2025届高考数学一轮复习第6章平面向量第1讲平面向量的概念及线性运算平面向量基本定理及坐标运算作业试题1含解析新人教版

PAGE第六章平面对量第一讲平面对量的概念及线性运算、平面对量基本定理及坐标运算练好题﹒考点自测1.给出下列命题:①向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反;②两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件;③若非零向量a与非零向量b的方向相同或相反,则a+b与a,b两者之一的方向相同;④两个有共同起点的相等向量,其终点必相同;⑤若向量QUOTE与向量QUOTE是共线向量,则点A,B,C,D必在同一条直线上;⑥λa=0(λ为实数),则λ必为0.其中叙述正确的命题的序号是 ()A.①② B.③④ C.②④ D.⑤⑥2.[新课标全国Ⅰ,5分]设D为△ABC所在平面内一点,QUOTE=3QUOTE,则 ()A.QUOTE=-QUOTE+QUOTE B.QUOTE=QUOTE-QUOTEC.QUOTE=QUOTE+QUOTE D.QUOTE=QUOTE-QUOTE3.[2024全国卷Ⅱ,5分]已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|= ()A.QUOTE B.2 C.5QUOTE D.504.[浙江高考,5分]记max{x,y}=QUOTEmin{x,y}=QUOTE设a,b为平面对量,则 ()A.min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|}B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|}C.max{|a+b|2,|a-b|2}≤|a|2+|b|2D.max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|25.[2024全国卷Ⅲ,5分]已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ=.

6.[新课标全国Ⅱ,5分]设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=.

7.[2024江苏,5分]如图6-1-1,在△ABC中,AB=4,AC=3,∠BAC=90°,D在边BC上,延长AD到P,使得AP=9,若QUOTE=mQUOTE+(QUOTE-m)QUOTE(m为常数),则CD的长度是.

图6-1-1拓展变式1.[2024湖南四校联考][多选题]在△ABC中,D,E,F分别是边BC,CA,AB的中点,AD,BE,CF交于点G,则 ()A.QUOTE=QUOTE-QUOTE B.QUOTE=-QUOTE+QUOTEC.QUOTE+QUOTE=QUOTE D.QUOTE+QUOTE+QUOTE=02.如图6-1-4,在直角梯形ABCD中,QUOTE=QUOTE,QUOTE=2QUOTE,且QUOTE=rQUOTE+sQUOTE,则2r+3s= ()A.1 B.2C.3 D.4图6-1-43.给定两个长度为1的平面对量QUOTE和QUOTE,它们的夹角为QUOTE.如图6-1-6所示,点C在以O为圆心的圆弧AB上运动.若QUOTE=xQUOTE+yQUOTE,其中x,y∈R,则x+y的最大值为.

图6-1-6答案第一讲平面对量的概念及线性运算、平面对量基本定理及坐标运算1.C对于①,当a=0时,不正确;对于②,依据平行向量和相等向量的定义可知正确;对于③,当a+b=0时,a+b的方向是随意的,它可以与a,b的方向都不相同,故③不正确;对于④,由相等向量的定义可知,④正确;对于⑤,若向量QUOTE与向量QUOTE是共线向量,由共线向量的定义可知,点A,B,C,D不肯定在同一条直线上,故⑤不正确;对于⑥,当a=0时,不论λ为何值,λa=0,故⑥不正确.故选C.2.A由题意得QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE-QUOTE=-QUOTE+QUOTE,故选A.3.A依题意得a-b=(-1,1),|a-b|=QUOTE=QUOTE,因此选A.4.D对于min{|a+b|,|a-b|}与min{|a|,|b|}的比较,相当于把以|a|与|b|为邻边的平行四边形的对角线长度的较小者与两邻边长度的较小者比较,它们的大小关系不定,因此A,B均错.而|a+b|,|a-b|中的较大者与|a|,|b|可构成非锐角三角形的三边,因此有max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2,故选D.5.QUOTE由题意得2a+b=(4,2),因为c=(1,λ),且c∥(2a+b),所以1×2=4λ,即λ=QUOTE.6.QUOTE由于λa+b与a+2b平行,所以存在唯一实数μ,使得λa+b=μ(a+2b),即(λ-μ)a+(1-2μ)b=0.因为向量a,b不平行,所以λ-μ=0,1-2μ=0,解得λ=μ=QUOTE.7.QUOTE或0解法一以点A为坐标原点,QUOTE的方向为x轴的正方向,QUOTE的方向为y轴的正方向建立平面直角坐标系.设QUOTE=λQUOTE,λ∈[0,1],则D(4λ,3-3λ),QUOTE=QUOTE+λQUOTE=λQUOTE+(1-λ)QUOTE,又点P在AD的延长线上,则可设QUOTE=μQUOTE,μ>1.又QUOTE=m(QUOTE-QUOTE)+QUOTE=mQUOTE+QUOTE,则QUOTE=m(QUOTE-QUOTE)+QUOTE(QUOTE-QUOTE),QUOTE=mQUOTE+(QUOTE-m)QUOTE,则2mQUOTE+(3-2m)QUOTE=QUOTE=μQUOTE=λμQUOTE+μ(1-λ)QUOTE,所以2m=λμ,3-2m=μ-λμ,所以μ=3.又AP=9,则AD=3,所以(4λ)2+(3-3λ)2=9,得λ=QUOTE或λ=0,则|QUOTE|=QUOTE|QUOTE|=QUOTE×QUOTE=QUOTE或|QUOTE|=0×|QUOTE|=0.解法二由题意可设QUOTE=λQUOTE=λ[μQUOTE+(1-μ)QUOTE]=λμQUOTE+(λ-λμ)QUOTE,其中λ>1,0≤μ≤1,又QUOTE=mQUOTE+(QUOTE-m)QUOTE,所以QUOTE得λ=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,又PA=9,则|QUOTE|=6,|QUOTE|=3,所以AD=AC.当D与C重合时,CD=0,当D不与C重合时,有∠ACD=∠CDA,所以∠CAD=180°-2∠ACD,在△ACD中,由正弦定理可得QUOTE=QUOTE,则CD=QUOTE=QUOTE·AD=2cos∠ACD·AD=2×QUOTE×3=QUOTE.综上,CD=QUOTE或0.1.CD如图D6-1-1,因为点D,E,F分别是边BC,CA,AB的中点,所以QUOTE=QUOTE=-QUOTE,故A不正确;QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE(QUOTE+QUOTE)=QUOTE-QUOTE-QUOTE=-QUOTE+QUOTE,故B不正确;QUOTE=QUOTE-QUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE,故C正确;由题意知,点G为△ABC的重心,所以QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE×QUOTE(QUOTE+QUOTE)+QUOTE×QUOTE(QUOTE+QUOTE)+QUOTE×QUOTE(QUOTE+QUOTE)=0,即QUOTE+QUOTE+QUOTE=0,故D正确.故选CD.图D6-1-12.C依据图形,由题意可得QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE(QUOTE+QUOTE+QUOTE)=QUOTE+QUOTE(QUOTE+QUOTE)=QUOTE+QUOTE(QUOTE+QUOTE)=QUOTE+QUOTE.因为QUOTE=rQUOTE+sQUOTE,所以r=QUOTE,s=QUOTE,所以2r+3s=1+2=3.3.2以O为坐标原点,QUOTE的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系,如图D6-1-2所示,则A(1,0),B(-QUOTE,QUOT