预习01讲空间向量及其运算2024年高二数学暑假预习（人教A版2019选择性）原卷版

2024年高二数学暑假预习（人教A版2019必修第二册）预习01讲空间向量及其运算（精讲+精练）①空间向量的线性运算②空间向量共线的判断与应用③共面向量的判定与应用④空间向量的数量积运算（数量积、夹角、模长、投影向量）一、空间向量及其加减运算（1）空间向量在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或．（2）零向量与单位向量规定长度为0的向量叫做零向量，记作．当有向线段的起点与终点重合时，．模为1的向量称为单位向量．（3）相等向量与相反向量方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量．与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为．（4）空间向量的加法和减法运算①，．如图所示．②空间向量的加法运算满足交换律及结合律，二、空间向量的数乘运算（1）数乘运算实数与空间向量的乘积称为向量的数乘运算．当时，与向量方向相同；当时，向量与向量方向相反．的长度是的长度的倍．（2）空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：，．（3）共线向量与平行向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，平行于，记作．（4）共线向量定理：对空间中任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使．（5）直线的方向向量为经过已知点且平行于已知非零向量的直线．对空间任意一点，点在直线上的充要条件是存在实数，使①，其中向量叫做直线的方向向量，在上取，则式①可化为②①和②都称为空间直线的向量表达式，当，即点是线段的中点时，，此式叫做线段的中点公式．（6）共面向量如图8154所示，已知平面与向量，作，如果直线平行于平面或在平面内，则说明向量平行于平面．平行于同一平面的向量，叫做共面向量．（7）共面向量定理如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使．推论：①空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使；或对空间任意一点，有，该式称为空间平面的向量表达式．②已知空间任意一点和不共线的三点，，，满足向量关系式（其中）的点与点，，共面；反之也成立．三、空间向量的数量积运算（1）两向量夹角已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作，通常规定，如果，那么向量，互相垂直，记作．（2）数量积定义已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作，即．零向量与任何向量的数量积为0，特别地，．（3）空间向量的数量积满足的运算律：，（交换律）；（分配律）．①空间向量的线性运算策略方法用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形．(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来．【题型精练】一、单选题1．（2324高二上·河南南阳·阶段练习）求为（

）A． B．C． D．2．（2223高二下·全国·单元测试）若为空间不同的四点，则下列各式不一定为零向量的是（

）A．B．C．D．3．（2324高二下·北京·开学考试）已知平行六面体，则下列四式中错误的是（

）A．B．C．D．4．（2324高二下·河南·阶段练习）在四面体中，为棱的中点，则（

）A． B． C． D．5．（2324高二上·河北·阶段练习）在四面体中，，，，，为的中点，若，则（

）A． B．3 C． D．2②空间向量共线的判断与应用策略方法证明三点共线三点(P，A，B)共线eq\o(PA,\s\up7(→))＝λeq\o(PB,\s\up7(→))且同过点P对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋teq\o(AB,\s\up7(→))对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋(1－x)eq\o(OB,\s\up7(→))【题型精练】一、单选题1．（2324高二上·河北邯郸·期末）已知是不共面的空间向量，若与（是实数）是平行向量，则的值为（

）A．16 B．13 C．3 D．32．（2324高二上·辽宁·期中）设向量不共面，已知，，若三点共线，则（

）A．0 B．1 C．2 D．33．（2324高二上·河南洛阳·阶段练习）在四面体中，点E满足F为BE的中点，且则实数λ=（

）A． B． C． D．二、填空题4．（2223高二下·江苏·课后作业）若空间非零向量不共线，则使与共线的k的值为.5．（2324高二上·上海·课后作业）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且三点共线，则实数k的值为．③共面向量的判定与应用策略方法证明空间四点共面空间四点(M，P，A，B)共面eq\o(MP,\s\up7(→))＝xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OM,\s\up7(→))＋xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OM,\s\up7(→))＋yeq\o(OA,\s\up7(→))＋(1－x－y)eq\o(OB,\s\up7(→))【题型精练】一、单选题1．（2223高二上·云南临沧·阶段练习）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（

）A． B．C． D．2．（2324高二下·江苏·阶段练习）已知向量不共面，则使向量共面的实数x的值是（

）A． B． C． D．43．（2324高二上·北京·期中）已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（

）A．共线 B．共线C．共面 D．不共面4．（2324高二下·江苏泰州·阶段练习）为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（

）A．1 B． C． D．5．（2324高二上·湖北省直辖县级单位·期中）若空间四点满足，则（

）A．直线B．直线C．点P可能在直线上，也可能不在直线上D．直线，且④空间向量的数量积运算（数量积、夹角、模长、投影向量）策略方法空间向量数量积的应用【题型精练】一、单选题1．（2324高二上·广东茂名·期末）如图，正方体的棱长为1，设，，，则（

）

A．1 B． C．0 D．22．（2324高二下·江苏·课前预习）已知，是相互垂直的单位向量，则＝（）A．1 B．2C．3 D．43．（2324高二下·上海·阶段练习）由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱（如图所示），点是正方形的中心，则向量（

）

A．1 B．2 C．4 D．84．（2324高二上·江西萍乡·期末）已知，，是空间中两两垂直的单位向量，则（

）A． B．14 C． D．25．（2324高二上·宁夏银川·阶段练习）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（

）A．2 B． C． D．6．（2324高二