模块二任务2点线面的投影

任务2机械制图与AutoCAD-1点线面的投影任务描述任务目标：1.了解和掌握点、直线和平面的投影及其规律；2.了解和掌握各种位置直线和平面的投影特性，基本作图方法。重点：1.点的三面投影及其规律；2.直线的三面投影；3.平面的三面投影。难点：

1.两点的相对位置关系；2.各种位置直线的投影特性；3.各种位置平面的投影特性。Pb

●●AP

过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。B3●B2●B1●

点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。（1）点在一个投影面上的投影a

●1.1点的投影及标记1.点的正投影WHVOXZY（2）空间点A在三个投影面上的投影表示为：a

点A的正面投影a点A的水平投影a

点A的侧面投影a

●a●a

●A●注意：空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。1.1点的投影及标记1.点的正投影●●●●XYZOVHWAaa

a

xaazay向右翻向下翻不动WVHaa●x●●azZaa

yayaXY

YO

1.1点的投影及标记1.点的正投影（3）投影面展开：（4）点的投影规律:①a

a⊥OX轴,②aax=a

ax=aay=

a

a

⊥OZ轴=y=Aa

（A到V面的距离）a

az=x=Aa

（A到W面的距离）a

ay=z=Aa（A到H面的距离）a

az●●●●XYZOVHWAaa

a

xaazay●●YZaza

XYayOaaxaya

●1.1点的投影及标记1.点的正投影（1）若A（x、y、z）a（x、y、0）；a

（x、0、z）；a

（0、y、z）●●●●XYZOVHWAaa

a

xaazay●●YZaza

XYayOaaxaya

●结论:已知点的两面投影，即可确定第三面投影。1.2点的投影与坐标的关系1.点的正投影●●a

aax例：已知点的两个投影，求第三投影。●a

●●a

aaxazaz解法一:通过作45°线使a

az=aax解法二:用圆规直接量取a

az=aaxa

●1.2点的投影与坐标的关系1.点的正投影（2）两点的相对位置

两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。判断方法：▲x坐标大的在左；▲y坐标大的在前；▲z坐标大的在上。B点在A点之前、之右、之下。b

aa

a

b

b●●●●●●XYYZo1.2点的投影与坐标的关系1.点的正投影（3）重影点的可见性判别即表示：当两点在V面的投影重合时，则Y坐标大者在前；当两点在H面的投影重合时，则Z坐标大者在上；若两点在W面的投影重合时，则X坐标大者在左；不可见点的投影加括号。1.点的正投影aa

a

b

b

b●●●●●●2.直线的投影将直线两端点的同面投影用直线连接，就得到直线的投影。2.2直线对一个投影面的投影特性BA●●●●ab直线垂直于投影面投影重合为一点

积聚性直线平行于投影面投影反映线段实长

ab=AB直线倾斜于投影面投影比空间线段短ab=AB.cos

●●AB●●ab

AMB●a≡b≡m●●●2.1直线的投影⒉3各种位置直线的投影特性投影面平行线平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜投影面垂直线正平线（平行于Ｖ面）侧平线（平行于Ｗ面）水平线（平行于Ｈ面）正垂线（垂直于Ｖ面）侧垂线（垂直于Ｗ面）铅垂线（垂直于Ｈ面）一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面（1）直线相对投影面的位置关系：2.直线的投影（2）

投影面平行线γβXZ″baaabbOYY′′″水平线实长①在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面倾角的真实大小。②另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴，其到相应投影轴距离反映直线与它所平行的投影面之间的距离。VHabAaaγβBbbWβγ′′″″2.直线的投影侧平线正平线与H面的夹角:

与V面的角:β与W面的夹角:γ实长

β实长γ

b

a

aba

b

b

aa

b

ba

直线与投影面夹角的表示法：（2）

投影面平行线2.直线的投影（3）

投影面垂直线铅垂线正垂线侧垂线②另外两个投影，反映线段实长，且垂直于相应的投影轴。①在其垂直的投影面上，投影有积聚性；●a

b

a(b)a

b

●c

(d

)cdd

c

●e

f

efe

(f

)2.直线的投影（4）一般位置直线Z

YaOXabbaYb

三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角并不反映空间线段与三个投影面夹角的大小。三个投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段的实长。HaβγaAb

VBbWa

b

2.直线的投影cacXabcYYbOaZb′″′′″″cAHacaVbBabcCbW′′′″″″（1）从属性：若点在直线上,则点的投影必在直线的同名投影上。（2）定比定理：点分线段对应成比例。即：AC:CB=ac:cb=a

c

:c

b=a

c

:c

b

⒉4直线上点的投影2.直线的投影例1：判断点C是否在线段AB上。②c

abca

b

●●abca

b

c

①●●在不在a

b

●c

●●aa

b

c

b③c不在应用定比定理?⒉4直线上点的投影2.直线的投影例2：已知点K在线段AB上，求点K正面投影。解法一：应用第三投影解法二：应用定比定理●aa

b

bka

b

●k

●k

●aa

b

bk●●k

●⒉4直线上点的投影2.直线的投影2.5两直线的相对位置（1）两直线平行：空间两直线平行，则其各同名投影必相互平行；反之亦然。bcdHAd

aCcVaDbB

acdbc

dabOX

2.直线的投影例：判断图中两条直线是否平行。

①对于一般位置直线，只要有两组同名投影互相平行，空间两直线就平行。AB与CD平行。AB与CD不平行。

②对于特殊位置直线，只有两组同名投影互相平行，空间直线不一定平行。a

b

c

d

cbadd

b

a

c

②b

d

c

a

①abcdc

a

b

d

2.直线的投影（1）两直线平行（2）两直线相交

若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影特性。交点是两直线的共有点a

c

VXb

HDacdkCAk

Kd

bOBcabdb

a

c

d

kk

2.直线的投影●cd

k

kd例1：过C点作水平线CD与AB相交。先作正面投影a●bb

a

c

（2）两直线相交2.直线的投影不在同一直线上的三个点直线及线外一点abca

b

c

●●●●●●d●d

●两平行直线abca

b

c

●●●●●●两相交直线平面图形c

●●●abca

b

●●●c●●●●●●aba

b

c

b●●●●●●aca

b

c

平面的投影：表示平面的多边形的边的同面投影3.1平面的表示法3.平面的投影垂直倾斜（1）平面对一个投影面的投影特性：平行3.平面的投影3.2各种位置平面的投影特性实形性积聚性类似性投影面垂直面

投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜

正垂面

侧垂面

铅垂面

正平面

侧平面

水平面（2）平面在三面投影体系中的相对位置关系3.平面的投影c

c

(3)投影面垂直面投影特性abca

b

b

a

类似性类似性积聚性铅垂面γβ

在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。另外两个投影面上的投影为类似形。3.平面的投影a

b

c

a

b

c

abc积聚性积聚性实形性水平面在它所平行的投影面上的投影反映实形。

另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。(4)投影面平行面投影特性3.平面的投影a

b

c

a

c

b

abc三个投影都类似。(5)一般位置平面3.平面的投影a

c

b

c

a

●abcb

例：正垂面ABC与H面的夹角为45°，已知其水平投影及顶点B的正面投影，求△ABC的正面投影及侧面投影。45°3.平面的投影3.2各种位置平面的投影特性位于平面上的直线应满足的条件：（1）平面上取任意直线：●●MNAB●M若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。若一直线过平面上的一点且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。3.平面的投影3.3平面上的直线和点abcb

c

a

d

d例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任作一条直线。解法一:解法二:有无数解！n

●m

●n●m●abcb

c

a

（1）平面上取任意直线3.平面的投影例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面的距离为10mm。n

m

nm10c

a

b

cab

唯一解！（1）平面上取任意直线3.平面的投影

先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。baca

k

b

●①c

利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解k●d

d②●abca

b

k

c

k●（2）平面上取点3.平面的投影bckada

d

b

c

k

b例2：已知AC为正平线，补全平行四边形ABCD的水平投影。解法一:解法二:cada

d

b

c

（2）平面上取点3.平面的投影ded