25-第二章第五节(概率统计)

第二章随机变量及其分布2.5随机变量函数的分布

内容简介:已知随机变量X的分布,又设随机变量X的函数为Y=g(X)(其中y=g(x)是连续函数),如何“由X的分布求出函数Y的分布”,这个问题无论在实际问题中还是在理论研究上都是很重要的.在本节，我们通过例题，分离散型随机变量和连续型随机变量情形，求解随机变量函数的概率分布问题.第二章随机变量及其分布2.5随机变量函数的分布2.5.1提出问题

1.已知t=t0时刻噪声电压V的分布,如何求功率W=(R为电阻)的概率分布？怎样来研究它？2.5.2预备知识1.单调函数与非单调函数的性质；

2.随机事件和与差的等式，分布函数与概率密度的关系.

在实际问题中,人们常常对随机变量函数的概率问题更感兴趣.例如,已知圆轴截面直径

d的分布,求截面面积A=的分布,这里A是随机变量d的函数.

一般地,设随机变量X的分布已知,随机变量Y=g(X)(设g是连续函数),如何“由X的分布求出Y的分布”,这个问题无论在实际问题中还是在理论上都是很重要的.2.5.3理论方法

(1)

当

X取值-1,0,1时,

Y对应取值1,3,5,而且X取某值与Y取其对应值是两个同时发生的事件,两者具有相同的概率.1.离散型随机变量函数的分布例2.5.1

设随机变量X的分布律为

求（1）随机变量Y=2X+3的概率分布.解所以,随机变量Y的概率分布为X

-101pk0.30.50.2（2）随机变量Y=X2的概率分布.已知随机变量X的分布律为

X-101pk0.30.50.2则函数随机变量Y=2X+3的概率分布

Y135pk0.30.50.2

(2)

若随机变量X服从分布律

X-101pk0.30.50.2则Y=X2的概率分布为

Y01pk0.50.5

这是因为P{Y=0}=P{X2=0}=P{X=0}=0.5,

P{Y=1}=P{X=-1}∪{X=1}=P{X=-1}+P

{X=1}=0.3+0.2=0.5.

一般地,若Y=g(X)是离散型随机变量X的概率函数,X服从的分布律为Xx1x2…xk…pkp1p2…pk…则随机变量X的函数Y=g(X)服从分布律

Yg(x1)g(x2)…g(xk)…pkp1p2…pk…

如果g(x)为非严格单调函数,则g(xk)中有一些可能是相同的,把它们对应的概率作适当并项即可.讲评例2.5.1中的函数Y=2X+3为单调函数,而例2中的函数Y=X2不是单调函数.要注意处理Y取值的不同情形.2.连续型随机变量函数的概率分布

例2.5.2

设设随机变量X具有概率密度

fX(x)(-∞<x<+∞).求：

（1）随机变量Y=2X+3的概率密度.（2）随机变量Y=X2的概率密度fY(y).解

设X,Y的分布函数为FX(x),

FY(y).

(1)Y=2X+3的分布函数：于是随机变量Y=2X+3的概率密度

注意到Y=X2≥0,所以,

当y<0时,FY

(y)=P{Y≤y}=P{X2≤y}=0.当y≥0时,有

FY(y)=P{Y≤y}=P{X2≤y}(2)Y=X2的分布函数：对y求导,可得随机变量Y的概率密度特别地,已知X~N(0,1),其概率密度为则Y=X2的概率密度为此时称Y服从自由度为1的χ2分布,常记为Y~χ2(1).即：若X~N(0,1),则Y=X2~χ2(1).

例2.5.1中函数Y=2X+3为单调函数,而函数Y=X2不是单调函数,要注意概率P{g(X)≤y}的分解形式.讲评

通过例2.5.2,我们可以总结出在连续型随机变量X的分布函数或概率密度已知的情况下求Y=g(X)的概率密度的一般方法:设X有概率密度fX(x),

随机变量Y=g(X),则

(1)先确定Y的值域R(Y).(2)对任意y∈R(Y),求出Y的分布函数FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}=P{X∈G(y)}=这里,G(y)由不等式g(X)≤y解出.

(3)对FY(y)求导,可得Y的概率密度fY(Y),y∈R(Y).(4)对fY(y)加以总结,当yR(Y)时,取fY(y)=0.

定理设随机变量X是一个有概率密度fX(x)的连续型随机变量,又设函数y=g(x)严格单调且其反函数g-1(y)有连续导数,则Y=g(X)也是一个连续型随机变量,它的概率密度为其中区间(α,β)为Y的值域.

下面给出一个定理，在满足定理条件时可直接求出随机变量函数的概率密度.证

X的概率密度为

例2.5.3设随机变量

试证明X的线性函数

也服从正态分布,且

现在,由这一关系式解得

求导得

由定理公式

得到

的概率密度为

就是因此讲评本题结论，作为定理使用：设随机变量则也服从正态分布,且

本次课我们介绍了随机变量函数的分布.对于连续型随机变量,在求Y=g(X)的分布时,关键的一步是把事件{g(X)≤y}转化为X在一定范围内取值的形式,从而可以利用

X

的分布FX

(x)来求Y=g(X)的分布FY

(y)=P{g(X)≤y}.对于可导的单调函数g(x)来说,可以直接应用定理求得Y的概率密度.特别是，正态分布线性函数的性质要熟练掌握.2.5.4内容小结2.5.5习题布置习题2.51、2、3、4、5.参考文献与联系方式[1]郑一,王玉敏,冯宝成.概率论与数理统计.大连理

工大学出版社，2015年8月.[2]郑一,戚云松,王玉敏.概率论与数理统计学习指

导书.大连理工大学出版社，2015年8月