m=y'-k^Q,则称2卜-制为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线y=-+夫+3“开口大小”

为.

60.（2023•山东枣庄•中考真题）对于任意实数a,b,定义一种新运算：=|例如:

[a+b-6（a<2b）

3派1=3-1=2,5X4=5+4-6=3.根据上面的材料，请完成下列问题：

（1）4M=,（-1）※（-3）=；

（2）若（3x+2）※（无-1）=5,求尤的值.

61.（2024•内蒙古赤峰•中考真题）在平面直角坐标系中，对于点加（工,乂），给出如下定义：当点

满足再+X?=%+%时，称点N是点”的等和点.

（1）已知点可。,3）,在2（4,2）,乂（3,-1）,但（0,-2）中，是点M等和点的有

⑵若点M（3,-2）的等和点N在直线y=x+6上，求6的值;

（3）已知，双曲线％=工和直线为=尤-2,满足％〈必的x取值范围是x>4或-2<x<0.若点尸在双曲线

X

%=£上，点尸的等和点。在直线为=尤-2上，求点P的坐标.

X

62.（2024・北京・中考真题）在平面直角坐标系xQy中，。的半径为1,对于E。的弦AB和不在直线上

的点C,给出如下定义：若点C关于直线的对称点C在O上或其内部，且NACB=。，则称点C是弦

的“a可及点”.

⑴如图，点4(0,1),5(1,0).

①在点G(2,0),C2(l,2),Gg，oJ中，点是弦AB的“a可及点”，其中。；

②若点。是弦AB的“90。可及点”，则点D的横坐标的最大值为；

(2)已知尸是直线>=瓜-追上一点，且存在O的弦跖V,使得点尸是弦跖V的“60。可及点”.记点P的横

坐标为r,直接写出f的取值范围.

专题03规律探索及新定义问题(解析版)

【考点归纳】

一、考点01数式类规律..........................................................................1

二、考点02图形类规律..........................................................................6

三、考点03点的坐标规律.......................................................................11

四、考点04新定义问题........................................................................14

考点01数式类规律

一、考点01数式类规律

1.（2024•江苏扬州•中考真题）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1,1,2,3,5,……，

这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和.则在这一列数的前2024个数中，奇

数的个数为（）

A.676B.674C.1348D.1350

【答案】D

【分析】将这一列数继续写下去，发现这列数的变化规律即可解答.

本题主要考查的是数字规律类问题，发现这列数的变化规律是解题的关键.

【详解】这一列数为：1,1,2,3,5,8,13,21,34,…

可以发现每3个数为一组，每一组前2个数为奇数，第3个数为偶数.

由于2024+3=6742,

即前2024个数共有674组，且余2个数，

二奇数有674x2+2=1350个.

故选：D

2.（2024•重庆•中考真题）烷煌是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前四种化合

物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子.第1种如图①有4个氢原子，第2种如图

②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原

子的个数是（）

X/内部^

①②③④

A.20B.22C.24D.26

【答案】B

【分析】本题考查数字的变化类，根据图形，可归纳出规律表达式的特点，再解答即可.

【详解】解：由图可得，

第1种如图①有4个氢原子，即2+2xl=4

第2种如图②有6个氢原子，即2+2*2=6

第3种如图③有8个氢原子，即2+2x3=8

...第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：2+2x10=22；

故选：B.

3.（2024•重庆•中考真题）已知整式,尤"+%尸+.+附+4,其中为自然数,。“为正

整数，且"+为+%-1++a1+a0=5.下列说法：

①满足条件的整式M中有5个单项式；

②不存在任何一个〃，使得满足条件的整式M有且只有3个；

③满足条件的整式M共有16个.

其中正确的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】本题考查的是整式的规律探究，分类讨论思想的应用，由条件可得0V"W4,再分类讨论得到答案

即可.

［详解］解：，佝为自然数，。,为正整数，且"+““+<++aA+a0=5,

0<n<4,

当〃=4时，则4+〃4++〃2+%+=5,

••a，=1,。3~〃2="1="o=0，

满足条件的整式有力,

当"=3时，贝U3+/+%+%+=5,

（〃3，〃2吗，。0）=（2,0,0,0）,（1/,0,0）,（1,0,1,0）,（1,0,0,1）,

满足条件的整式有：2%3,X3+X2,X3+XfX3+1?

当孔=2时，则2+%+%+/=5,

.・・（出吗,％）=（3,0,0）,（2,1,0）,（2,0,1）,（1,2,0）,（1,0,2）,（1,1,1）,

2222

满足条件的整式有：3x,2X+X,2，+1,9+2］，X+2,X+X+1；

当〃=1时，贝|l+%+〃o=5,

.•.（%,旬）=（4,0）,（3,1）,（1,3）,（2,2）,

满足条件的整式有：4尤，3x+l,尤+3,2x+2；

当〃=0时，0+g=5,

满足条件的整式有：5；

.♦.满足条件的单项式有：2d,3炉，4x,5,故①符合题意;

不存在任何一个"，使得满足条件的整式M有且只有3个；故②符合题意;

满足条件的整式M共有1+4+6+4+1=16个.故③符合题意；

故选D

4.（2022•西藏•中考真题）按一定规律排列的一组数据：-|,会，则按此

规律排列的第10个数是（）

A19「21-19n21

A.