人教版九年级下册数学教学设计

初中数学（人教版）九年级下册教学设计

第二十六章反比例函数

26.1反比例函数

26.1.1反比例函数

裳匐圜橱

1.理解反比例函数的概念；（难点）

2.能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求解析式;

（重点）

3.能根据实际问题中的条件建立反比例函数模型.（重点）

一、情境导入

1.京广高铁全程为2298km,某次列车的平均速度v（单位：km/h）与此次列

车的全程运行时间”单位：h）有什么样的等量关系？

2.冷冻一个物体，使它的温度从20℃下降到零下100℃,每分钟平均变化

的温度T（单位：C）与冷冻时间/（单位：min）有什么样的等量关系？

问题：这些关系式有什么共同点？

二、合作探究

探究点一：反比例函数的定义

［类型—］反比例函数的识别

@D下列函数中：①尸噂；②3孙=1；③尸三也；④广・反比例函数有

NX人乙

)

A.1个B.2个C.3个D.4个

解析：①y=W是反比例函数，正确；②3孙=1可化为y=（,是反比例函

数，正确；③尸V亚是反比例函数，正确；④尸辞正比例函数，错误.故选

C.

方法总结：判断一个函数是否是反比例函数，首先要看两个变量是否具有反

比例关系，然后根据反比例函数的定义去判断，其形式为为常数，原0）,

（左为常数，原0）或xy=A（攵为常数，片0）.

变式训练：见本课时练习

［类型二］根据反比例函数的定义确定字母的值

已知函数y=（2"?2+m—1）X2"/+3"2-3是反比例函数，求的值.

解析：由反比例函数的定义可得2m2+3加一3=—1,2苏+机一1和，然后求

解即可.

［"2M+3"?­3=-1,

解：,.•y=（2/n2+m—1）X2"Z2+3"L3是反比例函数，，彳,,

12*+机一1和，

解得m=-2.

方法总结：反比例函数也可以写成>=依I厚0）的形式，注意x的次数为一1,

系数不等于0.

变式训练：见本课时练习

探究点二：用待定系数法确定反比例函数解析式

［类型一］确定反比例函数解析式

颤J已知变量y与x成反比例，且当x=2时，y=-6.求：

（1»与x之间的函数解析式；

（2）当y=2时，x的值.

解析：（1）由题意中变量y与x成反比例，设出函数的解析式，利用待定系数

法进行求解.（2）代入求得的函数解析式，解得x的值即可.

解：（I：•变量y与x成反比例，.••设y=3原0）,•••当x=2时，y=-6,...左

,I?

=2x（—6）=—12,Ay与x之间的函数解析式是y=一：；

12

（2）当y=2时，—=2,解得x=-6.

方法总结：用待定系数法求反比例函数解析式时要注意：①设出含有待定系

数的反比例函数解析式，形如y=/k为常数，后0)；②将已知条件(自变量与函

数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数;

④写出解析式.

变式训练：见本课时练习

［类型二］解决与正比例函数和反比例函数有关的问题

画EI已知y=yi+*,yi与(x—1)成正比例，”与(x+1)成反比例，当x=0时,

>'=­3；当x=l时，y=11.求：

(l)y关于x的关系式；

(2)当x=-g时，y的值.

解析：根据正比例函数和反比例函数的定义得到V，中的关系式，进而得到

y的关系式，把所给两组数据代入即可求出相应的比例系数，也就求得了所要求

的关系式.

解：⑴力1与(x—1)成正比例，”与(x+1)成反比例，，设yi=ki(x—1)(%#0),

*=点渣2和),"：y=yi+y2,.•.y=41(工-1)+点‘当％=0时,y=­3；当x=l

2

时，y=—\,••k\~1942=-2,・'・y=x_1x+T;

(2)把x=一品入(1)中函数关系式得尸-y.

方法总结：能根据题意设出yi,户的函数关系式并用待定系数法求得等量关

系是解答此题的关键.

变式训练：见本课时练习

探究点三：建立反比例函数模型及其相关问题

硝写出下列问题中两个变量之间的函数表达式，并判断其是否为反比例

函数.

⑴底边为3cm的三角形的面积yen/随底边上的高xcm的变化而变化；

(2)一艘轮船从相距skm的甲地驶往乙地，轮船的速度vkm/h与航行时间th

的关系;

(3)在检修100m长的管道时，每天能完成10m,剩下的未检修的管道长ym

随检修天数x的变化而变化.

解析：根据题意先对每一问题列出函数关系式，再根据反比例函数的定义判

断其是否为反比例函数.

解：(1)两个变量之间的函数表达式为：y=|r，不是反比例函数；

(2)两个变量之间的函数表达式为：v=p是反比例函数；

(3)两个变量之间的函数表达式为：y=100—10x,不是反比例函数.

方法总结：解决本题的关键是根据实际问题中的等量关系，列出函数解析式,

然后根据解析式的特点判断是什么函数.

变式训练：见本课时练习

三、板书设计

1.反比例函数的定义：

形如>=(伏为常数，厚0)的函数称为反比例函数.其中x是自变量，自变量

x的取值范围是不等于0的一切实数.

2.反比例函数的形式：

⑴产1伏为常数，原0)；

(2)孙=%(左为常数，原0)；

(3)y=自一1/为常数，原0).

3.确定反比例函数的解析式：待定系数法.

4.建立反比例函数模型.

敬巡慰

让学生从生活实际中发现数学问题，从而引入学习内容，这不仅激发了学生

学习数学的兴趣，还激起了学生自主参与的积极性和主动性，为自主探究新知创

造了现实背景.因为反比例函数这一部分内容与正比例函数相似，在教学过程中，

以学生学习的正比例函数为基础，在学生之间创设相互交流、相互合作、相互帮

助的关系，让学生通过充分讨论交流后得出它们的相同点，在此基础上来揭示反

比例函数的意义.

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第二十六章反比例函数

26.1.2反比例函数的图象和性质

第1课时反比例函数的图象和性质

卷卷颤

1.会用描点的方法画反比例函数的图象；（重点）

2.理解反比例函数图象的性质.（重点，难点）

一、情境导入

已知某面粉厂加工出了4000吨面粉，厂方决定把这些面粉全部运往8市.则

所需要的时间4天）和每天运出的面粉总重量〃?（吨）之间有怎样的函数关系？你能

在平面直角坐标系中画出这个图形吗？

二、合作探究

探究点一：反比例函数的图象

［类型—］反比例函数图象的画法

H9作函数的图象.

解析：根据函数图象的画法，进行列表、描点、连线即可.

解：列表：

X-4-2-1124

y-1-2-4421

描点、连线:

方法总结：作图的一般步骤为：①列表；②描点；③连线；④注明函数解析

式.

变式训练：见本课时练习

［类型二］反比例函数二一次函数图象位置的确定

k

在同一坐标系中(水平方向是X轴)，函数y=?F口y=fcc+3的图象大致

是()

解析：A.由函数的图象可知左>0与y=^+3的图象中攵>0且过点(0,

k

3)一致，故A选项正确；B.由函数的图象可知％>0与丁=依+3的图象中人

>0且过点(0,3)矛盾，故B选项错误；C.由函数的图象可知％<0与>=依

+3的图象中攵V0且过点(0,3)矛盾，故C选项错误；D.由函数y=如勺图象可

知攵>0与>=区+3的图象中％<0且过点(0,3)矛盾，故D选项错误.故选A.

方法总结：解答此类问题时，通常先根据双曲线图象所在的象限确定上的符

号，再确定一次函数的系数及经过的点是否也符合图案，如果符合，可能正确；

如果不符合，一定错误.

变式训练：见本课时练习

［类型三］实际问题中函数图象的确定

H若按xL/min的速度向容积为20L的水池中注水，注满水池需ymin.则

所需时间ymin与注水速度xL/min之间的函数关系用图象大致可表示为()

解析：•.•水池的容积为20L,...9=20,龙>0),故选B.

方法总结：解答此类问题要先根据题意列出反比例函数关系式，然后依据实

际情况确定函数自变量的取值范围，从而确定函数图象.

【类型四】反比例函数图象的对称性

@D若正比例函数y=—lx与反比例函数尸尚象的一个交点坐标为（一1,

2）,则另一个交点坐标为（）

A.（2,-1）B.（1,-2）

C.（—2,—1）D.（—2,1）

解析：•.•正比例函数y=-2x与反比例函数y=:的图象均关于原点对称，

两函数的交点也关于原点对称•一个交点的坐标是（一1,2）,.•.另一个交点的

坐标是（1,-2）.故选B.

方法总结：反比例函数>=4理0）的图象既是轴对称图形又是中心对称图形，

对称轴是一、三（或二、四）象限角平分线所在的直线，对称中心是坐标原点.

变式训练：见本课时练习

探究点二：反比例函数的性质

［类型—］根据解析式判定反比例函数的性质

___2

«已知反比例函数y=一：下列结论不正确的是（）

A.图象必经过点（一1,2）

B.y随x的增大而增大

C.图象分布在第二、四象限

D.若x>l,则一2VyV0

解析：A.（-l,2）满足函数解析式，则图象必经过点（-1,2）,命题正确；

B.在第二、四象限内y随x的增大而增大，忽略了x的取值范围，命题错误；C.

命题正确；D.根据y=—彳的图象可知，在第四象限内命题正确.故选B.

方法总结：解答此类问题要熟记反比例函数图象的性质.

变式训练：见本课时练习

［类型二］根据反比例函数的性质判定系数的取值范围

1—k

圆。在反比例函数一的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则上

的值可以是（）

A.-1B.3C.1D.2

I—k

解析：•.•反比例函数一的图象在每一条曲线上，y都随x的增大而减

小，.•.1一攵>0,解得攵VI.故选A.

k

方法总结：对于函数y=f,当％>0时，其图象在第一、三象限，在每个象

限内y随x的增大而减小；当％<0时，在第二、四象限，在每个象限内y随x

的增大而增大，熟记这些性质在解题时能事半功倍.

变式训练：见本课时练习

三、板书设计

1.反比例函数的图象：双曲线既是轴对称图形又是中心对称图形.

2.反比例函数的性质：

（1）当人>0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内y值随

x值的增大而减小；

（2）当ZV0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每个象限内y值随

x值的增大而增大.

通过引导学生自主探索反比例函数的性质，全班学生都能主动地观察与讨

论，实现了在学习中让学生自己动手、主动探索、合作交流的目的.同时通过练

习让学生理解“在每个象限内”这句话的必要性，体会数学的严谨性.

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第二十六章反比例函数

26.1.2反比例函数的图象和性质

第2课时反比例函数的图象和性质的综合运用

卷耳醐

1.使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质；（重点）

2.深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思

想方法；（重点）

3.探索反比例函数和一次函数、几何图形以及图形面积的综合应用.（难点）

鳗逾1

一、情境导入

如图所示，对于反比例函数y=§（心＞0）,在其图象上任取一点P,过P点

作PQ，x轴于。点，并连接。P.

k

试着猜想△OP。的面积与反比例函数的关系，并探讨反比例函数

（原0）中女值的几何意义.

二、合作探究

探究点一：反比例函数解析式中左的几何意义

△AOC的面积为2,求该反比例函数的表达式.

解析：先设点A的坐标，然后用点A的坐标表示△A。。的面积，进而求出

人的值.

v\

解：,点A在反比例函数的图象上，；.SAAOC="=2,"

=4,.•.反比例函数的表达式为

方法总结：过双曲线上任意一点与原点所连的线段与坐标轴和向坐标轴作垂

线所围成的直角三角形的面积等于因的一半.

变式训练：见本课时练习

探究点二：反比例函数的图象和性质的综合运用

【类型一】利用反比例函数的性质比较大小

(IB若M(-4,yi)、N(—2,p)sP(2,”)三点都在函数y=((Z〈O)的图象上,

则yi,y2,”的大小关系为()

A.v>y3>yiB.y2>yi>p

C.y^>yi>y2D.

解析：•••AVO,故反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，且在每个象

k

限内y随x的增大而增大.•••加(一4,y)、N(—2,”)是双曲线旷=[a<0)上的两

点，.P(2,")在第四象限，.'.y3Vo.故yi,”的大小关系

为>2>yi>”.故选B.

方法总结：反比例函数的解析式是y=%厚0),当女<0时，图象在第二、四

象限，且在每个现象内y随x的增大而增大；当2>0,图象在第一、三象限，且

在每个象限内y随x的增大而减小.

变式训练：见本课时练习

[类型二]利用反比例函数计算图形的面积

H如图，直线/和双曲线y=§(Z>0)交于A、3两点，P是线段AB上的点

(不与A、3重合)，过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别是C、D、E,连

接。4、OB、OP,设△AOC的面积是Si,△80。的面积是S2,APOE的面积

是S3,则()

A.SVS2Vs3

B.SI>52>S3

C.S1=S2>S3

D.Si=S2<S3

k11

解析：如图，•.•点A与点8在双曲线上，，Si=5女，S2=]Z,Si=S2.V

点P在双曲线的上方，：.S3>^k,...Si=S2<S3.故选D.

方法总结：在反比例函数的图象上任选一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足

以及坐标原点所构成的三角形的面积是学且保持不变.

变式训练：见本课时练习

［类型三］反比例函数与一次函数的交点问题

1—k

画。函数一的图象与直线y=—x没有交点，那么k的取值范围是

()

A.k>\B.k<\

C.k>~1D.&V—1

解析：直线)，=一无经过第二、四象限，要使两个函数没有交点，那么函数

1—k

y=-y-的图象必须位于第一、三象限，则1一%>0,即攵<1.故选B.

方法总结：判断正比例函数y=攵次和反比例函数y=会在同一直角坐标系中

的交点个数可总结为：①当ki与fo同号时，正比例函数y=kix与反比例函数y

=§有2个交点；②当处与女2异号时，正比例函数y=%x与反比例函数>=§没

有交点.

［类型四］反比例函数与一次函数的综合问题

画EI如图，已知A(—4,g),B(—l,2)是一次函数与反比例函数y

=:(mVO)图象的两个交点，AC_Lx轴于点C,8D_Ly轴于点D

(1)根据图象直接回答：在第二象限内，当X取何值时，一次函数的值大于反

比例函数的值；

(2)求一次函数解析式及m的值；

(3)尸是线段上的一点，连接PC,PD,若和△POB的面积相等，

求点P的坐标.

解析：(1)观察函数图象得到当一4VxV-l时，一次函数图象都在反比例函

数图象上方；(2)先利用待定系数法求出一次函数解析式，然后把A点或8点坐

标代入y=?可计算出m的值；（3）设出尸点坐标，利用△PCA与APDB的面积

相等列方程求解，从而可确定P点坐标.

解：（1）当一4<%<一1时，一次函数的值大于反比例函数的值；

f1IW,

1一4女+/?=7，2

⑵把4一4,2），仅一1,2）代入尸辰+匕中得J2解得j所

-k~\~b=2,b=5,

I5IT!

以一次函数解析式为把8（—1,2）代入y=］中得加=—1x2=—2；

（3）设P点坐标为摄+|）,•••△%?1和的面积相等，.•.另x（/+4）

=1xlx（2—y—1）»即得f=一1'P点坐标为（一?,7）.

方法总结：解决问题的关键是明确反比例函数与一次函数图象的交点坐标所

包含的信息.本题也考查了用待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能

力.

变式训练：见本课时练习

三、板书设计

1.反比例函数中系数左的几何意义；

2.反比例函数图象上点的坐标特征；

3.反比例函数与一次函数的交点问题.

本节课主要是要注重提高学生分析问题与解决问题的能力.数形结合思想是

数学学习的一个重要思想，也是我们学习数学的一个突破口.在教学中要加强这

方面的指导，使学生牢固掌握基本知识，提升基本技能，提高数学解题能力.

初中数学（人教版）九年级下册教学设计

第二十六章反比例函数

26.2实际问题与反比例函数

第1课时实际问题中的反比例函数

1.经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决

问题；（重点）

2.体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解

决问题的能力.（难点）

一、情境导入

小明和小华相约早晨一起骑自行车从A镇出发前往相距20km的B镇游玩,

在返回时，小明依旧以原来的速度骑自行车，小华则乘坐公交车返回A镇.

假设两人经过的路程一样，自行车和公交车的速度保持不变，且自行车速度

小于公交车速度.你能找出两人返回时间与所乘交通工具速度间的关系吗？

二、合作探究

探究点：实际问题与反比例函数

［类型一］反比例函数在路程问题中的应用

@D王强家离工作单位的距离为3600米，他每天骑自行车上班时的速度为

v米/分，所需时间为，分钟.

（1）速度V与时间f之间有怎样的函数关系？

（2）若王强到单位用15分钟，那么他骑车的平均速度是多少？

（3）如果王强骑车的速度最快为300米/分，那他至少需要几分钟到达单位？

解析：（1）根据速度、时间和路程的关系即可写出函数的关系式；⑵把1=15

代入函数的解析式，即可求得速度；（3）把v=300代入函数解析式，即可求得时

间.

解：（1）速度丫与时间t之间是反比例函数关系，由题意可得丫=半：

（2）把r=15代入函数解析式，得丫=喈=240.故他骑车的平均速度是240

米/分；

(3)把v=300代入函数解析式得竿=300,解得f=12.故他至少需要12分

钟到达单位.

方法总结：解决问题的关键要掌握路程、速度和时间的关系.

变式训练：见本课时练习

［类型二］反比例函数在工程问题中的应用

顺在某河治理工程施工过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所

需天数》(天)与每天完成的工程量x(m/天)的函数关系图象如图所示.

(1)请根据题意，求y与x之间的函数表达式；

(2)若该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠15米，问该工

程队需用多少天才能完成此项任务？

(3)如果为了防汛工作的紧急需要，必须在一个月内(按30天计算)完成任务,

那么每天至少要完成多少米？

解析：(1)将点(24,50)代入反比例函数解析式，即可求得反比例函数的解析

式；(2)用工作效率乘以工作时间即可得到工作量，然后除以工作效率即可得到

工作时间；(3)工作量除以工作时间即可得到工作效率.

解：(1)设＞=£•.•点(24,50)在其图象上，，女=24x50=1200,所求函数表

达式为

(2)由图象可知共需开挖水渠24x50=1200(m),2台挖掘机需要工作

1200+(2x15)=40(天);

(3)1200+30=40(m),故每天至少要完成40m.

方法总结：解决问题的关键是掌握工作量、工作效率和工作时间之间的关系.

变式训练：见本课时练习

［类型三］利用反比例函数解决利润问题

碰J某商场出售一批进价为2元的贺卡，在销售中发现此商品的日售价x(元)

与销售量y（张）之间有如下关系:

x（元）3456

M张）20151210

（1）猜测并确定y与x的函数关系式；

（2）当日销售单价为10元时，贺卡的日销售量是多少张？

（3）设此卡的利润为W元，试求出卬与x之间的函数关系式，若物价部门规

定此卡的销售单价不能超过10元，试求出当日销售单价为多少元时，每天获得

的利润最大并求出最大利润.

解析：（1）要确定y与尤之间的函数关系式，通过观察表中数据，可以发现x

与y的乘积是相同的，都是60,所以可知），与x成反比例，用待定系数法求解即

可；（2）代入x=10求得y的值即可；（3）首先要知道纯利润=（日销售单价x—2）x

日销售数量y,这样就可以确定W与x的函数关系式，然后根据销售单价最高不

超过10元，就可以求出获得最大日销售利润时的日销售单价x.

解：⑴从表中数据可知y与x成反比例函数关系，设y=5（攵为常数，原0）,

把点（3,20）代入得女=60,.,.尸果

（2）当尤=10时，尸霁=6,••.日销售单价为10元时，贺卡的日销售量是6

张；

120

（3）VW=（x-2）y=60—-又•.•史10,.•.当x=10时，W取最大值，W城大

120一

=60—万万=48（兀）.

方法总结：本题考查了根据实际问题列反比例函数的关系式及求最大值，解

答此类题目的关键是准确理解题意.

变式训练：见本课时练习

［类型四］反比例函数的综合应用

画。如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为

从加热开始计算的时间为x分钟.据了解，该材料在加热过程中温度y与时间x

成一次函数关系.已知该材料在加热前的温度为4℃,加热一段时间使材料温度

达到28℃时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度y与时间x

成反比例函数关系.已知第12分钟时，材料温度是14c.

12x(inin)

(1)分别求出该材料加热和停止加热过程中y与x的函数关系式(写出x的取

值范围)；

(2)根据该食品制作要求，在材料温度不低于12℃的这段时间内，需要对该

材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟？

解析：(1)首先根据题意，材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系；停

止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例函数关系.将题中数据代入可求得

两个函数的关系式；(2)把y=12代入y=4x+4得x=2,代入丁=等得％=14,

则对该材料进行特殊处理所用的时间为14-2=12(分钟).

解：⑴设加热停止后反比例函数表达式为尸勺，•••尸勺过(12,14),得依

=12x14=168,则当y=28时，28=^^,解得％=6.设加热过程中一

次函数表达式为y=kix+b,由图象知y=kvc+b过点(0,4)与(6,28),

4+4x(0<r<6),

b=4,“2=4,

(2)当y=12时，y=4x+4,解得x=2.由y=一1，解得x=14,所以对该材

料进行特殊处理所用的时间为14—2=12(分钟).

方法总结：现实生活中存在大量成反比例函数关系的两个变量，解答此类问

题的关键是首先确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的

关系式.

变式训练：见本课时练习

三、板书设计

1.反比例函数在路程问题中的应用；

2.反比例函数在工程问题中的应用；

3.利用反比例函数解决利润问题；

4.反比例函数与一次函数的综合应用.

本节课是用函数的观点处理实际问题，关键在于分析实际情境，建立函数模

型，并进一步明确数学问题.将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识

重新解释“这是什么“，使学生逐步形成考察实际问题的能力.在解决问题时，应

充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想.

初中数学(人教版)九年级下册教学设计

第二十六章反比例函数

26.2实际问题与反比例函数

第2课时其他学科中的反比例函数

卷卷颤

1.能够从物理等其他学科问题中建构反比例函数模型；(重点)

2.从实际问题中寻找变量之间的关系，利用所学知识分析物理等其他学科

的问题，建立函数模型解决实际问题.(难点)

一、情境导入

问题：某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的湿地，为了安

全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时

通道，从而顺利完成任务.

问题思考：

(1)请你解释他们这样做的道理；

(2)当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S(m2)的变化，人和木板

对地面的压强p(Pa)将如何变化？

二、合作探究

探究点：反比例函数在其他学科中的应用

［类型—］反比例函数与电压、电流和电阻的综合

陶D已知某电路的电压U(V),电流/(A)和电阻RQ)三者之间有关系式为U

=IR,且电路的电压U恒为6V.

(1)求出电流/关于电阻R的函数表达式；

(2)如果接入该电路的电阻为25C,则通过它的电流是多少？

(3)如图，怎样调整电阻箱火的阻值，可以使电路中的电流/增大？若电流/

=0.4A,求电阻R的值.

解析：(1)根据电流/(A)是电阻H(Q)的反比例函数，设出/=*(/?#))后把U

=6V代入求得表达式即可；(2)将R=25Q代入上题求得的函数关系式即可得电

流的值；(3)根据两个变量成反比例函数关系确定答案，然后代入0.4A求得R的

值即可.

解：(I)、•某电路的电压U(V),电流/(A)和电阻R(Q)三者之间有关系式U=

IR,：」=*,代入U=6V得/=*.,.电流/关于电阻火的函数表达式是/=。；

KKK

(2)'.•当H=25Q时，/=^=0.24A,...电路的电阻为25Q时，通过它的电流

是0.24A；

(3)；/=/，.•.电流与电阻成反比例函数关系，...要使电路中的电流/增大可

以减小电阻.当/=0.4A时，0.4=。，解得R=15Q

方法总结：明确电压、电流和电阻的关系是解决问题的关键.

变式训练：见本课时练习

［类型二］反比例函数与气体压强的综合

某容器内充满了一定质量的气体，当温度不变时，容器内气体的气压

p(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示.

(1)求出这个函数的解析式；

(2)当容器内的气体体积是0.6m3时，此时容器内的气压是多少千帕？

(3)当容器内的气压大于240kPa时，容器将爆炸，为了安全起见，容器内气

体体积应不小于多少n^?

解析：(1)设出反比例函数关系式，根据图象给出的点确定关系式；(2)把V

=0.6n?代入函数关系式，求出p的值即可；(3)因为当容器内的气压大于240kPa

时，容器将爆炸，可列出不等式求解.

解：(1)设这个函数的表达式为p=£根据图象可知其经过点(2,60),得60

=2f解得％=120.则〃=专^；

120

(2)当V=0.6m3时，p=,=200(kPa)；

(3)当三240kPa时，得号1240,解得吗所以为了安全起见，容器的体积

应不小于5n3.

方法总结：根据反比例函数图象确定函数关系式以及知道变量的值求函数值

或知道函数值的范围求自变量的范围是解决问题的关键.

变式训练：见本课时练习

［类型三］反比例函数与杠杆知识的综合

公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆原理”，小明

利用此原理，要制作一个杠杆撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为

1200N和0.5m.

(1)动力/与动力臂/有怎样的函数关系？当动力臂为1.5m时，撬动石头至

少要多大的力？

(2)若想使动力厂不超过(1)题中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少？

解析：(1)根据“动力x动力臂=阻力x阻力臂”，可得出产与/的函数关系式,

将/=1.5m代入可求出小(2)根据⑴的答案，可得心200,解出/的最小值，即

可得出动力臂至少要加长多少.

解:(1)F/=1200x0.5=600N-m,则尸=7■.当/=1.5m时,F=jy=400N；

(2)由题意得，尸=竿200,解得史3m,故至少要加长1.5m.

方法总结：明确“动力x动力臂=阻力x阻力臂”是解题的关键.

变式训练：见本课时练习

［类型四］反比例函数与功率知识的综合

画。某汽车的输出功率P为一定值，汽车行驶时的速度u(m/s)与它所受的牵

引力F(N)之间的函数关系如下图所示：

5()

40

30

20

10

0~10002000300040005600^N)

(1)这辆汽车的功率是多少？请写出这一函数的表达式；

(2)当它所受牵引力为2400N时'汽车的速度为多少？

(3)如果限定汽车的速度不超过30m/s,则F在什么范围内？

解析：(1)设v与尸之间的函数关系式为旷=彳,把(3000,20)代入即可；(2)

当b=120()1^时，求出u即可；(3)计算出u=30m/s时的产值，尸不小于这个值

即可.

pp

解：(1)设u与b之间的函数关系式为尸户把(3000,20)代入片.得P

=60000,...这辆汽车的功率是60000W.这一函数的表达式为丫=券叫；

⑵将F=2400N代入尸写与得尸号需=25(m/s),.•.汽车的速度产

3600x25^1000=90(km/h)；

(3)把咚30代入尸怨”，得生2000(N),/.f>2000N.

方法总结：熟练掌握功率的计算公式是解决问题的关键.

三、板书设计

1.反比例函数与电压、电流和电阻的综合；

2.反比例函数与气体压强的综合；

3.反比例函数与杠杆知识的综合；

4.反比例函数与功率知识的综合.

本节是在上一节的基础上，进一步学习与反比例函数有关的涉及其他学科的

知识.尽量选用学生熟悉的实例进行教学，使学生从身边事物入手，真正体会数

学知识来源于生活.注意要让学生经历实践、思考、表达与交流的过程，给学生

留下充足的活动时间，不断引导学生利用数学知识解决实际问题.

初中数学（人教版）九年级下册教学设计

第二十七章相似

27.1图形的相似

卷圃圜嬴

1.从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似；（重点）

2.理解成比例线段的概念，会确定线段的比.（难点）

一、情境导入

如图是两张大小不同的足球，右边的图形可以看作是左边的图形缩小得来

日常生活中我们会碰到很多这种形状相同、大小不一定相同的图形，在数学

上，我们把具有相同形状的图形称为相似图形.像这样的图形有哪些性质？下面

我们就一起探讨一下吧！

二、合作探究

探究点一：相似图形

颐1观察下面图形，指出（1）〜（9）中的图形有没有与给出的图形①）、（加、（c）

形状相同的？

解析：通过观察寻找与(a),S),(C)形状相同的图形，在所给的9个图形中

仔细观察，然后作出判断.

解：通过观察可以发现：图形(4)、(8)与图形(a)形状相同；图形(6)与图形S)

形状相同；图形(5)与图形(c)形状相同.

方法总结：判断两个图形的形状是否相同，应仔细观察，当两个图形的形状

除了大小没有其他任何差异时，我们才可以说这两个图形形状相同.

变式训练：见本课时练习

探究点二：比例线段

［类型_］判断四条线段是否成比例

下列各组中的四条线段成比例的是()

A.4cm,2cm,1cm,3cm

B.1cm,2cm,3cm,5cm

C.3cm,4cm,5cm,6cm

D.1cm,2cm,2cm,4cm

解析：选项A.从小到大排列，由于"4#2x3,所以不成比例，不符合题意;

选项B.从小到大排列，由于Ix5#2x3,所以不成比例，不符合题意；选项C.从

小到大排列，由于3x6W4x5,所以不成比例，不符合题意；选项D.从小到大排

列，由于Ix4=2x2,所以成比例，符合题意.故选D.

方法总结：判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好,

判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可.

变式训练：见本课时练习

【类型二】利用成比例线段的定义，求线段的长

(UB已知线段a、b、c、d是成比例线段，其中o=2m,b=4m,c=5m,

则d=()

58

A.ImB.10mC.D

解析：•・•线段。、b、c、d是成比例线段，Ib=c:d,而〃=2m,Z?=4m,

b，c4x5

c=5m,・・d=〃=_*2-=10(m).故B.

方法总结：求线段之比时，要先统一线段的长度单位，然后根据比例关系求

值.

变式训练：见本课时练习

［类型三］利用比例尺求距离

@D若一张地图的比例尺是1：150000,在地图上量得甲、乙两地的距离是

5cm,则甲、乙两地的实际距离是()

A.3000mB.3500m

C.5000mD.7500m

解析：设甲、乙两地的实际距离是xcm,根据题意得1：150000=5:x,x

=750000(cm),750000cm=7500m.故选D.

方法总结：比例尺=图上距离：实际距离.根据比例尺进行计算时，要注意

单位的转换.

变式训练：见本课时练习

探究点三：相似多边形

［类型—］利用相似多边形的性质求线段和角

如图所示，给出的两个四边形是相似形，具体数据如图所示，求出未

知边心。的长度及角a的值.

解析：根据相似多边形对应角相等和对应边成比例解答.

解：因为四边形ABCO与四边形相似，所以NB，=NB=63。，ZD'

=ND,《持所以今=a=4^，所以。=5,b=18.在四边形A'B'C'D'

U/\DDC10ZUD

中，/。'=360°—(84°+75°+63°)=138°.Na=ND=ND'=138°.

方法总结：若两个多边形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例.在

书写两个多边形相似时，要注意把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上.

变式训练：见本课时练习

［类型二］相似多边形的判定

初0如图，一块长3m、宽1.5m的矩形黑板A8CD如图所示，镶在其外围

的木质边框宽75cm.边框的内边缘所成的矩形A8CO与边框的外边缘所成的矩形

EFG”相似吗？为什么？

E|-------------------------------\H

~A'D

BC

/•''-------------------------------IG

解析：两个矩形的四个角虽然相等，但四条边不一定对应成比例，判定两个

矩形是否相似，关键是看对应边是否成比例.

解：不相似.•矩形A8C。中，A8=1.5m,AD=3m,镶在其外围的木质边

框宽75cm=0.75m,/=1.5+2x().75=3m,EH=3+2xO.75=4.5m,.'.第=早

=L卷=六=”亲，二内边缘所成的矩形/18。与边框的外边缘所成的矩

Z匕4.3JL3

形EFGH不相似.

方法总结：判定两个多边形相似，需要对应角相等，对应边成比例，这两个

条件缺一不可.

变式训练：见本课时练习

三、板书设计

1.相似图形的概念；

2.比例线段；

3.相似多边形的判定和性质.

本节课中对相似多边形的特征的教学要注意难度的把握，不要过高要求学生

掌握更多的内容.学生能了解性质，并能简单运用即可，重要的还是后续的相似

三角形的学习，当相似三角形的特征掌握之后，再进一步研究相似多边形的性质，

学生就比较容易掌握.

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第二十七章相似

27.2.1相似三角形的判定

第1课时平行线分线段成比例

卷寄回添

1.了解相似比的定义；（重点）

2.掌握平行线分线段成比例定理的基本事实以及利用平行线法判定三角形

相似；（重点）

3.应用平行线分线段成比例定理及平行线法判定三角形相似来解决问

题.（难点）

教辑福

一、情境导入

如图，在△ABC中，。为边A3上任一点，作DE//BC,交边AC于E,用

刻度尺和量角器量一量，判断与△ABC是否相似.

二、合作探究

探究点一：相似三角形的有关概念

围D如图所示，已知△QACS^OBD,且QA=4,AC=2,OB=2,ZC=

ND,求：

（□△OAC和△08。的相似比；

（2）BD的长.

A

O

B

C

解析：（1）由△OACS^OB。及NC=N。，可找到两个三角形的对应边，即

可求出相似比；（2）根据相似三角形对应边成比例，可求出3。的长.

解：（口•.•△OACSAOB。，ZC=Z£）,I.线段OA与线段OB是对应边,

则△OAC与△080的相似比为端=?=帝

.ACOA.AC-OB2x2

(2)VA0AC^A0BD,"'BD=OB,-BD=OA=~^~=

方法总结：相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是相似三角形的判

定方法.

变式训练：见本课时练习

探究点二：平行线分线段成比例定理

［类型一］平行线分线段成比例的基本事实

画。如图，直线/I、/2、/3分别交直线/4于点A、B、C,交直线/5于点。、

E、F,直线/4、/5交于点。，且/1〃/2〃/3,已知EF：OF=5：8,AC=24.

⑴求器的值；

（2）求A3的长.

解析：⑴根据人〃/2〃/3推出黑=器（2）根据/1〃/2〃/3,推出器=第4

代入AC=24求出即可求出AB.

CBEFCB

解：(1)：/|〃/2〃/3,二言=7^.又；。尸：DF=5：8,：.EF：DE=5：3,.•.而

AbDr,AD

_5

=3;

EFBC5

：：：，

(l)'h//h//h,EFDF=58,AC=Ur2AC4o,8C=15,.'.AB

=AC-BC=24-15=9.

方法总结：运用平行线分线段成比例定理时，一定要注意正确书写对应线段

的位置.

变式训练：见本课时练习

【类型二】平行线分线段成比例的基本事实的推论

陶❸如图所示，已知△ABC中，DE//BC,AD=2,80=5,AC=5,求AE

的长.

解析：根据。E〃BC得到%=浅，然后根据比例的性质可计算出AE的长.

解：•••OE〃8C,...亲=笫，即击=竽，.**£=¥.

方法总结：解题的关键是深入观察图形，准确找出图形中的对应线段，正确

列出比例式.

变式训练：见本课时练习

探究点三：相似三角形的引理

［类型—］利用相似三角形的引理判定三角形相似

颐J如图，在口ABCO中，E为A8延长线上的一点，AB=3BE,DE与BC

相交于点凡请找出图中所有的相似三角形，并求出相应的相似比.

解析：由平行四边形的性质可得：BC//AD,AB//CD,进而可得

XEFBsXEDA,XEFBS^DFC,再进一步求解即可.

解：：四边形438是平行四边形，，8。〃4。,43〃。。，二4£：尸364包区,

MEFBs"DEC,：.XDFCsXEDA,•.•AB=38E,...相似比分别为1：4,1：3,

3:4.

方法总结：求相似比不仅要找准对应边，还需要注意两个三角形的先后顺序.

变式训练：见本课时练习

［类型二］利用相似三角形的引理求线段的长

胸❺如图，已知AD与8C相交于点0.

(1)如果CE=3,EB=9,DF=2,求AO的长；

(2)如果BO：0E：EC=2：4：3,AB=3,求CD的长.