人教B版选择性必修第一册122空间中的平面与空间向量学案

1.2.2空间中的平面与空间向量

新课程标准新学法解读

1学.会用待定系数法求平面的法

1.理解平面的法向量.向量(留意选择平面内两个不共线

2.把握利用平面的法向量证明平的向量).

行与垂直问题的思路.2.敏捷应用三垂线定理及其逆定

理证明垂直关系.

精梳理

［笔记教材］

学问点1平面的法向量

1.定义:假如。是空间中的一个平面，〃是空间中的一个

向量，且表示〃的有向线段所在的直线与平面。，那么称〃

为平面Q的一个,也称〃与平面Q垂直，记作.

2.性质：(1)假如直线I垂直平面那么直线/的任意一个

都是平面a的一个.

(2)假如〃是平面。的一个法向量，那么对任意实数2W0,空间

向量弱也是平面a的一个法向量，而且平面a的任意两个法向量都

(3)假如n为平面a的一个法向量，A为平面a的一个的点，那么

对于平面a上任意一点B,向量油肯定与向量n垂直，即

,从而可知平面a的位置可由〃和A唯一确定.

答案：1.非零垂直法向量n±a

2.⑴方向向量法向量(2)平行(3)0

学问点2直线与平面平行、垂直的判定

。是直线/的一个方向向量，〃是平面。的一个法向量，那么

n//P0；

，或.

学问点3两平面平行、垂直的判定

ni，肛分别是平面如，图的法向量，那么

n।J_ne；

n\//肛台，或.

答案：ai±«2a\//o.2与G2重合学问点4三垂线定理及其

逆定理

假如平面内的一条直线与平面的一条斜线在

定理该平面内的_______垂直，那么它也和这条\A

________垂直\/

假如平面内的一条直线和这个平面的一条/7//

/a4

逆定理________垂直，那么它也和这条斜线在该平面

内的________垂直

答案：射影斜线斜线射影

［重点理解］

1.依据待定系数法求平面的法向量

〃蔺=0,

利用待定系数法求平面法向量时，由于方程组1_有很

,=

<nAC0

多组解，因此法向量有很多个.求解时，只需取一个较简洁的非零向

量作为法向量即可.

2.构建两个方程求解平面法向量的坐标

依据线面垂直的判定定理可知，只要直线垂直于该平面内的任意

两条相交直线，它就垂直于该平面，也就垂直于该平面内的任意一条

直线，因此，法向量的坐标只要满意两个方程就可以了.

3.关于三垂线定理及其逆定理的说明

(1)三垂线定理及其逆定理这两个定理中，“平面内〃这个条件

不能省略，否那么不肯定成立.这是由于由三垂线定理及其逆定理的

证明过程可知：只有平面内的直线满意和斜线的射影(或斜线)垂直

时，才能保证该直线垂直于斜线与垂线所在的平面，从而由线面垂直

推出线线垂直.

(2)三垂线定理及其逆定理常用于判定空间直线相互垂直，在引

用时要清晰以下问题：①从条件上看，三垂线定理的条件是“和射影

垂直〃，其逆定理的条件是“和斜线垂直〃；②从功能上看，三垂线

定理用于解决共面垂直，证明异面垂直的问题，逆定理正好相反.

［自我排查］

1.假设直线/〃且/的方向向量为(2,加,1),平面仪的法向量

为(1,2),那么相等于()

A.-4B.-6

C.-8D.8

答案：C

2.(2022辽宁沈阳其次十七中学检测)平面Q上三点4(321)，8(一

1,2,0),C(4,-2,-1),那么平面。的一个法向量为()

A.(4,-9,-16)B.(4,9,-16)

C.(-16,9,­4)D.(16,9,-4)

答案：B

3.(2022北京月考)直线/的方向向量〃=(一1,21)，平面a的法

向量》=(-2,4,2),那么直线I与平面a的位置关系是()

A.l//aB.lA_a

C.lUaD.IGa

答案：B

4.（2022重庆江津中学月考）"=（一2,2,5）,。=（6,-4,4）,

。分别是平面〃，/?的法向量，那么平面小户的位置关系是()

A.平行

B.垂直

C.所成的二面角为锐角

D.所成的二面角为钝角

答案：B

5.(2022天津第五十五中学月考)如图，长方体

中，AB=4fBC=2,CG=3,E,尸分别是3C,CO的中点，以。

为原点，分别以D4,DC,OQi为坐标轴建立空间直角坐标系，那么

平面DiEF的一个法向量是.

答案：(一6,3,2)(答案不唯一)

解析：・・•长方体中，4?=4,BC=2,CG=3,

E,尸分别是BC,CQ的中点，

・・・Oi(0,0,3),E(1,4,0),尸(0,2,0),

麻=(1,4,-3),江=(0,2,-3),

设平面。产的法向量是〃=(X,yfz),

\n-D^E=x+4y—3z=0f

那么J一

[〃・DiA=2y—3z=0,

取y=3,得〃=(—6,3,2),

那么平面DiE尸的法向量是(一6,3,2).

故答案为(一6,3,2).(答案不唯一).

强研习重F

研习1求平面的法向量

［典例1］在正方体438—A由］G。中，棱长为1,G,E,F

［解］如图，以。为坐标原点，分别以D4,DC,。。所在直线为

x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

那么£(1,o］,电1,0),

1

5，

设平面G£F的法向量为/i=(x,yfz).

n-^E=^y—^z=O1

由〃_LGfe,w±Ffe,得＜

，

nFE=^x—^y=Of

・.一=y，

•［x=y.

令y=l,可得平面GE尸的一个法向量为n=(l,l,l).

［巧归纳］

求平面ABC的一个法向量的方法

(1)平面垂线的方向向量法：证明一条直线为一个平面的垂线,

那么这条直线的一个方向向量即为所求.

(2)待定系数法：步骤如下：

［练习1］在三棱锥P-ABC中，CP,C4,两两垂直，AC=

CB=1,PC=2,如图，建立空间直角坐标系，那么以下向量中是平

面%B的法向量的是()

A.11,1,B.(1,^2,1)

C.(1,1,1)D.(2,-2,1)

答案：A

研习2利用空间向量证明平行关系

［典例2］正方体ABCD-AiBiCiDi的棱长为2,E,F分别是BBT，

的中点，求证：/G〃平面

Rjc

AR

［证明］如下图，建立空间直角坐标系Dxyz,那么有0(0,0,0),

A(2,0,0),G(0,2,2),及2,2,1),F(0,0,D,囱(2,2,2),所以户匕=(0,2,1),

次=(2,0,0),(0,2,1).

DV_______G

，・后之：£____>

\^\7^

x/AEB

设〃I=(XI,y\9zi)是平面AOE的法向量，

那么ni±^A,刈_L造，

〃「/=2']=0,xi=O,

即1…得|「一物,

ln/-Afe=2yi+zi=0,

令zi=2,那么yi=-1,

所以m=(0,-1,2).

由于死।•m=-2+2=0,所以户&_L〃i.

又由于平面AOE,所以bG〃平面

［巧归纳］

用空间向量证明平行的方法

(1)线线平行：证明法直线的方向向量共线.

(2)线面平行：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②

证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行.在证明线面平

行时，需留意说明直线不在平面内.

(3)面面平行：①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线

面平行、线线平行问题.［练习2］如图，在长方体ABC。一AiBG。

中，AD=AB=4,A4i=2,点E,F,G分别是QQ”BD,A4i的中

点，求证：OiG〃平面E尸C

证明：方法一：如图，以。为原点，两，Dt,而1的方向分别

为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.

那么A(4,0,0),5(4,4,0),C(0,4,0),(0,0,2),G(4,0,l),E(0,0,l)，

产(220),

.♦•瓶二(4,0,-1),柞=(一2,-2,1),F&=(-2,2,0).

设平面E尸。的法向量为〃=(心y,z),

/2.在=0,-2x-2y+z=0,

那么

nF&=0,—2x+2y=0.

令x=l,解得y=Lz=4,

.*.71=(1,1,4).

又修而=4><1+0X1+(—l)X4=0,

/IJ_Z)|G.

又AG。平面EFC,

・・・OiG〃平面EFC.

方法二：取基底{次，Dt,Dbi}={a,b,c},

由题意得EC=£Z)+DC=一呼+力，

E^=Eb+^F=-；c+；a+gb,

GT)\=GAi+A7Z)I=—a+/c,

设而i=A反:+o访.

即存在2=1,v=-2,使6i=比-2前,

即GDi,反，肆共面.

又GDE平面EFC,

所以QiG〃平面E/C

研习3利用空间向量证明垂直关系

［典例3］如下图，在正方体A3CQ—A向GQ］中，E,产分别是

BB、,的中点.求证：£尸，平面84。.

［证明］方法一：设防=a,Ab=c,AA\=b9连接3D,

那么彷=£51+^F=g廊1+3力I)

=5(XX+即尸;(筋］+2一协)

=2(-a+b+c).

9

：A^i=A^+AA\=a+bf

Ep-A^i=；(—a+6+c>(〃+b)

=2(&2-a2+co.+cb)

=1(|&|2-|a|2+0+0)=0,

工前工ASi,即E/UA8.

同理，EF±BiC.

义AB】CBiC=Bi,・・・所，平面8N。.

方法二：设正方体的棱长为2凡建立如下图的空间直角坐标系,

那么A(2a,0,0),C(0,2a,0),Bi(2a,2a,2a),E(2af2a,a),F(a,a,2a).

z

；・EF=(a,a,2a)—(2a,2a9a)=(-a,—a,a),

A^\=(2a,2a,2a)—(26?,0,0)=(0,2a,2〃),

At?=(0,2a,0)—(2a,0,0)=(-2a,2a,0).

:济协i=(—a,—a,。)(0,2。,2。)=(—a)X0+(—Q)X2Q+QX2Q

=0,访•At=(-a,—a,〃)•(一2a,2«,0)=2a2—2a2+0=0,

AEF±ABi,EF-LAC.

又AB]AAC=A,・,・M_L平面BMC.

方法三：连接B。，BD\.

V£,尸分别是8F,。出的中点,

EF//BD\.

VBD±C4,9O_L平面ABC。，

・・・AC_LBOi(三垂线定理)，

同理

・・・BD]_L平面BiAC,

・・・斯，平面BiAC.

[巧归纳]

证明垂直的方法

(1)定理法：利用线面垂直的判定定理及三垂线定理和逆定理.

(2)向量法：①线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量

共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示.

②面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定

定理用向量表示.

［练习3］如图，在正三棱柱ABC—A闰G中，E,

厂分别是5囱，CG上的点，且BE=a,CF=2a,求证：平面4石尸，

平面ACF.

证明：以A为坐标原点，建立如下图的空间直角坐标系Axyz,

不妨设。=2,

那么A(0,0,0),E他,1,2),"0,2,4),

・,・屈=(小，1,2),酢=(0,2,4).

・.”轴_L平面ACR・••可取平面AC厂的一个法向量为机=(1,0,0).

设平面AEF的法向量为〃=(x,y,z),

〃.他=W%+y+2z=0,

那么

t

n-AF=2y+4z=0f

取z=l,得〃=(0,-2,1).

•.•机7i=0,:.m_Ln,

，平面AEb_L平面AC尸.

研习4三垂线定理及其逆定理的应用

［典例4］在正方体A5CQ—45］CIDI中，P是。。［的中点，0

为底面ABCD的中心,求证：BxO1PA.

［证明］如下图，由题可得网是平面5BQQ的一条斜线段，BQ

是平面BBiDiD内的一条线段.

由条件可知，40，平面3囱。］。，连接P0,那么P0为布在平

面38Q］。内的射影.连接8P,设正方体4BCO-A8Gz)1的棱长

为1,那么5101=^2,DiP=z,DP*。。=乎，50=孚，BBT

JLL，

=1,

ABiP=|,P0=喙,囱0=幸，

乙乙乙

1

：.Pd+B\(fi=B^9

：.P0^B\0.

依据三垂线定理可得BxO-LAP.

［巧归纳］

利用三垂线定理证明线线垂直的关键点与留意点

(1)关键点：找到平面的一条垂线，有了垂线，才能作出斜线的

射影.

(2)留意点：要留意定理中的“平面内的一条直线〃这一条件，

无视这一条件，就会产生错误的结果.

［练习4］在三棱锥P—43c中，PALBC,PBVAC,求证：PC

±AB.

证明：如下图，过点P作尸”，平面A8C,垂足为“，连接4”

并延长交BC于点E,连接并延长交4c于点尸.

p

・・・P"J_平面ABC,M±BC,

・,•斜线段必在平面ABC内的射影为线段A”，由三垂线定理的

逆定理知BC.LAH.

同理可证BFVAC.

那么“为△ABC的垂心，连接C”并延长交4B于点G,于是

CGLAB,而线段CH是斜线段PC在平面ABC内的射影，故PC±

AB.

重效果学业

1.（2022宜昌其次中学月考）假设直线I的一个方向向量为a=

（2,5,7）,平面。的一个法向量为〃=（1/，-1）,那么（）

A.I//aB./J,a

C.lUaD.A,C均有可能

答案：D

2.（多项选择题）（2022江苏南京第十四中学月考）A（—4,6,-1）,

5（4,3,2）,那么以下各向量中是平面AOB（O是坐标原点）的一个法向量

的是（）

A.卜果I，9）B.序1,一9）

C.(-15,4,36)D.(15,4,—36)

答案：BD

解析：设平面408（。是坐标原点）的法向量是〃=a,y,z）,

w-OX=0,—4x+6y—z=0,

那么即，

〃・仍=0,4x+3y+2z=0,

ris

工一甲

令y=l,解得＜y=],

＜z=-9,

x=15,

令y=4,解得＜y=4,

、z=-36,

故w=(竽，1,—9)或“=(15,4,—36).

应选BD.

3.(2022山东济南一中模拟)在四棱锥P—ABC。中，底面A3CD

是平行四边形，A^=(2,—1,—4),AT)=(4,2,0),A?=(—1,2,—

1),那么以与底面ABC。的关系是()

A.相交B.垂直

C.不垂直D.成60。角

答案：B解析：由于筋.A？MZXI—D+JDXZ+LQXI-

DMO,所以屈_L协.

由于Wb-aA=4X(—l)+2X2+0X(—l)=0,所以才力_1不»,又

ABHAD=Af所以APJ_4BCD,应选B.

4.如图，在正方休4BCO-4BGOi中，O是底面ABCO的中

心，P是。。的中点.设。是CG上的点，当点。在什么位置时，

平面。山。〃平面雨0?

解：以。为原点，0A,反，仍]的方向分别为x轴、y轴、z

轴正方向，建立如下图的空间直角坐标系Dxyzf设正方体的棱长为2,

那么0(1,1,0),A(2,0,0),P(0,0,D，5(2,2,0).

设Q(0,2,c),・••次=(1,-1,0),

舁二(—1,-1,1),池=(—2,0,c).设平面以0的法向量为〃

"血=0,

=(x,y,z),那么<

“9=0,

x-y=0,

可得«,八令X=1,那么y=l,z=2,

<—x—y+z=0,

・•・平面PAO的一个法向量为〃=(1,1,2).

假设平面。山。〃平面PAO,

那么〃也是平面DiBQ的一个法向量.

.,・〃•殴=0,即-2+2c=0,：.c=\,

故当。为CG的中点时，平面。山。〃平面玄。.

5.如图，四棱锥P—A5c。中，底面43CD,ABLAD,AC

A.CD,ZABC=60°fPA=AB=BC=2,E是PC的中点，求证：

(1)CD_LAE；

(2)PO_L平面ABE.

证明：(1)以4为坐标原点，AB,AD,4P所在的直线分别为M

y,z轴，建立如下图的空间直角坐标系,

所以Cl)=(—1，,0),命=&29

所以亦•屈=-1xJ+Wx坐+0X1=0,

乙D乙

所以C7)_LA£

(2)由(1),得用)=(0,芈，一2),

肪=(2,0,0),助=也,坐1)

设向量〃=(x,y,z)是平面A8E的法向量，那么

(2x=0,

由V4

lnAE=O,+z=0,

取y=2,那么〃=(0,2,一小)，

所以初=岁”所以尸。〃〃，所以平面A8E.

课后自读方案

［误区警示］混淆空间平面位置关系与法向量位置关系致错

［例如］在四周体ARC。中，A3,平面5CZ),BC=CD,NBCD

=90°,ZADB=30°,E,尸分别是AC,4。的中点.推断平面BE尸

与平面ABC是否垂直.

［错解I过A作RX//CD9

VCD±BC,

：.Bx±BC,建立如下图的空间直角坐标系，那么平面48c的一

个法向量为般=(1,0,0).设5c=4,那么CQ=〃，BD=^2a.

•・・N4D8=30。,：.AB=yf2af

C(0,。,0),D(a9a,0),A(0,0,

.,.庇=((),坐a阱=年，2,2ay

VMB£=0,加丽WO,

：.n不是平面BEF的法向量,故平面BE尸与平面43c不垂直.

［错因分析］错解中主要有三处错误，一是混淆了面面平行与面

面垂直的向量表示，当平面ABC与平面BEb垂直时，应有两平面的

法向量垂直，从而应是〃与能，呼