2025届高考数学一轮总复习第9章解析几何第7节抛物线跟踪检测文含解析

PAGE第九章解析几何第七节抛物线A级·基础过关|固根基|1.抛物线y＝ax2(a<0)的准线方程是()A．y＝－eq\f(1,2a) B．y＝－eq\f(1,4a)C．y＝eq\f(1,2a) D．y＝eq\f(1,4a)解析：选B抛物线y＝ax2(a<0)可化为x2＝eq\f(1,a)y，准线方程为y＝－eq\f(1,4a).故选B.2．(2025届四川成都检测)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点A(0，－eq\r(3))．若线段FA与抛物线C相交于点M，则|MF|＝()A.eq\f(4,3) B.eq\f(\r(5),3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(\r(3),3)解析：选A由题意，F(1，0)，|AF|＝2，设|MF|＝d，则M到准线的距离为d.M的横坐标为d－1，由三角形相像，可得eq\f(d－1,1)＝eq\f(2－d,2)，所以d＝eq\f(4,3)，故选A.3．直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线方程是()A．y2＝12x B．y2＝8xC．y2＝6x D．y2＝4x解析：选B设A(x1，y1)，B(x2，y2)，依据抛物线定义，x1＋x2＋p＝8，因为AB的中点到y轴的距离是2，所以eq\f(x1＋x2,2)＝2，所以p＝4，所以抛物线方程为y2＝8x.故选B.4．(2025届太原模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，且l过点(－2，3)，M在抛物线C上，若点N(1，2)，则|MN|＋|MF|的最小值为()A．2 B．3C．4 D．5解析：选B依题意，知l：x＝－2，则抛物线C：y2＝8x，过点M作MM′⊥l，垂足为M′，过点N作NN′⊥l，垂足为N′，则|MN|＋|MF|＝|MN|＋|MM′|≥|NN′|＝3，故选B.5．(2025届陕西省百校联盟高三模拟)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若eq\o(FP,\s\up6(→))＝4eq\o(FQ,\s\up6(→))，则|QF|＝()A．1 B.eq\f(3,2)C．2 D.eq\f(5,2)解析：选B依题意得F(1，0)．设l与x轴的交点为M，则|FM|＝2.如图，过点Q作l的垂线，垂足为Q1，则eq\f(|QQ1|,|FM|)＝eq\f(|PQ|,|PF|)＝eq\f(3,4)，所以|QQ1|＝eq\f(3,4)|FM|＝eq\f(3,2)，所以|QF|＝|QQ1|＝eq\f(3,2)，故选B.6．已知直线l与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，若线段AB的中点为(2，1)，则直线l的方程为________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(yeq\o\al(2,1)＝4x1，①,yeq\o\al(2,2)＝4x2，②))由①－②得yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2)＝4(x1－x2)，由题可知x1≠x2.∴eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(4,y1＋y2)＝eq\f(4,2)＝2，即kAB＝2，∴直线l的方程为y－1＝2(x－2)，即y＝2x－3.答案：y＝2x－37．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线eq\f(x2,3)－eq\f(y2,3)＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________．解析：在等边三角形ABF中，AB边上的高为p，eq\f(AB,2)＝eq\f(\r(3),3)p，所以Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(\r(3),3)p，－\f(p,2))).又因为点B在双曲线上，故eq\f(\f(p2,3),3)－eq\f(\f(p2,4),3)＝1，解得p＝6.答案：68．已知双曲线C1：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为________．解析：因为双曲线C1：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，所以2＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))，解得eq\f(b,a)＝eq\r(3)，所以双曲线的渐近线方程为eq\r(3)x±y＝0.因为抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，所以F到双曲线C1的渐近线的距离为eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(p,2))),\r(3＋1))＝2，所以p＝8，所以抛物线C2的方程为x2＝16y.答案：x2＝16y9．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．解：(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－eq\f(p,2)，由题意可得4＋eq\f(p,2)＝5，所以p＝2.所以抛物线方程为y2＝4x.(2)因为点A的坐标是(4，4)，由题意得B(0，4)，M(0，2)．又因为F(1，0)，所以kFA＝eq\f(4,3)，且FA的方程为y＝eq\f(4,3)(x－1)，①因为MN⊥FA，所以kMN＝－eq\f(3,4)，且MN的方程为y－2＝－eq\f(3,4)x，②联立①②，解得x＝eq\f(8,5)，y＝eq\f(4,5)，所以N的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)，\f(4,5))).10．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与抛物线C交于A，B两点，|AB|＝8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与抛物线C的准线相切的圆的方程．解：(1)由题意得F(1，0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x－1），,y2＝4x))得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2).所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝eq\f(4k2＋4,k2).由题设知eq\f(4k2＋4,k2)＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.因此l的方程为y＝x－1.(2)由(1)得，AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y0＝－x0＋5，,（x0＋1）2＝\f(（y0－x0＋1）2,2)＋16，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝3，,y0＝2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝11，,y0＝－6.))因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.B级·素养提升|练实力|11.已知抛物线x2＝4y上一动点P到x轴的距离为d1，到直线l：x＋y＋4＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值是()A.eq\f(5\r(2),2)＋2 B.eq\f(5\r(2),2)＋1C.eq\f(5\r(2),2)－2 D.eq\f(5\r(2),2)－1解析：选D抛物线x2＝4y的焦点为F(0，1)，由抛物线的定义可得d1＝|PF|－1，则d1＋d2＝|PF|＋d2－1，而|PF|＋d2的最小值等于焦点F到直线l的距离，即(|PF|＋d2)min＝eq\f(5,\r(2))＝eq\f(5\r(2),2)，所以d1＋d2的最小值是eq\f(5\r(2),2)－1.12．(一题多解)(2025届湖北武汉部分学校调研)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，且斜率为eq\r(3)的直线交抛物线C于点M(M在x轴上方)，l为抛物线C的准线，点N在l上且MN⊥l，若|NF|＝4，则M到直线NF的距离为()A.eq\r(5) B．2eq\r(3)C．3eq\r(3) D．2eq\r(2)解析：选B解法一：因为直线MF的斜率为eq\r(3)，MN⊥l，所以∠NMF＝60°，又|MF|＝|MN|，且|NF|＝4，所以△NMF是边长为4的等边三角形，所以M到直线NF的距离为2eq\r(3).故选B.解法二：由题意可得直线MF的方程为x＝eq\f(\r(3),3)y＋eq\f(p,2)，与抛物线方程y2＝2px联立消去x可得y2－eq\f(2\r(3),3)py－p2＝0，解得y＝－eq\f(\r(3),3)p或y＝eq\r(3)p，又点M在x轴上方，所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3p,2)，\r(3)p)).因为MN⊥l，所以Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，\r(3)p))，所以|NF|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)＋\f(p,2)))\s\up12(2)＋（0－\r(3)p）2)＝2p.由题意2p＝4，解得p＝2，所以N(－1，2eq\r(3))，F(1，0)，直线NF的方程为eq\r(3)x＋y－eq\r(3)＝0，且点M的坐标为(3，2eq\r(3))，所以M到直线NF的距离为eq\f(|3\r(3)＋2\r(3)－\r(3)|,\r(3＋1))＝2eq\r(3)，故选B.解法三：由题意可得直线MF的方程为x＝eq\f(\r(3),3)y＋eq\f(p,2)，与抛物线方程y2＝2px联立消去x可得y2－eq\f(2\r(3),3)py－p2＝0，解得y＝－eq\f(\r(3),3)p或y＝eq\r(3)p，又点M在x轴上方，所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3p,2)，\r(3)p)).因为MN⊥l，所以Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，\r(3)p))，所以|NF|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)＋\f(p,2)))\s\up12(2)＋（0－\r(3)p）2)＝2p.由题意2p＝4，解得p＝2，所以N(－1，2eq\r(3))，F(1，0)，M(3，2eq\r(3))，设M到直线NF的距离为d，在△MNF中，S△MNF＝eq\f(1,2)|NF|×d＝eq\f(1,2)|MN|×yM，所以d＝eq\f(1,4)×4×2eq\r(3)＝2eq\r(3)，故选B.13．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2eq\r(2)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB|＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→))，求λ的值．解：(1)因为抛物线y2＝2px的焦点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，所以直线AB的方程为y＝2eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，,y2＝2px，))消去y得4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝eq\f(5p,4).由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝9，即eq\f(5p,4)＋p＝9，所以p＝4.所以抛物线的方程为y2＝8x.(2)由p＝4知，方程4x2－5px＋p2＝0可化为x2－5x＋4＝0，解得x1＝1，x2＝4，故y1＝－2eq\r(2)，y2＝4eq\r(2).所以A(1，－2eq\r(2))，B(4，4eq\r(2))．则eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→))＝(1，－2eq\r(2))＋λ(4，4eq\r(2))＝(1＋4λ，－2eq\r(2)＋4eq\r(2)λ)．因为C为抛物线上一点，所以(－2eq\r(2)＋4eq\r(2)λ)2＝8(1＋4λ)，整理得λ2－2λ＝0，所以λ＝0