2020中考数学尺规作图专项训练（含答案）

2020数学中考尺规作图专项训

学校:姓名：班级：___________考号：

一、解答题

1.如图，已知△ABC,请用圆规和直尺作出△ABC的一条中位线EF（不写作法，保

留作图痕迹）.

（1）尺规作图：按下列要求完成作图（保留作图痕迹，请标明字母）

①作线段AC的垂直平分线1,交AC于点O；

②连接BO并延长，在BO的延长线上截取OD,使得OD=OB；

③连接DA、DC.

（2）判断四边形ABCD的形状，并说明理由.

3.为进一步打造“宜居重庆”，某区拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉,

要求音乐喷泉M到广场的两个入口A、B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于

A和B之间距离的一半，A、B、C的位置如图所示.请在答题卷的原图上利用尺规作

图作出音乐喷泉M的位置.（要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必

须用铅笔作图）

4.如图，已知在正方形ABCD中，M是8C边上一定点，连接AM,请用尺规作图法,

在AM上求作一点尸，使得（不写做法保留作图痕迹）

试卷第1页，总6页

AD

BV/C

5.如图，已知ABC,请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成面积相等的两

（1）作线段的垂直平分线Eb,分别交A3、AC于点£、F；（用直尺和圆规作

图，标明字母，保留作图痕迹，不写作法.）

（2）连接。E、DF,四边形AEDb是________形.（直接写出答案）

7.已知在R3ABC中，ZACB=90°,现按如下步骤作图：

①分别以A,C为圆心，a为半径（a>=AC）作弧，两弧分别交于M,N两点；

②过M,N两点作直线MN交AB于点D,交AC于点E；

③将△ADE绕点E顺时针旋转180°,设点D的像为点F

（1）请在图中直线标出点F并连接CF；

（2）求证：四边形BCFD是平行四边形；

（3）当NB为多少度时，四边形BCFD是菱形.

8.如图，已矢MABC,ZC=90°,AC<BC,D为BC上一点，且到A,B两点的距离相

试卷第2页，总6页

（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）;

（2）连结AD,若/B=37。，求/CAD的度数.

9.如图，AABC中，46=4。，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作:

①作ABAC的平分线AM交8c于点。；

②作边AB的垂直平分线EF,EF与AM相交于点p；

③连接PB,PC.

请你观察图形解答下列问题：

（1）线段PA,PB,PC之间的数量关系是________:

（2）若/ABC=70。，求NBPC的度数.

10.如图，在Z\ABC中，ZC=60°,ZA=40°.

（1）用尺规作图作AB的垂直平分线，交AC于点D,交AB于点E（保留作图痕迹,

不要求写作法和证明）；

（2）求证：BD平分/CBA.

11.两个城镇A,B与一条公路CD,一条河流CE的位置如图所示，某人要修建一避

暑山庄，要求该山庄到A,B的距离必须相等，到CD和CE的距离也必须相等，且在

/DCE的内部，请画出该山庄的位置P.（不要求写作法，保留作图痕迹.）

试卷第3页，总6页

12.如图，在△ABC中，点P是AC上一点，连接BP,求作一点M,使得点M到AB

和AC两边的距离相等，并且到点B和点P的距离相等.（不写作法，保留作图痕迹）

A

▲

BC

13.已知△ABC中，ZA=25°,ZB=40°.

（1）求作：Q0,使。。经过A、C两点，且圆心落在边上；

（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法.）

（2）求证：BC是（1）中所作。。的切线.

14.已知：如图，在四边形ABCD中，AD〃BC.点E为CD边上一点，AE与BE分

别为NDAB和NCBA的平分线.

（1）请你添加一个适当的条件,使得四边形ABCD是平行四边形，并证明你

的结论；

（2）作线段AB的垂直平分线交AB于点0,并以AB为直径作。0（要求：尺规作图，

保留作图痕迹，不写作法）；

（3）在（2）的条件下，OO交边AD于点F,连接BF,交AE于点G,若AE=4,sinZAGF=

4

求。O的半径.

D[C

AS

15.按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹.

（1）如图1,A为圆E上一点，请用直尺（不带刻度）和圆规作出圆内接正方形；

（2）我们知道，三角形具有性质，三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相

交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高交于同一点，请

运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图：

①如图2,在DABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F;

试卷第4页，总6页

②图3,在由小正方形组成的网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高

16.已知△ABC中，ZA=90°.

（1）请在图1中作出BC边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）;

（2）如图2,设BC边上的中线为AD,求证：BC=2AD.

17.如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC,请你用尺规作图将△ABC分成两个全等的

三角形，并说明这两个三角形全等的理由.（保留作图痕迹，不写作法）

18.如图，在RtVABC中，zC=90o,AC=3,BC=4,D、E分别是斜边AB、

直角边BC上的点，把VABC沿着直线DE折叠.

（D如图1,当折叠后点B和点A重合时，用直尺和圆规作出直线DE；（不写作法和证

明，保留作图痕迹）

（2）如图2,当折叠后点B落在AC边上点P处，且四边形PEBD是菱形时，求折痕DE

的长.

试卷第5页，总6页

19.如图，在HfAABC中，ZB=9Oo,ZA=3Oo,AC=2^/3.

(1)利用尺规作线段AC的垂直平分线DE,垂足为E,交A3于点。；(保留作图

痕迹，不写作法)

(2)若AADE的周长为。，先化简T=(a+1)2—aQ—1),再求T的值.

20.尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)：

已知线段〃和4JOB,点nr在08上(如图所不).

・・।•A.

(1)在Q4边上作点使。尸二2〃；

(2)作4403的平分线；

(3)过点作。2的垂线.

试卷第6页，总6页

参考答案

1.作图见解析

【解析】

【分析】

作线段AB的垂直平分线得到AB的中点E,作AC的垂直平分线得到线段AC的中点F.线

段EF即为所求.

【详解】

如图，△ABC的一条中位线EF如图所示，

方法：作线段AB的垂直平分线得到AB的中点E,作AC的垂直平分线得到线段AC的中

2.（1）作图见解析；（2）四边形ABCD是矩形，理由见解析.

【解析】

【分析】

（1）①利用线段垂直平分线的作法得出即可；

②利用射线的作法得出D点位置；

③连接DA、DC即可求解；

（2）利用直角三角形斜边与其边上中线的关系进而得出AO=CO=BO=DO,进而得出答案.

【详解】

解：（1）①如图所示：

②如图所示：

③如图所示：

（2）四边形ABCD是矩形，理由：:RtAABC中，ZABC=90°,BO是AC边上的中线,

1

.\BO=-AC,VBO=DO,AO=CO,AO=CO=BO=DO,四边形ABCD是矩形.

答案第1页，总15页

【点睛】

本题考查作图一基本作图；矩形的判定.

3.解：作AB的垂直平分线，以点C为圆心，以AB的一半为半径画弧交AB的垂直平分

线于点M即可.

【解析】

【分析】

【详解】

易得M在AB的垂直平分线上，且到C的距离等于AB的一半.

4.作图见解析.

【解析】

【分析】根据尺规作图的方法过点D作AM的垂线即可得

【详解】如图所示，点P即为所求作的点.

【点睛】本题考查了尺规作图作垂线，熟练掌握作图的方法是解题的关键.

5.见下图.

答案第2页，总15页

【解析】

试题分析：作BC边上的中线，即可把AABC分成面积相等的两部分.

试题解析：如图，直线AD即为所求：

6.(1)见解析；(2)菱形.

【解析】

【分析】

(D线段的垂直平分线过线段的中点，且垂直于该线段

(2)根据是ZiABC的角平分线，且是的垂直平分线，可知四边形AEDP满

足菱形的条件.

【详解】

(1)如图，直线所即为所求作的垂直平分线.

(2)根据是△ABC的角平分线，且Eb是的垂直平分线，可知四边形AEDB的

对角线互相垂直，因此为菱形.

【点睛】

本题考查垂直平分线的概念和作法，以及菱形的判定定理.

7.(1)见解析；(2)见解析；(3)60。

【解析】

【分析】

(1)根据题意作出图形即可；

答案第3页，总15页

（2）首先根据作图得到MN是AC的垂直平分线，然后得到DE等于BC的一半，从而得

到DE=EF,即DF=BC,然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定即可;

（3）得到BD=CB后利用邻边相等的平行四边形是菱形进行判定即可

【详解】

解：（1）如图所示：

（2）•••根据作图可知：MN垂直平分线段AC

；.D、E为线段AB和AC的中点，

.•.口£是4ABC的中位线

.•.DE」BC,

2

•.•将△ADE绕点E顺时针旋转180。，点D的像为点F

；.EF=ED,；.DF=BC,

VDE/7BC

四边形BCFD是平行四边形；

（3）当/B=60。时，四边形BCFD是菱形

ZB=60°

/.BC=^AB,

：DB」AB

2

/.DB=CB

:四边形BCFD是平行四边形

.••四边形BCFD是菱形.

考点：菱形的判定；平行四边形的判定；作图-旋转变换

8.（1）点D的位置如图所示（D为AB中垂线与BC的交点）.（2）16°.

【解析】

【分析】

答案第4页，总15页

（1）根据到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，作出AB的中垂

线.（2）要求/CAD的度数，只需求出/CAD,而由（1）可知：ZCAD=2ZB

【详解】

解：（1）点D的位置如图所示（D为AB中垂线与BC的交点）.

（2）•.,在Rt/XABC中，ZB=37°,/.ZCAB=53°.

又,?AD=BD,ZBAD=ZB=37°.

ZCAD=53°—37°=16°.

考点：尺规作图，直角三角形两锐角互余、垂直平分线的性质.

9.（1）PA=PB=PC；（2）80°.

【解析】

分析：（I）根据线段的垂直平分线的性质可得：PA=PB=PC；

（2）根据等腰三角形的性质得：ZABC=ZACB=70°,由三角形的内角和得：

ZBAC=180°-2x70°=40°,由角平分线定义得：ZBAD=ZCAD=20°,最后利用三角形外角的

性质可得结论.

详解：（1）如图，PA=PB=PC,理由是：

VAB=AC,AM平分/BAC,

；.AD是BC的垂直平分线，

；.PB=PC,

：EP是AB的垂直平分线，

；.PA=PB,

；.PA=PB=PC；

故答案为PA=PB=PC；

（2）VAB=AC,

ZABC=ZACB=70°,

ZBAC=180°-2x70°=40°,

答案第5页，总15页

：AM平分NBAC,

ZBAD=ZCAD=20°,

VPA=PB=PC,

ZABP=ZBAP=ZACP=20°,

.,.ZBPC=ZABP+ZBAC+ZACP=20o+40°+20o=80°.

点睛：本题考查了角平分线和线段垂直平分线的基本作图、等腰三角形的三线合一的性质、

三角形的外角性质、线段的垂直平分线的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是关键.

10.（1）作图见试题解析；（2）证明见试题解析.

【解析】

1

试题分析：（1）分别以A、B两点为圆心，以大于2AB长度为半径画弧，在AB两边分别

相交于两点，然后过这两点作直线即为AB的垂直平分线;

（2）根据线段垂直平分线的性质和三角形的内角和证明即可.

试题解析：（1）如图1所示:

（2）连接BD,如图2所示:

ZCBA=80°,：DE是AB的垂直平分线，?.ZA=ZDBA=40°,

1

/.ZDBA=-ZCBA,，BD平分/CBA.

考点：1.作图一基本作图；2,线段垂直平分线的性质.

11.作图见解析.

【解析】

【分析】

答案第6页，总15页

根据角平分线的性质可知：到CD和CE的距离相等的点在NDCE的角平分线上，所以第一

步作：/ECD的平分线CF：根据中垂线的性质可得：至UA、B的距离相等的点在AB的垂

直平分线上，所以第二步作线段AB的垂直平分线MN,其交点就是P点.

【详解】

作法：①作NECD的平分线CF,

②作线段AB的中垂线MN,

③MN与CF交于点P,则P就是山庄的位置.

12.见解析.

【解析】

【分析】

根据角平分线的作法、线段垂直平分线的作法作图即可.

【详解】

作法：如解图，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交A3、AC于。、E两点，再

分别以E为圆心，以大于:。石长为半径画弧，两弧交于点尸，连接Ab；以3、P为

圆心，以大于长为半径画弧，两弧分别交于G、H,连接，则的延长线与4歹

答案第7页，总15页

的延长线的交点即为所求的点M.

【点睛】

本题考查的是复杂作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握基本尺规作图的一

般步骤是解题的关键.

13.（1）作图见解析；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）作出线段AC的垂直平分线进而得出AC垂直平分线与线段AB的交点O,

进而以A0为半径做圆即可.

（2）连接CO,由圆周角定理和三角形内角和定理，利用已知得出/OCB=90。，进而求出

即可.

试题解析：解：（1）作图如答图1：

答图1

(2)证明：如答图2,连接0C,

VOA=OC,ZA=25°,/.ZBOC=50°.

又ZB=40,ZBOC+ZB=90°.

ZOCB=90°.

AOCXBC.

；.BC是。O的切线.

答图2

考点：1.作图（复杂作图）；2.线段垂直平分线的性质；3.圆周角定理；4.三角形内角和定理;

答案第8页，总15页

5.切线的判定.

14.(1)当AD=BC时，四边形ABCD是平行四边形，理由见解析；(2)作出相应的图形

见解析；(3)圆。的半径为2.5.

【解析】

分析：(1)添加条件AD=BC,利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形验证即可；

(2)作出相应的图形，如图所示；

(3)由平行四边形的对边平行得到AD与BC平行，可得同旁内角互补，再由AE与BE为

角平分线，可得出AE与BE垂直，利用直径所对的圆周角为直角，得到AF与FB垂直，

可得出两锐角互余，根据角平分线性质及等量代换得到/AGF=/AEB,根据sin/AGF的

值，确定出sin/AEB的值，求出AB的长，即可确定出圆的半径.

详解：(1)当AD=BC时，四边形ABCD是平行四边形，理由为：

证明：VAD/7BC,AD=BC,

四边形ABCD为平行四边形；

故答案为：AD=BC；

(2)作出相应的图形，如图所示；

(3)：AD〃BC,

ZDAB+ZCBA=180°,

VAE与BE分别为/DAB与/CBA的平分线,

ZEAB+ZEBA=90°,

ZAEB=90°,

：AB为圆0的直径，点F在圆。上，

ZAFB=90°,

ZFAG+ZFGA=90°,

：AE平分NDAB,

答案第9页，总15页

.\ZFAG=ZEAB,

ZAGF=ZABE,

4AE

sinNABE=sinNAGF=-,

5AB

VAE=4,

・・・AB=5,

则圆o的半径为2.5.

点睛：此题属于圆综合题，涉及的知识有：圆周角定理，平行四边形的判定与性质，角平分

线性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质及定理是解本题的关键.

15.(1)见解析；(2)①见解析；②见解析.

【解析】

【分析】

⑴作直径AC,分别以A、C为圆心，以大于AC的一半长为半径画弧，在AC的两侧分别

交于点M、N,作直线MN交圆于点B,D,四边形ABCD即为所求；

⑵①连接AC、BD交于点O,则。为BD的中点，连接BE交CO于点G,连接DG并延

长交BC于点E则F即为所求；

②如图，利用网格特点连接BM,则可得直线BMLAC,连接CN,则可得直线CNLAB,

两线交于点E,连接AE并延长交BC于点H,则AH即为所求.

【详解】

(1)如图所示，四边形ABCD即为所求；

②如图所示，AH即为所求.

答案第10页，总15页

【点睛】

本题考查了尺规作图，无刻度直尺作图，熟练掌握尺规作图的方法以及无刻度直尺作图的方

法是解题的关键.

16.（1）作图见解析；（2）证明见解析.

【解析】

分析：（1）如图1,作BC的垂直平分线得到BC的中点D,从而得到BC边上的中线AD；

（2）延长AD到E,使ED=AD,连接EB、EC,如图2,通过证明四边形ABEC为矩形得

至IJAE=BC,从而得至I]BC=2AD.

详（1）解：如图1,AD为所作；

（2）证明：延长AD到E,使ED=AD,连接EB、EC,如图2,

VCD=BD,AD=ED,

四边形ABEC为平行四边形，

ZCAB=90°,

四边形ABEC为矩形，

；.AE=BC,

/•BC=2AD.

点睛：本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个

角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂

线）.也考查了矩形的判定与性质.

17.作图见解析.

答案第11页，总15页

【解析】

试题分析：作出底边BC的垂直平分线，交BC于点D,利用三线合一得到D为BC的中点,

可得出三角形ADB与三角形ADC全等.

试题解析：解：作出BC的垂直平分线，交BC于点D,

VAB=AC,

；.AD平分/BAC,即NBAD=/CAD,

在小ABD和小ACD中，

-AB=AC

4BAD=Z.CAD,

.AD=AD

/.AABD^AACD（SAS）.

考点：作图一应用与设计作图；全等三角形的判定；等腰三角形的性质

18.（D画图见解析；（2）DE=SM.

【解析】

【分析】

（1）由折叠后点B和点A重合，可知DE垂直平分AB,作线段AB的垂直平分线即可得出

结论；

（2）连接BP,由菱形的性质可得出PE=BE,设CE=x，则BE=PE=4—x，由PE//AB

可得出VPCEsVACB,根据相似三角形的性质可求出x的值，进而可得出CE、BE、PE

的值，在RtVPCE和RtVPCB中，利用勾股定理可求出PC、BP的值，由菱形的面积公式

可得出BE•PC=；DE•BP,代入各值即可求出折痕DE的长.

【详解】

（1）作直线AB的垂直平分线DE,如图1所示；

答案第12页，总15页

，AB=JAC2+BC2=5,

连接BP,如图2所示,

Q四边形PEBD是菱形,

PE=BE,

设CE=x,则BE=PE=4—x,

QPE//AB,

..VPCEsVACB,

CEPEx