七年级角-含课后作业与答案

角

【学习目标】

1.掌握角的概念及角的几种表示方法，并能进行角度的互换；

2.借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法；

3.掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算；

4.掌握互为余角和互为补角的概念及性质，会用余角、补角及性质进行有关计算；

5.了解方位角的概念，并会用方位角解决简单的实际问题.

【要点梳理】

【要点梳理】

【高清课堂：角397364角的概念：】

知识点一、角的概念

1.角的定义：

(1)定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两

条射线是角的两条边.如图1所示，

(2)定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角

的内部.如图2所示，射线0A绕它的端点0旋转到0B的位置时，形成的图形叫做角，起始

位置0A是角的始边，终止位置0B是角的终边.

要点诠释：

(1)两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关.

(2)平角与周角：如图1所示射线0A绕点0旋转，当终止位置0B和起始位置0A成一条直

线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，0B和0A重合时，所形成的角叫做周角.

BoAA{B}

平角周角

图1图2

2.角的表示法：角的几何符号用“N”表示，角的表示法通常有以下四种:

用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或

小写希腊字母.

3.角的画法

(1)用三角板可以画出30°、45°、60。、90°等特殊角；

(2)用量角器可以画出任意给定度数的角；

(3)利用尺规作图可以画一个角等于已知角.

知识点二、角的比较与运算

1.角度制及其换算

角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°

的」-为1分，记作”，1'的」-为1秒，记作“1"这种以度、分、秒为单位的角

6060

的度量制，叫做角度制.

1周角=360°,1平角=180°,1°=60',P=60".

要点诠释：

在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除

的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得

数大于等于60时要向高一位进位.

2,角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种.

方法1：度量比较法.先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小.

方法2：叠合比较法.把其中的一个角移到另一个角上作比较.

如比较NA0B和NA'O'B'的大小：如下图，由图(1)可得NAOBVNA'O'B'；由

图⑵可得NA0B=NA'O'B'；由图⑶可得NA0B>NA'O'B'.

(1)⑵(3)

3.角的和、差关系

如图所示，NAOB是N1与N2的和，记作：ZAOB=Z1+Z2；NI是NAOB与N2的差,

要点诠释：

（1）用量角器量角和画角的一般步骤：①对中（角的顶点与量角器的中心对齐）；②重合（一边

与刻度尺上的零度线重合）；③读数（读出另一边所在线的度数）.

（2）利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画

出15°,75°,105°,120°,135°,150°,165°的角.

4.角平分线

从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线.如图

所示，0C是NA0B的角平分线，ZA0B=2ZA0C=2ZB0C,

ZA0C=ZB0C=-ZAOB.

要点诠释：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样.

知识点三、余角和补角

1.定义：一般地，如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，即其中一个

角是另一个角的余角.

类似地，如果两个角的和等于180。（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是

另一个角的补角.

2.性质：（1）同角（等角）的余角相等.（2）同角（等角）的补角相等.

要点诠释：

（1）互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们

的位置无关.

（2）一般地，锐角a的余角可以表示为（90°-a）,一个角a的补角可以表示为（180°-

a）.显然一个锐角的补角比它的余角大90。.

知识点四、方位角

在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角.例如，图中射线0A的方向是北偏

东60。；射线0B的方向是南偏匹30°.这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方

向的角，就叫做方位角.

要点诠释：

（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示；

（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60。”一般不说成“东偏北30。”；

（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，

确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向；

（4）图中的点0是观测点，所有方向线（射线）都必须以0为端点.

知识点五、钟表上有关夹角问题

钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6。，

时针每小时转30°,时针1分钟转0.5°,利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计

算问题.

【典型例题】

类型一、角的比较与运算

C1.利用一副三角板上的角，能画出多少个小于180°的角，试一一画出来.

【思路点拨】首先发现一副三角板上有30。，45。，60。,90。这样4个不相等的角，利

用这些角进行一次和差，可得小于180°的所有角.

【答案与解析】

解：除了可以画30°,45°,60°,90°外，还可画15°,75°,105°,120°,135°,

150°,165°的七个度数的角，画法如图所示.

⑸⑹

【总结升华】利用一副三角板共可以画出11个度数的角，分别是：30。，45°,60°,90°,

15°,75°,105°,120°,135°,150°,165°.

^^2.计算下列各题:

(1)152°49'12"+20.18°；(2)82°-36°42'15”；

(3)35°36'47〃X9；(4)41°37'4-3.

【答案与解析】

解：(1)解法一：V20.18°=20°10'48"

152°49'1Z，

.+20°10'笆

**172°59'60〃

即：152°49,12〃+20.18°=173°.

解法二：V152。49T2"=152.82°,

:.152.820+20.18°=173°.

即：152°49'12”+20.18°=173°.

(2)将82°化为81。59,60〃，则

81°59,60〃

,一36°42勺5〃

••45°17'45〃

・•・82°-36°42'15〃=45°17'45".

35°36,4//

O,X9

423"=7'3〃，324'+7'=5°31',

:.35°36,47〃X9=320°31'3〃.

⑷,13°52z2(yz

3)41037,

J_

11

/__二•(将余数2°化为120')

157'

150

7

_____叱(将余数V化为6十)

6(f

____6_

0-

:.41°37'4-3=13°52'20〃.

【总结升华】在角度的和、差运算中应先统一单位，都化成度或分、秒表示，然后进行计算;

在进行乘法运算时，往往先把度、分、秒分别乘以倍数，将结果满60〃进「，满60'进1。；

对于除法运算则是从度开始除，招余数化为分和以前的分数相加再除，将余数再化成秒和以

前的秒数相加再除，若除不尽往往四舍五入.

举一反三：

【变式】计算：

(1)23°45'36”+66°14'24"；(2)180°-98°24'30〃；

(3)15°50,42〃X3；(4)88°14'48”4-4.

【答案】(1)23°45'36〃+66°14'24"=90°；

(2)180°-98°24'30"=81°35'30〃；

(3)15°50'42"X3=47°32'6"；

(4)88°14'48"4-4=2203'42".

C3.(2016春•龙口市期中)如图，NA0B=90°,ZA0C=30°,且0M平分NBOC,ON平

分NAOC,

(1)求NM0N的度数；

(2)若NA0B=a其他条件不变，求NM0N的度数；

（3）若NAOC=B（B为锐角）其他条件不变，求NMON的度数;

（4）从上面结果中看出有什么规律？

【思路点拨】（1）要求NMON,即求/COM-NCON,再根据角平分线的概念分别进行计算即

可求得；（2）和（3）均根据（1）的计算方法进行推导即可.（4）根据（2）和（3）中的结

论进行总结.

【答案与解析】

解：⑴VZA0B=90°,ZA0C=30",

.\ZB0C=120°

•・,0M平分NBOC,ON平分NAK

・・・NC0M=60°，ZC0N=15°

zTMON=ZCOM-ZC0N=45°.

（2）VZA0B=a,ZA0C=30°,

JZB0C=a+30°

•・,0M平分NBOC,ON平分NADC

AZC0M=A+15O,ZC0N=15°

2

・•・ZM0N=ZC0M-ZC0N=A.

2

（3）VZA0B=90°,NAOC=B,

AZB0C=90°+B

•・,0M平分NBOC,ON平分NADC

/.ZC0M=45°+巨，ZC0N=A.

22

:.ZM0N=ZC0M-ZC0N=45°.

<4）从上面的结果中，发现；

NMON的大小只和NA0B得大小有关，与NA0C的大小无关.

【总结升华】能够结合图形表示隹之间的和差关系，根据角平分线的概念运用几何式子表示

角之间的倍分关系.

举一反三：

【变式】如图，/AOB的平分线OM,ON为NM0A内的一条射线，0G为NAOB外的一条射线。

某同学经过认真分析，得到一个关系式是NMON=L（ZB0N-ZA0N）,你认为这个同学得到

2

的关系式正确吗？若正确，请把得到这个结论的过程写出来。

【答案】

解：正确，理由如下：

VZAOB的平分线0M,

:.ZAOM=ZMOB

又•・•ZMON=ZAOM-ZAON=ZMOB-ZAON=(ZBON-ZMON)一ZAON

即有NMON=NBON-NMON-ZAON

J2ZM0N=ZB0N-ZA0N

/.ZMON=-(ZBON-ZAON)

2

类型二、余角与补角

Ch.已知点0是直线AB上的一点，ZC0E=90°,OF是/AOE的平分线.

(1)当点C、E、F在直线AB的同侧(如图①所示)时.试说明NB0E=2NC0F；

(2)当点C与点E、F在直线AB的两旁(如图②所示)时(1)中的结论是否仍然成立?请给

出你的结论并说明理由；

(3)将如图②中的射线OF绕点0顺时针旋转m°(0<m<180)，得到射线0D,设NAOC

【思路点拨】由于本题中涉及角的数量关系，故可以选择代数的方法来说明理由.

【答案与解析】

解：(1)如图①，设NC0F=a,则NE0F=90°-a

因为OF是NAOE的平分线

所以NA0F=90°-a

所以NA0C=(90°-a)-a=90°-2a

ZB0E=180°-ZCOE-ZAOC

=180°-90°-(90°-2a)=2a

即NB0E=2NC0F

(2)成立.如图2

90°

设NAOC=B,则/40产二

2

所以/。0”=/40。+/4。产=450+2=2(90°+/)

ZB0E=180°-ZA0E=180°-(90°-6)=90°十B

所以NB0E=2NC0F

(3)因为ND0E=1800-ZA0E-ZB0D

2

=180o-(90-«)°-(60-1n)°

=(30+|n)°.

故Z.DOE的度数是(30+*n)°.

3

【总结升华】根据角平分线，互余及互补的定义，进行有关角的计算.有一定的综合性和代

表性，主要培养分析问题和解决问题的能力.

【高清课堂：角397364角的有关计算例4】

举一反三：

【变式1］如图，已知0是直线AC上一点，OD平分ZAOB,OE在ZB0C内,且NB0E=-NE0C,

2

ZD0E=70°,求NE0C的度数.

A0C

【答案】

解：设NEOC=x°,则NBOE=L/EOC=1X°,根据题意可得:

22

----£----+-x=70.

2-2

解得：x=80.

,ZE0C=2ZB0E=80°.

【变式2】(2015•百色)一个角的余角是这个角的补角的工，则这个角的度数是()

3

A.30°B.45°C.60°C.70°

【答案】B.

解：设这个角的度数为x,则它的余角为90°-x,补角为180。-x,

依题意得：90°-x=l(180°-x),

3

解得x=45°.

类型三、方位角

▼5.（2015•浦东新区三模）已知小岛A位于基地0的东南方向，货船B位于基地。的

北偏东50c方向，那么/AOB的度数等于.

【答案】85°.

【解析】

解：如图：VZ2=50°,

AZ3=40°,

VZ1=45°,

AZA0B=Zl+Z3=45°+40°=85°,

故答案为:85°.

【总结升华】本题主要考查了方位角的概念，根据方位角的概念，画图正确表示出A,B的

方位，注意东南方向是45度是解答此题的关键.

类型四、钟表上有关夹角问题

e6.在7时到7时10分之间的什么时刻，时针与分针成一条直线？

【答案与解析】

解：设7时x分钟，时针与分针成一条直线，由题意得：

6x--x=30,x=5—.

211

答：7时5巳分钟时针与分针成一条直线.

11

【总结升华】时钟上的分针与时针绕着中心顺时针均匀转动，在不同时刻，两针之间形成一

定的角度.如果把单位时间分针和时针转过的度数当作它们的速度则：

①分针的速度为理=6。/分；②时针的速度为4=0.5。/分.

6060分

故分针速度是时针速度的12倍.

举一反三：

【变式】某人下午6点多外出购物，表上的时针和分针的夹角恰为110°,下午近7点回家

时，发现表上的时针和分针的夹角又是110°,试算出此人外出用了多长时间？

【答案】

解法一：设此人外出用了x分钟，则分针转了6x度，时针转了0.5x度.根据题意得：

6x-0.5x=110X2,解之得x=40.

答：此人外出购物用了40分钟的时间.

解法二：设时针从某人外出到回家走了x°,则分针走了（110+1104X）°,则：

110+x+110=12x,

解得x=20.

又•・•时针每分钟转0.5°,

，此人外出用的时间为：204-0.5=40（分钟）.

答：此人外出购物用了40分钟的时间.

【巩固练习】

一、选择题

1.关于平角、周角的说法正确的是（）.

A.平角是一条直线.B.周角是一条射线

C.反向延长射线OA,就成一个平角.D.两个锐角的和不一定小于平角

2.在时刻2：15时，时钟上的时针与分针间的夹角是（）

A.22.5°B.85°C.75°D.60°

3.如图所示，将一幅三角板叠在一起，使直角的顶点重合于点0,则NA0B+ND0C的值（）

A.小于180°B.等于130°C.大于180°D.不能确定

4.（2016•朝阳区校级模拟）下面等式成立的是（）

A.83.5°=83°50zB.37°12’36"=37.48°

C.24°24'24"=24.44°D.41.25°=41°15'

5.（2015•东莞模拟）一个角的余角比这个角的补角的一半小40°,则这个角为（）度.

A.80°B.70°C,85°D.75°

6.如图，OB、0C是NA0D的任意两条射线，0M平分NAOB,0N平分NC0D,若NM0N;a,

NBOC=B,则表示NA0D的式子是（）

A.2a—BB.a—BC.a+BD.以上都不正确

7.书店、学校、食堂在同一个平面上，分别用点A、B、C来表示，书店在学校的北偏西30°,

食堂在学校的南偏东15°,则平面图上的NABC应该是（）.

A.65°B.35°C.165°D.135°

8.如图将长方形纸片ABCD的角C沿着GF折叠（点F在BC上，不与B、C重合），使得点C

落在长方形内部点E处，若FH平分/BFE,则关于NGFH的度数a说法正确的是（）

A.900<a<180°

B.0°<a<90°

C.u=90c

D.a随折痕GF位置的变化而变化

二、填空题

9.把一个平角16等分，则每份（用度、分、秒表示）为.

10.如图所示，NA0C与NB0D都是直角，且NAOB:NA0D=2:11,则NA0B=

11.（2015春•高密市期末）从A沿北偏东60°的方向行驶到B,再从B沿南偏西20°的方

向行驶到C,则/ABC=度.

12.如图，已知直线AB和CD相交于点0,NCOE是直角，OF平分NAOE.

（1）写出NA0C与NB0I）的大小关系：,判断的依据是

于__________

14.如图，在NAOE的内部从。引出3条射线，那么图中共有________个角；如果引出

5条射线，有个角；如果引出〃条射线，有个角.

三、解答题

15.（2016春•曹县校级月考）计算:

（1）18°13'X5.

(2)27°26'+53°48'.

(3)90°-79°18'6".

16.如图所示，已知NA0C=2NB0C,NA0C的余角比NBOC小30°.

(1)求NA0B的度数.

⑵过点0作射线OD,使得NA0C=4NA0D,

请你求出NC0D的度数

17.如图，已知NA0B是直角,ZB0C=60°,0E平分NAOC,0F平分NB0C.

(1)求NE0F的度数;

(2)若NA0C=x。，ZE0F=y°.则请用x的代数式来表示y；

(3)如果NA0C+NE0F=156°,则NE0F是多少度？

18.(2014秋•罗平县校级期末)钟面上的角的问题.

(1)3点45分，时针与分针的夹角是多少？

(2)在9点与10点之间，什么时候时针与分针成100°的角？

【答案与解析】

一、选择题

1.【答案】C

【解析】角与直线、射线、线段是不同的几何图形，不能混淆。

2.【答案】A

【解析】6°x15-(i)°x15-30°x2=22.5°

2

3.【答案】B

【解析】ZAOB+ZD0C=(ZA0C+ZB0C)+(90°-ZB0C)=90°+90°=180°

4.【答案】D

【解析】解：A、83.5°=83。50',错误；

B、37°12'=37.48°,错误；

C、24°24'24”=24.44°,错误；

D、41.25°=41°15,，正确.

故选D.

5.【答案】A

【解析】设这个角为x,则它的余角为（90°-x）,补角为（180°-x）,

由题意得，-1（180°-x）-（900-x）=40°,解得x=B0°.

2

6.【答案】A

7.【答案】C

【解析】如图所示.

8.【答案】C

【解析】ZCOG=ZEFG,ZEFH=ZHFB,2（ZEFG+ZEFH）=180°，所以NEFG+NEFH=90°,

即ZGFH=90°

二、填空题

9.【答案】11。15，

【解析】度、分、秒的换算为“六十进制”，上一级的余数乘以60,变换到下一级再运算.

10.【答案】200

【解析】设NA0B=2x,则NA0D=llx,ZDOC=2x,所以NBOC=7x,所以2x+7x=90°,

x=10°,ZA0B=2x=20°.

11.【答案】40.

解：如图，A沿北偏东60°的方向行驶到B,则NBAC=900-60°=30°,

B沿南偏西20°的方向行驶到C,则NBC0-90。-200-70。，

XVZABC=ZBC0-ZBAC,

AZABC=700-30°=40°.

12.【答案】相等，同角（或等角）的补角相等；20°

【解析】（2）;NC0E是直角，ZC0F=35°

:.ZE0F=55°

又OF平分/AOE，.,.ZA0E=110o

:.ZA0C=20°

・・.NB0D=NA0C=20°.

13.【答案】600

【解析】连接BC,可得：AABC为等边三角形

14.【答案】10,21,S+D5+2)

2

【解析】在NAOE的内部从。引出3条射线，则图中共有角的个数：4+3+2+1=10：

如果引出5条射线，则图中共有角的个数：6+5+4+3+2+1=21；

如果引出〃条射线，则图中共有角的个数：(〃+1)+,+("1)+...+[=5+1)5+2)。

2

三、解答题

15.【解析】

解：(1)18°13'X5

=90°65'

=91°5-

(2)27°26'+53°48'

=80°74'

=81°14'；

(3)90°-79°18'6"

=89°59'60"-79°18'6〃

=10°41'54〃.

16.【解析】

解：(1)设NB0C=x°则/A0C=2x°.

依题意列方程：90-2x=x-30,

解得：3x=120

x=40.

:.ZA0B=ZA0C-ZB0C=2x°-x°=40°.

(2)由(1)有:ZA0C=2x0=83°,

①当射线0