第十五章-刚体的平面运动

第十五章刚体的平面运动下一页第十五章刚体的平面运动第一节

平面运动及其分解第二节平面图形内各点的速度第三节平面图形内各点的加速度下一页上一页

在运动过程中，刚体上任一点到某一固定平面的距离始终保持不变，即刚体上任一点都在与该固定平面平行的某一平面内运动。刚体的这种运动称为刚体的平面运动。

如：曲柄连杆机构中的连杆下一页上一页下一页上一页第一节

平面运动及其分解行星齿轮滚动车轮下一页上一页二、平面运动的简化①为固定平面。I②平面图形S始终在平面内运动。P③作平动。1A2A④A代表直线上各点的运动。1A2A

因此，平面图形上各点的运动可代表刚体上所有各点的运动。

即：刚体的平面运动可以简化为平面图形S在其自身

平面内的运动。下一页上一页三、平面运动方程为了确定代表平面运动刚体的平面的位置，我们只需确定平面图形内任意一条线段的位置。对于每一瞬时t，都可以求出对应的、、，图形S在该瞬时的位置也就确定了。AxAyj下一页上一页平面运动方程ïîïíì===)()()(321tftfytfxAAj例如：车轮的运动。车轮的平面运动可以看成是车轮随同车厢的平动和相对车厢的传动的合成。车轮对于静系的平面运动（绝对运动）车厢（动系）相对静系的运动（牵连运动）''yAx车轮相对车厢（动系）的转动（相对运动）''yAx下一页上一页

动系上的原点A称为基点。刚体的平面运动可以分解为随基点的平动和绕基点的转动。车轮的平面运动'C随基点A的平动绕基点A’的运动'C+下一页上一页平面图形S在时间内从位置运动到位置IPtD①以A为基点：随基点A平动到后，绕基点转角到'''BA1jD''BA②以B为基点：随基点B平动到后，绕基点转角到2jD'''BA''BA图中看出：21'''''',////jjD=DBABAAB于是有2121212010,;,limlimeewwwwjj===DD=DD畗D畗Ddtddtdtttt下一页上一页结论：

①平动的速度和加速度与基点的选择有关，而转动的角速度与角加速度与基点的选择无关。（在同一瞬间，图形绕任一基点转动的，相同。因此，图形绕基点转动的角速度和角加速度称为平面运动刚体的角速度和角加速度。）we下一页上一页

②基点的选择是任意的。（一般取运动情况已知的点作为基点）下一页上一页已知图形角速度，A点速度，求B点速度。wAvBv取A为基点，将动系固结于A点，动系作平动。取B为动点，是为牵连运动为平动和相对运动为转动的合成。牵连速度，相对速度，方向垂直于AB，指向与一致。wAevv=ABvvBAr.==w根据速度合成定理：则B点速度为reavvv+=BAABvvv+=下一页上一页第二节平面图形内各点的速度BAABvvv+=表明：

平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。这种分析图形上任一点速度的方法称为基点法。下一页上一页例1已知车轮沿直线作纯滚动，车轮半径为R，轮心O的速度为，求A、B、C的速度。0v解：取O为基点即0=-AOOvvRvRvvoAOO===ww,BOOBvvv+=OOBOOBvRvvvv2)(2222=+=+=wOOCOOCCOCCvRvvvvvvv2,=+=+=+=w下一页上一页AOOAvvv+=00=+\=AOAAvvvQ二、速度投影法由于A，B点是任意的，因此表示了图形上BAABvvv+=任意两点速度间的关系。由于恒有ABvBA^，因此将上式在AB上投影，有[][]ABAABBvv=速度投影定理即平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影彼此相等。这种求解速度的方法成为速度投影法。下一页上一页例2已知AB=30cm，CD=60cmrad/s6=w求CDwcm/s9.103cm/s3631=.==BcvvCDvCDc.=w由rad/s732.1rad/s3===CDvCCDw得解：cm/s180630=×=.=ABvBw连杆BC作平面运动，根据速度投影定理o60o30o30o60BvCvCDwwACDB下一页上一页°=°30cos60coscBvv三、瞬心法1.速度瞬心的概念w/AvAP=则：PAAPvvv+=APAvAPv=.=w方向PA^，恰与Av反向。所以0=Pv即在某一瞬时必唯一存在速度等于零的一点，该点称为平面图形在该瞬时的瞬时速度中心，简称速度瞬心。下一页上一页设某瞬时A的速度Av，图形角速度w，沿Av方向取半直线AL，然后顺w的转向转至AL的位置，在AL′上取长度°902.确定速度瞬心的方法v,,AAvAPAP^=w且P在Av和图形角速度，①已知图形上一点的速度Avw可以确定速度瞬心的位置。（P点）②已知一平面图形在固定面上作无滑动的滚动（纯滚动），则图形与固定面的接触点P为速度瞬心。下一页上一页顺w转向绕A点转的方向一侧。°90③已知某瞬时平面上A、B两点速度、AvBv的方向，且与不平行，AvBv过A、B两点分别作速度、AvBv的垂线、交点P即为该瞬时的速度瞬心。若与同向，AvBvABvvBA-=w若与反向，AvBvABvvBA+=w④已知某瞬时图形上A、BAvBv两点的速度、大小，ABvABvBA^^,且，下一页上一页⑤已知某瞬时图形上A、B两点的速度大小相等，方向相同。此时，图形的瞬心在无穷远处，图形上各点速度0=w相等，这种情况称为瞬时平动（此时各点的加速度不一定相等）下一页上一页例如：曲柄连杆机构在图示位置时，连杆BC作瞬时平动。此时连杆BC的图形角速度，0=BCwBC杆上各点的速度都相等，但各点的加速度并不相等。下一页上一页设AB杆的角速度为，则w()¯×==2wABaanBB而的方向为水平直线，ca瞬时平动与平动不同。cBaa¹4.速度瞬心法应注意的问题①平面图形在任一瞬时的运动可视为绕速度瞬心的瞬时转动，速度瞬心又称为平面图形的瞬时转动中心。若P点为速度瞬心，则任意一点A的速度w.=APvA方向，指向与一致。wAP^②速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是随时间不断变化的。在任一瞬时是唯一存在的。③刚体作瞬时平动时，虽然各点的速度相同，但各点的加速度是不一定相同的。不同于刚体作平动。④速度瞬心处的速度为零，加速度不一定为零。不同于定轴转动。下一页上一页例3已知滑块A以水平向右运动，杆AB的长度为，Avl求AB与水平夹角为时滑块B的速度及AB杆的jBv角速度为。ABw解：①瞬心法P为AB杆的速度瞬心jwsinlvPAvAAAB==jjjwcossinsinAAABBvlvlPBv=.=.=下一页上一页BAABvvvrrr+=jcotABvv=vvjjsincosABBAv==jwsinlvlvABAAB==②基点法取滑块A为基点下一页上一页③速度投影法jcot.=ABvv，不能求BAw()jj-°×=90coscosBAvv取A为基点，将平动坐标系固结于A点；取B为动点，则B点的运动分解为相对运动为圆周运动和牵连运动为平动。nBABABAAeBaaaaaaaaa+====tt;;求：该瞬时图形上任一点B的加速度。已知：点A的加速度，图形某一瞬时的角速度和Aa角加速度为、。we下一页上一页第三节平面图形内各点的加速度于是，由牵连平动时加速度合成定理reaaaa+=可得如下公式：nBABAABaaaa++=t即平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。这种求解加速度的方法称为基点法。其中：et.=ABaBA方向，指向与一致；2w.=ABanBA方向沿AB，指向A点。eAB^下一页上一页半径为R的车轮沿直线作纯滚动，已知轮心O点的速度及加速度，求半径与轨道接触点P的加速度。1例OvOa解：先求出，。ew轮O作平面运动，P为速度瞬心，RvO=\w（）以O为基点，有''POPOOPaaaa++=t其中：RvRvRRaaRaOOnPOOPO222)(,=.===.=wet由于此式在任何瞬时都成立，且O点作直线运动，故RadtdvRdtdOO=.==1we（）下一页上一页做出加速度矢量图，由图中看出：nPOPaa=（与等值相反）OatPOa即：()RvaOP2=由此看出，速度瞬心P的加速度并不等于零，即它不是加速度瞬心。当车轮沿固定的直线轨道作纯滚动时，其速度瞬心P的加速度指向轮心。下一页上一页例4图示四杆机构，曲柄OA以角速度绕O轴转动，，求，，，，。OwA