人教版高中数学必修五培优辅导拔高讲义-学生版

人教版高中数学必修五培优辅导拔高讲义

第一章解三角形

1、正弦定理：在AABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，R为AABC的外接圆的半径，则

有，一=~^—=，一=2R.

sinAsinBsinC

2、正弦定理的变形公式：①Q=2RsinA,/?=2/?sinB,c=2RsinC；

dhc

（2）sinA=——，sinB=——，sinC=——；（3）a:/?:c=sinA:sinB:sinC；

27?2R2R

〃++cahc

④——--------=_L=」_=_^.（正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其

sinA+sinB+sinCsinAsinBsinC

中一边所对的角，求其余的量。2、已知两角和一边，求其余的量。）

⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）

如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A为锐角）求B。具体的做法是：数形结合思想画出图：法一：把a

扰着C点旋转，看所得轨迹与AD有无交点：1.当无交点则B无解、2.当有一个交点则B有一解、3.

当有两个交点则B有两个解。

法二：是算出CD=bsinA,看a的情况：1.当a＜bsinA,则B无解

2.当bsinAVaWb,则B有两解3.当a=bsinA或a＞b时，B有一解

注：当A为钝角或是直角时以此类推既可。

3、三角形面积公式:=—bcsinA=—“OsinC=—acsinB

222

4、余弦定理：在AABC中，a2-b2+c2-2hccosA,Z?2=a2+c2-2czccosB,

c2=a2+b2-labcosC.

人人b~+c~—u~u~+c~-b~_ci~+b—c~

5、余弦定理的推论：cosA=----------------,cosB=------------------,cosC-------------------

2bclaclab

（余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余的量。2、已知三边求角）

6、如何判断三角形的形状：设。、b、c是AABC的角A、B、C的对边,

则：①若力+尸=^,则。=90；②若/+尸＞/,则。＜90.

③若/+〃＜。2,则若＞90.

7.正余弦定理的综合应用：如图所示：隔河看两目标A、B,但不能到达，在岸边选取相距6千米的C、D

两点，并测得NACB=75°,ZBCD=45°,ZADC=30°,NADB=45°（A、B、C、D在同一平面内），求两目标A、B

之间的距离。

8.三角形的五个“心”；重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.

内心：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于一点.

第二章数列

1、数列：按照一定顺序排列的一列数.2、数列的项：数列中的每一个数.

3、有穷数列：项数有限的数列.4、无穷数列：项数无限的数列.

5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列（即：a„tl>a„）.

6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列（即：a„H<a„）.

7、常数列：各项相等的数列（即：

8、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.

9,数列的通项公式：表示数列｛q,｝的第〃项与序号〃之间的关系的公式.

10、数列的递推公式：表示任一项q,与它的前一项凡（或前几项）间的关系的公式.

11、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这

个常数称为等差数列的公差.符号表示注：看数列是不是等差数列有以下三种方法：

①一%_1=d（"N2,d为常数）②=。“+[+册_]（“22）③册=（〃，及为常数）

12、由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则A称为“与匕的等差中项.若

〃+C

b=-,则称分为a与c的等差中项.

2

13、若等差数列｛4〃｝的首项是q,公差是d,则%=q+（〃-l）d.

（I—Q

14、通项公式的变形：®an=am+（n-rn）d.②4=41③-二；

a-a,.J_a“一"m

@n=-n⑤d—.

dn-m

15、若｛4｝是等差数列，S.m+n=p+q（m、〃、p、qeN*）,则知+为=%+为；若｛a,｝是等

差数列，且2〃=p+q（〃、p、qeN*）,则24=%+为.

c°〃伍—1）,

16、等差数列的前〃项和的公式：①=一-­；②S.=.q+、2d.③

s〃=q+%++

17、等差数列的前〃项和的性质：①若项数为2〃（〃eN*）,则S2"=M4+Q”+J,且S偶-S奇=〃/,

"■=马-.②若项数为2〃-l（〃N"）,则S2“L（2〃一1）4,且5奇一5偶=4,^-=—（其中

3偶4+1S俯n-1

S奇—na”,5偶=（«—1）«„）•

18、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这

个常数称为等比数列的公比.符号表示：4叱=4（注：①等比数列中不会出现值为0的项；②同号位上

a“

的值同号）注：看数列是不是等比数列有以下四种方法：①。“=%_闯（〃之2,g为常数且H0）②

播（在2,册册+/_户0）③斯=""（c，4为非零常数）.④正数列｛。“｝成等比的充要条件

是数列｛1。&an]（x>l）成等比数列.

19、在。与匕中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列，则G称为。与匕的等比中项.若G2=ab,

则称G为a与b的等比中项.（注：由G?="不能得出a,G,方成等比，由a,G,b=>G2=a/?）

20、若等比数列｛4｝的首项是%,公比是q,则an=而1.

21、通项公式的变形：①4=%〃""'；②，=a〃qY"T）；③〃，一=2；④〃=2.

1

22、若｛4｝是等比数列，且m+〃=〃+“（m>〃、p、^GN*）,则4〃♦4=ap・4；若｛〃〃｝是等比

+2

数列，且2〃=p+q（〃、p、g6N）,则%=册・4.

叫（q=1）

+a

23、等比数列｛%｝的前〃项和的公式:①S,,="（I—/）aaq.②％=4+。2+„

S[=«|（«=1）

24、对任意的数列｛册｝的前〃项和邑，与通项a”的关系：即=彳/[注]:①

册/+（"-/=•+（%―/）（d可为零也可不为零一为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）―若

"不为0,则是等差数列充分条件）.②等差｛%,｝前"项和S,尸命+的公卜+口仁介一1•可以为

零也可不为零一为等差的充要条件一若4为零，则是等差数列的充分条件；若d不为零，则是等差数列的

充分条件.③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）

25、几种常见的数列的思想方法：⑴等差数列的前〃项和为S“，在"YO时，有最大值.如何确定使S“取

最大值时的”值，有两种方法：一是求使。“20,册+1Y0,成立的"值；二是由S“=3"2+（巧_多〃利用二

次函数的性质求〃的值.数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下：

数列通项公式对应函数

等差数列y=dx+5（dw0时为一次函数）

an=+(%一l)d=嬴+(何-d)

等比数列=acx

n-i以1nyi（指数型函数）

%=可1=—q

q

数列前n项和公式对应函数

n(n-X),d2,d、2

等差数列sna

n=\+2d=2"+31-2)«y=ax+bx（aw0时为二次函数）

等比数列歹=3、+&（指数型函数）

Dv)----------——----Q十----

]-q1—(71—(7

我们用函数的观点揭开了数列神秘的“面纱”，将数列的通项公式以及前n项和看成是关于n的函数，为

我们解决数列有关问题提供了非常有益的启示。响

26、等差数列中，a*=求=建,（活。则&*■«=.

分析:因为｛%）是等差数列，所以即是关于n的一次函数，一次函数图像是一条直线，则（n,

),(m,n),(m+n,

n-m_a^n-n

%<+*）三点共线，所以利用每两点形成直线斜率相等，即搐一”（冽+功-川，得白海+£=0（图像如上）,

这里利用等差数列通项公式与一次函数的对应关系，并结合图像，直观、简洁。

27、等差数列中，刈=25,前n项和为%,若S9=旬7,n为何值时％最大？

d2,,d、

VW~^n+31一三）〃

分析：等差数列前n项和其可以看成关于n的二次函数5=22,

（冬％）是抛物线,（X）=5x+31.5）'上的离散点，根据题意，,（9）二/（17）,

9+17

X==13

则因为欲求M最大值，故其对应二次函数图像开口向下，并且对称轴为

A最大。

28、递增数列LJ,对任意正整数n,恒成立，求工

1°构造一次函数，由数列1点J递增得到：即+1一乐>°对于一切%C犷恒成立，即2花+1+4>0恒成

立，所以，>一（2?2+1）对一切％6凶.恒成立，设/5）=-（2^+1）,则只需求出/（%）的最大值即可，

显然了5）有最大值/⑴=-3,所以4的取值范围是：4>-3。

2°构造二次函数，%=/+.看成函数〃x）=/+4x,它的定义域是OIxNLxeN*）,因为是递

__A

增数列，即函数/（X）=/+为递增函数,单调增区间为［Lm）,抛物线对称轴''―2,因为函数f（x）

A

x=~,

为离散函数，要函数单调递增，就看动轴与已知区间的位置。从对应图像上看，对称轴2在x=L5

A3

——〈一

的左侧也可以（如图），因为此时B点比A点高。于是，22,得为>-3.

⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n项和可依照等比数列前

〃项和的推倒导方法：错位相减求和.例如：

242"

⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，

公差是两个数列公差4,人的最小公倍数.

29.判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：（1）定义法：对于n22的任意自然数，验证

为同一常数⑵通项公式法。（3）中项公式法：验证2aM=a“+«„-2

an-\

（a*=anall+2）neN都成立。

a>0

30.在等差数列｛q｝中，有关心的最值问题：（1）当q>0,d<0时，满足《m的项数m使得%取

14向<°

最大值.（2）当/<0,d>0时，满足的项数m使得s,“取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时，注意转化

思想的应用。

二、数列求和的常用方法

1.公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。

2.裂项相消法:适用于」一其中｛凡｝是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘

。,4+1.

的数列等。

3.错位相减法:适用于｛a„bn｝其中｛a,,｝是等差数列，｛b,,｝是各项不为0的等比数列。

4.倒序相加法：类似于等差数列前n项和公式的推导方法.

5.常用结论1):1+2+3+...+n=+D2)1+3+5+.・・+(2n-l)-n~

2

一2

I~\l2+22+32+…+〃2」〃(〃+l)(2〃+l)

3)l3+23+---+n3=-«(«+!)4)

6

、11111/1、

5)-----------=-------------------------------=-(--------------)6)—=---(---)(p<q)

n(n+1)n〃+1n{n+2)2n九+2

第三章不等式

1、a-b>0<=>>/?；a—b=Ooa=b；a-b<0a<b.

2、不等式的性质：®a>b<^>b<a；®a>b,b>c=>a>c；③a>h=a+c>b+c；

@a>b,c>0ac>be,b,C<0AdC〈be

(§)a>b,c>d=>a+c>b+d；

(§)!⑦a>b>()=a">""(〃wN,〃>l)；®a>b>O^>\[a>^(HGN,H>1).

3、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式.

4、含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸

5.整式不等式(高次不等式)的解法

nx

穿根法(零点分段法)求解不等式：+axx-+a2fL2+.••+4>0(<0)(a()>0)

解法：①将不等式化为ao(x-x)(x-X2)…(x-xJ>0(<0)形式，并将各因式x的系数化“+”：(为了统一方便)

②求根，并将根按从小到大的在数轴上从左到右的表示出来；③由右上方穿线(即从右向左、从上往下:

偶次根穿而不过，奇次根一穿而过)，经过数轴上表示各根的点(为什么？)；④若不等式(x的系数化“+”

①一元一次不等式ax>b解的讨论；②一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)解的讨论.

A>0A=0A<0

、

二次函数1rA\\1J

y—ajc+bx+c\LT

(a>0)的图象X1=X2XJrx

一元二次方程有两相等实根

有两才电异实根

ax2+bx+c=Qh

-

X1,X2(X]<x2)%]=工2=T-无实根

(a>。的根2a

ax1+bx+c>0

CX1^)C>x2]<

3>0)的解集2a]R

ax1+bx+c<0

心<x<x}

20

3>0)的解集0

对于a<0的不等式可以先把a化为正后用上表来做即可。

2.分式不等式的解法(1)标准化：移项通分化为』”>0(或工”<0)；N0(或的形式,

g(x)g(x)g(x)g(x)

(2)转化为整式不等式(组)44>°^fMsM>o；440■0

g(x)g(x)[g(x)*u

3.含绝对值不等式的解法：基本形式：①型如：|x|Va(a>0)的不等式的解集为：｛x[—a<x<。｝

②型如：|x|>a(a>0)的不等式的解集为：｛x[x<—4或x>@变型：

\ax+b\<c(c>0)型的不等式的解集可以由｛x\-c<ax+h<c]解得。其中-c<ax+b<c等价于不等式组

QX+b<c

-在解-c<ax+b〈c得注意a的符号。|ax+4>c(c>0)型的不等式的解法可以由

ax+b>-c

｛x\ax+b>c,或我+b<-c｝来解。③对于含有两个或两个以上的绝对值的不等式：用“零点分区间法”

A>0

-±<0

②若两根都小于0,即a<0,尸<0,则有

2a

/（0）>0

③若两根有一根小于0一根大于0,即。<0<夕，则有/(0)<0

④若两根在两实数m,n之间，即加<aW/?<〃，

A>0

b

则有《2a

>0

./(«)>0

⑤若两个根在三个实数之间，即机<a</<用<〃，

/(/«)>0

则有，/(0<0

./(〃)〉0

常由根的分布情况来求解出现在a、b、c位置上的参数

5、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式.

6、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组.

7、二元一次不等式(组)的解集：满足二元一次不等式组的X和)，的取值构成有序数对(x,y),所有这

样的有序数对(%,y)构成的集合.

8、在平面直角坐标系中，已知直线Ar+By+C=0,坐标平面内的点「(小,%)•

①若B>0,A%+Byo+C>O,则点P（%,%）在直线Ar+By+C=0的上方.

②若B>0,A^+B.y0+C<0,则点P（小,%）在直线Ar+By+C=0的下方.

9、在平面直角坐标系中，已知直线Ar+By+C=O.

(一)由B确定：①若B>0,则Ax+By+C〉0表示直线Ar+B)，+C=0上方的区域；Ar+By+C<0

表示直线Ax+B），+C=O下方的区域.②若B<0,则Ax+B），+C>0表示直线Ax+B），+C=O下方的

区域；Ax+By+C<0表示直线Ar+By+C=O上方的区域.

（-）由A的符号来确定：先把x的系数A化为正后，看不等号方向：①若是“〉”号，则Ax+By+C>0

所表示的区域为直线1：Ax+By+C=0的右边部分。②若是“心号，则Ax+B），+C<0所表示的区

域为直线1:Ax+By+C=0的左边部分。

（三）确定不等式组所表示区域的步骤：①画线：画出不等式所对应的方程所表示的直线②定测：由上

面（一）（二）来确定③求交：取出满足各个不等式所表示的区域的公共部分。

10、线性约束条件：由尤，y的不等式（或方程）组成的不等式组，是x,），的线性约束条件.

目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x,y的解析式.

线性目标函数：目标函数为x,丁的一次解析式.

线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题.

可行解：满足线性约束条件的解（x,y）.可行域：所有可行解组成的集合.

最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解.

11、设。、b是两个正数，则生吆称为正数。、匕的算术平均数，向称为正数。、b的几何平均数.

2

12、均值不等式定理：若a>0,b>0,则°+。22而，即拓.

2

2i2

13、常用的基本不等式：①a2+吩N2ah（a,b£R）；②ab<^—（a,beR）；③

,+八，小a2+b2（a+b\八、

"W[2J（〃>0,0>0）；④---21-2-J（za,b;sR）・

14、极值定理：设x、y都为正数，则有：⑴若x+y=s（和为定值），则当x=y时，积盯取得最大值

$2l

•⑵若xy=p（积为定值）9则当x=y时,和x+y取得最小值2J万.

第1讲正弦定理和余弦定理

★知识梳理★

1.内角和定理：在A4BC中，A+B+C=7T；sin（A+6）=sinC；cos（A+8）=-cosc

A+B.C

cos-sin—

22

2.面积公式：S=—absinC=—£>csinA=—easinB

MBC222

b

3.正弦定理：在一个三角形中，各边和它的所对角的正弦的比相等.公式为:

sinAsinBsinC

4.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍..

222222

公式为:a=b+c-2bccosAb=c~+a-2cacosBc=/+〃-2abcosC

->2i2

,b-+c-a~-a-+/7--c-

变形为:cosA=---------c-o--s--B--=----------------cosC=----------------

2bc2ca2ab

★重难点突破★

1.重点:熟练掌握正弦定理、余弦定理和面积公式，利用内角和定理实现三内角之间的转换，解题时应注

意四大定理的正用、逆用和变形用

2.难点：根据已知条件，确定边角转换.

3.重难点：通过正弦定理和余弦定理将已知条件中的角化为边或边化为角后，再实施三角变换的转化过程

以及解三角形中的分类讨论问题.

(1)已知两边和其中一对角，.求另一边的对角时要注意分类讨论

问题1:在A43c中，A、B的对边分别是a、b,且A=30",a=，b=4,那么满足条件AABC

()

A、有一个解B,有两个解C、无解D、不能确定

问题2:已知圆内接四边形ABCO的边长分别为A3=2,BC=6,CD=04=4,求四边形43CD的

A.

B

'0D

C

★热点考点题型探析★

考点1:运用正、余弦定理求角或边

题型1.求三角形中的某些元素

例1.已知：A、B、C是AABC的内角，a,b,c分别是其对边长，向量相=(6,cos(%-A)—1),

t7CfVs

n=(cos(--A),l),ml.n.(I)求角A的大小；(II)若a=2,cosB=—,求人的

长.

题型2判断三角形形状

［例2］在AA5c中，bcosA=acosB,试判断三角形的形状.

考点2:三角形中的三角变换

题型:利用正、余弦定理和三角函数的恒等变换，进行边角互换,结合三角函数的图象与性质进行化简求值.

例1.设AABC的内角A,B,C的对边分别为b,c,，且A=60°,c=3机求：（1）区的值；（II）

c

cotB+cotC的值.

考点3与三角形的面积相关的题

题型1:已知条件求面积

53

例1:在AABC中，cosA=-一，cos6=—.(I)求sinC的值；(II)设BC=5,求△ABC的

135

面积.

题型2:已知面积求线段长或角

5433

例2.在AABC中，cos£?=-p,cosC=-.⑴求sin4的值；⑵设A48C的面积S^BC=彳，求BC

的长.

第2讲解三角形应用举例

★知识梳理★

1.已知两角和一边（如A,B,c）,由A+B+C=;r求C,由正弦定理求。涉.

2.已知两边和夹角（如。，女C）,应用余弦定理求c,边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用

A+B+C=,求另一角.

3.已知两边和其中一边的对角（如a,"A）,应用正弦定理求3,由A+3+C=7求C,再由正弦定理

或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况.

4.已知三边。,6,c,应用余弦定理求A6,C,再由A+B+C=万，求角C.

5.方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角

（一般指锐角），通常表达成.正北或正南，北偏东XX度，北偏西XX度，南偏东XX度，偏西XX度.

6.俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上

方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角.如图中。。,。石是视线，NDOC是仰角，NEOC是俯角.

7.关于三角形面积问题

①SM8C=；a6o=gbhb=；c/jc（h。、小人分别表示a、b、c上的高）；

2

②Sv1M=-absinC=—bcsinA=—acsinB；（DS.Anr=2RsinAsin8sinC.（R为外接圆半径）

222

④SMBC=萼;⑤SAABC=Js（s-a）（S-。）（S-C）/S=：（a+"c）］；

4AkJ

@S&ABC=r>5,（r为△ABC内切圆的半径）

★重难点突破★

1.重点：熟练掌握正弦定理、余弦定理和面积公式，结合几何性质建模解决生活中的应用问题

2.难点：实际问题向数学问题转化思路的确定

3.重难点：熟练掌握解斜三角形的方法.，熟悉实际问题向数学问题的转化的方法；（1）解三角函数应用

题要通过审题领会其中的数的本质，将问题中的边角关系与三角形联系起来，确定以什么样的三角形为模

型，需要哪些定理或边角关系列出等量或不等量关系的解题思路,然后寻求变量之间的关系，也即抽象出

数学问题。

问题1.如图，为了计算北江岸边两景点B与C的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A和。两个测

量点，现测得AO_LCO,AD^lOkm,AB^l4km,ZBDA=60°,/BCD=135°,求两景点8与

C的距离（假设4,区C,。在同一平面内，测量结果保留整数；参考数据：

收=1.414,6=1.732,=2.236）

问题2.用同样高度的两个测角仪A8和同时望见气球E在它们的正西方向的上空，分别测得气球的

仰角是a和夕，已知民。间的距离为a,测角仪的高度是b,求气球的高度.人

★热点考点题型探析★

考点1：测量问题

题型:运用正、余弦定理解决测量问题

例1.如图4-4-12,甲船以每小时3（X历海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲

船位于A处时，乙船位于甲船的北偏西1OS方向的四处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到

达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120’方向的层处，此时两船相距10后海里，问乙船每小时航行多

少海里？

例2.如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC.小区的两个出入口设置在点A及点C处，小区里有两条

笔直的小路且拐弯处的转角为120P.已知某人从C沿走到。用了10分钟，从。沿D4走

到A用了6分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径。4的长（精确到1米）.

【新题导练】

1.为了立一块广告牌，要制造一个三角形的支架,三角形支架形状如图，要求NAC8=6O",3C的

长度大于1米，且AC比AB长0.5米.为了广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，求AC最短

为多少米？且当AC最短时，8C长度为多少米?

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考点1：测量问题

题型:运用正、余弦定理解决测量问题

[例1]（2007•山东）如图4-4-12,甲船以每小时30底海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直

线航行，当甲船位于A处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的4处，此时两船相距20海里，当甲船

航行20分钟到达4处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的4处，此时两船相距100海里，问乙

船每小时航行多少海里？

【新题导练】

1.甲船在A处、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行

驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向南偏西60°方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相

距最近？

乙

2.在奥运会垒球比赛前，C国教练布置战术时，要求击球手以与连结本垒及游击手的直线成15°的方向

把球击出，根据经验及测速仪的显示，通常情况下球速为游击手最大跑速的4倍，问按这样的布置，游击

手能不能接着球？（如图所示）

[例2]（08上海高考）如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC.小区的两个出入口设置在点A及点C处，

小区里有两条笔直的小路A。，DC,且拐弯处的转角为120.已知某人从。沿0。走到。用了10分钟，

从。沿D4走到A用了6分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1

米）.

【新题导练】

1.如图，货轮在海上以35公里/小时的速度沿方位角（从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角）为152°

的方向航行.为了确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角为122°.半小时后，货轮到达C点处，观

测到灯塔A的方位角为32°.求此时货轮与灯塔之间的距离.

2.（汕头市金山中学2015届高三数学期中考试）为了立一块广告牌，要制造一个三角形的支架,三角

形支架形状如图，要求NACB=60°,BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米,为了广告牌稳固，

求AC的长度越短越好，求AC最短为多少米？且当AC最短时，BC长度为多少米？，A

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1.台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的

地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为（）

A.0.5小时B.1小时C.1.5小时D.2小时南

2.在A43c中，A:3=1:2,C的平分线CO把三角形面积分成3:2两部分，则,

cosA=（）

3.如图，在斜度一定的山坡上的一点4测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15。，向山h

顶前进100m后，又从点B测得斜度为45。，假设建筑物高50m,设山对于地平面的斜度。，则

cos0=・"R

4.如右图，在半径为K的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的

光线与桌面的夹角9的正弦成正比，角和这一点到光源的距离r的平方成反比，即/=〃•粤，其中k

r

是一个和灯光强度有关的常数，那么电灯悬挂的高度力=,才能使桌子边缘处最亮.

5.（15年韶关市二模）某市电力部门在今年的抗雪救灾的某项重建工程中，需要在A、8两地之间架设

高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A、B两地距离.现测量人员在相距60〃的。两地（假

设A、B,C、。在同一平面上），测得NACB=75,NBCD=45,ZADC=30,ZADB=45

6.在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P,上午11时，测得一轮船在岛北30°东，

俯角为30°的8处，到11时10分又测得该船在岛北60。西、俯角为60°的C处。（1）求船的航行速度是

每小时多少千米；（2）又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的。处，问此时船距岛A有多远？

7.在正三角形45c的边AB、4c上分别取E两点,使沿线段OE折叠三角形时，顶点A正好落在边

上，在这种情况下，若要使4。最小，求AZ）：A5的值.

8.在一很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向

与湖岸成15°角，速度为2.5km/h,同时岸边有一人，从同一地点开始追赶小船，已知他在岸上跑的速度

为4km/h,在水中游的速度为2km/h.问此人能否追上小船.若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速

度是多少？

第3讲等差数